Описываются основные экспериментальные факты, связанные с электропроводимостью металлов, и их теоретическая интерпретачия.

Доказательство отсутствия переноса вещества электрическим током в металлах. Еще задолго до открытия электронов было экспериментально показано, что прохождение тока в металлах не связано, в отличие от тока в жидких электролитах, с переносом вещества металла. Опыт состоял в том, что через контакт двух различных металлов, например золота и серебра, в течение времени, исчисляемого многими месяцами, пропускался постоянный электрический ток. После этого исследовался материал вблизи контактов. Было показано, что никакого переноса вещества через границу различных металлов не наблюдается и вещество по различные стороны границы раздела имеет тот же состав, что и до пропускания тока. Эти опыты доказали, что атомы и молекулы металлов не принимают участия в переносе электрического тока, но они не ответили на вопрос о природе носителей заряда в металлах.
Опыты Толмена и Стюарта Прямым доказательством, что электрический ток в металлах обусловливается движением электронов, были опыты Толмена и Стюарта, проведенные в 1916 г. Идея этих опытов была высказана Мандельштамом и Папалекси в 1913 г.

Представим себе проводящую катушку, которая может вращаться вокруг своей оси. Концы катушки с помощью скользящих контактов замкнуты на гальванометр (рис. 128). Если находящуюся в быстром вращении катушку резко затормозить, то свободные электроны в проволоке продолжают движение по инерции, в результате чего гальванометр должен зарегистрировать импульс тока.

Обозначим $\dot{v}$ – линейное ускорение катушки при торможении. Оно направлено по касательной к поверхности катушки. При достаточно плотной намотке и тонких проводах можно считать, что ускорение направлено вдоль проводов. При торможении катушки к каждому свободному электрону приложена снла инерции – $m_{e} \dot{v}$, направленная противоположно ускорению ( $m_{e}$ – масса электрона). Под ее действием электрон ведет себя в металле так, как если бы на него действовало некоторое эффективное электрическое поле:
\[
E_{э \phi}=-m_{e} \dot{v} / e \text {. }
\]

Поэтому эффективная электродвижущая сила в катушке, обусловленная инерцией свободных электронов, равна
\[
\mathscr{G}_{э ф}=\int_{L} E_{э \phi} \mathrm{d} l=-\frac{m_{e}}{e} \dot{v} \int_{L} \mathrm{~d} l=-\frac{m_{e}}{e} \dot{v} L,
\]

—————————————————————-
0048_fiz_ob_matveev_03_no_photo_page-0227.jpg.txt

§ 31. Электропроводность металлов
227
тде $L$ – длина провода на катушке. Все точки провода тормозятся с одинаковым ускорением и поэтому $\dot{v}$ в (31.2) вынесена за знак интеграла.

Обозначая: I – силу тока, протекающего по замкнутой цепи, $R$ – сопротивление всей цепи, включая сопротивление проводов катушки и проводов внешней цепи и гальванометра, запишем закон Ома в виде
\[
I R=m_{e} \dot{v} L / e .
\]

Количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в течение времени $\mathrm{d} t$ при силе тока $I$, равно
\[
\mathrm{d} Q=I \mathrm{~d} t=-\frac{m_{e}}{e} \frac{L}{R} \dot{v} \mathrm{~d} t=-\frac{m_{e}}{e} \frac{L}{R} \mathrm{~d} v .
\]

Поэтому в течение времени торможения хатушки от начальной линейной скорости $v_{0}$ до полной остановки через гальванометр пройдет количество электричества
\[
Q=\int \mathrm{d} Q=-\frac{m_{e}}{e} \frac{L}{R} \int_{v_{0}}^{0} \mathrm{~d} v=\frac{m_{e}}{e} \frac{L}{R} v_{0} .
\]

