Рассматриваются влияние диэлектрика на электрическое поле и различные механизмы поляризации. Выводится соотношение между плотностями объемных и поверхностных связанных зарядов и поляризованностью. Обсуждаются явления на граниче между диэлектриками.

Дипольный момент непрерывного распределения зарядов. Влияние вещества на электрические и магнитные поля было экспериментально открыто и исследовано Фарадеем. Результаты этих работ привели Фарадея к идее близкодействия и концепции поля. Электростатическая индукция была им открыта в 1837 г. Тогда же он ввел в науку термины «диэлектрик» и «диэлектрическая постоянная».

Пусть в некотором объеме $V$ (рис. 74) имеется непрерывно распределенный с объемной плотностью $\rho$ заряд, причем в целом объем электрически нейтрален. Однако это не означает, что в каждой точке внутри объема положительный и отрицательный заряды взаимно компенсируются. Если положительные и отрицательные заряды распределены в объеме по разным законам, то в одних точках объема суммарная плотность $\rho$ заряда положительна, а в других отрицательна. Математически условие нейтральности объема $V$ имеет вид
\[
\int_{V} \rho \mathrm{d} V=0 \text {. }
\]

Если во всех точках объема $\rho=0$, то материальная система в объеме $V$ электрически нейтральна: на нее не действует внешнее электрическое поле и сама она не порождает электрического поля. Однако если плотность $\mathrm{\rho}$ заряда в одних частях объема $V$ положительна, а в других отричательна, то хотя в целом заряд в объеме $V$ равен нулю, система обладает электрическими свойствами: на нее действует внешнее электрическое поле и сама она порождает электрическое поле. В первом приближении электрические свойства нейтральной системы характеризуются ее дипольным моментом. Для двух точечных зарядов определение дипольного момента дается формулой (16.81). При непрерывном распределении зарядов дипольный момент (рис. 74) определяется формулой

Радиус-вектор г в (17.2) отсчитывается от любой точки $O$, принятой за начало отсчета. Очевидно, что (17.2) не зависит от того, какая точка выбрана за начало системы отсчега. Для доказательства этого примем за начало отсчета точку $O^{\prime}$, положение которой относительно точки $O$ характеризуется радиус-вектором $\mathbf{r}_{0}$ (см. рис. 74). Относительно точки $O^{\prime}$ формула (17.2) имеет вид
$\mathbf{p}^{\prime}=\int_{V} \rho \mathbf{r}^{\prime} \mathrm{d} V$.
Преобразуем (17.3):
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{p}^{\prime}=\int_{V} \rho\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right) \mathrm{d} V=\int_{V} \rho \mathbf{r} \mathrm{d} V-\int_{V} \mathbf{r}_{0} \rho \mathrm{d} V= \\
=\int_{V} \rho \mathbf{r} \mathrm{d} V=\mathbf{p},
\end{array}
\]

что и требовалось доказать. Здесь $r=\mathbf{r}_{0}+\mathbf{r}^{\prime}$ и [см. (17.1)]
\[
\int_{V} \mathbf{r}_{0} \rho \mathrm{d} V=\mathbf{r}_{0} \int_{V} \rho \mathrm{d} V=0 .
\]

Применим формулу (17.2) для вычисления дипольного момента двух точечных зарядов,
74
К определению дипольного момеита непрерывного распределення зарядов
75
К вычисленню динольного момента двух точечных зарядов по формуле для непрерывного распределения зарядов
76
Поляризация неголярных диэлектрнков в электрическом поле
которые можно рассматривать как заряды, находящиеся в сколь угодно малых объемах $\Delta V_{1}$ и $\Delta V_{2}$ (рис. 75):
\[
\mathbf{p}=\int_{V} \rho \mathbf{r} \mathrm{d} V=\int_{\Delta V_{1}} \rho \mathbf{r} \mathrm{d} V+\int_{\Delta V_{2}} \rho \mathbf{r} \mathrm{d} V=\mathbf{r}_{1} \int_{\Delta V_{1}} \rho \mathrm{d} V+\mathbf{r}_{2} \int_{\Delta V_{2}} \rho \mathrm{d} V=\mathbf{r}_{1} Q_{1}+\mathbf{r}_{2} Q_{2},
\]

где $Q_{1}, Q_{2}$ – заряды в объемах $\Delta V_{1}$ и $\Delta V_{2}$ соответственно, $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}$ радиус-векторы этих объемов. Пусть, например, в объеме $\Delta V_{2}$ находится положительный заряд $Q_{2}=Q$. Тогда вследствие электрической нейтральности системы $Q_{1}=-Q$ и формула (17.6) принимает вид

что аналогично (16.81).
Напряженность поля нейтральной системы с дипольным моментом р определяется формулами (16.84) и (16.85).

Поляризация диэлектриков. Диэлектриками называются вещества, в которых под действием электрического поля не возникает перемещения зарядов, как, например, в проводниках. Однако это не означает, что в диэлектриках заряды под действием электрического поля вообще не двигаются. Они сдвигаются, но не перемещаются на больние расстояния.

Рассмотрим электрически нейтральный объем диэлектрика (рис. 76). Внешнее электрическое поле стремится сдвинуть положительные заряды в направлении напряженности поля, а отрицательные – в противоположном. Поэтому в направлении напряженности в диэлектрике образуется избыток положительного заряда, а в противоположном – недостаток. Диэлектрик приобретает дипольный момент. Этот процесс называется поляризацией.

Степень поляризации диэлектрика характеризуется поляризованностью, определяемой как отношение дипольного момента $\Delta$ р элемента диэлектрика к его объему $\Delta V$ :

Молекулярная картина поляризации. Диэлектрик состоит из атомов и молекул, причем любой его бесконечно малый физический элемент объема является электрически нейтральным. Положительный заряд сосредоточен в ядрах атомов, а отрицательный – в электронных оболочках атомов и молекул. Положительные и отрицательные заряды расположены в различных точках пространства, и, следовательно, атомы и молекулы могут обладать электрическими дипольными моментами, которые изменяются с частотой колебаний электронов в атомах порядка $\approx 10^{15} \mathrm{c}^{-1}$.

