Рассматриваются основные свойства и особенности распространения электромагнитных волн в проводящих средах.
Комплексная диэлектрическая проницаемость. Рассматривается случай однородной среды: $\mu=$ const, $\varepsilon=$ const, $\gamma=$ const $(\gamma
eq 0$, т. е. среда является проводящей). Уравнения Максвелла при этом имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{
abla} \times \mathbf{B}=\mu \mathbf{j}+\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\mu \gamma \mathbf{E}+\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, \\
\boldsymbol{
abla} \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},
\end{array}
\]

где использованы символические обозначения векторных операций и учтено, что $\mathbf{j}=\gamma \mathbf{E}$. Подставляя в эти уравнения выражения (62.15a) для векторов поля, находим:
\[
\begin{array}{l}
-\mathbf{k}_{\omega} \times \mathbf{B}=\omega \mu[\varepsilon+\gamma /(i \omega)] \mathbf{E}, \\
\mathbf{k}_{\omega} \times \mathbf{E}=\omega \mathbf{B},
\end{array}
\]

причем $\mathbf{k}$ в (62.15a) обозначено $\mathbf{k}_{\omega}=\mathbf{k}^{(0)} k_{\omega}$, где $\mathbf{k}^{(0)}-$ единичный вектор.
Уравнение (63.3) переходит в уравнение (62.21) для диэлектриков при $\gamma=0$. Уравнение (63.4) не отличается от соответствующего уравнения для диэлектриков. Таким образом, проводящая среда в математическом отношении отличается от диэлектрика лишь тем, что в уравнении для нее вместо диэлектрической проницаемости \& входит комплексная диэлектрическая проницаемость
\[
\varepsilon_{\omega}=\varepsilon+\gamma /(i \omega)=\varepsilon-i \gamma / \omega .
\]

Все последующие вычисления совпадают с вычислениями для диэлектриков, надо лиіь вместо $\varepsilon$ пользоваться $\varepsilon_{\omega}$. Таким образом, вместо действительного волнового числа $k$ появляется комплексная величина $k_{\omega}$, причем
\[
k_{\omega}^{2}=\omega^{2} \varepsilon_{\omega} \mu=\omega^{2} \varepsilon \mu-i \omega \gamma \mu \text {. }
\]

Представив $k_{\omega}$ в виде комплексного числа:
\[
k_{\omega}=k-i s \text {, }
\]

перепишем равенство (63.6) в виде
\[
k^{2}-2 i k s-s^{2}=\omega^{2} \varepsilon \mu-i \omega \gamma \mu \text {. }
\]
Приравнивая действительные и мнимые части (63.8), находим:
\[
\begin{array}{l}
k^{2}-s^{2}=\omega^{2} \varepsilon \mu \equiv a, \\
2 k s=\omega \gamma \mu \equiv b .
\end{array}
\]

Решение этой алгебраической системы уравнений таково:
\[
\begin{array}{l}
k^{2}=\frac{a}{2}\left(\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}+1\right)=\frac{\omega^{2} \varepsilon \mu}{2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\gamma}{\varepsilon \omega}\right)^{2}}+1\right), \\
s^{2}=\frac{a}{2}\left(\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}-1\right)=\frac{\omega^{2} \varepsilon \mu}{2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\gamma}{\varepsilon \mu}\right)^{2}}-1\right) .
\end{array}
\]

Глубина проникновения. Исследуем амплитуду плоской волны, распространяющейся в направлении положительных значений оси $Z$ :
\[
E=E_{0} \mathrm{e}^{i\left(\omega t-k_{\omega} z\right)}=E_{0} \mathrm{e}^{-s z} \mathrm{e}^{i(\omega z-k z)} \text {. }
\]

Таким образом, амплитуда волны в процессе распространения уменышается, т.е. в проводящей среде электромагнитная волна распространяется с затуханием амплитуды. На пути
\[
\Delta=1 / s
\]

амплитуда напряженности поля волны уменьшается в е раз, поэтому $\Delta$ называется глубиной проникновения плоской волны в проводящую среду.