Значение $Q$ находится по показаниям гальванометра, а значения $L, R, v_{0}$ известны. Поэтому можно найти как знак, так и абсолютное значение $e / m_{e}$. Эксперименты показали, что $e / m_{e}$ соответствует отношению заряда электрона к его массе. Тем самым доказано, что наблюдаемый с помошью гальванометра ток обусловлен движением электронов.
О зонной теории. В основе квантовой теории электропроводности твердых тел лежит зонная теория, базирующаяся на анализе энергетического спектра электронов (см. § 2). Электрический спектр разбивается на зоны, разделенные запрещенными промежутками. Если в верхней зоне, где еще имеются электроны, ими заполнены не все квантовые состояния, т. е. в пределах зоны имеется возможность для перераспределения энергии и импульсов электронов, то соответствующее вещество является проводником электрического тока. Зона при этом назы-
\[
8^{*}
\]
вается зоной проводимости, а соответствующее вешество является проводником электрического тока с электронным типом проводимости. Если в зоне проводимости много электронов и свободных квантовых состояний, то электропроводимость достаточно велика. Только электроны в зоне проводимости являются носителями зарядов, осуществляющими электрический ток. Их движение подчиняется квантовым законам. Число этих электронов составляет лишь небольшую часть от общего числа электронов. Благодаря этому устраняются трудности классической теории электропроводимости (см. § 27).
3 ависимость сопротивления от температуры. Не только в металлах главный вклад в электропроводимость вносит движение электронов. Например, в полупроводниках с электронным типом электропроводимости основной вклад в перенос электрического заряда также вносится движением электронов. Одним из наиболее характерных различий электропроводимости в этих двух случаях является характер зависимости удельной проводимости от температуры.

Эксперимент показывает, что $у$ металлических проводников удельиое сопротивление растет с повыиением температуры, т. е. удельная проводимость уменьшается. При не слишком низкой температуре зависимость проводимости от температуры имеет вид $\gamma \sim 1 / T$.

Однако у некоторых веществ, например стекол, полупроводников, электролитов и т.д., проводимость увеличивается с температурой. Хотя механизмы возрастания проводимости различны, они сводятся в конечном счете к увеличению числа носителей электрических зарядов, благодаря движению которых осуществляется ток. В металлах число носителей, т. е. свободных электронов, практически не зависит от температуры и сопротивления току, определяется лишь их способностью образовывать упорядоченное движение под действием электрического поля, т. е. их подвижностью. А она с увеличением температуры уменьшается.
Эффект Холла. На заряды, движением которых обусловливается ток, действует сила Ампера (9.23). Плотность силы Ампера может быть записана в виде
\[
\mathbf{f}=\mathbf{j} \times \mathbf{B}=n e \mathbf{v}_{\mathrm{d}} \times \mathbf{B},
\]

где $n, e$-концентрация и заряд, движение которого обусловливает ток, $\mathbf{v}_{\text {д }}$ – скорость дрейфа заряда.

Под действием силы с плотностью $\mathbf{f}$ заряды в проводнике при наличии магнитного поля, индукция которого перпендикулярна плотности тока $\mathbf{j}$, стремятся сместиться в направлении силы (рис. $129, a$ ). В результате на соответствующей части поверхности проводника образуется избыток зарядов того же знака, что и знак зарядов, осуществляющих ток. Поэтому если ток обусловливается движением положительных зарядов, то создается распределение поверхностной плотности зарядов, изображенное на рис. 129,6 , а при движении отрицательных –
на рис. 129,6. Между противоположными сторонами проводника появляется разность потенциалов и такое электрическое поле, напряженность $E$ которого нейтрализует действие плотности силы (31.6). Направление напряженности зависит от знака зарядов, осуществляющих ток, а модуль определяется теми факторами, от которых зависит плотность силы (31.6). Возникновение разности потенциалов в проводнике с током в магнитном поле называется эффектом Холла. Он был открыт в 1879 г.

Индукция В поля и скорость $v_{\text {д }}$ зарядов взаимно перпендикулярны. Отношение плотности силы (31.6) к заряду аналогично (31.1) может рассматриваться как эффективная напряженность электрического поля, называемого полем Холла:
\[
E_{\text {эф }}=v_{\mathrm{p}} B .
\]

Следовательно, между поверхностями проводника создается разность потенциалов (рис. 129,б)
\[
U=\int_{0}^{d} v_{\mu} B \mathrm{~d} x=v_{\text {д }} B d,
\]

где $d$-толщина проводника. Принимая во внимание, что $j=n e v$, перепишем (31.8) в виде
\[
U=d j B /(n e)=R j B d,
\]

где
\[
R=1 /(n e)
\]
– постоянная Холла. Разность потенциалов может быть измерена. Остальные величины, за исключением концентрации $n$ зарядов и их знака, известны. По знаку разности потенциалов можно определить знак заряда посителей, движение которых осуществляет ток, а по разности потенциалов – их концентрацию.

