Обсуждаются свойства векторного потенчиала и его калибровка. Вычисляется индукиия поля элементарного тока.

В озможность введения векторного потенциала. Известное из векторного анализа тождество div rot $\equiv 0$ показывает, что решение уравнения
$\operatorname{div} \mathbf{B}=0$
может быть представлено в виде
\[
\mathbf{B}=\operatorname{rot} \mathbf{A},
\]

где $\mathbf{A}$ – векторный потенциал магнитного поля.
Неоднозначность векторного потенциала. Поле с заданной индукцией В может быть описано не каким-то одиим векторным потенциалом, a многими векторными потенциалами. Чтобы в этом убедиться, докажем, что если потенциал А описывает поле с индукцией B, то и другой потенциал
\[
\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}+\operatorname{grad} \chi
\]

при произвольной функции $\chi$ описывает то же самое поле В. Для доказательства вычислим индукцию поля $\mathbf{B}^{\prime}$, описываемого потенциалом $\mathbf{A}^{\prime}$ :
\[
\mathbf{B}^{\prime}=\operatorname{rot} \mathbf{A}^{\prime}=\operatorname{rot} \mathbf{A}+\operatorname{rot} \operatorname{grad} \chi=\operatorname{rot} \mathbf{A}=\mathbf{B},
\]

поскольку $\operatorname{rot} \operatorname{grad} \equiv 0$.
Неоднозначность векторного потенциала аналогична неоднозначности скалярного потенциала в теории электростатического поля, только там потенциал был определен с точностью до произвольной постоянной, а здесь – с точностью до произвольной функции определенного класса.
9 А. Н. Матвеев
Калибровка потенциала. Пользуясь неоднозначностью в выборе потенциала, можно наложить на потенциал определенное условие. В магнитостатике чаще всего оно выбирается в виде $\operatorname{div} \mathbf{A}=0$
и называется условием калибровки потенциала. Его роль аналогична роли нормировки скалярного потенциала в электростатике. В частности, произвол в выборе векторного потенциала показывает, что векторный потенциал имеет лииь вспомогательное значение и не может быть измерен экспериментально.
Уравнение для векторного потенциала. Подставляя (37.2) в (36.5), получаем
$\operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{A}=\mu_{0} \mathbf{j}$.
Из векторного анализа известно, что
$\operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{A}=\operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{A}-
abla^{2} \mathbf{A}$
и поэтому (37.6) принимает вид
$
abla^{2} \mathbf{A}=-\mu_{0} \mathbf{j}$,
где принята во внимание калибровка (37.5). Распишем уравнение (37.8) в координатах:
$
abla^{2} A_{x}=-\mu_{0} j_{x},
abla^{2} A_{y}=-\mu_{0} j_{y},
abla^{2} A_{z}=-\mu_{0} j_{z}$.
Таким образом, каждая из компонент векторного потенциала подчиняется уравнению Пуассона (см. § 15). В частности, если все токи сосредоточены в конечной области пространства, то по аналогии с функцией (14.35), являющейся решением (15.14), можно написать решение уравнений (37.9) в виде:
$A_{x}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{j_{x} \mathrm{~d} V}{r}, A_{y}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{j_{y} \mathrm{~d} V}{r}, A_{z}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{j_{z} \mathrm{~d} V}{r}$
или в векторной форме
Для линейного тока
\[
\mathbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{L} \frac{I \mathrm{~d} \mathbf{l}}{r}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \sum_{i} I_{i} \int_{L_{i}} \frac{\mathrm{d} \mathbf{l}}{r},
\]

где $L_{i}$ – контуры токов. В каждом из них сила тока $I_{i}$, вообще говоря, различна. При интегрировании по замкнутому контуру конкретного тока $L_{i}$ силу тока $I_{i}$ можно вынести за знак интеграла, как это обозначено в сумме (37.11б).