Если в атоме при отсутствии внешнего электрического поля электронное облако распределено сферически симметрично относительно ядра, то атом не обладает электрическим дипольным моментом.
Аналогично, в молекулах положительные и отрицательные заряды могут обладать такой симметрией распределения, когда у них не возникает дипольный момент. Такие молекулы и атомы называются неполярными, например атом гелия, двухатомные молекулы, состоящие из одинаковых атомов ( $\mathrm{H}_{2}, \mathrm{~N}_{2}, \mathrm{O}_{2}, \ldots$ ), симметричные многоатомные молекулы $\mathrm{CO}_{2}$, $\mathbf{C H}_{4}$ и др. При отсутствии внешнего поля такой диэлектрик не поляризован.

Молекулы и атомы, обладающие электрическим дипольным моментом при отсутствии внешнего поля, называются полярнымн, например $\mathrm{CO}, \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}, \mathrm{SO}_{2}$ и др. Постоянный дипольный момент у них имеет из двух элементарных зарядов $1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, расстояние между которыми $10^{-10} \mathrm{M}$, т. е. порядка атомных размеров.

При отсутствии внешнего электрического поля постоянные дипольные моменты отдельных молекул ориентированы беспорядочно и, следовательно, их сумма в физически бесконечно малом объеме равна нулю, т. е. диэлектрик неполяризован.

Во внешнем электрическом поле положительные заряды стремятся сместиться по направлению напряженности поля, а отрицательные противоположно. В результате неполярные молекулы приобретают дипольный момент и диэлектрик поляризуется. Полярные молекулы также приобретают дополнительный индуцированный внешним полем дипольный момент и благодаря этому также поляризуются, но эта поляризация играет для них лишь незначительную роль. Главный механизм поляризации для них другой: во внешнем электрическом поле на постоянные дипольные моменты молекул действуют моменты сил [рис. 77; см. (19.7)], стремячиеся ориентировать дипольные моменты в направлении напряженности поля. В результате молекулы переориентируются так, что бесконечно малые физические элементы объема диэлектрика приобретают дипольные моменты, т. е. диэлектрик поляризуется. Поляризованность за счет переориентации молекул значительно больше, чем вследствие образования дополнительных дипольных моментов, индуцированных внешним полем.

Наряду с этими механизмами поляризации существует еще один. В ионных кристаллах под влиянием внешнего электрического поля положительные ионы смечаются в направлении напряженности поля, а отрицательные – противоположно. В результате происходит некоторая деформация кристаллической решетки или относительное смещение подрешеток, что приводит к возникновению в диэлектрике дипольных моментов, т. е. поляризации диэлектрика. Такая поляризация называется нонной решеточной поляризацией.

Во всех случаях поляризация количественно характеризуется поляризованностью P. Механизм поляризации проявляется лишь при изучении зависимости $\mathbf{P}$ от напряженности внешнего поля и других факторов (см. гл. 3). При этом ффрмула, связывающая между собой напряженность электрического поля, электрическое смещение и поляризованность, остается неизменной [см. (17.29)].

Поляризованность неполярных молекул равна
\[
\mathbf{P}=\frac{1}{\Delta V} \sum_{\Delta V} \mathbf{p}_{\mathbf{i}}=N \mathbf{p}_{0},
\]

где $\Delta V$ под символом суммы указывает, что суммирование распространяется на все молекулы в объеме $\Delta V ; N$-концентрация молекул; $\mathbf{p}_{0}$ – индуцированный дипольный момент (одинаков у всех молекул), совпадающий по направлению с напряженностью $\mathbf{E}$ внешнего электрического поля. При отсутствии внешнего поля $\mathbf{p}_{0}=0$ и, следовательно, $\mathbf{P}=0$, т. е. поляризация отсутствует.

У полярных молекул главным механизмом поляризации является переориентация направлений постоянных дипольных моментов под влиянием внешнего поля. Формула для поляризованности имеет вид
\[
\mathbf{P} \cdot=\frac{1}{\Delta V} \sum_{\underline{\Delta} V} \mathbf{p}_{i}=N\langle\mathbf{p}\rangle,
\]

где $\langle\mathbf{p}\rangle$ – среднее значение дипольных моментов, равных друг другу по абсолютному значению, но различно направленных в пространстве. В изотропных диэлектриках средние дипольные моменты совпадают по направлению с напряженностью внешнего электрического поля. В анизотропных диэлектриках, т. е. таких, электрические свойства которых различны в различных направлениях, такого совпадения не наблюдается. В них связь между поляризованностью и напряженностью более сложная (см. гл. 3). У полярных диэлектриков вклад в поляризованность от индуцированных дипольных моментов значительно меньше вклада от переориентации постоянных дипольных моментов и обычно не учитывается. При необходимости его учета в правую часть формулы (17.10) надо добавить правую часть равенства (17.9).

Ионная решеточная поляризация описывается формулой (17.10), в которой под $\langle\mathbf{p}\rangle$ надо понимать среднее значение дипольных моментов в объеме $\Delta V$, возникших в результате смещения ионов в узлах кристаллической решетки. В подавляющем большинстве случаев эта поляризация является анизотропной.
3ависимость поляризованности от напряженности электрического поля. у электретов и сегнетоэлектриков поляризованность может быть отлична от нуля при отсутствии электрического поля ( $E=0, P
eq 0$ ). У остальных диэлектриков при отсутствии электрического поля поляризованность равна нулю. Ее зависимость от напряженности может быть в общем случае представлена в виде
\[
P_{i}=\varepsilon_{0} \sum_{j} x_{i j} E_{j}+\varepsilon_{0} \sum_{j, k} x_{i j k} E_{j} E_{k}+\ldots,
\]

где индексы $i, j, k$, … нумеруют компоненты величин по осям декартовой системы координат ( $i=x, y, z ; j=x, y, z, \ldots$ ). Поэтому поляризованность в общем случае зависит не только от первой степени напряженности электрического поля, но и от ее высших степеней. Если зависимость от высших степеней существенна, то диэлектрик называется нелинейным. Такая нелинейность проявляется обычно лишь в очень сильных электрических полях, хотя имеются некоторые специальные материалы, в которых нелинейность наблюдается и при сравнительно небольших полях.