Заметим, что формулы (31.9) и (31.10) совпадают с соответствующими формулами более полной теории эффекта Холла, когда учитывается распределение электронов по скоростям, статистические характеристики их столкновений и т. д. Однако расчеты при этом оказываются очень громоздкими и здесь не приводятся.

Результаты измерений показали, что в металлах ток осущеспвляется движением отрицательных зарядов. Концентрация носителей примерно равна концентрации атомов, т. е. один заряд, участвующий в образовании тока, приходится примерно на один атом металла, хотя это число и изменяется в определенных пределах. Носителями зарядов, осуществляющих ток в металлах, являются электроны. Сказанное означает, что в металлах на один атом приходится в среднем около одного свободного электрона. Например, на один атом серебра приходится 0,7 электронов; меди $-0,8$; золота $-0,9$, а алюминия – около двух электронов. Напомним, что у металлов обычно концентрация атомов, а следовательно, и свободных электронов близка к $n \sim 10^{28} \mathrm{M}^{-3}$.
Исследование эффекта Холла в других случаях показало, что он не всегда обусловлен движением отрицательных зарядов. Когда знак разности потенциалов в эффекте Холла соответствует движению положительных зарядов, то эффект называется аномальным.

Эффект Холла является одним из гальваномагнитных явлений. Под этим термином объединяются явления, возникающие в проводнике с током, находящимся в магнитном поле. Физическая сущность всех этих явлений состоит в том, что электропроводимость проводника во внешнем магнитном поле является не скаляром, а тензором. Напряженность поперечного электрического поля, называемого холловским, складывается с напряженностью электрического поля, которое обусловливает существование тока при отсутствии магнитного поля. В результате этого напряженность электрического поля образует с плотностью тока некоторый угол – угол Холла. Значит, направления плотности тока и напряженности электрического поля не совпадают. Эти величины связаны тензорной формулой $j_{i}=\sum_{k} \gamma_{i k} E_{k}$,
в которой $\gamma_{i k}$ – тензор электропроводимости. В анизотропных веществах проводимость описывается тензором электропроводимости также и при отсутствии внешнего магнитного поля.
Магнетосопротивление. Другим важным гальваномагнитным явлением является изменение сопротивленія проводника, помещенного в поперечное магнитное поле (эффект магнетосопротивления). Как показывает опыт, относительное изменение электропроводимости $\Delta \gamma / \gamma$ при не очень сильных полях выражается формулой
$\Delta \gamma / \gamma=-x_{\perp} B^{2}$,
где $x_{1}$ – коэффициент поперечного магнетосопротивления, зависяций от свойств материала; $B$ – индукция магнитного поля.

Это явление – следствие тензорного характера электропроводимости проводника, помещенного в магнитное поле. В результате возникает компонента напряженности электрического поля, коллинеарная току, что и вызывает изменение его силы, проявляющееся в изменении сопротивления.
Подвижность электронов. Закон Ома $\mathbf{j}=\gamma \mathbf{E}$ может быть записан в виде
\[
n e v_{\mathrm{a}}=\gamma E \text {. }
\]

Подвижностью электронов называется отношение скорости дрейфа к напряженности электрического поля:
\[
b=v_{\mathrm{n}} / E \text {. }
\]

Принимая во внимание (31.11), получаем
\[
b=\gamma /(n e) \text {. }
\]

Удельная проводимость металла известна, а пе может быть найдена из эффекта Холла, т.е. измеренне эффекта Холла позволяет найти

—————————————————————-
0048_fiz_ob_matveev_03_no_photo_page-0231.jpg.txt

$\S 31$ Электропроводность металлов
231
подвижность электронов в проводнике. В металлах подвижность электронов имеет порядок
\[
b \sim 10^{-4}-10^{-3} \mathrm{M}^{2} /(\mathrm{B} \cdot \mathrm{c}) \text {. }
\]

Таким образом, скорость дрейфа электронов в металлах очень мала по сравнению с обычными скоростями движения микрочастиц. Большая удельная проводимость металлов обусловлена главным образом большой кончентрачией носителей заряда $\left(n \sim 10^{28} \mathrm{M}^{-3}\right.$ ), а не их большой подвижностью [см. (31 13)]:
\[
\gamma=e n b \sim 10^{-19} \cdot 10^{28} \cdot 10^{-3} \mathrm{CM} / \mathrm{M}=10^{6} \mathrm{CM} / \mathrm{M} \text {. }
\]

