Обсуждаются два аспекта попятия сохранения заряда. Даются интегральная и дифференциальная формулировки закона сохранения заряда.
Два аспекта понятия сохранения заряда. В понятие «сохранение заряда» включаются две группы совершенно различных фактов: 1) электрон и протон являются материальными частицами с бесконечным временем жизни, а их элементарные электрические заряды инвариантны и не зависят от скорости. Следовательно, их заряды существуют без изменения столь долго, сколь долго существуют протоны и электроны, независимо от того, как они движутся, т.е. при любых движениях заряд сохраняется. В этом аспекте закон сохранения заряда является просто следствием неуничтожимости носителей заряда как физических объектов и инвариантности заряда; 2) кроме протонов и электронов существует большое число других заряженных элементарных частич. Все они порождаются, порождают другие частичы и уничтожаются в различных прочессах взаимопревращений. Весь громадный экспериментальный материал свидетельствует, что каков бы ни был прочесс взаимопреврачения частич, суммарный заряд частич до взаимопревращения равен суммарному заряду частич после взаимопревращения. Например, при $\beta$-распаде до испускания электрона ядро имеет некоторый положительный заряд $Z e^{(+)}$. После испускания электрона положительный заряд ядра увеличивается на один элементарный положительный заряд и становится равным $(Z+1) e^{(+)}$. Однако в сумме с отрицательным зарядом испущенного электрона система «ядро + + электрон» имеет прежний заряд $(Z+1) e^{(+)}-\left|e^{(-)}\right|=Z e^{(+)}$. В качестве другого примера можно привести порождение $\gamma$-квантом пары электрон – позитрон. Исходная частица – $\gamma$-квант – нейтральна. Она превращается в пару частиц, суммарный заряд которых равен нулю, что доказано с большой точностью при измерении положительного заряда позитрона. Исследовано громадное число взаимопревращений элементарных частиц и во всех процессах соблюдается равенство суммарного заряда до процесса и после процесса, или, иначе говоря, соблюдается закон сохранения заряда. Благодаря этому заряд приобретает в некотором смысле существование, независимое от носителей, и закон его сохранения может быть сформулирован следующим образом: заряд сохраняется при всех прочессах и движениях, связанных с носителями зарядов.
Однако, несмотря на относительную самостоятельность, заряд не может существовать независимо от носителей заряда или вне пространства и времени. Это означает, что заряд не является самостоятельной суцностью, независимой от материи, он выражает одно из свойств материи. Выяснение природы этой связи – одна из труднейших проблем современной физики. Еще не ясно, почему существует только один элементарный заряд и почему он равен $|e|$, а не какому-то другому значению.
Интегральная формулировка закона сохранения заряда. Исходя из закона сохранения заряда как экспериментального факта, выразим его в виде утверждения о том, что изменение заряда в некотором объеме $V$ может произойти только в результате втекания или вытекания заряда через замкнутую поверхность $S$, ограничивающую объем:
Левая часть (5.1) определяет скорость изменения заряда в объеме, а правая – силу тока через поверхность, ограничивающую объем. Знак минус учитывает, что если положительный заряд внутри объема уменьтается, то плотность тока направлена из объема V. Напомним, что у замкнутых поверхностей положительной нормалью считается внешняя нормаль. Следовательно, вектор dS в (5.1) направлен по внешней нормали к поверхности (рис. 11).
Дивергенция. Для описания процессов, связанных с порождением, уничтожением и сохранением физических величин, важную роль играет математическое понятие дивергенции.