Найдя векторный потенциал, можно по формуле (37.2) определить соответствующую ему индукцию магнитного поля.
3акон Био – Савара. Из (37.11a) по формуле (37.2) получаем следующее выражение для индукции магнитного поля:
\[
\mathbf{B}(x, y, z)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \operatorname{rot}\left[\frac{\mathbf{j}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)}{\sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2}}}\right] \mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime},
\]

где в явном виде выписаны координаты точки наблюдения, в которой вычисляется ротор, и текущие координаты $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right.$ ) точки интегрирования. Операция ротор включает в себя вычисление частных производных по $(x, y, z)$. Учитывая формулу векторного анализа $\operatorname{rot}(\varphi \mathrm{A})=$ $=\varphi \operatorname{rot} \mathbf{A}+\operatorname{grad} \varphi \times \mathbf{A}$, получаем
$\operatorname{rot} \frac{\mathbf{j}}{r}=\frac{1}{r} \operatorname{rot} \mathbf{j}+\operatorname{grad} \frac{1}{r} \times \mathbf{j}=\frac{\mathbf{j} \times \mathbf{r}}{r^{3}}$,
где $\operatorname{rot} \mathbf{j}=0$, поскольку $\mathbf{j}$ не зависит от переменных, по которым вычисляется ротор, и $\operatorname{grad}(1 / r)=-r / r^{3}$. Следовательно, получаем формулу

выражающую закон Био-Савара. Тем самым завершается вывод основных законов магнитостатического поля из законов электростатического поля с помощью теории относительности.
Поле элементарного тока. Вычислим векторный потенциал и индукцию поля элементарного замкнутого тока, т.е. линейного тока, обтекающего поверхность с бесконечно малыми линейными размерами в физическом смысле. Контур, по которому течет линейный ток $I$, выберем в виде параллелограмма со сторонами $l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}$ (рис. 142). Начало координат поместим в точку $O$ поверхности, обтекаемой током. Выбор точки $O$ не имеет значения, поскольку контур и поверхность бесконечно малые. Потенциал вычисляется в точке, характеризуемой радиус-вектором r. По формуле (37.11б) получаем
\[
A(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I \int_{l_{1} l_{2} l_{3} l_{4}} \frac{\mathrm{d} \mathbf{l}}{r},
\]

где произведен переход к линейным токам ( $\mathbf{j} V \rightarrow I \mathrm{~d} \mathbf{l}$ ).
Поскольку длины сторон параллелограмма бесконечно малы, при интегрировании в (37.12) по каждой из его сторон значение $r$ может считаться постоянным и равным, например, расстоянию от точки, в которой определяется поле до середины стороны. Поэтому [см. (37.12)]
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I\left(\frac{1}{r_{1}} \int_{l_{1}} \mathrm{~d} \mathbf{l}+\frac{1}{r_{2}} \int_{i_{2}} \mathrm{~d} \mathbf{l}+\frac{1}{r_{3}} \int_{l_{3}} \mathrm{~d} \mathbf{l}+\frac{1}{r_{4}} \int_{i_{4}} \mathrm{~d} \mathbf{I}\right)= \\
=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I\left(\frac{\mathbf{l}_{1}}{r_{1}}+\frac{\mathbf{l}_{2}}{r_{2}}+\frac{\mathbf{l}_{3}}{r_{3}}+\frac{\mathbf{l}_{4}}{r_{4}}\right) .
\end{array}
\]

К расчету потенциала от конечного участка прямолинейного тока
Учитывая, что $I_{1}=-I_{3}$ и $I_{2}=-I_{4}$, находим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mathbf{I}_{1}}{r_{1}}+\frac{\mathbf{I}_{3}}{r_{3}}=\mathbf{l}_{1}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{3}}\right)= \\
=\mathbf{I}_{1}\left(\frac{r_{3}-r_{1}}{r_{1} r_{2}}\right) \approx \frac{\mathbf{I}_{1}\left(-\mathbf{I}_{2} \cdot \mathbf{r}\right)}{r^{3}}=-\frac{\mathbf{I}_{1}\left(\mathbf{l}_{2} \cdot \mathbf{r}\right)}{r^{3}}, \\
\frac{\mathbf{I}_{2}}{r_{2}}+\frac{\mathbf{l}_{4}}{r_{4}}=\mathbf{I}_{2}\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{4}}\right)= \\
=\mathbf{I}_{2}\left(\frac{r_{4}-r_{2}}{r_{2} r_{4}}\right)=\frac{\mathbf{I}_{2}\left(\mathbf{l}_{1} \cdot \mathbf{r}\right)}{r^{3}},
\end{array}
\]

где принято во внимание, что при вычислениях можно пренебречь бесконечно малыми высших порядков. Например, на рис. 143 показаны геометрические построения, использованные при вычислениях второй серии равенств (37.14):
\[
\mathbf{r}_{4}=\mathrm{I}_{1}+\mathbf{r}_{2} \text {, }
\]
откуда
\[
r_{4}^{2}=l_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2 \mathbf{l}_{1} \cdot \mathbf{r}_{2}
\]

