Обсуждаются релятивистские свойства сил Лоренца и Ампера.
Преобразование сил. В § 8 на частном примере было показано, как, исходя из предположения о релятивистской инвариантности уравнения движения, можно получить закон преобразования силы при переходе от одной системы координат к другой. Обобщим этот метод на более общий случай.

Как обычно, система координат $K^{\prime}$ движется относительно системы $\boldsymbol{K}$ в направлении положительных значений оси $X$ со скоростью $v$. Рассмотрим движение материальной точки под действием заданных сил. Пусть проекции силы в системе координат $K^{\prime}$ равны $\left(F_{x}^{\prime}, F_{y}^{\prime}, F_{z}^{\prime}\right)$, а в $K-\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)$. В общем случае соответствующие проекции этих сил в различных системах координат не равны между собой. Однако между ними имеются вполне определенные соотношения, обеспечивающие инвариантность уравнений движения, т. е. их одинаковый вид в различных системах координат:
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} p_{x} / \mathrm{d} t=F_{x}, \mathrm{~d} p_{y} / \mathrm{d} t=F_{y}, \mathrm{~d} p_{z} / \mathrm{d} t=F_{z}, \\
\mathrm{~d} p_{x}^{\prime} / \mathrm{d} t^{\prime}=F_{x}^{\prime}, \mathrm{d} p_{y}^{\prime} / \mathrm{d} t^{\prime}=F_{y}^{\prime}, \mathrm{d} p_{z}^{\prime} / \mathrm{d} t^{\prime}=F_{z}^{\prime} .
\end{array}
\]

Левые части этих уравнений преобразуем с помощью формул теории относительности для импульса и преобразований Лоренца:
\[
p_{x}=\frac{p_{x}^{\prime}+\left(E^{\prime} / c^{2}\right) v}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, p_{y}=p_{y}^{\prime}, p_{z}=p_{z}^{\prime},
\]
где $E^{\prime}=m^{\prime} c^{2}-$ полная энергия материальной точки, $\beta=v / c$. Формулы (9.1) приводятся к виду:
\[
\begin{array}{l}
F_{x}=\frac{\mathrm{d} p_{x}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} p_{x}}{\mathrm{~d} t^{\prime}} \frac{\mathrm{d} t^{\prime}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t^{\prime}}\left[\frac{p_{1}^{\prime}+\left(E^{\prime} / c^{2}\right) v}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right] \frac{\mathrm{d} t^{\prime}}{\mathrm{d} t}= \\
=F_{x}^{\prime}+\frac{v u_{y}^{\prime} / c^{2}}{1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}} F_{y}^{\prime}+\frac{v u_{z}^{\prime} / c^{2}}{1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}} F_{z}^{\prime}, \\
F_{y}=\frac{\mathrm{d} p_{y}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} p_{y}^{\prime}}{\mathrm{d} t^{\prime}} \frac{\mathrm{d} t^{\prime}}{\mathrm{d} t}=\frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}} F_{y}^{\prime}, \\
F_{z}=\frac{\mathrm{d} p_{z}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} p_{z}^{\prime}}{\mathrm{d} t^{\prime}} \frac{\mathrm{d} t^{\prime}}{\mathrm{d} t}=\frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}} F_{z}^{\prime},
\end{array}
\]

где $\left(u_{x}^{\prime}, u_{y}^{\prime}, u_{z}^{\prime}\right)$ – скорость точки в системе $K^{\prime} ; F_{x}^{\prime}, F_{y}^{\prime}, F_{z}^{\prime}$ в правые части (9.4) – (9.6) вошли в результате использования уравнений движения (9.2). При вычислении (9.4) принята во внимание формула
\[
\frac{\mathrm{d} E^{\prime}}{\mathrm{d} t^{\prime}}=\mathbf{F}^{\prime} \cdot \mathbf{u}^{\prime},
\]

выражающая закон сохранения энергии в системе координат $K^{\prime}$. С помощью формул сложения скоростей
\[
u_{y}=\frac{u_{y}^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}}}{1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}}, u_{z}=\frac{u_{z}^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}}}{1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}}
\]

выражение (9.4) приведем к виду
\[
F_{x}=F_{x}^{\prime}+\frac{v u_{y} / c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} F_{y}^{\prime}+\frac{v u_{z} / c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} F_{z}^{\prime} \text {. }
\]