Если нелинейность несущественна, то поляризованность выражается через первые степени компонент поля:
\[
P_{i}=\varepsilon_{0} \sum_{j} \varkappa_{i j} E_{j} .
\]

Такой диэлектрик называется линейным. Если свойства такого диэлектрика различны по направлениям, то диэлектрик называют анизотропным. Совокупность девяти величин $x_{i j}$ называется тензором диэлектрической воспринмчивости. Он полностью характеризует электрические свойства диэлктрика. Если свойства диэлектрика по всем направлениям одинаковы, то диэлектрик называется линейным изотропным. У него диэлектрические свойства характеризуются одной скалярной величиной – диэлектрической восприимчивостью.
Для линейного изотропного диэлектрика
\[
\mathbf{P}=x \varepsilon_{0} \mathbf{E}
\]

где $x$-диэлектрическая восприимчивость. В абсолютной системе единиц Гаусса диэлектрической восприимчивостью $x$ называется величина, в $4 \pi$ раз меньшая $x$ в формуле (17.11):
\[
x^{\prime}=x /(4 \pi) \text {. }
\]

Диэлектрическая восприимчивость большинства твердых и жидких диэлектриков выражается числами порядка нескольких единиц. Диэлектрическая восприимчивость большинства газов составляет десятитысячные доли единицы и в большинстве случаев практически может не приниматься во внимание. Однако имеются диэлектрики, у которых восприимчивость достигает очень больших значений. Например, у воды $x=80$, у спирта $x=25-30$, у сегнетоэлектриков (сегнетовая соль, титанаты бария и т. д.) диэлектрическая восприимчивость достигает нескольких тысяч единиц.
77
Поляризация полярных диэлектриков в электрическом поле
78
Механизм ослабления поля прн поляризации
79
Вычислеиие заряда, пересекающего элемент поверхностн при полярнзацин
80
К иахождению выражения для связанного объемного заряда

$\mathbf{B}$ лияние поляризации на электрическое поле. Дипольный момент элемента объема $\mathrm{d} V$ в соответствии с формулой (17.8) равен
\[
\mathrm{d} \mathbf{p}=\mathbf{P} \mathrm{d} V=\chi \varepsilon_{0} \mathbf{E} \mathrm{d} V,
\]
т. е. совпадает по направлению с напряженностью $\mathbf{E}$, поскольку $x>0$. Поэтому напряженность поля, создаваемого дипольным моментом, направлена противоположно напряженности внешнего поля и ослабляет его (рис. 78). Таким образом, в результате поляризации напряженность в диэлектірике ослабляется. Роль поляризации при этом сводится лишь к разделению положительных и отрицательных зарядов, в результате чего в объеме диэлектрика, как и на его поверхности, образуются заряды. Эти заряды называются поляризационными или связанными, так как они как бы привязаны в различных местах диэлектрика и не могут свободно перемещаться по его объему или поверхности. Связанные заряды порождают электрическое поле точно так же, как $и$ свободные заряды, и в этом отношении ничем не отличаются от них. Таким образом, наличие диэлектрика учитывается тем, что принимается во внимание электрическое поле, создаваемое связанными зарядами, возникающими в результате поляризации. Поэтому необходимо найти выражение связанных зарядов.

ббемная и поверхностная плотности связанных зарядов. Рассмотрим элемент $\mathrm{d} S$ поверхности (рис. 79), проведенной внутри неполяризованного диэлектрика. При поляризации электрические заряды приходят в движение сквозь этот элемент поверхности. Вычислим заряд, пересекающий элемент d $S$ при возникновении поляризованности P. Для упрощения формул будем считать, что движутся только положительные заряды. Обозначим: $q$ – заряд диполя; $l$ – плечо диполя, соответствующее поляризованности P; $N$ – концентрацию зарядов. Площадку $\mathrm{d} S$ (см. рис. 67) при возникновении поляризованности $\mathbf{P}$ пересекут все положительные заряды, которые до движения, обусловленного поляризацией, находились в объеме $\mathrm{d} V=\mathrm{d} S h=\mathrm{d} S l \cos \theta$ косого цилиндра с основанием $\mathrm{d} S$. Следовательно,
\[
\mathrm{d} Q=N g l \cos \theta \mathrm{d} S=P \mathrm{~d} S \cos \theta=\mathbf{P} \cdot \mathrm{d} S .
\]

Рассмотрим теперь некоторый объем $V$ (рис. 80). В результате поляризации поверхность $S$, ограничивающую объем $V$, пересекают заряды. В зависимости от баланса втекающих и вытекающих из объема зарядов в нем образуется связанный заряд объемная плотность которого $\rho_{\text {св }}$. С учетом (17.14) запишем закон сохранения заряда в объеме $V$ в виде $\int_{V} \rho_{\mathrm{cB}} \mathrm{d} V=-\int_{S} \mathbf{P} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$. ный по знаку тому, который вытекает через ограничивающую объем поверхность. Перепишем равенство (17.15), применив к правой его части теорему Гаусса – Остроградского:
\[
\int_{V}\left(\rho_{\mathrm{cB}}-\operatorname{div} \mathbf{P}\right) \mathrm{d} V=0 .
\]
Если равенство (17.16) тождественно выполняется при любых $V$, то подынтегральная функция будет тождественно равна нулю. Следовательно,

Таким образом, объемные связанные заряды возникают лиив в том случае, когда поляризованность $\mathbf{P}$ изменяется от точки к точке. Это понятно и без вычислений, поскольку при однородной поляризованности заряды переходят на новое место, занимая места ушедших в таком же количестве зарядов, в результате чего соответствующие части объема диэлектрика остаются электрически нейтральными.