Оценим глубину проникновения волн различной длины волны. Для видимого света длина волны равна
\[
\lambda=(0,4 \div 0,75) 10^{-6} \mathrm{M} \text {, }
\]

что соответствует частоте $\omega$ порядка $5 \cdot 10^{15} \mathrm{c}^{-1}$. Проводимость металлов имеет порядок $10^{7} \mathrm{OM}^{-1} \cdot \mathrm{M}^{-1}$, а значение $\varepsilon$ может быть принято равным $\varepsilon_{0}$. Таким образом,
\[
\gamma /(\varepsilon \omega) \approx 2 \cdot 10^{2} \gg 1 \text {. }
\]

При длинах волн, больших, чем световая, это неравенство усиливается. Поэтому в формуле (63.12) можно пренебречь единицей по сравнению с $\gamma /(\varepsilon \omega)$ и записать выражение для $s$ в виде
\[
s=\sqrt{\omega \gamma \mu / 2} \text {. }
\]

Следовательно, глубина проникновения равна
\[
\Delta=1 / s=\sqrt{2 /(\omega \gamma \mu)} \text {. }
\]

Поскольку длина волны $\lambda$ связана с частотой $\omega$ соотношением $\omega=2 \pi /(\lambda \sqrt{\varepsilon \mu}$ ), формулу (63.18) можно переписать:
\[
\Delta=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi \gamma}} \sqrt[4]{\frac{\varepsilon}{\mu}},
\]
где $\sqrt{\mu / \varepsilon}$ имеет размерность сопротивления и является характеристическим сопротивлением среды. Для вакуума оно равно
$\sqrt{\mu_{0} / \varepsilon_{0}}=377$ Ом.
Рассмотрим, например, медь, для которой $\gamma=5 \cdot 10^{7} \mathrm{OM}^{-1} \cdot \mathrm{M}^{-1}$, $\mu \approx \mu_{0}, \varepsilon \approx \varepsilon_{0}$. При $\lambda=1$ м глубина проникновения равна $\Delta \approx 4 \cdot 10^{-6} \mathrm{M}$. Поэтому ни о каком проникновении волны в проводящую среду, в сущности, не может быть и речи, есть просто поглощение в очень малом поверхностном слое. Даже для очень коротких волн это заключение остается справедливым. Например, для длин волн порядка световых $\left(\lambda \approx 10^{-6} \mathrm{M}\right.$ ) глубина проникновения составляет $\Delta \approx 4 \cdot 10^{-9} \mathrm{M}$.
Ф изическая причина поглощения. Физической причиной такого быстрого затухания электромагнитных волн в проводящей среде является преобразование электромагнитной энергии волны в джоулеву теплоту: напряженность электрического поля волны возбуждает в проводяцей среде токи проводимости, которые по закону Джоуля – Ленца нагревают вещество среды.
Интерпретация скин-эффекта. Тешерь можно дать интерпретацию скин-эффекта. Формула (53.19) для толщины скин-слоя совпадает с формулой (63.18) для глубины проникновения электромагнитной волны в проводник, что имеет глубокую физическую основу.

Энергия, переносимая током, движется в пространстве вокруг проводников в виде электромагнитной энергии. Часть ее через поверхность проводника проникает внутрь проводника, чтобы поддержать движение электронов, и там превращается в кинетическую энергию электронов, которая, в свою очередь, превращается в джоулеву теплоту. Поэтому ток может поддерживаться в тех частях проводника, в которые из окружающего пространства поступает электромагнитная энергия Поскольку эта энергия может проникнуть в проводник лишь на глубину $\Delta$ [см. (63.18)], то только в пределах такой глубины около поверхности проводника и может существовать ток, т. е. $\Delta$ есть толщина скин-слоя.
Ф азовая скорочь и длина волны в проводящей среде. Формула (62.14) с учетом (63.13) и (63.11) принимает вид:
\[
v=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}\left\{\frac{2}{\left\{1+[\gamma /(\omega \varepsilon)]^{2}\right\}^{1 / 2}+1}\right\}^{1 / 2} .
\]

