Обсуждаются причины, обусловливающие отличие локального пола от внешнего, и вычисляется напряженпость локального поля для простейших условий.

Отличие локального поля от внешнего. В результате поляризации диэлектрика, помещенного во внешнем поле, сам диэлектрик становится источником электрического поля. Следовательно, поле внутри диэлектрика, которое действует на его молекулы, отличается от внешнего. Оно называется локальным. Отличие локального поля от внешнего особенно существенно для диэлектриков с большой плотностью – жидкостей и твердых тел.
Вычисление напряженности локального поля. Выделим в объеме диэлектрика физически малую сферу, в центре которой вычисляется напряженность локального поля (рис. 100). Возникающая в центре сферы в результате поляризации диэлектрика напряженность состоит из напряженности $\mathbf{E}_{1}$, порождаемой частью диэлектрика, расположенной вне объема, ограниченного сферой, и напряженности $\mathbf{E}_{2}$, создаваемой той частью диэлектрика, которая расположена в объеме, ограниченном сферой.

При вычислении $\mathbf{E}_{1}$ можно предполагать, что диэлектрик – сплошная среда, поскольку расстояние между центром сферы, в которой вычисляется напряженность локального поля, и источниками поля сравнительно велико. Так как сфера имеет физически малый объем, то среду вблизи ее поверхности с внешней стороны можно считать однородно поляризованной. В объеме, ограниченном сферой, необходимо учесть атомарную структуру диэлектрика, т. е. вычислять вклад в напряженность локального поля от дипольного момента каждого атома отдельно, а сферу считать границей между средой вне объема сферы и вакуумом в объеме, ограниченном сферой.

Напряженность в центре сферы создается связанными зарядами на ее поверхности, как на границе раздела между средами с различной диэлектрической проницаемостью. Поверхностная плотность связанных зарядов равна [см. (17.21)]
\[
\sigma_{\mathrm{cв}}=-\left(P_{2 n}-P_{1 n}\right)=-P_{2 n},
\]

где $P_{2 n}$ – нормальная компонента поляризованности с внешней стороны поверхности сферы; $P_{1 n}=0$ – с внутренней. Направив ось $Z$ вдоль вектора постоянной поляризованности $\mathbf{P}$, получим
\[
\sigma_{\mathrm{cB}}=-P_{2 n}=P \cos \theta \text {. }
\]

В телесном угле $\mathrm{d} \Omega$ расположен поверхностный заряд
\[
\mathrm{d} Q=\sigma_{\mathrm{cB}} r^{2} \mathrm{~d} \Omega \text {, }
\]

где $r$ – радиус сферы. Этот заряд в направлении оси $Z$ в центре сферы создает поле с напряженностью
\[
\mathrm{d} E_{z}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathrm{d} Q}{r^{2}} \cos \theta .
\]

Видно, что отличной от нуля является только компонента напряженности поля вдоль оси $Z$. Из (20.4) с учетом (20.3) получаем
\[
\begin{array}{l}
E_{z}=E_{1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} P \int \cos ^{2} \theta \mathrm{d} \Omega=E_{1}= \\
=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} P \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \alpha \int_{0}^{\pi} \cos ^{2} \theta \sin \theta \mathrm{d} \theta=\frac{1}{3 \varepsilon_{0}} P
\end{array}
\]

или в векторной форме

Формула (20.6) справедлива лишь для бесконечного однородного диэлектрика. Если диэлектрик конечен, то напряженность поля в нем зависит, вообще говоря, от его размеров и формы. У однородного диэлектрика объемные поляризационные заряды равны нулю, поскольку $\rho_{\mathrm{cв}}=-\operatorname{div} \mathbf{P}=-\chi \varepsilon_{0} \operatorname{div} \mathbf{E}=0$. Поэтому отличие напряженности поля конечного диэлектрика от напряженности $\mathbf{E}_{1}^{\prime}$ бесконечного диэлектрика обусловливается напряженностью полей связанных зарядов, возникающих на внешней поверхности тела. Это поле называют иногда деполяризующим, поскольку оно уменьшает напряженность поля.

Напряженность $\mathbf{E}_{2}$ зависит от распределения дипольных моментов молекул внутри выделенной физически малой сферы и не может быть представлена какой-то универсальной формулой. Вычислим напряженность для случая, когда молекулы расположены в узлах кубической кристаллической решетки, а все дипольные моменты имеют одинаковое направление в пространстве. Это условие выполняется для индуцированных дипольных моментов. Напряженность $\mathbf{E}_{2}$ надо найти в точке расположения одной из молекул,
100
К вычислению локального поля
– Молекулярная дизлектрнческая восприиччивость не зависит существенно ат плотности вещества и темп сротуры.
Дизлектрическая проницаемость неполярного диэлектрика от температуры может зависеть лишь неявно, посредством зависимости концентрации молекул от температуры.
Локальное поле, действующее на молекуль диэлектрика, отличается от внешнего потому, что сам дизлектрик во внешнем поле становится источникоп дополнительного поกя.
О Какие основные факторы обусловливают различие между диэлектрическими свойствами разреженных и плотных газов? В чем эти различия состоят?
Какие физические факторы обусловливают независимость диэлектрической проницаемости неполярных дизлектриков от температуры в достаточио широких пределах?

т. е. в узле кристаллической решетки. Поместим начало координат в эту точку, а оси $X . Y, Z$ направим по ребрам решетки. Воспользуемся формулой (16.85), которая в данном случае для $x$-проекции напряженности имеет вид
\[
E_{2 x}=\frac{p_{x}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{i} \frac{-r_{i}^{2}+3 x_{i}^{2}}{r_{i}^{5}}+\frac{p_{y}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{i} \frac{3 x_{i} y_{i}}{r_{i}^{5}}+\frac{p_{z}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{i} \frac{3 x_{i} z_{i}}{r_{i}^{5}} .
\]

Здесь суммирование проводится по всем молекулам физически малого объема внутри сферы. Аналогичные формулы можно написать также для $y$ и $z$-компонент поля.

В формуле (20.7) можно сначала вычислить сумму по всем молекулам, находящимся в малом сферическом слое радиусом $r$, а затем вычислить сумму по сферическим слоям, соответствующим различным $r$. При первом суммировании вследствие кубической симметрии имеем:
\[
\sum_{i} x_{i}^{2}=\sum_{i} y_{i}^{2}=\sum_{i} z_{i}^{2}=\frac{1}{3} \sum_{i} r_{i}^{2}, \quad \sum_{i} x_{i} y_{i}=\sum_{i} y_{i} z_{i}=\sum_{i} z_{i} x_{i}=0 .
\]

Следовательно, (20.7) с учетом (20.8) принимает вид
\[
E_{2 x}=0 \text {. }
\]

Аналогично доказывается, что $E_{2 y}=E_{2 z}=0$. Поэтому окончательно получаем
\[
E_{2}=0 \text {. }
\]

Таким образом, напряженность локального поля, действующего на молекулу внутри диэлектрика, равна
\[
\mathbf{E}^{*}=\mathbf{E}+\mathbf{P} /\left(3 \varepsilon_{0}\right) \text {. }
\]

Эту формулу надо рассматривать лить как первое приближение, поскольку реальный диэлектрик отличается от модели, с помощью которой эта формула получена. В частности, электрические поля молекул могут существенно отличаться от полей диполей, решетка диэлектрика может иметь другую симметрию, дипольные моменты молекул могут иметь неодинаковые направления и т.д.

Локальное поле, действующее на молекулы диэлектрика, отличается от внешнего потому, что сам диэлектрик во внешнем поле становится источником дополнительного поля.