и, следовательно,
\[
r_{4}^{2}-r_{2}^{2}=\left(r_{4}-r_{2}\right)\left(r_{4}+r_{2}\right)=l_{1}^{2}+2 \mathbf{I}_{1} \cdot \mathbf{r}_{2} .
\]

Тогда
\[
r_{4}-r_{2}=\frac{2 \mathbf{l}_{1} \cdot \mathbf{r}_{2}+l_{1}^{2}}{r_{4}+r_{2}} \approx \mathbf{l}_{1} \cdot \mathbf{r} / r .
\]

Здесь сохранены лишь члены первого порядка малости по $\mathbf{I}_{1}$. С помощью равенств вида (37.18) получаются формулы (37.14). С учетом (37.14) выражение для потенциала (37.13) принимаст вид
\[
\mathbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I}{r^{3}}\left[\mathbf{I}_{2}(\mathbf{I} \cdot \mathbf{r})-\mathbf{I}_{1}\left(\boldsymbol{\mu}_{2} \cdot \mathbf{r}\right)\right] .
\]

Из векторной алгебры известно разложепие двойного векторного произведения:
\[
\mathbf{A} \times(\mathbf{B} \times \mathbf{C})=\mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}),
\]

которое показывает, что выражение в квадратных скобках в (37.19) можно представить в виде
\[
\mathbf{l}_{2}\left(\mathbf{l}_{1} \cdot \mathbf{r}\right)-\mathbf{l}_{1}\left(\mathbf{l}_{2} \cdot \mathbf{r}\right)=\mathbf{r} \times\left(\mathbf{l}_{2} \times \mathbf{l}_{1}\right)=
\]
\[
=\left(\mathbf{I}_{1} \times \mathbf{l}_{2}\right) \times \mathbf{r} \text {. }
\]

Принимая во внимание, что
\[
\mathbf{l}_{1} \times \mathbf{l}_{2}=\mathbf{S}
\]
– вектор элемента поверхности, обтекаемой током, перепишем

с учетом (37.21) и (37.22):
$\mathbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \mathbf{S} \times \mathbf{r}}{r^{3}}$.
Величина
\[
\text { IS }=\mathbf{p}_{\mathrm{m}}
\]

играет чрезвычайно важную роль в магнетизме и называется магнитным моментом элементарного тока. Он по модулю равен произведению силы тока в контуре на пощадь, охватываемую контуром. По направлению он совпадает с направлением положительной нормали к поверхности. Представим векторный потенциал элементарного тока в виде

откуда

Формула (37.26) показывает, что ипдукция поля магнитного момента убывает обратно пропорчионально третьей стенени растояния, 6 по время как ипдукция поля элемента тока убывает обратно пропорционально квадрату расстояиий. Это обусловлено тем, что индукция поля магнитного момента слагается из индукций полей элементов тока, текущих в противоположных направлениях на очень малых расстояниях друг от друга.

Пример 37.1. Найти вектор-потенциал и индукцию поля, создаваемого прямолинейным участком лиейного проводника длной $L$, по которому протекает ток $I$.

Имеется в виду, что данный участок составляет часть замкнутой цепи. По прищциу суперпозиции этот потенциал войдет слагаемым в полный потенциал от тока по замкнутой цепи и поэтому его вычисление имеет физический смысл, хотя незамкнутого постоянного тока не существует.

Поместим начало координат в середине рассматриваемого участка проводника, направив ось $Z$ вдоль проводника (рис. 144). Поскольку магнитное поле прямолинейного тока аксиально симметрично, достаточно вычислить индукцию в точках плоскости $Z Y$. Координаты точки в этой плоскости будем характеризовать расстоянием $r$ от оси $Z$ и координатой $z$. Из формулы (37.116) следует, что отличной от нуля является только компонента $A_{2}$, поскольку ток течет в направлении оси $Z$. Тогда
\[
A_{z}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{\mathrm{d} z^{\prime}}{\left[\left(z-z^{\prime}\right)^{2}+r^{2}\right]^{1 / 2}}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \ln \left[\frac{-z+L / 2+\left[(z-L / 2)^{2}+r^{2}\right]^{1 / 2}}{-(z+L / 2)+\left[(z+L / 2)^{2}+r^{2}\right]^{1 / 2}}\right] \text {. }
\]