На граниче двух различных диэлектриков возникают поверхностные заряды. Это очевидно из следующих соображений. При одной и той же напряженности электрического поля в различных диэлектриках поляризованность различна. Следовательно, граничная поверхность пересекается разным числом поляризационных зарядов со стороны каждого из диэлектриков. В результате вблизи границы сосредоточится некоторый связанный заряд, который называется поверхностным связанным зарядом. Обозначим $\sigma_{\text {св }}$ – его поверхностную плотность. Для ее нахождения проще всего исходить из формулы (17.17). Построим на границе раздела между диэлектриками прямой цилиндр с площадью основания $\Delta S$ и высотой $h$ (рис. 81) и проинтегрируем обе части уравнения (17.17) по объему этого цилиндра:
$\int_{V} \rho_{\mathrm{cB}} \mathrm{d} V=-\int_{V} \operatorname{div} \mathbf{P} \mathrm{d} V$.
В левой части (17.18) стоит полный заряд внутри объема, т.е. поверхностный заряд $\sigma_{\text {св }} \Delta S$. Правую часть равенства преобразуем по теореме Гаусса – Остроградского в интеграл по поверхности:
\[
\int_{V} \operatorname{div} \mathbf{P} \mathrm{d} V=\int_{S} \mathbf{P} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_{S_{2}} \mathbf{P}_{2} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}_{2}+\int_{S_{1}} \mathbf{P}_{1} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}_{1},
\]
81
К выводу выражения для поверхностной плотности связанных зарядов
82
Поле в конденсаторе при наличии диэлектрика
– Поляризационные (или связанные) заряды возникают в местах изненения поляризованности.
При наличии внешнего злектрического поля натериальные тела сами становят ся источникани электрического поля, в результате чего наблюдаенае лоле изненяется. При зтон злектрические поли в отнощении своих источников ведут себи так, как будто дело происходит в вакууне и никаких натериальных тел нет. Поляризацией называется процесс образования дипольных монентов $у$ макроскопических объемов дизлектрика.

где индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиеся к первому и второму диэлектрикам по разные стороны границы раздела. Поток поляризованности вектора $\mathbf{P}$ слагается из потоков через основания и через боковые поверхности цилиндра. Потоки через боковые поверхности полагаются равными нулю, поскольку в пределе высота $h$ цилиндра стремится к нулю. Выо́ерем в качестве положительной нормали к границе раздела направленную от первого диэлектрика ко второму. Следовательно, $\mathrm{dS}_{2}$ направлен по положительному направлению нормали, $\mathbf{a} \mathrm{dS}_{1}$ – по отрицательному. Поэтому
\[
\int_{S} \mathbf{P} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=P_{2 n} \Delta S-P_{1 n} \Delta S .
\]

Напомним, что интеграл по боковой поверхности не учитывается. Принимая во внимание значение интеграла в левой части уравнения (17.18), окончательно получаем

Поэтому, обозначая $\mathbf{n}_{2}$ – единичный вектор нормали, направленной во вторую среду, формулу (17.21a) можно представить в виде

Полезно заметить, что вакуум также можно рассматривать как диэлектрик, поляризованность которого равна нулю. Формула (17.21) может быть применена к границе между диэлектриком и вакуумом. Принимая в этом случае положительной нормалью внешнюю нормаль к диэлектрику [т.е. считая диэлектрик в формуле (17.21a) средой 1], положим $P_{2 n}=0$. Следовательно [см. (17.21)],
\[
\sigma_{\mathrm{cв}}=P_{n},
\]

где $P_{n}$ – нормальная компонента поляризованности диэлектрика на его границе с вакуумом.

Формулы (17.17) и (17.21) позволяют полностью учесть влияние диэлектрика на электрическое поле. Создаваемая связанными зарядами напряженность поля вычисляется по тем же формулам, по которым определяется напряженность в вакууме, порождаемая свободными зарядами. В частности, потенциал $\varphi_{д}$, создаваемый связанными зарядами диэлектрика, дается формулами (14.35) и (14.36) с заменой в них свободных зарядов на связанные:
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{\mathrm{A}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V} \frac{\rho_{\mathrm{CB}} \mathrm{d} V}{r}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S} \frac{\sigma_{\mathrm{CB}} \mathrm{d} S}{r}= \\
=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V} \frac{-\operatorname{div} \mathrm{P} \mathrm{d} V}{r}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S} \frac{P_{1 n}-P_{2 n}}{r} \mathrm{~d} S .
\end{array}
\]
ектростатическое поле при наличии диэлектриков
Этот потенциал слагается с потенциалом, создаваемым свободными зарядами.

Теперь полезно еще раз в явном виде сформулировать основную идею учета влияния вещества на поле, которая была прослежена на примере проводников и диэлектриков: при наличии внешнего электрического поля вещество само становится источником электрического поля, в результате чего внешнее поле изменяется.