Пусть имеется вектор $\mathbf{A}(x, y, z)$, определенный во всех точках пространства. Рассмотрим некоторую поверхность $S$ (рис. 12). Интеграл $\Phi_{A}=\int_{S} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$
называется потоком вектора $\mathbf{A}$ через поверхность $S$. Причина для такого названия состоит в следующем. Предположим, что имеется костер, плотность дыма от которого равна $\rho$, а скорость дыма в различных точках пространства есть v. Выберем в качестве вектора $\mathbf{A}$ величину $\rho \mathbf{v}$. Тогда интеграл (5.2) с учетом рис. 9 определяет массу дыма, проходящего сквозь поверхность $S$ в секунду. В применении к электрическому заряду аналогичное представление уже использовалось в равенстве (4.14). По аналогии с (5.1) заключаем, что поток вектора А сквозь замкнутую поверхность характеризует интенсивность порождения или уничтожения А внутри объема, ограниченного поверхностью. Таким образом, поток вектора $\rho \mathbf{v}$ сквозь замкнутую поверхность характеризует интенсивность порождения дыма внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью. Такую же интерпретацию имеет равенство (5.1) в применении к электрическим зарядам. Можно сказать, что интеграл (5.2) характеризует суммарную мощность источников вектора А внутри объема.
Дивергенция характеризует мочность источников и определяется формулой
\[
\operatorname{div} \mathbf{A}=\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\oint_{\Delta S} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}}{\Delta V},
\]
где $\Delta S$ – бесконечно малая замкнутая поверхность, ограничивающая бесконечно малый объем $\Delta V$.
Найдем выражение для $\operatorname{div} \mathbf{A}$ в декартовых прямоугольных координатах. Для этого вычислим поток вектора А сквозь поверхность куба (рис. 13) со сторонами $\Delta x, \Delta y$, $\Delta z$, центр которого имеет координаты ( $x, y$, z). Координаты середин граней равны ( $x+$ $+\Delta x / 2, y, z),(x-\Delta x / 2, y, z),(x, y+\Delta y / 2, z)$, $(x, y-\Delta y / 2, z),(x, y, z+\Delta z / 2),(x, y, z-\Delta z / 2)$. Подынтегральное выражение (5.3) в координатах имеет вид
\[
\mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=A_{x} \mathrm{~d} S_{x}+A_{y} \mathrm{~d} S_{y}+A_{z} \mathrm{~d} S_{z},
\]
тде
\[
\mathrm{d} S_{x}= \pm \mathrm{d} y \mathrm{~d} z, \mathrm{~d} S_{y}= \pm \mathrm{d} z \mathrm{~d} x, \mathrm{~d} S_{z}= \pm \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
\]
Положительной нормалью $у$ замкнутых поверхностей является внешняя нормаль
12
Поток вектора А сквозь поверхность
Каким требованиям должен удовлетворять бесконечно малый физический объем? При каких условиях можно пользоваться понятием непрерьвного распределения зарядов? Всегда ли можно определить объемную плотность заряда? Приведите примеры.
При каких условиях можно пользоваться представлением о поверхностных зарядax?
В каком соотношении находится направление вектора плотности тока к направлению вектора скорости заряда?
Поток вектора сквозь поверхность куба сводится к сумме потоков через его грани
К выводу формулы Гаусса – Остроградского
причем знак этих величин определяется направлением внешней нормали к грани относительно положительного направления соответствующей оси. Например, $\mathrm{d} S_{y}$ по правой грани ( $x, y+\Delta y, z)$ имеет положительное значение, а по левой грани – отрицательное. Интеграл по поверхности куба сводится к сумме интегралов по ее граням.
Вычислим, например, интеграл по граням, перпендикулярным оси $Y$. На этих гранях $\mathrm{d} S_{x}=0, \mathrm{~d} S_{y}= \pm \mathrm{d} z \mathrm{~d} x, \mathrm{~d} S_{z}=0$ и, следовательно, сумма в правой части (5.4) сводится к одному слагаемому $A_{y} \mathrm{~d} S_{y}$. Обозначив площади поверхностей граней $\Delta S_{y 1}$ (левая) и $\Delta S_{y 2}$ (правая), запишем:
\[
\begin{array}{l}
I_{y}=\oint_{\Delta S_{y 1}+\Delta S_{y 2}} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_{\Delta S_{y 1}} A_{y} \mathrm{~d} S_{y}+\int_{\Delta S_{y 2}} A_{y} \mathrm{~d} S_{y}= \\
=\int_{\Delta S_{y 1}} A_{y}(x, y-\Delta y / 2, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+ \\
+\int_{\Delta S_{y 2}} A_{y}(x, y+\Delta y / 2, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z .