Для упрощения (9.5) и (9.6) необходимо важное соотношение, которое получается из формул для преобразования скоростей. Запишем прямые и обратные преобразования, например $y$-проекции скорости:
\[
u_{y}=\frac{u_{y}^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}}}{1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}}, u_{y}^{\prime}=\frac{u_{y} \sqrt{1-\beta^{2}}}{1-v u_{x} / c^{2}} .
\]

Перемножая почленно левые и правые части этих равенств и сокращая полученные равенства на общий множитель $u_{y} u_{y}^{\prime}$, находим
\[
\left(1+\frac{v u_{x}^{\prime}}{c^{2}}\right)\left(1-\frac{v u_{x}}{c^{2}}\right)=1-\beta^{2} .
\]

Учитывая (9.10), преобразуем формулы (9.5) и (9.6):
\[
F_{y}=\frac{1-v u_{x} / c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} F_{y}^{\prime}
\]

\[
F_{z}=\frac{1-v u_{x} / c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} F_{z}^{\prime} .
\]

Таким образом, с помощью формул (9.9), (9.11) и (9.12) сила в системе координат $K$ выражена через силу в системе $K^{\prime}$. По принципу относительности нетрудно написать и обратные формулы преобразования.

При выводе этих формул не делалось никаких предполюжений о свойствах исходных сил – они могут зависеть от координат, времени и скорости. Кроме того, не предполагалось, что в какой-то из систем координат частица является покояшейся, поскольку на скорость частиц не налагалось ограничений. Полученные формулы показывают, что зависимость сил от скорости в релятивистской теории неизбежна: даже если в какой-то системе координат ее нет (например, $F_{x}^{\prime}, F_{y}^{\prime}, F_{z}^{\prime}$, в других системах координат она неизбежно появляется (в данном случае $F_{x}, F_{y}, F_{z}$ зависят от скорости $u_{x}, u_{y}, u_{z}$ частицы).

Запишем формулы преобразования сил в векторной форме. Для этого введем следующие обозначения:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{\Phi}=\left(F_{x}^{\prime}, F_{y}^{\prime} / \sqrt{1-\beta^{2}}, F_{z}^{\prime} / \sqrt{1-\beta^{2}}\right), \\
\mathbf{G}=\left[0,-\left(v / c^{2}\right) F_{z}^{\prime} / \sqrt{1-\beta^{2}},\left(v / c^{2}\right) F_{y}^{\prime} / \sqrt{1-\beta^{2}}\right] . \\
\end{array}
\]

Нетрудно проверить, что с помощью (9.13) и (9.14) формулы (9.9), (9.11) и (9.12) записываются в виде векторного равенства
\[
\mathbf{F}=\mathbf{\Phi}+\mathbf{u} \times \mathbf{G} \text {. }
\]

Так как F – вектор, то и вся правая часть – векгор. Равенство справедливо для произвольных и. Следовательно, каждое из слагаемых в правой части является вектором. Поскольку $\mathbf{u} \times \mathbf{G}$ и $\mathbf{u}-$ векторы, заключаем, что $\mathbf{G}$ тоже вектор. Тем самым доказано, что определяемые равенствами (9.13) и (9.14) величины Ф и G являются векторами.

Сила Лоренца. Предположим, что в системе координат $K^{\prime}$ имеется только электрическое поле и, следовательно, сила ( $F_{x}^{\prime}, F_{y}^{\prime}, F_{z}^{\prime}$ ) не зависит от скорости и’ частицы. Тогда Ф [см. (9.13)] не зависит от скорости и частицы и представляет собой электрическую силу в системе координат $K$.

Аналогично заключаем, что вектор $\mathbf{G}$ также не зависит от скорости и частицы, а может зависеть лишь от координат и времени. Поэтому зависимость силы от скорости частицы содержится во втором слагаемом (9.15):
\[
\mathbf{F}_{\mathrm{m}}=\mathbf{u} \times \mathbf{G} .
\]

Это магнитная сила, направленная перпендикулярно скорости частицы и вектору G, представляющему магнитное поле, которое действует на движущуюся частицу.
Поскольку Ф в формуле (9.15) представляет электрическую силу, действующую на заряд $q$, то напряженность
\[
\mathbf{E}=\boldsymbol{\Phi} / q .
\]

Аналогично, индукция магнитного поля
\[
\mathbf{B}=\mathbf{G} / q \text {. }
\]

С учетом (9.17) и (9.18) формула (9.15) для силы, действующей на точечный заряд, записывается в виде

Это – сила Лоренца. Первое слагаемое в правой части характеризует силу, действуючую на точечный заряд со стороны электрического поля, а второе – со стороны магнитного.
Индукция магнитного поля. Поскольку сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся заряд, описывается вектором В, то естественно назвать этот вектор напряженностью магнитного поля. Однако историческое название напряженности магнитного поля закрепилось за другим вектором, который обозначается Н. Этот вектор не является полевой характеристикой магнитного поля, он учитывает свойства материальной среды, в которой поле существует. В частности, при заданном $\mathbf{H}$ вектор В, а следовательно, и сила, действующая на движущийся заряд, могут иметь самые различные значения (см. § 38). За вектором В установилось название индукции магнитного поля.

