Излагаются терминология и основные положения теории четырехполюсников.
Определение. Электрическая цепь с двумя входными и двумя выходными клеммами, через которую передается электрическая энергия, называется четырехполюсником. Его символическое изображение показано на рис. 225. Примерами четырехполюсников являются преобразователи амплитуд колебаний, фильтры частот, трансформаторы и т. д. Требуется найти связь между напряжениями и силами токов на входе и выходе четырехполюсника. Если в четырехполюснике отсутствуют источники энергии, то он называется пассивным, если присутствуют то активным. Предполагается, что сила тока, выходящего из клеммы 2 , равна силе тока, входящего в клемму 1 , и аналогично, сила тока, выходящего из клеммы 3, равна силе тока, входящего в клемму 4.
Уравнения. Пусть в четырехполюснике имеется $n$ независимых контуров. Тогда для них можно составить $n$ уравнений для контурных токов вида (48.27):
\[
\sum_{i=1}^{n} Z_{1 i} I_{i}=U_{1}, \sum_{i=1}^{n} Z_{2 i} I_{i}=-U_{2}, \sum_{i=1}^{n} Z_{k i} I_{i}=0 \quad(k=3,4, \ldots, n) .
\]

Знак минус во втором из уравнений (54.1) у $U_{2}$ появился вследствие того, что при написании этих уравнений при избранном направлении положительного обхода напряжения $U_{1}$ и $U_{2}$ проходятся в противоположных направлениях (см. рис. 225). Решение этой системы уравнений таково:
\[
I_{1}=\frac{\Delta_{11}}{\Delta} U_{1}-\frac{\Delta_{21}}{\Delta} U_{2}, I_{2}=\frac{\Delta_{12}}{\Delta} U_{1}-\frac{\Delta_{22}}{\Delta} U_{2},
\]
Несимметричный Т-образиый четьрехполюсних
где $\Delta$ и $\Delta_{i j}$ – определитель и соответствующие дополнения системы уравнений (54.1). Следовательно, между силами токов и напряжениями пассивного четырехполюсника имеются линейные зависимости вида (54.2), которые удобно записать так:
\[
I_{1}=B_{11} U_{1}+B_{12} U_{2}, I_{2}=B_{21} U_{1}+B_{22} U_{2} .
\]

Коэффициенты $B_{i j}$ имеют размерность проводимостей. Поэтому (54.3) называются уравнениями четырехполюсника с коэффициентами в виде проводимостей.

Нетрудңо решить уравнения (54.3) относительно напряжений:
$U_{1}=A_{11} I_{1}+A_{12} I_{2}, U_{2}=A_{21} I_{1}+A_{22} I_{2}$,

где коэффициенты $A_{i j}$ имеют размерность сопротивлений (импедансы). Уравнения (54.4) называются уравнениями четырехполюсника с коэффициентами в виде сопротивлений.
Теорема взаимности. Поскольку у пассивного четырехполюсника коэффициенты $Z_{i j}$ в уравнениях (54.1) симметричны [см. (48.30)]:
$Z_{i j}=Z_{j i}$
можно показать, что коэффициенты $A_{i j}$ в (54.4) в этом случае также симметричны:
$A_{12}=A_{21}$.
Отсюда следует, что
\[
\left(U_{2} / I_{1}\right)_{I_{2}=0}=\left(U_{1} / I_{2}\right)_{I_{1}=0},
\]
т. е. выходное напряжение на разомкнутой паре клемм при заданной силе входного тока не изменяется, если входные и выходные клемиы четырехполюсника поменять местами (теорема взаимности для пассивного четырехполюсника).
Сопротивление четырехполюсника. Сопротивление $A_{21}$ называется взаимным сопротивлением четырехполюсника, поскольку при разомкнутой выходной цепи $\left(I_{2}=0\right.$ ) из второго уравнения (54.4) следует, что
\[
A_{21}=U_{2} / I_{1} .
\]

При этом же условии піевве из уравнений (54.4) дает:
\[
A_{11}=U_{1} / I_{1} \text {. }
\]

Это означает, что $A_{11}$ является входным сопротивлением четырехполюсника при разомкнутой выходной цепи. Аналогичный смысл имеют коэффициенты $A_{12}$ и $A_{22}$ в соответствии с теоремой взаимности.
Простейшие четырехполюсники. С помощью уравнений (54.3) и (54.4) напряжение и силу тока на входе четырехполюсника можно связать с этими же величинами на выходе:
$U_{1}=D_{11} U_{2}+D_{12} I_{2}, I_{1}=D_{21} U_{2}+D_{22} I_{2}$,
где $D_{i j}$ легко выражаются через $B_{i j}$ и $A_{i j}$, входящие в уравнения (54.3) и (54.4); коэффициент $D_{12}$ имеет размерность сопротивления, $D_{21}$ – проводимости; коэффициенты $D_{11}$ и $D_{22}$ безразмерны.

Четырехполюсник называется продольно-симметричным, если при перемене местами входных и выходных клемм силы токов и напряжения в присоединенных к клеммам цепях не изменяются. Из возможности такой замены с помощью (54.9) получаем для симметричных четырехполюсников
$D_{11}=D_{22}$.
Простейшие симметричные четырехполюсники П- и Т-образной формы показаны на рис. 226 и 227 , а несимметричные – на рис. 228 и 229. Коэффициенты $D_{i j}$ для четырехполюсника проще всего найти методом контурных токов. Для этого составляется система уравнений, затем из нее исключаются силы кон̈турных токов внутренних контуров. Оставшиеся два уравнения, в которые входят $U_{1}, U_{2}$ и $I_{1}, I_{2}$, преобразуют к виду (54.9) и из сравнения с (54.9) сразу же получают $D_{i j}$.