Эта скорость меньше скорости волн в непроводящей среде с теми же значениями $\mu$ и $\varepsilon$, т.е. наличие в среде проводимости уменьшает фазовую скорость. Длина волны в проводящей среде равна
\[
\lambda=\frac{2 \pi}{k}=\frac{2 \pi}{\omega \sqrt{\mu \varepsilon}}\left\{\frac{2}{\left\{1+[\gamma /(\omega \varepsilon)]^{2}\right\}^{1 / 2}+1}\right\}^{1 / 2},
\]
т. е. уменьшается по сравнению с длиной волны в непроводящей среде с теми же значениями $\mu$ и $\varepsilon$.
Формула (63.22) показывает, что в проводящей среде фазовая скорость зависит от частоты, т. е. наблюдается явление дисперсии. Поэтому проводящая среда всегда является диспергирующей. Наиболее существенной особенностью распространения сигналов в диспергирующих средах является изменение их формы в процессе распространения.
Соотношение между фазами колебаний векторов поля. Комплексную величину $k_{\omega}$ в (63.7) удобно представить в экспоненциальной форме: $k_{\omega}=\left|k_{\omega}\right| \mathrm{e}^{i \varphi}$.
Формула (63.4) может быть представлена в виде
\[
\mathbf{B}=\frac{\left|k_{\omega}\right|}{\omega} \mathrm{e}^{i \varphi} \mathbf{k}^{(0)} \times \mathbf{E},
\]

где $\mathbf{k}^{(0)}$ – единичный вектор в направлении распространения волны, в данном случае в направлении оси $Z$. Векторы $\mathbf{E}$ и В перпендикулярны этой оси.

Пусть напряженность электрического поля волны в соответствии с (63.13) выражается формулой
\[
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0} \mathrm{e}^{-s z} \mathrm{e}^{i(\phi x-k z)},
\]

где без ограничения общности можно считать вектор $\mathbf{E}_{0}$ действительным, поскольку выбор начала отсчета времени $t$ всегда произволен. Подставляя (63.25) в (63.24), находим
\[
\mathbf{B}=\frac{\left|k_{\omega}\right|}{\omega} \mathbf{k}^{(0)} \times \mathbf{E}_{0} \mathrm{e}^{-s z} \mathrm{e}^{i(\omega t-k z+\varphi)} .
\]

Определив действительные части выражений (63.25) и (63.26), найдем формулы для действительных колебаний векторов поля в плоской волие, распространяющейся в проводящей среде:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0} \mathrm{e}^{-s z} \cos (\omega t-k z), \\
\mathbf{B}=\frac{\left|k_{\omega}\right|}{\omega} \mathbf{k}^{(0)} \times \mathbf{E}_{0} \mathrm{e}^{-s z} \cos (\omega t-k z+\varphi) .
\end{array}
\]

Следовательно, фазы колебаний электрического и магнитного векторов плоской волны различны. Из (63.7) находим
\[
\operatorname{tg} \varphi=-s / k=\sqrt{\varepsilon \mu / \gamma}-\sqrt{1+(\varepsilon \mu / \gamma)^{2}},
\]
т.е. угол ч отрицателен. Это означает, что фаза В достигает некоторого значения позднее, чем фаза Е. Это проявляется двумя путями.

Если рассматривать колебания векторов волиы в фиксированной точке, мимо которой движется волна, то В достигает своего, например, максимального значения позднее, чем $\mathbf{E}$, т.е. В как функция времени отстает от $\mathbf{E}$.

Если рассматривать волну в фиксированный момент времени, то В достигает своего, например, максимального значения при меньших значениях $z$, чем $\mathbf{E}$, т.е. В как функция от $z$ опережает $\mathbf{E}$.
Эти утверждения взаимно дополняют друг друга и находят свое единство в том факте, что бегущая электромагнитная волна движется в направлении своего распространения (в данном случае в направлении положительных значений оси $Z$ ).
Соотношение между амплитудами векторов поля. Из (63.25) и (63.26) следует, что
\[
\frac{|\mathbf{B}|}{|\mathbf{E}|}=\frac{\left|k_{\omega}\right|}{\omega}=\sqrt{\mu \varepsilon}\left\{1+[\gamma /(\varepsilon \mu)]^{2}\right]^{1 / 4} .
\]
Сравнивая (63.29) с (62.25), видим, что в проводящей среде |В| относительно $|\mathbf{E}|$ больше, чем в непроводящей среде с теми же значениями $\mu$ и $\varepsilon$.