Обсуждаются интегральная и дифференчиальная формулировки потенциальности поля. Вводится скалярный потенциал и рассматриваются его свойства. Вычисляется потенциал зарядов, распределенных в конечной области пространства. Доказывается теорема Ирншоу.

Работа в электрическом поле. Так как сила, действующая в электрическом поле на точечный заряд $q$, равна $\mathbf{F}=q \mathbf{E}$, то при перемещении заряда на dІ совершается работа
$\mathrm{d} A=\mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=q \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{L}$
Удельная работа при перемещении заряда определяется как отношение работы к заряду:
$\mathrm{d} \boldsymbol{A}^{\prime}=\mathrm{d} \boldsymbol{A} / q=\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}$.
Она выражается в джоулях на кулон. Из (14.2) видно, что работа, совершаемая полем, считается положительной, а внетними относительно поля силами – отрицательной. Это условие знаков аналогично тому, которое используется в термодинамике для работы системы.

При перемещении заряда из точки 1 в точку 2 по траектории $L$ (рис. 36) удельная работа равна
\[
A^{\prime}=\int_{\substack{(1)}}^{(2)} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \text {. }
\]

Потенциальность кулоновского поля. Поле сил называется потенциальным, если работа при перемещении в этом поле зависит лишь от начальной и конечной точек пути и не зависит от траектории. Другим эквивалентным определением потенциальности является требование равенства работы нулю при перемещении по любому замкнутому контуру.
Известно, что сила тяжести точечной массы, убывающая обратно пропорционально квадрату расстояний, является потенциальной, причем ее потенциальность обусловлена именно этой зависимостью от расстояния. Поскольку кулоновская сила точечного заряда убывает по такому же закону, она потенциальна. Вся математическая часть учения о потенциале была разработана в рамках теории тяготения. Понятие о потенциале возникло в работах Ж. Л. Лагранжа (1736-1813) в 1777 г., хотя для функции, являющейся потенциалом, он еще не употребил этого названия. Термин «потенциал» был введен в науку в 1828 г. Дж. Грином и независимо К. Ф. Гауссом ( $1777-1855)$. Большой вклад в теорию потенциала был внесен П. С. Лапласом $(1749-1827)$ и С. Д. Пуассоном ( $1781-1840)$.

На основании принципа суперпозцци из потенциальности поля точечного заряда следует потенциальность произвольного электростатического поля. Математическое доказательство этого утверждения
\[
\oint \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=\oint\left(\sum_{i} \mathbf{E}_{i}\right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=\sum_{i} \oint \mathrm{E}_{i} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=\sum_{i} 0=0,
\]

где
\[
\mathbf{E}=\sum \mathbf{E}_{i}, \oint \mathbf{E}_{i} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=0 .
\]

Ротор вектора. Критерий потенцнальности поля, который был использован до сих пор, не является дифференциальным и применять его не всегда легко и эффективно. Его применение сводится к проверке утверждения о том, что работа по любому замкнутому пути равна нулю. Это означает необходимость исследования бесконечного числа замкнутых путей, что в общем случае невозможно. Критерий можно применить лишь тогда, когда известно общее выражение для работы по любому пути в виде аналитической формулы. Получить такую формулу удается только в редких случаях. Поэтому желательно найти другой критерий потенциальности, который легко и удобно использовать на практике. Таким критерием является дифференциальная формулировка, которая дастся с помощью ротора вектора.