\end{array}
\]
Знак минус у первого интеграла в правой части (5.6) учитывает, что внешняя нормаль к левой грани $\Delta S_{y 1}$ направлена в сторону отрицательных значений $y$. Для дальнейших вычислений представим $A_{y}$ в виде ряда Тэйлора по $\Delta y$ :
\[
\begin{array}{l}
A_{y}(x, y+\Delta y / 2, z)=A(x, y, z)+ \\
+(\Delta y / 2) \partial A_{y}(x, y, z) / \partial y+O\left[(\Delta y)^{2}\right] \\
A_{y}(x, y-\Delta y / 2, z)=A(x, y, z)- \\
-(\Delta y / 2) \partial A_{y}(x, y, z) / \partial y+O\left[(\Delta y)^{2}\right],
\end{array}
\]
где $O\left[(\Delta y)^{2}\right]$ – члены высшего порядка малости по $\Delta y$. Подставляя (5.7) в (5.6), находим
\[
I_{y}=\Delta y \int_{\Delta S_{y}} \frac{\partial A_{y}(x, y, z)}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+O\left[(\Delta y)^{2}\right],
\]
где учтено, что площади поверхностей $\Delta S_{y 2}$ и $\Delta S_{y 2}$ равны и имеют одинаковые координаты по осям $X, Z$.
Интеграл в (5.8) можно вычислить, разлсжив подынтегральное выражение в ряд, считая $z$ и $x$ переменными интегрирования, а отнюдь не координатами центра граней. Если под $x$ и $y$ понимать координаты центра граней, то переменные удобно заменить по формулам:
$x \rightarrow x+\xi, z \rightarrow z+\eta, \mathrm{d} x \mathrm{~d} z \rightarrow \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta$,
\[
\int_{\Delta S_{y}} \frac{\partial A_{y}(x, y, z)}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z=\int_{\Delta S_{y}} \frac{\partial A_{y}(x+\xi, y, z+\eta)}{\partial y} \mathrm{~d} \xi \mathrm{d} \eta,
\]
где $x, z$ в правой части (5.10) – координаты центра граней, т.е. постоянны при вычислении (5.10). Выражение $\partial A_{y} / \partial$ можно разложить в ряд по $\xi, \eta$ :
$\frac{\partial A_{y}(x+\xi, y, z+\eta)}{\partial y}=\frac{\partial A_{y}(x, y, z)}{\partial y}+\xi \frac{\partial^{2} A_{y}(x, y, z)}{\partial x \partial y}+$
$+\eta \frac{\partial^{2} A_{y}(x, y, z)}{\partial z \partial y}+0\left(\xi^{2}, \eta^{2}\right)$
где $\xi$ и $\eta$ при интегрировании изменяются от 0 до $\pm \Delta x / 2$ и $\pm \Delta z / 2$ и имеют, следовательно, тот же порядок малости, что и $\Delta x$ и $\Delta z$. Подставим (5.11) в (5.10):
\[
\begin{array}{l}
\int_{\Delta S_{y}} \frac{\partial A_{y}(x+\xi, y+z+\eta)}{\partial y} \mathrm{~d} \xi \mathrm{d} \eta=\frac{\partial A_{y}}{\partial y} \int_{\Delta S_{y}} \mathrm{~d} \xi \mathrm{d} \eta+\frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial x \partial y} \int_{\Delta S_{y}} \xi \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta+ \\
+\frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial z \partial y} \int_{\Delta S_{y}} \eta \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta+\ldots=\frac{\partial A_{y}}{\partial y} \Delta x \Delta y \Delta z+0\left[(\Delta x)^{2},(\Delta z)^{2}\right] .
