Рассматриваются резонансы в цепи переменного тока и свойства колебательного конmура.
Резонанс напряжений. Рассмотрим цепь, в которую последовательно с генератором включены $R, L, C$ (см. рис. 192), и определим зависимость амплитудного значения тока силы $I_{0}$ и разность фаз $\varphi$ между током и внешним напряжением от частоты. На основании (48.18) и (48.20) имеем:
\[
I_{0}=\frac{U_{0}}{\sqrt{R^{2}+[L \omega-1 /(\omega C)]^{2}}},
\]
$\operatorname{tg} \varphi=\frac{\omega L-1 /(\omega C)}{R}$.
Графики зависимостей $I_{0}(\omega)$ и $\varphi(\omega)$ изображены на рис. 203 и 204. Сила тока $I_{0}$ достигает максимума при частоте
\[
\omega_{0}=1 / \sqrt{L C} \text {, }
\]

которая называется резонансной часотой контура. При этом амплитуда силы тока равна $U_{0} / R$, а разность фаз $\varphi=0$, т. е. получается, что в цепи как бы нет ни емкости, ни индуктивности. Иначе говоря, при этой частоте напряжения на емкости и индуктивности полностью взаимно компенсируются, будучи равными по значению (по фазе они противоположны всегда). Поэтому этот резонанс называют также резонаисом напряжений. Векторная схема резонанса напряжений изображена на рис. 205. При резонансе $\left(\omega=\omega_{0}\right)$ контур ведет себя как чисто активное сопротивление.

Если через контур пропускается ток постоянной частоты $\omega$, то при изменении, например, индуктивности $I_{0}$ также имеет резонансный характер изменения. Максимальное значение $I_{0}$ достигается при $L=1 /\left(\omega^{2} C\right)$ [см. (50.1) и (50.3)]. Если в цепь включена лампа накаливания, то ее яркость при приближении к резонансу увеличивается, достигает в резонансе максимума, а затем уменьшается.
Резонанс токов. Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 206. Очевидно, что сила тока, текущего в цепи, равна
\[
\begin{array}{l}
I=I_{L}+I_{C}=U\left(\frac{1}{R+i \omega L}+i \omega C\right)=U\left(\frac{R-i \omega L}{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}+i \omega C\right)= \\
=U \frac{R}{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}-i \frac{U}{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}\left[\omega L-\omega C\left(R^{2}+\omega^{2} L^{2}\right)\right] .
\end{array}
\]

Следовательно, при условии
\[
\omega L-\omega C\left(R^{2}+\omega^{2} L^{2}\right)=0
\]

цепь ведет себя как чисто омическое сопротивление. Сдвиг фаз между внешним напряжением и силой тока равен нулю. Разделив все члены уравнения (50.5) на $\omega^{2} L C$, запишем его в виде
\[
\frac{1}{\omega C}-\omega L=\frac{R^{2}}{\omega L} \text {. }
\]

В большинстве практически важных случаев соблюдается условие $\omega L \gg R$ и поэтому решение уравнений (50.6) и (50.5) может быть представлено в виде
$\omega_{0}=1 / \sqrt{L C}$.
При этой резонансной частоте импеданс между точками $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{D}$ достигает максимума, а сила тока $I_{0}$ в цепи – минимума. Однако силы тока $I_{L}$ и $I_{C}$ при этом не являются минимальными. Векторная диаграмма сил токов в контуре между точками $A$ и $D$ приведена на рис. 207. При приближении к условиям резонанса диаграмма токов принимает вид, показанный на рис. 208. Таким образом, внутри контура, ограниченного точками $A$ и $D$, циркулируют очень большие токи по сравнению с токами, которые подводятся к этому контуру. Заряд внутри контура, ограниченного точками $A, D$, протекает от емкости к индуктивности и наоборот, т. е. в этом контуре происходит колебание силы тока. В резонансе друг с другом, как это видно на рис. 208 , находятся силы токов в емкости и индуктивности. Они компенсируют друг друга. Поэтому сам резонанс называется резонансом токов.
Колебательный контур. В обоих рассмотренных случаях контур, изображенный на рис. 192 , ведет себя как резонансная система, совершающая вынужденные колебания под действием внешней силы. Колебания тока в $L C$-контуре впервые рассмотрел Томсон в 1853 г. Тогда же он получил формулу (50.7), названную позже формулой Томсона $(T=2 \pi \sqrt{L C})$. Для анализа колебаний силы тока в контуре можно непосредственно использовать результаты теории вынужденных механических колебаний точки. Для этого необходимо выяснить, какие величины в электрических колебаниях соот-
204
Зависимость сдвига фаз $\varphi$ от частоты при резонансе напряжений
Зависимость силы тока от частоты при резонансе напряжений оты при резонансе напряжений
205
Векторная диаграмма напряжеиий при резонансе напряжений
переменные токи ветствуют силе, отклонению и скорости д.тя механических колебаний. Запишем уравнение для вынужденных механических колебаний:
\[
\ddot{x}+2 \gamma \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=F / m,
\]