Прежде всего рассмотрим векторное определение ротора А, обозначаемого $\operatorname{rot} \mathbf{A}$. Вектор определяется тремя составляющими, не лежащими в одной плоскости. Выберем некоторое направление, характеризуемое единичным вектором $\mathbf{n}$. В плоскости, перпендикулярной $\mathbf{n}$, ограничим площадь $\Delta S$ очень малым замкнутым контуром $L$ (рис. 37). На контуре $L$ направление положительного обхода обычно связано c n правилом правого винта. Ротором называется вектор, проекция которого на направление $\mathbf{n}$ определяется формулой
\[
\operatorname{rot}_{n} \mathbf{A}=\lim _{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\oint \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}}{\Delta S} .
\]

Ротор характеризует интенсивность «завихрения» вектора, что отражено в названии операции. Пусть, например, вектор А равен скорости
К определеиню ротора в координатах
$\overline{\mathbf{v}}$ точек твердого тела, вращающегося с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, коллинеарной с n. Найдем $\operatorname{rot}_{n} v$ для точек оси вращения. В качестве контура $L$ выберем окружность радиусом $r$ с центром на оси и лежащую в плоскости, перпендикулярной оси. Очевидно, имеем $v=\omega r, \Delta S=\pi r^{2}$ и $\mathbf{A} \cdot \mathrm{dl}=$ $=v \mathrm{~d} l$, где $\mathrm{d} l-$ скалярное значение элемента окружности. Поэтому на основании (14.6) получаем
\[
\operatorname{rot}_{n} \mathbf{v}=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\omega r \oint \mathrm{d} \mathbf{l}}{\pi r^{2}}=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\omega r 2 \pi r}{\pi r^{2}}=2 \omega,
\]

где $\oint \mathrm{d} l=2 \pi r$ – длина окружности. Таким образом, ротор линейной скорости точек врацающегося абсолютно твердого тела равен удвоенной угловой скорости его вращения. Можно показать, что это утверждение справедливо не только для точек на оси вращения, но и для всех точек.

При практическом вычислении ротора удобнее вместо (14.6) пользоваться координатными формулами. Найдем проекции rot $\mathbf{A}$ в прямоугольной декартовой системе координат. Возьмем для примера ось $Z$ (рис. 38). Контуром $L$ является прямоугольник со сторонами $\Delta x, \Delta y$. Направление положительного обхода указано на рисунке. В этом случае
\[
\begin{array}{l}
\oint_{L} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{I}=\int_{(x, y, z)}^{(x+\Delta x, y, z)} A_{x}(x, y, z) \mathrm{d} x+ \\
+\int_{(x+\Delta x, y, z)}^{(x+\Delta x, y+\Delta y, z)} A_{y}(x+\Delta x, y, z) \mathrm{d} y+ \\
+\int_{(x+\Delta x, y+\Delta y, z)}^{(x, y+\Delta y, z)} A_{x}(x, y+\Delta y, z) \mathrm{d} x+ \\
+\int_{(x, y+\Delta y, z)}^{y, z)} A_{y}(x, y, z) \mathrm{d} y,
\end{array}
\]

где интегрирование производится вдоль сторон прямоугольника между его вершинами, координаты которых обозначены в (14.8) как пределы интегрирования. Учитывая, что $\Delta x$ и $\Delta y$ являются сколь угодно малыми, можно в подынтегральных выражениях второго и третьего интегралов произвести разложение $A_{y}$ и $A_{x}$ в ряд по $\Delta x$ и $\Delta y$ и ограничиться линейными членами:
\[
\begin{array}{l}
A_{x}(x, y+\Delta y, z)=A_{x}(x, y, z)+\Delta y \frac{\partial A(x, y, z)}{\partial y}+\ldots \\
A_{y}(x+\Delta x, y, z)=A_{y}(x, y, z)+\Delta x \frac{\partial A_{y}(x, y, z)}{\partial x}+\ldots
\end{array}
\]

Вычислим сумму первого и третьего интегралов:
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=\int_{(x, y, z)}^{(x+\Delta x, y, z)} A_{x}(x, y, z) \mathrm{d} x+\int_{(x+\Delta x, y+\Delta y, z)}^{(x, y+\Delta y, z)} A_{x}(x, y+\Delta y, z) \mathrm{d} x= \\
=\int_{(x+\Delta x, y, z)} A_{x}(x, y, z) \mathrm{d} x-\int_{(x, y, z)}^{(x+\Delta x, y, z)}\left[A_{x}(x, y, z)+\Delta y \frac{\partial A_{x}(x, y, z)}{\partial y}\right] \mathrm{d} x,
\end{array}
\]