У диэлектриков большинство электронов жестко привязано к атомам и очень мало свободных носителей заряда. Поэтому, хотя подвижность этих носителей заряда не сильно отличается от подвижности свободных электронов в металлах, удельная проводимость диэлектриков очень мала. Кончентрачия носителей в полупроводнках изменяется в широких пределах от $10^{19}$ до $10^{25} \mathrm{M}^{-3}$, а подвижности заключены примерно от 10 до $10^{-4} \mathrm{M}^{2} /(\mathrm{B} \cdot \mathrm{c}), m$ е вслики. Благодаря таким широким пределам изменения концентрации носителей и их подвижностей удельная проводимость полупроводников изменяется в широких пределах, на много порядков величин. Однако не удается получить у полупроводников столь же большую проводимость, как у металлов, сохранив, конечно, при этом характерную для полупроводников зависимость проводимости от температуры (увеличение проводимости с температурой).
Сверхроводимость. В 1911 г. К. Оннес обнаружил, что при $T=4,2$ К ртуть, по-видимому, полностью теряет сопротивление электрическому току. Уменьшение сопротивления происходит очень резко в интервале нескольких сотых градуса В дальнейшем потеря сопротивления наблюдалась и у других чистых веществ и у многих сплавов. Само явление получило название сверхпроводимости. Температуры перехода в сверхпроводящее состояние различны, но всегда очень низки.
Критическая температура. Возбудив электрический ток в кольце из сверхпроводника с помоцью электромагнитной индукции, можно наблюдать, что его сила в течение нескольких лет не уменьшается. Это позволяет найти верхний предел удельного сопротивления сверхпроводников (менее $10^{-25}$ Ом-м). Это на много порядков меньше, чем, например, удельное сопротивление меди при низкой температуре $\left(10^{-12} \mathrm{OM} \cdot \mathrm{m}\right)$ Поэтому приниматся, что электрическое сопротивление сверхпроводников равно нулю. Сопротивление до перехода в сверхпроводяцее состояние бывает самым различным. Многие из сверхпроводников при комнатной температуре имеют довольно высокое сопротивление. Переход в сверхпроводящее состояние совершается всегда очень резко. У чистых монокристаллов он занимает интервал температур меньший, чем одна тысячная градуса.

Сверхповодимостью среди чистых веществ обладают алюминий, кадмий, цинк, индий, галлий. Свойство сверхпроводимости зависит от структуры кристаллической решетки. Например, белое олово является сверхповодником, а серое – нет; ртуть обладает свойством сверхпроводимости только в $\alpha$-фазе.
Критическое поле. В 1914 г. К. Оннес обнаружил, что сверхроводяиее состояние разрушается магнитным полем, когда магнитная индукция B превосходит некоторое критическое зиачение. Критическое значение индукции зависит от материала сверхпроводника и температуры.

Критическое поле, разрушающее сверхпроводимость, может быть создано и самим сверхнроводящим током. Поэтому имеется критическая сила тока, при которой сверхпроводимость разрушается.
Эффект Мейсснера. В 1933 г. Мейсснер и Оксенфельд обнаружили, что виутри сверхроводящего тела полностью отсутствует магнитное поле. При охлаждении сверхпроводника, находящегося во внешнем постоянном магнитном поле, в момент перехода в сверхпроводящее состояние магнитное поле полностью вытесняется из его объема. Этим сверхпроводник отличается от идеального проводника, у которого при падении удельного сопротивления до нуля индукция магнитного поля в объеме должна сохраниться без изменения. Явление вытеснения магнитного поля из объема проводника называется эффектом Мейсснеpa. Эффект Мейсснера и отсутствие электрического сопротивления являются важнейшими свойствами сверхпроводника.
Поверхностный ток. Отсутствие магнитного поля в объеме проводника позволяет заключить из общих законов магнитного поля (см. гл. 6), что в нем суиествует только поверхностный ток. Он физически реален $u$ позтому занимает некоторый тонкий слой вблизи поверхности. Магнитное поле тока уничтожает внутри сверхпроводника внешнее магнитное поле. В этом отношении сверхпроводник ведет себя формально как идеальный диамагнетик (см. § 41). Однако он не является диамагнетиком, поскольку внутри него намагниченность равна нулю. $\mathbf{C}^{\text {верхпроводники первого и второго рода. Чистые вещества, у которых }}$ наблюдается явление сверхпроводимости, немногочисленны. Чаще сверхпроводимость бывает у сплавов. У чистых веществ имеет место полный эффект Мейсспера, а у сплавов не происходит полного выталкивания магнитного поля из объема (частичный эффект Мейсснера). Вещества, проявляющие полный эффект Мейсснера, называются сверхпроводниками первого рода, а частичиый – сверхпроводниками второго рода.