Рассмотрим этот процесс на примере образования поля в плоском конденсаторе, пространство между обкладками которого заполнено диэлектриком (рис. 82). Будем считать, что на обкладках конденсатора находится заряд с поверхностной плотностью $\sigma$. Если между обкладками конденсатора будет вакуум, то $E^{\prime}=\sigma / \varepsilon_{0}$ [см. (16.12)]. Вследствие поляризации диэлектрика напряженность поля уменьшается. Определим поляризованность диэлектрика по формуле (17.11), учитывая, что $E
eq \sigma / \varepsilon_{0}$. Вследствие однородности диэлектрика и однородности поля между параллельными заряженными пластинами эаключаем, что поляризованность диэлектрика однородна, т. е. объемные связанные заряды отсутствуют. Имеются лишь связанные поверхностные заряды, поверхностная плотность которых [см. (17.22)]
\[
\sigma_{\mathrm{cB}}=\chi \varepsilon_{0} E \text {, }
\]

где $E$ – проекция напряженности по внешней нормали диэлектрика. Известно, что напряженность направлена от положительно ,заряженной пластины конденсатора к отрицательно заряженной. Поэтому из (17.24) следует, что поверхностная плотность связанного заряда на границе с положительно заряженной пластиной отрицательна, а на границе с отрицательно заряженной – положительна. Поэтому напряженность поля в диэлектрике между пластинами конденсатора равна напряженности поля в вакууме между теми же пластинами, но при поверхностной плотности заряда $\sigma-\sigma_{с в}$. На основании этого можно написать уравнение для определения неизвестной величины
\[
E=\left(\sigma-\sigma_{\mathrm{cB}}\right) / \varepsilon_{0}=\left(\sigma-\chi \varepsilon_{0} E\right) / \varepsilon_{0} .
\]

Решение этого уравнения имеет вид
\[
E=\sigma /\left[\varepsilon_{0}(1+x)\right]
\]

Электрическое смещение Уравнение (13.19) с учетом связанных зарядов как источников поля может быть записано, очевидно, следующим образом:
\[
\operatorname{div} \mathbf{E}=\rho / \varepsilon_{0}+\rho_{\mathrm{cв}} / \varepsilon_{0} .
\]

Заменяя в (17.27) $\rho_{\text {св }}$ выражением из (17.17), получаем
\[
\operatorname{div}\left(\varepsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P}\right)=\rho .
\]

Вектор называется вектором смещения. $O н$ не является чисто полевым вектором, поскольку учитывает поляризованность среды. Запишем с его помощью уравнения (17.28) в виде

Припоминая смысл дивергенции вектора, из (17.30) можно заключить о преимуществах использования D. Видно, что единственным источником $\mathbf{D}$ являются свободные заряды, на которых этот вектор начинается и заканчивается. В точках без свободных зарядов он непрерывен, включая точки со связанными зарядами. Изменения напряженности поля, обусповленные связанными зарядами, учтены уже в самом векторе D [см. (17.29)].
Выразив Р в (17.29) по формуле (17.11), находим
\[
\mathbf{D}=\left(\varepsilon_{0}+x \varepsilon_{0}\right) \mathbf{E}^{\prime}=\varepsilon \mathbf{E}, \varepsilon=(1+x) \varepsilon_{0},
\]

где $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость. Использование D значительно упрощает анализ поля при наличии диэлектрика. Наряду с $\varepsilon$ удобно использовать также безразмерную величину
\[
\varepsilon_{r}=\varepsilon / \varepsilon_{0}
\]

называемую относительной днэлектрической проницаемостью.
Электростатическая теорема Гаусса при наличии диэлектриков. Умножая обе части (17.30) на $\mathrm{d} V$ и интегрируя по объему $V$, получаем
\[
\int_{V} \operatorname{div} \mathbf{D} \mathrm{d} V=\int_{V} \rho \mathrm{d} V .
\]

Справа в (17.33) стоит полный заряд $Q$ внутри объема, а левая часть преобразуется в интеграл по поверхности с помощью теоремы Гаусса Остроградского. В результате находим формулу

которая называется электростатической теоремой Гаусса при наличии диэлектриков. Она справедлива при любом расположении диэлектриков и граничных поверхностей: часть или весь объем может быть заполнен различными диэлектриками, а поверхность $S$ может проходить как в вакууме, так и пересекать диэлектрики.

Применив формулу (17.34) к точечному заряду $q$, находящемуся в безграничной однородной диэлектрической среде, и взяв в качестве поверхности интегрирования сферу радиусом $r$ с центром в точке нахождения точечного заряда, получим закон Кулона в однородной диэлектрической среде:
\[
\mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon} \frac{q}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r} .
\]

Напряженность поля в среде в $\varepsilon_{r}$ раз меньше, чем в вакууме. Во столько же раз меныше и потенциал точечного заряда. Формула (17.26) показывает, что напряженность поля между обкладками конденсатора при наличии диэлектрика также уменьшается в $\varepsilon_{r}$ раз по сравнению с напряженностью поля в вакууме. Емкость конденсатора увеличивается в $\varepsilon_{r}$ раз.
Граничные условия.Граничными условиями называется связь между векторами поля по разные стороны поверхности, разграничивающей две области. Эта поверхность может разделять вещества с различными свойствами, быть границей тела в вакууме, а может быть, вообще говоря, просто воображаемой поверхностью в однородной среде. Во всех случаях граничные условия позволяют определить изменение векторов поля при переходе через границу. Они выводятся с помощью уравнений поля.
Граничные условия для нормальной составляющей вектора D. Выведем это условие аналогично тому, как было получено граничное условие (17.21). Однако теперь надо исходить из уравнения (17.30), а не (17.17):
83
К выводу граничного условия для тангенциальной составляющей вектора $\mathbf{E}$
84
Преломление силовых линий иа границе между диэлектриками
(17.36)

где $\sigma$ – поверхностная плотность заряда на границе. Нормаль $\mathbf{n}_{2}$ направлена в сторону среды 2. Из (17.36), в частности, можно получить напряженность поля у поверхности заряженного проводника. Приняв внешнюю к проводнику нормаль положительной, мы должны считать в формуле (17.36) вакуум средой 2 , а проводник – средой 1 . В проводнике напряженность $\mathbf{E}$ поля равна нулю, т. е. $D_{1 n}=0$. Следовательно,
\[
D_{n}=\sigma
\]

или
$E_{n}=\sigma / \varepsilon$.
Норнальная составляющаи напряженности электрического поля терпит разрыв на границе между различнымн дизлектрнками и поэтому силовые линии преломляются.
Эта формула совпадает с формулой (16.12) для вакуума, но с заменой $\varepsilon_{0}$ на $\varepsilon$, т. е. напряженностъ поля у поверхности проводниха при иаличии диэлектрика уменьшается в $\varepsilon_{r}=\varepsilon / \varepsilon_{0}$ раз.