где при вычислении второго интеграла в (14.10) использована формула (14.9a), а знак минус появился вследствие изменения направления интегрирования на обратное. В (14.10) члены, содержащие в подынтегральных выражениях $A_{x}(x, y, z)$, взаимно уничтожаются и поэтому
\[
I_{1}=-\frac{\partial A_{x}(x, y, z)}{\partial y} \Delta y \Delta x \text {. }
\]

Аналогично вычисляем сумму второго и четвертого интегралов B (14.8):
\[
I_{2}=\frac{\partial A_{y}(x, y, z)}{\partial x} \Delta x \Delta y \text {. }
\]

По формуле (14.6) находим
\[
(\operatorname{rot} \mathbf{A})_{z}=\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y} \text {. }
\]

Аналогично вычисляем проекции на другие оси координат:
\[
(\operatorname{rot} \mathbf{A})_{x}=\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial z},(\operatorname{rot} \mathbf{A})_{y}=\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x} .
\]

Обозначая, как обычно, $\mathbf{i}_{x}, \mathbf{i}_{y}, \mathbf{i}_{z}$ – единичные векторы осей координат, запишем вектор $\operatorname{~rot~} \mathbf{A}$ в виде
\[
\operatorname{rot} \mathbf{A}=\mathbf{i}_{x}\left(\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\right)+\mathbf{i}_{y}\left(\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\right)+\mathbf{i}_{z}\left(\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\right) .
\]

Формула Стокса. Формула Стокса связывает циркуляцию вектора по контуру, ограничивающему поверхность, с потоком его ротора через поверхность. Ее вывод основан на определении (14.6). Вычислим поток вектора rot $\mathbf{A}$ сквозь поверхность $S$, ограниченную контуром $L$
Направление $\operatorname{grad} \varphi$
– Усповие знаков: совершаемая полем работа считается положительной, а которое называется формулой Стокса. внешними относитепьио піля силами – отрицательной.
Дифференциальная формупировка потенциальности эпектростатического поля : $\operatorname{rot} E=0$.
Знак минус в выражении $E=-\operatorname{grad} \varphi$ выбран по соглашению для таго, чтобы Е было направлено в сторону уненьшения $\varphi$.
(рис. 39), которую разобьем на элементы $\Delta S_{i}$ : $\int_{S} \operatorname{rot} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\sum_{i} \int_{\Delta S_{i}} \operatorname{rot} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$.
Поскольку $\Delta S_{i}$ очень малы, для каждой из них на основании (14.6) имеем
\[
\begin{array}{l}
\int_{\Delta S_{i}} \operatorname{rot} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_{\Delta S_{i}}(\operatorname{rot} \mathbf{A})_{n} \mathrm{~d} S \approx \\
\approx(\operatorname{rot} \mathbf{A})_{n} \Delta S \approx \oint_{L_{i}} \mathbf{A} \cdot \mathrm{dl},
\end{array}
\]

где $L_{i}$ – контур, ограничивающий $\Delta S_{i}$. Поэтому (14.6) может быть представлено в виде $\int_{S} \operatorname{rot} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \approx \sum_{i} \oint_{L_{i}} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}$.

Части контуров $L_{i}$, являющиеся границами между $\Delta S_{i}$, входят в два члена суммы (14.18): один раз – при интегрировании по контуру данной площадки $\Delta S_{i}$, а другой раз – по контуру соседней площадки. Интегралы равны по модулю, но противоположны по знаку, поскольку пути вдоль границы при вычислении интегралов проходят в противоположных направлениях. Таким образом, в сумме (14.18) все части интегралов по границам между $\Delta S_{i}$ взаимно сокращаются и остается лишь сумма интегралов по тем частям контуров $L_{i}$, которые не образуют границы между $\Delta S_{i}$, т. е. остается интеграл по контуру $L$, ограничивающему площадь $S$. При $\Delta S_{i} \rightarrow 0$ приближенное равенство (14.18) превращается в точное:

Дифференциальная формулировка потенциальности поля. Независимость работы от пути при перемещении заряда в электростатическом поле выражается равенством $\int_{\substack{A \\ L_{1}}}^{B} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=\int_{\substack{A \\ L_{2}}}^{B} \mathbf{E} \cdot \mathrm{dl}$
где $L_{1}$ и $L_{2}$ – различные пути между точками $A$ и $B$. Учитывая, что $\int_{A}^{B} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=-\int_{L_{2}}^{B} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}$, представим (14.20)
в виде
$\int_{L_{1}}^{B} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}+\int_{B}^{A} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=\oint_{L} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=0$,
где $L=L_{1}+L_{2}$. Формула (14.21) является математической формулировкой утверждения о том, что в электростатическом поле работа при перемещении заряда по любому замкнутому контуру равна нулю.
С помощью (14.19) из (14.21) получаем

где $S$ – поверхность, ограничиваемая контуром $L$. Ввиду произвольности $S$ из (14.22) следует, что
$\operatorname{rot} \mathbf{E}=0$.
Это равенство является дифференциальной формулировкой потенциальности электростатического поля.
Градиент. Пусть $\varphi(x, y, z)$ является скалярной функцией точки. Градиентом $\varphi$ называется вектор
Чтобы выяснить смысл этого вектора, вычислим полный дифференциал функции $\varphi$ при перемещении на $\mathrm{dr}=\mathbf{i}_{x} \mathrm{~d} x+\mathbf{i}_{y} \mathrm{~d} y+\mathbf{i}_{z} \mathrm{~d} z$ :
\[
\mathrm{d} \varphi=\frac{\partial \varphi}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \mathrm{~d} z=\operatorname{grad} \varphi \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} .
\]

Таким образом, бесконечно малое приращение $\mathrm{d} \varphi$ при перемещении в некотором направлении равно компоненте $\operatorname{grad} \varphi$ по этому направлению, умноженной на модуль перемещения. Начертим семейство поверхностей $\varphi=$ const (рис. 40). При перемещении вдоль поверхности $\varphi=$ const имеем $\mathrm{d} \varphi=0$. Поэтому [см. (14.25)] grad $\varphi \perp \mathrm{dr}$, т. е. вектор grad $\varphi$ направлен перпендикулярно поверхности $\varphi=$ const. По модулю он равен производной от $\varphi$ по пути в направлении, перпендикулярном поверхности $\varphi=$ const.
Скалярный потенциал. Поскольку работа при перемещении заряда
в потенциальном поле не зависит от траектории, а зависит лишь от начальной и конечной точек пути, ее можно выразить через координаты концов траектории. Это делается с помощью потенциала.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что всегда имеет место тождественное равенство
rot $\operatorname{grad} \varphi=0$.
Поэтому уравнение (14.23) будет удовлетворено, если $\mathbf{E}$ предстввить в виде

Знак выбран так, что напряженность $\mathbf{E}$ направлена в сторону убывания $\varphi$. Скалярная функция $\varphi$, связанная с напряженностью $\mathbf{E}$ поля формулой (14.27), называется скалярным потенциалом электрического поля.

Напряженность можно измерить экспериментально. Потенциал $\varphi$ не имеет определенного числового значения, и бессмысленно говорить об экспериментальном определении его значения.
Неоднозначность скалярного потенциала. Из формулы (14.27) видно, что если к $\varphi$ прибавить некоторую постоянную, то описываемое потенциалом поле не изменяется, поскольку производные по координатам от постоянной величины равны нулю. Следовательно, потенциал ч заданного электрического поля определен лишь с точностью до аддитивной постоянной.
Нормировка. Пользуясь неоднозначностью скалярного потенциала, можно в любой одной наперед заданной точке приписать ему любое наперед заданное значение. После этого во всех других точках потенциал имеет вполне определенное значение, т. е. будет однозначным. Эта прочедура придания однозначности потенциал путем приписывания ему определенного значения в одной из точек называется нормировкой потенциала. При изучении электрических полей вблизи поверхности земли за нулевой принимается обычно потенциал земли. При исследовании общих вопросов, когда заряды находятся в конечной области пространства, удобнее считать потенциал равным нулю на бесконечном удалении от зарядов. Такая нормировка часто применяется в этой книге.