Индукция вычисляется по формуле
\[
\mathbf{B}=\operatorname{rot} \mathbf{A},
\]

которую надо расписать в цилиндрических координатах. Единственной отличной от нуля проекцией индукции В является $B_{\varphi}$, где $\varphi-$ аксиальный угол цилиндрической системы координат, причем
\[
B_{\varphi}=-\partial A_{z} / \partial r \text {. }
\]
$\mathrm{Ha}$ рисунке в точках плоскости $Z Y$ В $_{\varphi}$ является компонентой, направленной перпендикулярно этой плоскости в сторону отрицательных значений оси $X$. По формуле (37.28) с помощью (37.27) получаем
\[
B_{\varphi}=-\partial A_{z} / \hat{\partial}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r}\left[\frac{-z+L / 2}{\left[r^{2}+(z-L / 2)^{2}\right]^{1 / 2}}+\frac{z+L / 2}{\left[r^{2}+(z+L / 2)^{2}\right]^{1 / 2}}\right] \text {. }
\]

Для бесконечного прямолинейного проводника из (37.27) и (37.29) находим:
\[
\begin{array}{l}
A_{z}(L \rightarrow \infty)=-\frac{\mu_{0} I}{2 \pi} \ln r+\text { const, } \\
B_{\varphi}(L \rightarrow \infty)=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} .
\end{array}
\]

Пример 37.2. Найти векторный потенциал и индукцию, создаваемые током, пекуцим по коаксиальному кабелю (рис. 140). Материал проводников и пространство между ними немагиитны.

Потенциал подчиняется уравнению (37.8). Из-за аксиальной симметрии задачи удобно пользоваться цилиндрической системой координат, ось $Z$ которой совпадает с осью кабеля. Очевидно, что от $z$ и аксиального угла $\varphi$ потенциал не зависит, т. е. $\mathbf{A}=\mathbf{A}(r)$. Кроме того, если от нуля отлична лишь компонента $j_{z}$ плотности тока, то от.личной от нуля будет компонента $A_{z}$ векторного потенциала, которую необходимо найти. Обозначим эту компоненту $A$. Индекс показывает область, к которой эта компонента относится. Таким образом, $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ – векторные потенциалы соответственно в областях $\left(0, r_{1}\right),\left(r_{1}, r_{2}\right),\left(r_{2}, r_{3}\right),\left(r_{3}, \infty\right)$. Тогда [см. (37.8)]
\[
\begin{array}{ll}

abla^{2} A_{1}=\frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r \frac{\mathrm{d} A_{1}}{\mathrm{~d} r}\right)=-\frac{\mu_{0} I}{\pi r_{1}^{2}} & \left(0<r<r_{1}\right), \\

abla^{2} A_{2}=0 & \left(r_{1}<r<r_{2}\right), \\

abla^{2} A_{3}=\frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r \frac{\mathrm{d} A_{3}}{\mathrm{~d} r}\right)=-\frac{\mu_{0} I}{\pi\left(r_{3}^{2}-r_{2}^{2}\right)} & \left(r_{2}<r<r_{3}\right), \\

abla^{2} A_{4}=0 & \left(r_{3}<r<\infty\right),
\end{array}
\]
$
abla^{2} A_{4}=0$
где $\left.j_{1}=I /\left(\pi r_{1}^{2}\right), j_{2}=0, j_{3}=I /\left[r_{3}^{2}-r_{2}^{2}\right)\right], j_{4}=0$.
Решение уравнений (37.32) таково:
\[
\begin{array}{ll}
A_{1}=-\frac{\mu_{0} l r^{2}}{4 \pi r_{1}^{2}}+C_{1} \ln r+C_{2} & \left(0<r<r_{1}\right), \\
A_{2}=C_{3} \ln r+C_{4} & \left(r_{1}<r<r_{2}\right),
\end{array}
\]

\[
\begin{aligned}
A_{3}=\frac{\mu_{0} I r^{2}}{4 \pi\left(r_{3}^{2}-r_{2}^{2}\right)}+C_{5} \ln r+C_{6} & \left(r_{2}<r<r_{3}\right), \\
A_{4}=C_{7} \ln r+C_{8} & \left(r_{3}<r<\infty\right) .
\end{aligned}
\]

Индукцию магнитного поля находим по формуле $\mathbf{B}=\operatorname{rot} \mathbf{A}$, которая в данном случае сводится к выражению $B_{\varphi}=-\partial A / \partial r$.