Формула (17.38) дает также непосредственно решение задачи о поле в плоском конденсаторе, выраженное соотношением (17.26). При этом нет необходимости учитывать в явном виде связанные поверхностные заряды в диэлектрике между пластинами конденсатора, как это делалось при выводе (17.26).
Г раничные условия для тангенциальной составляющей вектора Е. Построим вблизи границы раздела диэлектриков 1 и 2 замкнутый контур (рис. 83). Вследствие потенциальности электрического поля циркуляция $\mathbf{E}$ по замкнутому контуру равна нулю:
\[
\oint_{A B C D A} \mathbf{E} \cdot \mathrm{dl}=0 .
\]

Интегралы по участкам $B C$ и $D A$ сколь угодно малы, так как $A B$ и $C D$ расположены бесконечно близко к поверхности раздела. Знаки интегралов по $A B$ и $C D$ противоположны ввиду того, что пути интегрирования проходят в противоположных направлениях. Поэтому [см. (17.39)]

Преломление силовых линий на границе раздела диэлектриков. Допустим, что на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов. Тогда
$\varepsilon_{1} E_{1 n}=\varepsilon_{2} E_{2 n}, E_{1 \tau}=E_{2 \mathrm{r}}$
Если $\varepsilon_{2}>\varepsilon_{1}$, тогда $E_{2 n}<E_{1 n}$ и, следовательно, силовые линии ведут себя так, как показано на рис. 84 , т. е. силовые линии удаляются от нормали, входя в диэлектрик с бо́льшей диэлектрической проницаемостью.
3 наки связанных зарядов на границе раздела диэлектриков. Рассмотрим нормальные компоненты напряженности поля и поляризованности на границе раздела диэлектриков. Запишем формулу (17.11) с учетом (17.31) для диэлектриков по разные стороны границы в виде (рис. 85):
$P_{2 n}=\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{0}\right) E_{2 n}, P_{1 n}=\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{0}\right) E_{1 n}$.
Преобразуем формулу (17.21) для поверхностной плотности заряда с учетом (17.32):
$\sigma_{\mathrm{cB}}=P_{1 n}-P_{2 n}=\varepsilon_{1} E_{1 n}-\varepsilon_{2} E_{2 n}-\varepsilon_{0}\left(E_{1 n}-E_{2 n}\right)$.
Если свободные заряды на поверхности отсутствуют, то $\varepsilon_{1} E_{1 n}$ $-\varepsilon_{2} E_{2 n}=0$ и формула (17.43) упрощается:
$\sigma_{c B}=-\varepsilon_{0}\left(E_{1 n}-E_{2 n}\right)$.

Знак повсрхностного заряда и поведение норматьных составляющих напряженности поля и поляризованности при пересечениях границы в различпых направления

Для определенности по-прежнему будем считать, что $\varepsilon_{2}>\varepsilon_{1}$, а $\mathbf{E}$ направлено из первой среды во вторую. Напомним, что в качестве положительной выбрана нормаль, направленная во вторую среду. Тогда в формуле (17.44) $E_{1 n}$ и $E_{2 n}$ положительны, причем $E_{1 n}>E_{2 n}$. Поэтому связанный заряд на границе отрицателен (рис. $85, a$ ). Величины $P_{1 n}$ и $P_{2 n}$ также обе положительны и, следовательно, $P_{2 n}>P_{1 n}$, как это видно из (17.43) при $\sigma_{\text {св }}<0$ (рис. 85, a).

С помощью аналогичных рассуждений можно изучить изменение нормальных составляющих напряженности поля, поляризованности и знака поверхностной плотности заряда, когда напряженность поля направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью (рис. 85,б).
Метод изображений. Идея метода при применении к диэлектрикам такая же, как и при применении к проводникам (см. § 16).

Пусть имеются две бесконечные диэлектрические среды (проницаемости $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$ ) с плоской границей раздела. В первой среде на расстоянии $d$ от границы расположен точечный заряд $q$. Утверждается, что потенциал в первой среде такой же, как от заряда $q$ и его изображения $q^{\prime}=q\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}\right) /\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}\right)$, расположенного во второй среде на расстоянии $d$ от границы (рис. 86, a), причем расчет ведется так, как будто диэлектрическая проницаемость сред равна $\varepsilon_{1}$. Потенциал во второй среде равен потенциалу, создаваемому зарядом $q^{\prime \prime}=2 \varepsilon_{2} q /\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}\right)$, находящимся на месте заряда $q$ в первой среде (рис. 86,б), причем расчет ведется так, как будто диэлектрическая проницаемость сред равна $\varepsilon_{2}$. Таким образом, потенциалы в первой и второй средах равны:
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{1}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{1}}\left\{\frac{1}{\sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}}}+\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}} \frac{1}{\sqrt{(x-d)^{2}+y^{2}}}\right\}, \\
\varphi_{2}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{2}} \frac{2 \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}} \frac{1}{\sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}}} .
\end{array}
\]

Нетрудно проверить, что $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ удовлетворяют уравнению Лапласа и граничным условиям:

Метод изображений в применеиии $\mathbf{x}$ диэлектрикам
\[
\left.\varepsilon_{1} \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x}\right|_{x=0}=\left.\varepsilon_{2} \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x}\right|_{x=0},\left.\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial y}\right|_{x=0}=\left.\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial y}\right|_{x=0}=0,
\]

выражающим непрерывность нормальных компонент D и непрерывность тангенциальных компонент Е. Кроме того, удовлетворяется также требование конечности потенциала:
\[
\left.\varphi_{1}\right|_{x \rightarrow-\infty} \rightarrow 0,\left.\varphi_{2}\right|_{x \rightarrow+\infty} \rightarrow 0 .
\]

По теореме единственности формулы (17.45) представляют искомое решение.