Выражение работы через потенциал. Если заряд перемещается между точками 1 и 2 , то удельная работа равна
\[
\boldsymbol{A}^{\prime}=\int_{(1)}^{(2)} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{I}=-\int_{(1)}^{(2)} \operatorname{grad} \varphi \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}=-\int_{(1)}^{(2)} \mathrm{d} \varphi=\varphi(1)-\varphi(2),
\]

где использована формула (14.25) и $\mathrm{d}=\mathrm{dr}$. Из (14.28) видно, что работа действительно зависит от конечной и начальной точек траектории и не зависит от формы траектории. Из этой же формулы следует, что разность потенциалов между двумя точками имеет ясный физический смысл и может быть измерена экспериментально. Таким образом, физический смысл имеет не сам потенциал, а разиость потенциалов между различными точками.

Потенциал поля точечного заряда. Будем нормировать потенциал на нуль в бесконечности. Считая, что в формуле (14.28) точка 2 находится в бесконечности, полагаем $\varphi(2)=\varphi(\infty)=0$ и получаем следующее выражение для потенциала в точке 1:
\[
\varphi(1)=\int_{(1)}^{\infty} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} .
\]

Путь из точки 1 в бесконечность может быть любым. Однако его надо выбрать так, чтобы максимально упростить вычисления.

Поле точечного заряда $q$ сферически симметрично. Потенциал на расстоянии $r$ от точечного заряда по формуле (14.29) равен
$\varphi(r)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{r}^{\infty} \frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\mathbf{r}}{r} \cdot \mathrm{dl}\right)$.
Наиболее подходящим является путь интегрирования вдоль радиусвектора, исходящего из точечного заряда. Тогда ( $\mathbf{r} \cdot \mathrm{dl} / r)=\mathrm{d} r$ и из (14.30) юледует, что

Рекомендуется в качестве упражнения проверить, что из этой формулы получается закон Кулона:
\[
\mathbf{E}=-\operatorname{grad} \varphi=-\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \operatorname{grad} \frac{1}{r}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r} .
\]

Потенциал поля системы точечных зарядов. По принципу суперпозиции потенциал поля системы точечных зарядов равен сумме потенциалов, создаваемых в рассматриваемой точке каждым из зарядов. Это очевидно:
\[
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}=-\operatorname{grad} \varphi_{1}-\operatorname{grad} \varphi_{2}=-\operatorname{grad}\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right) .
\]

Следовательно, с помощью формулы (14.31) для потенциала, создаваемого системой точечных зарядов $q_{i}$, можно написать выражение

где $r_{i}=\sqrt{\left(x-x_{i}\right)^{2}+\left(y-y_{i}\right)^{2}+\left(z-z_{i}\right)^{2}}-$ расстояние от точечного заряда $q_{i}$, находящегося в точке $\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$, до точки $(x, y, z)$, в которой вычисляется потенциал.
Потенциал поля непрерывного распределения зарядов. Предполагаем по-прежнему, что все заряды расположены в конечной области пространства и потенциал пормирован на нуль в бесконечности. Обозначая
$\rho\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ – объемную плотность заряда, получаем для потенциала вместо (14.33) выражение
\[
\varphi(x, y, z)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \frac{\rho\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime}}{\sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2}}} .
\]

Эту формулу можно записать иначе, не указывая подробно переменных:

