Обсуждаются инварианты преобразований электромагнитного поля и следствия из анализа инвариантов.
Преобразование полей. При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой напряженности полей изменяются. Формулами преобразования являются равенства (11.15).
Может случиться, что в одной инерциальной системе отсчета имеются электрическое и магнитное поля, а в другой – только электрическое и т.д.
Плоская электромагнитная волна характеризуется вполне определенными свойствами: векторы $\mathbf{E}$ и В взаимно перпендикулярны и их модули связаны соотношением $E=c B$. Спрашивается, сохраняются ли эти свойства векторов поля при переходе в другую инерциальную систему отсчета? Если сохраняются, то понятие плоской электромагнитной волны является релятивистски инвариантным, отражающим внутренние свойства электромагнитного поля плоской волны. Если нет, то это понятие зависит от случайного выбора той или иной инерциальной системы отсчета и не определяет объективно существующего физического объекта. С помощью формул (11.15) нетрудно проверить, что векторы напряженностей электромагнитного поля, удовлетворяющие условию плоской волны в одной системе координат, удовлетворяют этим условиям в любой другой системе координат, т.е. плоская волна является релятивистски инвариантным понятием, определяющим объективно существующий физический объект. Вместо прямой проверки частного утверждения об инвариантности плоской волны целесообразно проанализировать более широкий вопрос об инвариантах преобразований электромагнитного поля и утверждение об инвариантности плоской волны обосновать как частный вывод, наряду с которым, однако, получаются и многие другие важные выводы.
Ивварианты преобразований электромагнитного поля. Инвариантами преобразований электромагнитного поля называются такие величины, составленные из векторов поля, которые не изменяют своего значения при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Векторы поля в разных системах координат связаны между собой преобразованиями (11.15).

Существуют способы нахождения инвариантов преобразований. С помощью формул (11.15) прямым вычислением можно проверить, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяют своей величины следующие инварианты:
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=c^{2} B^{2}-E^{2}, I_{1}^{\prime}=H^{2}-c^{2} D^{2} ; \\
I_{2}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{E}, I_{2}^{\prime}=\mathbf{H} \cdot \mathbf{D} \\
I_{3}=\mathbf{H} \cdot \mathbf{B}-\mathbf{D} \cdot \mathbf{E} .
\end{array}
\]

Проверим, для примера, что величина $I_{2}$ является инвариантом. По формулам (11.15) имеем
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{B}^{\prime} \cdot \mathbf{E}^{\prime}=B_{x}^{\prime} E_{x}^{\prime}+B_{y}^{\prime} E_{y}^{\prime}+B_{z}^{\prime} E_{z}^{\prime}=B_{x} E_{x}+\frac{E_{y}-v B_{z}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}-\frac{B_{y}+\left(v / c^{2}\right) E_{z}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+ \\
+\frac{E_{z}+v B_{y}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \frac{B_{z}-\left(v / c^{2}\right) E_{y}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=B_{x} E_{x}+B_{y} E_{y}+B_{z} E_{z}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{E}
\end{array}
\]

Аналогично доказывается инвариантность и других величин.
Плоская волна определяется равенством нулю инвариантов $I_{1}=0$ и $I_{2}=0$, а ее инвариантность не требует дальнейшего доказательства, поскольку $I_{1}$ и $I_{2}$ – инварианты. Однако инвариантность величин (64.1)-(64.3) позволяет сделать и некоторые другие важные выводы о поведении электромагнитных полей при переходе от одной системы отсчета к другой.
$\mathbf{A}^{4}$ нализ инвариантов поля. Из инвариантности величин (641)-(64.3) можно сделать следующие выводы:
1) если в некоторой инерциальной системе отсчета $c^{2} B^{2}>E^{2}$ и $\mathbf{B} \perp \mathbf{E}$, то можно выбрать такую инерциальную систему отсчета, где электрическое поле отсутствует, а магіитное отлично от нуля. Если же В не перпендикулярно $\mathbf{E}$, то такой инерциальной системы отсчета не существует;
2) если в некоторой инерциальной системе отсчета $c^{2} B^{2}<E^{2}$ и $\mathbf{B} \perp \mathbf{E}$, то можно выбрать такую инерциальную систему огсчета, 1 де магнитное поле отсутствует, а электрическое отлично от нуля. Если же B не перпендикулярно $\mathbf{E}$, то такой инерциальной системы отсчета не существует;
3) если в какой-либо инерциалыой системе огсчета имеется голько электрическое поле или только магнитное, то при переходе к другой инерциальной системе отсчета имеется, вообще говоря, как электрическое, так и магнитное поля, которые перпендикулярны друг другу;
4) плоская волна, для которой $E=c B, \mathbf{E} \perp \mathbf{B}$, во всех инерциальных системах отсчета остается плоской волной.