Выясняется физическая основа возможности заземления и обсуждаются требования к заземлению.

Постановка задачи. Поскольку удельная электрическая проводимость грунта довольно значительна, возникает вопрос об использовании земли в качестве проводника электрического тока. Электрическая цепь в этом случае показана на рис. 121 ( $A$ и $B$ – электроды, зарытые в землю). Ясно, что при этом можно сократить расход проводов примерно в два раза.

$\mathbf{P}$ асчет сопротивления. Найдем сопротивление сплошной среды, считая электроды сферами радиусами $r_{0}$. Расстояние между центрами электродов обозначим $d$. Для упрощения расчета допустим, что среда неограниченная (рис. 122), а заряд на электродах распределен сферически симметрично.

Пусть $x$-расстояние от центра левого электрода до некоторой точки, лежащей на линии, соединяющей центры электродов. Напряженность поля в этой точке
\[
\boldsymbol{E}=E_{(+)}+E_{(-)}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{(d-x)^{2}}\right) .
\]

Разность потенциалов между электродами
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{U}=\int_{r_{0}}^{d-r_{0}} E \mathrm{~d} x=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[-\frac{1}{x}+\frac{1}{(d-x)}\right]_{r_{0}}^{d-r_{0}}= \\
=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(-\frac{1}{d-r_{0}}+\frac{1}{r_{0}}+\frac{1}{r_{0}}-\frac{1}{d-r_{0}}\right) .
\end{array}
\]

В большинстве практически важных случаев расстояние между электродами много больше размеров электродов, т. е. $d \gg r$. Поэтому равенство (30.2) принимает вид
$U=\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r_{0}}$.
На основании сказанного в \& 29 имеем $\boldsymbol{I}=\underset{S}{\boldsymbol{j}} \mathbf{j} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\gamma \oint_{S} \mathbf{E} \quad \mathrm{d} \mathbf{S}=\gamma Q_{/} \varepsilon_{0}$,
где $I$ – сила тока в среде; $S$-замкнутая поверхность, окружающая один из электродов. Из (30.3) и (30.4) для сопротивления среды получаем
$\boldsymbol{R}=U / I=\left(2 \pi \gamma r_{\mathrm{o}}\right)^{-1}$.
Наиболее важным свойством сопротивления (30.5) является его независимость от расстояния между электродами. Это физически объясняется тем, что при увеличении расстояния между электродами соответственно увеличивается эффективная площадь среды, через которую протекает ток. Увеличение расстояния между электродами увели-
121
Схема заземления лииии передачи
122
К расчету сопротивления среды при сферических электродах
– Независимость сопротивления от расстояния между электродами в неограниченной среде обусловлена тем, что эффективное поперечное сечение площади, сквозь которуюо течет ток, пропорционально расстоянино между электродами.

К расчету сопротивления среды при сферических электродах

чивает сопротивление, а увеличение площади – уменьшает. Как показывает формула (30.5), эти два фактора практически компенсируют друг друга, и сопротивление оказывается независимым от расстояния. Следовательно, главный вклад в сопротивление среды дают участки, непосредственно граничащие $c$ электродами. Поэтому особенно важно обеспечить их хорошую проводимость. Для этого пользуются электродами, имеющими большую площадь поверхности, и закапывают их на достаточно большую глубину, где наличие подпочвенных вод обеспечивает хорошую проводимость грунта.
Экпериментальная проверка. В слабо проводящую жидкость, например речную воду (рис. 124), опускают два плоских электрода, соединенных с полюсами элемента сторонних э. д. с. По цепи протекает некоторый ток. Изменяя расстояние между электродами, замечаем, что при достаточно болыших расстояниях (по сравнению с линейными размерами электродов) это не оказывает влияния на показания амперметра. Следовательно, сопротивление среды при указанных условиях не зависит от расстояния между электродами.
Напряжение шага. Поскольку в среде течет ток, то имеется электрическое поле и изменяющийся в пространстве потенциал.
Предположим, что произошел обрыв высоковольтной линии передач и конец провода длиной $L$ лежит на земле. В прилегающих к проводу участках в грунте имеется электрический ток. Если по соседству идет человек, то между точками соприкосновения его ног с землей существует разность потенциалов, называемая напряжением шага. В результате через тело человека проходит электрический ток, сила которого зависит от этой разности потенциалов.

Рассчитаем напряжение шага. Вследствие болышой длины провода можно считать, что от него ток в глубь земли течет по направлениям, перпендикулярным проводу. Эквипотенциальные поверхности – поверхности полуцилиндров, оси которых совпадают с проводом (рис. 124). Пусть человек идет в направлении, перпендикулярном проводу, расстояние его ближайшей к проводу ноги от провода $d$, а длина шага $l$. Считая, что ток от провода растекается равномерно в полуцилиндрическую область, для плотности тока на расстоянии $r$ от провода получаем
$j=I /(\pi r L)$.