где $\mathrm{d} V$ – элемент объема, по которому производится интегрирование. Такая краткая форма записи часто используется в последующем изложении.
Потенциал поля поверхностных зарядов. Если заряд расположен на поверхности, то распределение характеризуется поверхностной плотностью заряда $\sigma$. На элементе площади dS (это скаляр, а не вектор элемента поверхности) находится заряд $\sigma \mathrm{d} S$ и, следовательно, потенциал в некоторой точке аналогично (14.35) дается формулой

где $r$ – расстояние между элементом площади $\mathrm{d} S$ и точкой, в которой вычисляется потенциал. Интеграл (14.36) распространяется на все поверхности, несущие поверхностные заряды.
Бесконечность потенциала поля точечного заряда. Из (14.31) следует, что при $r \rightarrow 0$ потенциал $\varphi(r \rightarrow 0) \rightarrow \infty$. Это связано с тем, что точечный заряд формально имеет бесконечную объемную плотность, поскольку его объем равен нулю. Именно бесконечная объемная плотность заряда и обусловливает обрацение в бесконечность потенциала.

Конечность потенциала при непрерывном распределении заряда с конечной плотностью. При непрерывном распределении заряда с конечной плотностью потенциал нигде не обращается в бесконечность. В этом можно убедиться при вычислении потенциала по формуле (14.34). Примем точку $(x, y, z)$ за начало координат ( $x=y=z=0$ ) и будем вести расчет в сферической системе координат. Элемент объема в ней выражается формулой $\mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime}=r^{\prime 2} \sin \theta^{\prime} \mathrm{d} \theta^{\prime} \mathrm{d} \alpha^{\prime} \mathrm{d} r^{\prime}$, где $\quad r^{\prime}=$ $=\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}$. Тогда $[\mathrm{cm} .(14.34)]$
$\varphi(0,0,0)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \rho\left(r^{\prime}, \alpha^{\prime}, \theta^{\prime}\right) r^{\prime} \sin \theta^{\prime} \mathrm{d} \theta^{\prime} \mathrm{d} \alpha^{\prime} \mathrm{d} r^{\prime}$.
Следовательно, если $\rho$ конечно, то и потенциал $\varphi$ конечен, что и требовалось доказать.
епрерывность потенциала. Производная от потенциала по декартовой координате дает соответствующую компоненту напряженности электрического поля. Ясно, что напряженность не может быть бесконечной. Следовательно, производные по координатам от потенциала должны быть конечными. А это означает, что потенциал является непрерывной функцией. Таким образом, потенциал $\varphi$ является непрерывной и конечной функцией с конечными производными по коорднатам. Эти условия важны при решении дифференциальных уравнений для потенциала.
Теорема Ирншоу. Эта теорема утверждает, что не существует такой конфигурачии неподвижных зарядов, которая была бы устойчивой, если нет других сил, кроме сил кулоновского взаимодейтвия между зарядами системы.

Доказательство теоремы Ирншоу следует из формулы Гаусса. Допустим; что равновесие устойчиво. Тогда при смещении любого из зарядов системы из его положения равновесия в любом направлении на него должна действовать сила, стремящаяся возвратить заряд в прежнее положение. А это означает, что напряженность поля, создаваемого вблизи каждого из покоящихся зарядов всеми другими зарядами, направлена вдоль радиусов, исходящих из точки нахождения этого заряда. Поток напряженности этого поля сквозь замкнутую поверхность вокруг заряда отличен от нуля, поскольку напряженность направлена вдоль радиусов в одном направлении (вблизи положительного заряда – к заряду, вблизи отрицательного – от заряда). По теореме Гаусса поток сквозь замкнутую поверхность создается зарядом, находящимся в ограничиваемом ею объеме. Это противоречит исходному предположению о том, что он создается зарядами, находящимися вне объема. Тем самым отвергается допущение об устойчивости конфигурации неподвижных зарядов, и теорема Ирншоу доказана.