где $x$ – отклонение точки от положения равновесия; $m$ – ее масса; $F$ – внешняя сила; $\gamma=b /(2 m)$ – декремент затухания; $b$ – коэффициент трения. Точками обозначены производные по времени.
206
Цепь, в которой осуществляется резонане токов
208
Векторная диаграмма токов при резоиансе токов
Теперь преобразуем уравнения (48.12) и (48.13) для электрического контура. Принимая во внимание, что $I=\mathrm{d} Q / \mathrm{d} t$, запишем уравнение (48.12) в виде
\[
L \frac{\mathrm{d}^{2} Q}{\mathrm{~d} t^{2}}+R \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{~d} t}+\frac{1}{C} Q=U .
\]

Разделив обе части (50.9) на $L$, получаем уравнение
\[
\ddot{Q}+(R / L) \dot{Q}+[1 /(L C)] Q=U / L,
\]

аналогичное (50.8). Роль отклонения в электрическом контуре играет заряд $Q$ на пластинах конденсатора, роль массы – индуктивность $L$, роль силы – электродвижущая сила $U$, роль коэффициента трения – омическое сопротивление $R$. Частота собственных колебаний контура равна $\omega_{0}=1 / \sqrt{L C}[\mathrm{cм}$. (50.3)]. Сила тока $I=\mathrm{d} Q / \mathrm{d} t$ играет роль скорости. Поскольку для механических колебаний точки обычно рассматривают ее отклонение от положения равновесия, амплитуду колебаний и т. д., при анализе электрических колебаний удобно пользоваться уравнением (50.10), а не (48.13). Кроме того, вместо заряда $Q$ на пластинах конденсатора целесообразно пользоваться напряжением на конденсаторе $\left(U_{C}=Q / C\right)$. Относительно этой величины уравнение (50.10) принимает вид
\[
\ddot{U}_{C}+2 \gamma \dot{U}_{C}+\omega_{0}^{2} U_{C}=\omega_{0}^{2} U,
\]

где $\gamma=R /(2 L), \omega_{0}=1 \sqrt{L C}$. Все свойства этих колебаний получаются простым сопоставлением величин $\gamma, \omega_{0}, U, U_{C}$ электрического колебательного контура соответствугщим величинам, характеризующим механические колебания точки. Частота собственных колебаний контура при отсутствии сопротивления ( $R=0$ ) равна $\omega_{0}=(L C)^{-1 / 2}$. Колебания незатухающие. При наличии трения колебания становятся затухающими, причем время затухания равно
\[
\tau_{\text {зат }}=1 / \gamma=2 L / R \text {. }
\]

В качестве частоты затухающих колебаний в общепринятом условном смысле принимается частота
\[
\Omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}} \text {. }
\]

Логарифмический декремент затухания равен
\[
\Theta=\gamma T \text {, }
\]

где $T=2 \pi / \omega_{0}-$ период собственных колебаний.
Амплитудная и фазовая резонансные кривые аналогичны соответствующим кривым для механических колебаний.
Добротность определяется равенством
\[
Q=\left|\frac{U_{C \text { pe } 3}}{U_{C \text { ста }}}\right|=\frac{U_{C 0 \text { pe3 }}}{U_{0}}=\frac{\omega_{0}}{2 \gamma}=\frac{\omega_{0} L}{R}=\frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}},
\]

где $U_{0 \text { срез }}$ – амплитуда напряжения на конденсаторе при резонансе; $U_{0}$ – амплитуда приложенной к контуру сторонней э. д. с. Таким образом, в достаточно добротном контуре амплигуда колебаний напряжения на конденсаторе может быть во много раз больше амплитуды приложенного к контуру напряжения.
Ширина резонансной кривой равна
\[
2 \Delta \omega=\omega_{0} / Q=R / L \text {. }
\]
Напомним, что иирина $2 \Delta \omega$ резонансной кривой определяется не относительно амплитуды колебаний, а относительно квадрата амплитуды.