Сила Ампера. Пусть имеется совокупность точечных зарядов, концентрация которых равна $n$. Тогда в элементе объема $\mathrm{d} V$ имеется $n \mathrm{~d} V$ зарядов. Если все они движутся со скоростью и и на каждый из них действует магнитная сила, определяемая вторым слагаемым в (9.19), то на заряды в элементе объема $\mathrm{d} V$ действует сила
\[
\mathrm{d} F_{\mathrm{m}}=n q \mathrm{~d} V \mathbf{u} \times \mathbf{B} \text {. }
\]

В дальнейшем нет необходимости у силы писать индекс $\mathrm{m}$, показывающий, что эта сила «магнитная». Сила действует одинаково на заряд независимо от своего происхождения. Учитывая, что
\[
n q=\rho, n q \mathbf{u}=\rho \mathbf{u}=\mathbf{j},
\]

где $\rho$ и $\mathbf{j}$-плотность зарядов и плотность тока [см. (4.4) и (4.11)], запишем формулу (9.20) в виде
\[
\mathbf{d F}=\rho \mathbf{u} \times \mathbf{B} \mathrm{d} V,
\]

или
Соотношение (9.23) называстся законом Ампера и определяет силу, действующую на элемент электрического тока с плотностью $\mathbf{j}$, заключенного в объеме $\mathrm{d} V$.
Переход от объемных токов $x$ линейным. Формулу (9.23) можно представить и в другом виде. Допустим, что электрический ток течет по тонкому проводнику, площадь поперечного сечения которого $S_{0}$. Рассмотрим элемент длины $\mathrm{d} l$ проводника (рис. 23). Объем этого элемента $\mathrm{d} V=S_{0} \mathrm{~d} l$. Из-за малости плоцади поперечного сечения проводника можно считать, что плотность j тока через сечение проводника постоянна и, следовательно,
\[
I=S_{0} j \text {. }
\]

Пусть dl совпадает по направлению с вектором плотности тока, текущего по этому участку проводника. Тогда
$\mathrm{j} \mathrm{d} V=\mathrm{j} S_{0} \mathrm{~d} l=I \mathrm{~d}$.
Электрический ток в каждой точке пространства имеет, вообще говоря, различную плотность и поэтому называется объемным. Сила, действующая на такой ток в элементе объема $\mathrm{d} V$, определяется формулой (9.23). Если же ток проходит по тонким проводникам (в пределе бесконечно тонким в физическом смысле), то он называется линейным. В этом случае можно говорить об элементе тока на длине dl проводника. Переход от формул, выведенных для объемных токов, к формулам для линейных токов дается соотношением (9.25), которое целесообразно представить в виде

Стрелки показывают, что эта замена позволяет перейти как от формул для объемных токов к формулам для линейных токов, так и наоборот.

В частности, формула (9.23) для линейных токов принимает вид
23
Переход от объемных тохов $x$ линейным: $\mathrm{j} \mathrm{d} V=j S_{0} \mathrm{dl}=/ \mathrm{dl}$ линейным: $\mathrm{jd} V=j S_{0} \mathrm{dl}=I \mathrm{dl}$

Формула (9.27) отражает основную идею Ампера – свести взаимодействие контуров с током к взаимодействию бесконечно малых элементов токов.
Магнитное поле прямолинейного тока. Сравнивая формулы (9.27) и
(8.19), заключаем, что ток, текучий по бесконечному прямолинейному проводнику, создает магнитное поле, силовые линии которого являются окружностями, концентрическими току и лежацими в плоскостях, перпендикулярных току. Индукция магнитного поля на расстоянии $r$ от центра проводника с током выражается формулой
\[
B=\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{I}{r},
\]

полученной с помощью теории относительности из закона Кулона с учетом принципа суперпозиции для напряженности электрического поля и инвариантности заряда. Из принципа суперпозичии для напряженности электрического поля можно сделать заключение о справедливости также и принципа суперпозиции для индукции магнитного поля.