Для продольно-симметричного П-образного четырехполюсника (рис. 226) находим:
\[
D_{11}=1+Z Y / 2, D_{12}=Z, D_{11}=Y(1+Z Y / 4) \text {. }
\]

Для продольно-симметричного $\mathrm{T}$-образного четырехполюсника (рис. 227) имеем:
\[
D_{11}=1+Z Y / 2, D_{12}=Z(1+Z Y / 4), D_{21}=Y \text {. }
\]

Непосредственной проверкой убеждаемся, что
\[
D_{11}^{2}-D_{12} D_{21}=1 \text {, }
\]
т. е. детерминант коэффициентов преобразования (54.9) равен единице в случае продольно-симметричных П- и Т-образных четырехполюсников.

Выражения коэффициентов для несимметричных четырехполюсников несколько сложнее и здесь не приведены.
Bходное и выходное сопротивления. Для четырехполюсника они определяются как отношения соответствующих напряжений к силам тока:
\[
Z_{\text {вх }}=U_{1} / I_{1}, Z_{\text {вых }}=U_{2} / I_{2} .
\]
И3 (54.9) с учетом (54.10) – (54.13) находим
$Z_{\text {вх }}=\frac{Z_{\text {вых }}+D_{12} / D_{11}}{1+Z_{\text {вых }} D_{21} / D_{11}}$.
Таким образом, четырехполюсник преобразует выходное сопротивление на входное. При коротком замыкании выхода ( $Z_{\text {вых }}=0$ ) входное сопротивление четырехполюсника равно
$Z_{0 \mathrm{Bx}}=D_{12} / D_{11}$,
а при разомкнутом выходе ( $Z_{\text {вых }}=\infty$ ) оно определяется выражением $Z_{\text {о вх }}=D_{11} / D_{21}$.
Коэффициент передачи. Преобразование напряжений и сил токов характеризуется отношением их значений на выходе к значениям на входе. Аналогично (54.15) получаем:
\[
\begin{array}{l}
U_{2} / U_{1}=Z_{\text {вых }} /\left(Z_{\text {вых }} D_{11}+D_{12}\right), \\
I_{2} / I_{1}=1 /\left(D_{11}+Z_{\text {вых }} D_{21}\right) .
\end{array}
\]

Если четырехполюсник работает без преобразования сопротивления, т. е. когда входное и выходное сопротивления одинаковы, то говорят. что выходное сопротивление согласовано с системой. Подставляя в (54.15) значение сопротивления
\[
Z_{\mathrm{x}}=Z_{\text {вх }}=Z_{\text {вых }}
\]

находим для него значение
\[
Z_{\mathbf{x}}=\sqrt{D_{12} / D_{21}} \text {. }
\]

Эта величина называется характеристическим (волновым) сопротивлением четырехполюсника. Следовательно, четырехполюсник согласован с линией передачи, если его входное и выходное сопротивления равны характеристическому. В этом случае соотношения (54.18) и (54.19) принимают вид:
\[
\begin{array}{l}
U_{2} / U_{1}=1 /\left(D_{11}+\sqrt{D_{12} D_{21}}\right), \\
I_{2} / I_{1}=1 /\left(D_{11}+\sqrt{D_{12} D_{21}}\right) .
\end{array}
\]

C помощью соотношения
$\operatorname{ch} g=D_{11}$
определим коэффициент передачи $g$. Тогда на основании (54.13) получим
\[
\operatorname{sh} g=\sqrt{\operatorname{ch}^{2} g-1}=\sqrt{D_{12} D_{21}} \text {. }
\]

Используя (54.24) и (54.25), преобразуем формулы (54.22) и (54.23) к виду
\[
\begin{array}{l}
U_{2}=U_{1} \mathrm{e}^{-g}, \\
I_{2}=U_{1} \mathrm{e}^{-g} .
\end{array}
\]
Отметим, что выражения (54.26) и (54.27) справедливы только в условиях полного согласования. При отсутствии согласования необходимо пользоваться формулами (54.18) и (54.19).

С помощью коэффициента передачи и характеристического сопротивления формулы (54.18) и (54.19) можно представить так:
$U_{2} / U_{1}=Z_{\text {вых }} /\left(Z_{\text {вых }} \operatorname{chg}+Z_{\text {х }}\right.$ shg $)$,
$I_{2} / I_{1}=Z_{\mathrm{x}} /\left(Z_{\mathrm{x}}\right.$ chg $+Z_{\text {вых }}$ shg $)$.
Как и все величины, входящие в формулы (54.26)-(54.29), коэффициент передачи является комплексной величиной:
\[
g=\alpha+i \beta \text {. }
\]

Как видно из (54.26) и (54.27), в условиях согласований действительная часть коэффициента передачи определяет изменение амплитуд напряжения и сил токов на выходе четырехполюсника по сравнению с их входньми значениями, а мнимая часть – изменение фаз. Действительная часть коэффициента передачи есть просто логарифм отношения амплитуд:
$\alpha=\ln \left(U_{1} / U_{2}\right)$.
Поскольку $g$ зависит от частоты, при проходе через четырехполюсник сигнала, включаючего в себя многие частоты, его спектральный состав, а следовательно, и форма изменяются. Характер изменения частотного и фазового спектра сигнала может быть найден с помощью полученных в этом параграфе формул.