\end{array}
\]
Тогда для (5.8) получаем
\[
\boldsymbol{I}_{y}=\frac{\partial A_{y}(x, y, z)}{\partial y} \Delta x \Delta y \Delta z+0\left[(\Delta x \Delta y \Delta z)^{2}\right] .
\]
Аналогично вычислим потоки через другие пары граней:
\[
\oint_{\mathbf{S}} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\left(\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\right) \Delta x \Delta y \Delta z+0\left[(\Delta x \Delta y \Delta z)^{2}\right] .
\]
Подставляя (5.14) в (5.3) и учитывая, что объем куба равен $\Delta V=\Delta x \Delta y \Delta z$, находим
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{div} \mathbf{A}=\lim _{\Delta V \rightarrow 0}\left\{\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}+0\left[(\Delta x \Delta y \Delta z)^{2}\right] /(\Delta x \Delta y \Delta z)\right\}= \\
=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z},
\end{array}
\]
поскольку слагаемое, зависящее от ( $\Delta x \Delta y \Delta z$ ), при переходе к пределу обращается в нуль. Формула позволяет вычислить дивергенцию в декартовых координатах,
Формула Гаусса – Остроградского. Эта формула связывает мошность источников с потоками порождаемых ими векторов и играет важную роль в теории электричества. Разобъем объем $V$, ограниченный поверхностью $S$ (рис. 14,a), на большое число малых объемов $\Delta V_{i}$, поверхности которых $\Delta S_{i}$.
Формулу (5.3) можно представить в виде
$(\operatorname{div} \mathbf{A})_{i} \Delta V_{i} \approx \oint_{\Delta S_{i}} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$,
где $(\operatorname{div} \mathbf{A})_{i}$ означает $\operatorname{div} \mathbf{A}$ в $i$-м объеме. В (5.17) поставлен знак приближенного равенства, поскольку $\Delta V_{i}$ хотя мал, но конечен. При неограниченном уменьшении $\Delta V_{1}$ соогношение (5.17) становится точным. Просуммируем обе части (5.17) по всем ячейкам объема $V$ :
$\sum_{i}(\operatorname{div} \mathbf{A})_{i} \Delta V_{i} \approx \sum_{\Delta S_{i}} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$.
Сумма в правой части может быть преобразована следующим образом. Соседние между собой ячейки имеют общую поверхность соприкосновения. Все внутренние ячейки находятся в соприкосновении всей своей поверхностью с соседними ячейками. Поэтому в сумму правой части (5.18) интеграл по каждой поверхности внутри объема $V$ входит дважды как интеграл по соприкасающимся частям соседних ячеек (рис. 14,6; dS $\mathbf{S}_{i}$ противоположно $\mathrm{dS}_{j}$ ). Поскольку направление нормалей в каждой паре этих интегралов противоположно, а вектор $\mathbf{A}$ имеет один и тот же модуль, эти интегралы равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку. Следовательно, в сумме они дают нуль, и соответственно в правой части (5.18) все интегралы по поверхности соприкосновения ячеек внутри объема $V$ в сумме дают нуль и остается лишь сумма интегралов по тем частям ячеек на границе объема $V$, которая не соприкасается с другими ячейками. Сумма плоцадей этих внешних поверхностей ячеек, лежащих на границе объема $V$, составляет площадь поверхности $S$, ограничивающей объем $V$ Следовательно,
$\sum_{i} \oint_{\Delta S_{1}} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_{S} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$,
причем это точное равенство, справедливое при любом разбиении объема $V$ на ячейки $\Delta V_{i}$.
Левая часть (5.18) при $\Delta V_{i} \rightarrow 0$ может быть выражена в виде интеграла:
\[
\lim _{\Delta V_{i} \rightarrow 0} \sum_{\Delta V_{i}}(\operatorname{div} \mathbf{A})_{i} \Delta V_{i}=\int_{V} \operatorname{div} \mathbf{A} \mathrm{d} V .