Устойчивые конфигурации неподвижных зарядов могут существовать лишь тогда, когда кроме сил взаимодействия между ними имеются какие-то посторонние силы, удерживающие заряды в положениях равновесия. Устойчивые состояния движущихся зарядов возможны, как, например, движение двух разноименных зарядов по эллипсам вокруг центра масс (если, конечно, пренебречь излучением).
Пример 14.1. Вычислить $\operatorname{grad} \varphi(r)$.
Имеем:
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{grad} \varphi=\mathbf{i}_{x} \frac{\partial \varphi}{\partial x}+\mathbf{i}_{y} \frac{\partial \varphi}{\partial y}+\mathbf{i}_{2} \frac{\partial \varphi}{\partial z}, \\
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x}=\varphi^{\prime} \frac{\partial r}{\partial x}, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\end{array}
\]

Аналогично вычисляем $\partial \varphi / \partial y, \partial o / \partial z$ Штрихом обозндчена производная по аргументу $r$ Учитывая, что $\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\frac{x}{r}$, получаем
$\operatorname{grad} \varphi(r)=\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} r}\left(\mathbf{i}_{x} x+\mathbf{i}_{y} y+\mathbf{i}_{z} z\right)=\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} r} \frac{\mathbf{r}}{r}$.
В частности, при $\varphi(r)=r \operatorname{grad} r=r / r$, а при $\varphi(r)=1 / r \operatorname{grad}(1 / r)=-r / r^{3}$.
Пример 14.2. Вычислить циркуляцию вектора $\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$ по окружности $L$ радиусом $r_{0}$, расположенной в плоскости, перпендикулярной постоянному вектору $\omega$, как непосредственно, так и с помоцью теоремы Стокса. Центр окружности совпадает $с$ началом координат.

Вектор $\omega \times \mathbf{r}_{0}$ направлен в каждой точке по касательной $\mathbf{~ о к р у ж н о с т и . ~}$ Следовательно,
\[
\oint_{L} \omega \times \mathbf{r} \cdot \mathrm{dl}=\omega r_{0} \int_{L} \mathrm{~d} l=2 \pi \omega r_{0}^{2} .
\]

Направление обхода выбрано таким, что векторы $\omega \times \mathbf{r}$ и dl в каждой точке коллинеарны. При обратном направлении обхода изменится знак интеграла.
С помощью теоремы Стокса задача решается по-другому:
\[
\oint_{L} \omega \times \mathbf{r} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=\int_{S} \operatorname{rot}(\omega \times \mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{S},
\]

где $S$ – поверхность, ограниченная окружностью $L$. Прн $\boldsymbol{\omega}=\operatorname{const} \operatorname{rot}(\omega \times \mathbf{r})=$ $=2 \omega$ и
\[
\int_{S} \operatorname{rot}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) \cdot \mathrm{dS}=2 \int_{S} \boldsymbol{\omega} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=2 \omega \int_{S} \mathrm{~d} S=2 \pi \omega r_{0}^{2},
\]

что, как и должно быть, совпадает с (14.38).
Нетрудно видеть, что поверхность $S$ может быть любой поверхностью, ограниченной окружностью, а не только плоской. Имеем
\[
\int_{S_{1}} \operatorname{rot}(\omega \times \mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} S=2 \int_{S_{1}} \boldsymbol{\omega} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=2 \omega \cdot \int_{S_{1}} \mathrm{~d} \mathbf{S} .
\]

Примем во внимание, что
\[
\oint_{S^{\prime}} \mathrm{d} \mathbf{S}=0,
\]
\[
s^{t}
\]

где $S^{\prime}$ – замкнутая поверхность, состоящая из поверхности $S_{1}$ в (14.40) и поверхности $S$ круга в (14.39), т. е. $S^{\prime}=S_{1}+S$. Из (14.41) получим
\[
\int_{S_{1}} \mathrm{~d} \mathbf{S}=-\mathbf{n} \pi r_{0}^{2}
\]

где $\mathbf{n}$ – единичный вектор, перпендикулярный плоскости круга. В (14.42) учтено, что в (14.41) элемент $d \mathbf{S}$ направлен по внешней нормали к замкнутой поверхности. Подставляя (14.42) в (14.40), получаем формулу, идентичную (14.39).