Поскольку $B_{\varphi}$ – едииственная, отличная от нуля, проекция магнитной индукции, индекс $\varphi$ в дальнейшем не будем выписывать. Индекс обозначает область, к которой относится значение B. Тогда
$B_{1}=\frac{\mu_{0} I r}{2 \pi r_{1}^{2}}-\frac{C_{1}}{r}$.
Из конечности $B_{1}$ при $r=0$ заключаем, что $C_{1}=0$. Выберем в качестве условия нормировки $A_{1}(0)=0$. Это дает $C_{2}=0$ и поэтому выражения для $A_{2}$ и $B_{2}$ принимают вид:
\[
A_{1}=-\mu_{0} I r^{2} /\left(4 \pi r_{1}^{2}\right), B_{1}=\mu_{0} I r /\left(2 \pi r_{1}^{2}\right) .
\]

Для области $r_{1}<r<r_{2}$ получаем
\[
B_{2}=-C_{3} / r \text {. }
\]

Пользуясь граничными условиями для В и учитывая, что $\mu=\mu_{0}$, получаем $B_{2}\left(r_{1}\right)=B_{1}\left(r_{1}\right)=-C_{3} / r_{1}=\mu_{0} I /\left(2 \pi r_{1}\right)$. Следовательно, $C_{3}=-\mu_{0} I /(2 \pi)$.

Запишем условие непрерывности векторного потенциала при $r=r_{1}$ в виде $C_{3} \ln r_{1}+C_{4}=-\mu_{0} I /(4 \pi)$, что приводит к равенству $C_{4}=-\mu_{0} I /(4 \pi)+$ $+\left[\mu_{0} I /(2 \pi)\right] \ln r_{1}$. Поэтому выражения для векторного потенциала и магнитной индукции при $r_{1}<r<r_{2}$ принимают вид
\[
A_{2}=-\frac{\mu_{0} I}{2 \pi} \ln \frac{r}{r_{1}}-\frac{\mu_{0} I}{4 \pi}, B_{2}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} .
\]

Индукция в оболочке кабеля ( $r_{2}<r<r_{3}$ ) равна
\[
B_{3}=-\frac{\partial A_{3}}{\partial r}=-\frac{\mu_{0} I r}{2 \pi\left(r_{3}^{2}-r_{2}^{2}\right)}-\frac{C_{5}}{r} .
\]

И3 граничных условий $B_{2}\left(r_{2}\right)=B_{3}\left(r_{2}\right)$ и $A_{2}\left(r_{2}\right)=A_{3}\left(r_{2}\right)$ находим:
\[
\begin{array}{l}
C_{5}=-\frac{\mu_{0} I r_{3}^{2}}{2 \pi\left(r_{3}^{2}-r_{2}^{2}\right)}, \\
C_{6}=-\frac{\mu_{0} I r_{3}^{2}}{4 \pi\left(r_{3}^{2}-r_{2}^{2}\right)}+\frac{\mu_{0} I r_{3}^{2}}{2 \pi\left(r_{3}^{2}-r_{2}^{2}\right)} \ln r_{2}-\frac{\mu_{0} I}{2 \pi} \ln \frac{r_{2}}{r_{1}},
\end{array}
\]

откуда
\[
\begin{array}{l}
A_{3}=-\frac{\mu_{0} I}{4 \pi}\left[\frac{r_{3}^{2}-r^{2}}{r_{3}^{2}-r_{2}^{2}}+\frac{2 r_{3}^{2}}{r_{3}^{2}-r_{2}^{2}} \ln \frac{r}{r_{2}}+2 \ln \frac{r_{2}}{r_{1}}\right], \\
B_{3}=\frac{\mu_{0} I\left(r_{3}^{2}-r^{2}\right)}{2 \pi r\left(r_{3}^{2}-r_{2}^{2}\right)} .
\end{array}
\]

Пользуясь граничными условиями, ‘при $r=r_{3}$ находим для векторного потенциала и индукции магнитного поля для $r_{3}<r<\infty$ выражения
\[
\begin{array}{l}
A_{4}=-\frac{\mu_{0} I}{2 \pi}\left[\frac{r_{3}^{2}}{r_{3}^{2}-r_{2}^{2}} \ln \frac{r_{3}}{r_{2}}+\ln \frac{r_{2}}{r_{1}}\right]=\text { const } \\
B_{4}=0 .
\end{array}
\]