\]
Подставив (5.19) в (5.18) и перейдя к пределу, получим формулу
—————————————————————-
0048_fiz_ob_matveev_03_no_photo_page-0043.jpg.txt
§ 5 Закон сохранения заряда
43
которая называется формулой Гаусса-Остроградского. Она связывает интеграл по объему от дивергенции вектора с потоком этого вектора сквозь замкнутую поверхность, ограничиваючую объем В математике указываются условия применимости этой формулы, которые здесь не перечисляются, поскольку в большинстве физически реальных ситуаций они автоматически выполняются
Дифференциальная формулировка закона сохранения заряда. В формуле (51) объем $V$ и поверхность $S$ не изменяются с течением времени Следовательно, производную по времени в левой части (51) можно ввести под знак интеграла $\mathrm{C}$ другой стороны, правую часть равенства можно по формуле Гаусса – Остроградского преобразовать в интеграл по объему
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} \rho \mathrm{d} V=\int_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t} \mathrm{~d} V, \quad \oint_{S} \mathbf{j} \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_{V} \mathrm{~d} v \mathbf{j} \mathrm{d} V
\]
Перенося все члены в (5.1) в левую часть и принимая во внимание (522), получаем
\[
\int_{V}\left(\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \mathbf{j}\right) \mathrm{d} V=0
\]
Это равенство справедливо для любого объема Очевидно, что подынтегральное выражение тождественно равно нулю Доказательство производят от противного Если в некоторой точке подынтегральное выражение не равно нулю, то в качестве $V$ можно взять маленький объем вблизи этой точки, в пределах которого подынтегральное выражение сохраняет знак Интеграл по этой области не равен нулю, что противоречит исходному равенству (523) Поэтому подынтегральное выражение равно нулю во всех точках. Тогда
Равенство (524) является выражением закона сохранения заряда в дифференциальной форме Оно называется также уравнением непрерывности.
Пример 5.1. Вычислить поток радиус-вектора сквозь поверхность круглого чи индра (рис 15) Расчет произвести непосредственно и с помощъю фориулы Гаусса-Остроградского
Поместим начало координат в центр основания цилиндра и направим ось $Z$ вдоль оси цилиндра (см рис 15) Тогда
\[
\int_{S} r \mathrm{~d} S=\int_{S_{\mathrm{H}}} \mathbf{r} \mathrm{d} S+\int_{S_{\mathrm{B}}} \mathbf{r} \mathrm{d} S+\int_{S_{\text {бок }}} r \mathrm{~d} S,
\]
К вычисленню потока радиусвектора через поверхность прямого цнлнндра
где $S_{11}, S_{\text {в }}$ и $S_{\text {бок }}$ – соответственно площади нижнего и верхнего оснований цилиндра и боковой поверхности. Имеем:
\[
\int_{S_{\mathrm{n}}} \mathbf{r} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=0, \quad \int_{S_{\mathrm{B}}} \mathbf{r} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=h \pi a^{2},
\]
поскольку для точек на поверхности нижнего и верхнего оснований $\mathbf{r} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=r \mathrm{~d} S \cos (\mathbf{r}, \widehat{\mathrm{d} S})=0$, $\wedge$ $\mathbf{r} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=r \mathrm{~d} S \cos (\mathbf{r}, \widehat{\mathrm{d} \mathbf{S}})=h \mathrm{~d} S$. Наконец, для интеграла по боковой поверхности $\int_{s_{6} \mathrm{r}} \mathbf{r} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=a 2 \pi a h$, $s_{6 \text { кк }}$
поскольку для точек на боковой поверхности $\mathbf{r} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=a \mathrm{~d} S$. Следовательно,
\[
\int_{S} \mathbf{r} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=3 \pi a^{2} h .
\]
По теореме Гаусса – Остроградского
$\int_{S} \mathbf{r} \cdot \mathrm{dS}=\int_{V} \operatorname{div} \mathbf{r} \mathrm{d} V=3 \pi a^{2} h$,
где $\operatorname{div} \mathbf{r}=3, V=\pi a^{2} h$ (объем прямого круглого цилиндра).