Сила, действующая на заряд $q$, равна силе взаимодействия этого заряда с изображением $\left[\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}\right) /\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}\right)\right] q$, расположенным на расстоянии $2 d$ от заряда $q$ :
\[
F=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{1}}-\left(\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}\right) \frac{q^{2}}{4 d^{2}} .
\]

При $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}$ значение $F$ отрицательно, т.е. $q$ притягивается к границе раздела диэлектриков. Если $\varepsilon_{1}>\varepsilon_{2}$, то $F$ положительно и, следовательно, $q$ отталкивается от границы.
Диэлектрический шар в однородном поле. Найдем с помощью уравнения Лапласа напряженность электрического поля при внесении диэлектрического шара в первоначально однородное электрическое поле. Если линейные размеры обкладок плоского конденсатора достаточно велики, то даже при сравнительно большом расстоянии между ними поле во внутренних областях вдали от краев однородно с большой точностью. Если размеры обкладок увеличиваются до бесконечности с одновременным увеличением до бесконечности расстояния между ними при постоянной поверхностной плотности зарядов на обкладках, то во всем пространстве создается однородное электрическое поле. Поместим в это поле проводящий диэлектрический шар. Ясно, что вследствие поляризации напряженность поля вблизи шара изменится, а на бесконечности останется без изменения. Определим напряженность электрического поля во всем пространстве, включая область внутри диэлектрического шара.

Допустим, что шар радиусом $R$ состоит из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_{1}$, а окружающее пространство за-

Ориентировка системы координат в случае диэлектрической сферы в однородном поле

полнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_{2}$ (рис. 87). Напряженность однородного поля направлена параллельно оси $Z$. Вследствие аксиальной симметрии задачи удобно пользоваться сферической системой координат с полярной осью по оси $Z$.

Для однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью є уравнение Пуассона (15.14) имеет вид
\[

abla^{2} \varphi=-\rho / \varepsilon,
\]

что очевидно из сравнения уравнения (15.10) для вакуума с уравнением (17.30), имеюцим для однородного диэлектрика вид
\[
\operatorname{div} \mathbf{E}=\rho / \varepsilon \text {. }
\]

В сферической системе координат уравнение Пуассона записывается так:
\[
\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial \alpha^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon},
\]

где $\alpha$-аксиальный угол. В данной задаче свободные заряды отсутствуют $(\rho=0)$ и в результате аксиальной симметрии $\partial \varphi / \partial \alpha=0$. Поэтому задача сводится к решению уравнения Лапласа
\[
\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\right)=0
\]

во всем пространстве с соблюдением следующих условий:
1) потенциал $\varphi$ всюду непрерывен и конечен;
2) нормальные компоненты вектора $\mathbf{D}=-\varepsilon \operatorname{grad} \varphi$ непрерывны на границах раздела сред, т. е. на поверхности шара;
3) тангенциальные компоненты вектора $\mathbf{E}=-\operatorname{grad} \varphi$ непрерывны на поверхности шара.

Величины, относяциеся к внутренней области шара, обозначим с индексом 1 , а к внешней – с индексом 2. В математике известно общее решение уравнения (17.52). В данном случае оно значительно упрощается. Непосредственной проверкой можно убедиться, что функции
\[
\varphi_{1}=A_{1} r \cos \theta+A_{2} r^{-2} \cos \theta, \varphi_{2}=-E_{0} r \cos \theta+B_{2} r^{-2} \cos \theta
\]

Линии вектора смещения D для диэлектрического шара во внені нем однородном поле
89
Точечный заряд, окруженный концентрическим с ним слоем диэлектрика
удовлетворяют уравнениго (17.52), где $A_{1}$, $A_{2}$ и $B_{2}$ – постоянные, $E_{0}$ – модуль напряженности однородного поля (на бесконечности).
Поскольку $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ удовлетворяют уравнению (17.52), они представляют потенциал, если удовлетворяют всем требованиям задачи. Потенциал $\varphi_{1}$ относится к внутренней области шара, а $\varphi_{2}-$ к внешней. Из (17.53a) видно, что $\varphi_{1} \rightarrow \infty$ при $r \rightarrow 0$. Поэтому следует считать, что $A_{2}=0$. Условие негрерывности $\varphi$ на границе имеет вид
\[
A_{1} R \cos \theta=-E_{0} R \cos \theta+B_{2} R^{-2} \cos \theta,
\]

откуда
\[
A_{1}=B_{2} R^{-3}-E_{0} \text {. }
\]

Тангенциальная компоизнта вектора $\mathbf{E}$ на поверхности шара равна
\[
E_{\tau}=E_{\theta}=-\left[\frac{1}{r} \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\right]_{r=R} .
\]

Условие $E_{1 \theta}=E_{2 \theta}$ удовлетворяется, если выполняется условие (17.536), т. е. между $A_{1}$ и $B_{2}$ существует соотношение (17.54).