Пример 14.3. Найти потенциал и напряженность поля, создаваемого в окружающем пространстве равномерно заряженной нитью конечной длины $2 L$. Линейная плотность заряда нити равна $\tau$.

Поместим начало декартовой системы координат в середине нити (точка $O$ ) н ось $Z$ направим вдоль нити (рис. 41). Вследствие аксиальной симметрии потенциал зависит только от $r$ н координаты $z$.
На рис. 41 изображена плоскость, прохөдящая через точку $(r, z)$ и ось $Z$. Находяцийся на элементе длины $\mathrm{d} z^{\prime}$ нити заряд $\tau \mathrm{d} z^{\prime}$ создает в точке $(r, z)$ потенциал
\[
\mathrm{d} \varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\tau \mathrm{d} z^{\prime}}{\sqrt{r^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2}}} .
\]

Следовательно, потенциал, создаваемый всей заряженной нитью, равен
\[
\begin{array}{l}
\varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{-L}^{L} \frac{\tau \mathrm{d} z^{\prime}}{\sqrt{r^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2}}}= \\
=-\frac{\tau}{4 \pi \varepsilon_{0}} \ln \left(\frac{z-L+\sqrt{r^{2}+(z-L)^{2}}}{z+L+\sqrt{r^{2}+(z+L)^{2}}}\right) .
\end{array}
\]

Компоненты напряженности электрического поля даются формулами:
\[
\begin{array}{l}
E_{z}=-\frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{\tau}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{r^{2}+(z-L)^{2}}}-\right. \\
\left.-\frac{1}{\sqrt{r^{2}+(z+L)^{2}}}\right), \\
E_{r}=-\frac{\partial \varphi}{\partial r}=-\frac{\tau}{4 \pi \varepsilon_{0} r}\left(\frac{z-L}{\sqrt{r^{2}+(z-L)^{2}}}-\right. \\
\left.-\frac{z+L}{\sqrt{r^{2}+(z+L)^{2}}}\right) .
\end{array}
\]

При $L \rightarrow \infty$ получаем
\[
E_{*}=0, E_{r}=\tau /\left(2 \pi \varepsilon_{0} r\right) \text {. }
\]

Потенциал при $L \rightarrow \infty$ стремится к бесконечности :
\[
\varphi=-\frac{\tau}{2 \pi \varepsilon_{0}}[\ln r-\ln (2 L)] \rightarrow \infty .
\]

Это является следствием того, что заряд не сосредоточен в конечной области пространства и поэтому применять формулу (14.43) для вычисления потенциала в случае $L \rightarrow \infty$ нельзя.

При очень больших расстояниях от центра. нити ( $R=\sqrt{r^{2}+z^{2}} \gg L$ ) из (14.43) находим $\varphi=\frac{\tau 2 L}{4 \pi \varepsilon_{0} R}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{R}$,
где $Q=2 \tau L-$ полный заряд нити. Таким образом, на больших по сравнению с линейными размерами нити расстояниях поле близко к кулоновскому.
41
Линейный заряд конечной длины
– Использование уравнения Пуассона для решения задачи не предполагает определенной нормировки потенциала и отсутствия зарядов иа бесконечности. Потенциал является непрерывной и конечной функцией, с конечными производньмн по координатам.
Какие методы определени я напряженности поля по заданному распределению зарядов вы знаете? Чем определяется в каждом конкретном случае выбор метода решения задачи?
Какими преимуществами по сравнению с другими методами обладает нахождение напряженности поля путем решения уравнений Лanласа и Пуассона?
Какими свойствами обладает потенциал, как решение соответствующих дифференциальных уровнений?
Какие формулировки потенциальности электростатического поля вы знаете? В чем преимущество дифференциальной формулировки?
Какие физические ळстоятельства обусловливают возможность иормировки скалярного потенциала! Какие нормировки наиболее употребительны и когда они целесообразны?
4 А. Н. Матвеев