Тогда напряженность поля вдоль радиусов, перпендикулярных проводу, равна
\[
\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{r}}=j / \gamma=I /(\pi r L \gamma) \text {. }
\]

Следовательно, напряжение шага
\[
\boldsymbol{U}_{\mathrm{ш}}=\int_{d}^{d+l} E_{r} \mathrm{~d} r=\frac{I}{\pi \gamma L} \ln \frac{d+l}{d} .
\]

Например, при $I=500 \mathrm{~A}, d=1 \mathrm{M}, l=65 \mathrm{cм}$, $\boldsymbol{L}=30$ м находим $U_{\text {ш }}=270$ В. При других условиях и конфигурациях проводов могут возникать гораздо более значительные напряжения. Поэтому при падении высоковольтных проводов на землю возникает опасная ситуачия не только в результате прямого касания провода и человека, но и в результате возникновения напряжений типа нипряжения гага.

Пример 30.1. Полусферический заземлитель погружен в землю вровень с ее повер хностью (рис. 125). Найти напряжение, под которым может оказаться человек, приближающийся к заземлителю (напряжение ша2а). Сила тока $I$, протекающего через заземлитель, задана. Длина шага равна l, расстояние от ближней к заземлителю ноги человека до заземлителя равно $r_{0}$. Рассмотреть числовой пример: $\gamma=10^{-2} \mathrm{CM} / \mathrm{M}, I=1 \mathrm{~A}$, $r_{0}=2 \mathrm{M}, l=1 \mathrm{M}$.

Сила тока от заземлителя равномерна по всем направлениям и поэтому вектор плотности тока направлен по радиус-векторам от заземлителя и равен
\[
j_{r}=I /\left(2 \pi r^{2}\right) \text {. }
\]

Напряженность электрического поля по закону Ома равна
\[
\boldsymbol{E}_{r}=j_{r} / r=I /\left(2 \pi r^{2} \gamma\right) \text {. }
\]

Следовательно, напряжение шага
\[
\begin{array}{l}
=2,7 \mathrm{~B} \text {. } \\
\end{array}
\]
124
Демонстрация независимости сопротивления среды от расстояния между электродами
125
К расчету напряжения шага при скому заземлителю

4. Постоянный электрический ток
Задачи
4.1. Медный шар диаметром 10 см опускают в полусферическую медную чашу диаметром $20 \mathrm{~cm}$, наполненную водой, так что нар и чаша концентричны. Удельная проводимость воды равна $\gamma=$ $=10^{-3} \mathrm{CM} / \mathrm{M}$. Определить электрическое сопротивление между шаром и чашей.
4.2. Маленький сферический электрод радиусом $a$ помещен в среду с удельной проводимостью $\gamma$ на расстоянии $d$ от другого электрода в виде больной пластины с хорошей проводимостью. Найти сопротивление среды электрическому току, текущему между электродами.
4.3. Найти сопротивление среды току между двумя концентрическими электродами, радиусы которых $r_{1}$ и $r_{2}$. Удельная проводимость среды равна $\gamma$.
4.4. Найти сопротнвление между точками $A$ и $B$ цепи, изображенной на рис. 126. Сопротивление сторон малых квадратов равно $R$.
126
4.5. Между двумя плоскими электродами плоцадью $S$ каждый, линейные размеры которых много больше расстояния $d$ между ними, находится проводяций материал, удельная проводимость которого изменяется линейно от $\gamma_{1}$ у поверхности одного электрода до $\gamma_{2}$ у поверхности другого. Найти сопротивление среды между электродами.
4.6. Найти сопротивление конического проводника кругового сечения, размеры которого указаны на рис. 127. Удельная проводимость материала проводника $\gamma$. 127
4.7. Пространство между плоскими бесконечными параллельными электродами, находящимися на расстоянии $d$ друг от друга, заполнено двумя слоями вещества, граница между которыми плоская, параллельная электродам. Проводимости и диэлектрические проницаемости веществ слоев равны соответственно $\gamma_{1}, \varepsilon_{1}$ и $\gamma_{2}, \varepsilon_{2}$, а толщины слоев $a$ и $d-a$. К электродам приложены потенциалы $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$. Найти потенцнал и поверхностную плотность заряда на границе между слоями.
Ответы
4.1. $R=1590$ Oм. 4.2. $R=[1-a /(2 d)] /(4 \pi \gamma a)$.
4.4. $R_{A B}=\frac{47}{22} R$. 4.5. $R=\frac{d \ln \left(\gamma_{2} / \gamma_{1}\right)}{S\left(\gamma_{2}-\gamma_{1}\right)}$. 4.6. $R=\frac{l}{\pi \gamma a_{1} a_{2}}$. $\sigma=\frac{\left(\gamma_{1} \varepsilon_{2}-\gamma_{2} \varepsilon_{1}\right)\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}{\gamma_{1}(d-a)+\gamma_{2} a}$.
4.3. $R=\frac{1}{4 \pi \gamma}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)$.
4.7. $\varphi=\frac{\varphi_{1} \gamma_{1}(d-a)+\varphi_{2} \gamma_{2} a}{\gamma_{1}(d-a)+\gamma_{2} a}$;

§ 31
Электропроводность
металлов
§ 32
Элек тропроводность
жидкостей
Электропроводность
§ 33
Электропроводность
газов
§ 34
Электрнческий ток
в вакууме
Механизмы электропроводности многообразны. Общим между ними является лишь неразрывная связь с движением зарядов. В зависимости от механизма электропроводности, свойств вещества и условий осуществления электрического тока закономерности, описывающие электропроводность, варьируются в широких пределах.
8 А Н. Матвеев