Нормальные составляющие вектора напряженности равны:
\[
\begin{array}{l}
E_{1 n}=E_{1 r}=-\left(\partial \varphi_{1} / \partial r\right)_{r=R}=-A_{1} \cos \theta, \\
E_{2 n}=E_{2 r}=-\left(\partial \varphi_{2} / \partial r\right)_{r=R}= \\
=E_{0} \cos \theta+2 B_{2} R^{-3} \cos \theta .
\end{array}
\]

Из условия $\varepsilon_{1} E_{1 r}=\varepsilon_{2} E_{2 r}$ следует, что
\[
A_{1}=-\left(\varepsilon_{2} / \varepsilon_{1}\right)\left(E_{0}+2 B_{2} R^{-3}\right) \text {. }
\]

Решение системы (17.54) и (17.57):
\[
A_{1}=-\frac{3 \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{2}} E_{0}, B_{2}=\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{2}} R^{3} E_{0} .
\]

Потенциалы внутри и вне шара равны:
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{1}=-\frac{3 \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{2}} E_{0} r \cos \theta, \\
\varphi_{2}=-\left(1-\frac{R^{3}}{r^{3}} \frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{2}}\right) E_{0} r \cos \theta .
\end{array}
\]

Очевидно, что внутри шара напряженность поля постоянна и параллельна оси $Z$ :
\[
E_{1 z}=-\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial z}=-\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial(r \cos \theta)}=\frac{3 \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{2}} E_{0} .
\]

Она является суммой напряженности внешнего поля и напряженности поля, созданного связанными зарядами, возникшими на поверхности шара. Следовательно, напряженность поля, созданного внутри шара связанными зарядами, равна
\[
E_{\mathrm{cB}}=E_{1 z}-E_{0}=\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}\right) E_{0} /\left(\varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{2}\right) .
\]

Она постоянна и направлена по оси $Z$. Распределение зарядов на поверхности шара, которое приводит к постоянной напряженности внутри шара, определяется формулой (16.75). Поэтому можно заключить, что напряженность (17.62) создается связанными зарядами на поверхности шара, плотность которых изменяется с углом $\theta$ так же, как в формуле (16.79), т. е. $\sigma \sim \cos \theta$.

Из (17.62) видно, что при $\varepsilon_{1}>\varepsilon_{2}$ напряженность $\mathbf{E}_{\text {св }}$ направлена противоположно $\mathbf{E}_{o}$ и, следовательно, напряженность внутри шара меньше, чем в исходном однородном поле. При $\varepsilon_{2}>\varepsilon_{1}$ напряженность $\mathbf{E}_{\text {св }}$ совпадает по направлению с $\mathbf{E}_{0}$ и усиливает ее внутри шара. На рис. 88 показаны линии вектора $D$ для случаев $\varepsilon_{1}>\varepsilon_{2}$ (a) и $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}$ (б) и знаки связанных зарядов, которые при этом образуются на поверхности шара. Отметим, что на рис. 88 изображены линии вектора D, а не E, поскольку именно вектор D при отсутствии свободных зарядов непрерывен. При вычерчивании линий вектора $\mathbf{E}$ необходимо изменять их плотность на поверхности шара, где имеются связанные заряды.

Пример 17.1. Найти связанные заряды, поляризованность и напряженность поля, индучированного точечным зарядом $q$, помещенным в чентре двух концентрических сфер радиусами $a_{1}$ и $a_{2}$. Сферический слой заполен веществом с диэлектрической проницаемостью в (рис. 89).

Поле сферически симметрично. Выбрав в качестве $S$ поверхность сферы радиусом $r$ с центром в точке нахождения заряда $q$, по формуле Гаусса $\int_{S} \mathbf{D} \cdot \mathrm{dS}=D, 4 \pi r^{2}=q$ определяем электрическое смещение
\[
D_{r}=\frac{1}{4 \pi} \frac{q}{r^{2}} \text {, }
\]

непрерывное во всем пространстве. Напряженность электрического поля
\[
\begin{array}{l}
E_{r}=\frac{D_{r}}{\varepsilon_{0}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \quad \text { при } r<a_{1}, \\
E_{r}=\frac{D_{r}}{\varepsilon}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon} \frac{q}{r^{2}} \quad \text { \” } a_{1}<r<a_{2}, \\
E_{r}=\frac{D_{r}}{\varepsilon_{0}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \quad \text { \” } a_{2}<r
\end{array}
\]

терпит разрыв на поверхностях сферического слоя при $r=a_{1}$ и $r=a_{2}$.

Поляризованность дается выражениями
\[
P_{r}=D_{r}-\varepsilon_{0} E_{r}=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { при } r<a_{1}, \\
\frac{\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) q}{4 \pi \varepsilon r^{2}} & \” a_{1}<r<a_{2}, \\
0 & » a_{2}<r
\end{array}\right.
\]

и, следовательно, поверхностная плотность связанных зарядов равна:
$\sigma_{\mathrm{cB} 1}=-P_{r}\left(r=a_{1}\right)=-\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) q /\left(4 \pi \varepsilon a_{1}^{2}\right)$,
$\sigma_{\mathrm{cB} 2}=P_{r}\left(r=a_{2}\right)=\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) q /\left(4 \pi \varepsilon a_{2}^{2}\right)$.
Связанные заряды на поверхности сферического слоя вычисляются по формулам :
$q_{\mathrm{cB} 1}=4 \pi a_{1}^{2} \sigma_{\mathrm{cB} 1}=-\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) q / \varepsilon, \quad q_{\mathrm{cB} 2}=4 \pi a_{2}^{2} \sigma_{\mathrm{cB} 2}=\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) q / \varepsilon$.
Они равны по абсолютному значению и противоположны по знаку.
Объемная плотность связанных зарядов везде равна нулю, поскольку
$\rho_{\mathrm{CB}}=-\operatorname{div} \mathbf{P}=-\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} P_{r}\right)=0$.
Поле внутри сферического слоя создается точечным зарядом $q$ и связанным зарядом $q_{\mathrm{cв} 1}$, находящимся на внутренней поверхности слоя. Связанный заряд, расположенный на внешней поверхности сферического слоя, не создает электрического поля в ограничиваемом им объеме. Поэтому напряженность поля точечного заряда $q$ внутри сферического слоя уменьшена на значение напряженности, созданной связанным зарядом $q_{\text {св } 1}=-\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) q / \varepsilon$. При $a_{1} \rightarrow 0$ заключаем, что точечный заряд $q$ в диэлектрике действует как зффективный точечный заряд
$q_{\text {эф }}=q+q_{\mathrm{cB} 1}=\varepsilon_{0} q / \varepsilon$.
Это приводит к ослаблению напряженности электрического поля в диэлектрике.