У сверхпроводников второго рода в объеме имеются круговые токи, создающие магнитное поле, которое, однако, заполняет не весь объем, а распределено в нем в виде отдельных нитей. Что же касается сопротивления, то оно равно нулю, как и у сверхпроводников первого рода.
Объяснение сверхпроводимости. По своей физической природе сверхпроводимость является сверхтекучестью жидкости, состоящей из электронов. Сверхтекучесть возникает из-за прекращения обмена энергией между сверхтекучей компонентой жидкости и ее другими частями, в результате чего исчезает трение. Существенным при этом является возможность «конденсации» молекул жидкости на низшем энергетическом уровне, отделенном от других уровней достаточно щирокой энергетической щелью, которую силы взаимодействия не в состоянии преодолеть. В этом и состоит причина выключения взаимодействия. Для возможности нахождения на низшем уровне многих частиц необходимо, чтобы они подчинялись статистике Бозе-Эйнштейна, т. е. обладали целочисленным спином.

Электроны подчиняются статистике Ферми-Дирака и поэтому не могут «конденсироваться» на низшем энергетическом уровне и образовывать сверхтекучую электронную жидкость. Силы отталкивания между электронами в значительной степени компенсируются силами притяжения положительных ионов кристаллической решетки. Однако благодаря тепловым колебаниям атомов в узлах кристаллической решетки между электронами может возникнуть сила притяжения и они тогда объединяются в пары. Пары электронов ведут себя как частицы с челочисленным спином, т. е. подчиняются статистике БозеЭйнштейна. Они могут конденсироваться и образовывать ток сверхтекучей жидкости – электронных пар, который и образует сверхповодящий электрический ток. Выше низшего энергетического уровня имеется энергетическая щель, которую электронная пара не в состоянии преодолеть за счет энергии взаимодействия с остальными зарядами, т. е. не может изменить своего энергетического состояния. Поэтому электрическое сопротивление отсутствует.

Возможность образования электронных пар и их сверхтекучести объясняется квантовой теорией.

Пример 31.1. Зависимость сопротивления от температуры весьма существенна для работы многих приборов, что хорошо видно на примере функционирования обычной лампы накаливания. Нить накаливания делают из вольфрама. При температурах между 300 и 3000 К удельная проводимость вольфрама и энергетическая светимость $M$, т. е. поверхностная плотность потока излучения $c$ поверхности, могут быть представлены формулами: $\gamma=0,95 \cdot 10^{10} T^{-1,2} \mathrm{CM} / \mathrm{M}$; $M=6,6 \cdot 10^{-12} T^{5} \mathrm{BT} / \mathrm{M}^{2}$, где $T$ – термодинамическая температура. Рассчитать диаметр $d$ и длину $l$ нити накаливания, чтобы лампа излучала мощность $P$ при напряжении $U$ и температуре $T$ нити. Потери энергии на теплопроводность от нити накаливания пренебрежимо малы Очепить требования на точность изготовления нити накаливания.
Имеем:
\[
R=\frac{U^{2}}{P}, R=\frac{14 l}{\gamma \pi d^{2}}, P=\pi M l d,
\]

откуда
\[
d=\left(\frac{4 P^{2}}{\pi^{2} \gamma U^{2} M}\right)^{1 / 3}, l=\left(\frac{\gamma P U^{2}}{4 \pi M^{2}}\right)^{1 / 3} .
\]

Поскольку $\gamma M \sim T^{3 / 8}, \gamma / M^{2} \sim T^{-11,2}$, зависимость длины н толщины нити от температуры весьма сильная. Поэтому погрешность в соблюдении диаметра и длины нити накаливания при изготовлении сильно сказывается на температуре и, следовательно, на спектральном составе излучаемого света. К допускам предъявляются достаточно жесткие требования.