Дается решение задачи об излучении линейного осчилаятора. Полученное решение обобцается на случай произвольно ускоренного нерелятивистского электрона. Обсуждается реакчия излучения.

Уравнение для векторного потенциала. Индукция и напряженность переменных полей выражаются формулами (46.8) и (46.12) через векторный и скалярный потенциалы, для нахождения которых необходимо иметь уравнения.

Исходим из уравнения Максвелла $(58.1,1)$, которое удобно записать в виде
$\operatorname{rot} \mathbf{B}=\mu \mathbf{j}+\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$,
где для упрощения предполагается, что $\mu$ и $\varepsilon$ не зависят от координат. Подставляя (46.8) и (46.12) в (61.1), получаем
$\operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{A}=\mu \mathbf{j}+\mu \varepsilon \frac{\partial}{\partial t}\left(-\operatorname{grad} \varphi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)$.
Принимая во внимание, что $\operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{A}=\operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{A}-
abla^{2} \mathbf{A}$, преобразуем (61.2) к виду
\[

abla^{2} \mathbf{A}-\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}}=-\mu \mathbf{j}+\operatorname{grad}\left(\operatorname{div} \mathbf{A}+\mu \varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial t}\right) .
\]

Пользуясь неоднозначностью потенциалов, определенных с точностью до калибровочного преобразования (46.13), можно на них наложить некоторое условие. Для максимального упрощения уравнения (61.3) это условие выбирается в виде равенства

называемого условием Лоренца. В результате [см. (61.3)] получаем $
abla^{2} \mathbf{A}-\varepsilon \mu \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}}=-\mu \mathbf{j}$
– уравнешие Даламбера.

В ыбор калибровочной функции $\chi$. При наложении на потенциалы условия Лоренца (61.4) функция $\chi$, с помощью которой осуществляется калибровочное преобразование потенциалов (46.13), не может быть выбрана произвольно; необходимо, чтобы условие Лоренца (61.4) сохранялось при калибровочных преобразованиях. Имеем
$\operatorname{div} \mathbf{A}^{\prime}+\mu \varepsilon \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial t}=\operatorname{div}(\mathbf{A}+\operatorname{grad} \chi)+\mu \varepsilon \frac{\partial}{\partial t}(\varphi-\partial \chi / \partial t)=$ $=\operatorname{div} \mathbf{A}+\mu \varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial t}+\left(
abla^{2} \chi-\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \chi}{\partial t^{2}}\right)$.

Таким образом, условие Лоренца инвариантно лишь при калибровочных преобразованиях с функцией $\chi$, удовлетворяющей уравнению
\[

abla^{2} \chi-\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \chi}{\partial t^{2}}=0 .
\]

Уравнение такого вида называется волшовым уравнением или однородным уравнением Даламбера.
У равнение для векторного потенциала. Подставляя (46.12) в уравнение Максвелла (58.1, IV), находим
$\operatorname{div}\left(-\operatorname{grad} \varphi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)=\frac{\rho}{\varepsilon}$.
Исключая отсюда $\operatorname{div} \mathbf{A}$, с помощью (61.4) окончательно получаем следующее уравнение для скалярного потенциала:
\[

abla^{2} \varphi-\varepsilon \mu \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon} .
\]

Таким образом, для декартовых проекций векторного потенциала (61.5) и для скалярного потенциала получается одно и то же уравнение вида
\[

abla^{2} \Phi-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}}=-f(\mathrm{r}, t)
\]

где вместо $\Phi$ можно подставить $A_{x}, A_{y}, A_{z}, \varphi$, а вместо $f$ соответственно $\mu j_{x}, \mu j_{y}, \mu j_{z}, \rho / \varepsilon$. Выясним смысл $\varepsilon \mu=1 / v^{2}$.
Решение волнового уравнения. Прежде всего рассмотрим решения уравнения (61.9) при $f=0$, т. е. однородного уравнения. Возьмем одномерный случай $\Phi=\Phi(x)$. Уравнение (61.9) имеет вид
\[
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}}=0 \text {. }
\]

Непосредственной проверкой убеждаемся, что решением (61.10) является любая функция Ф от аргумента $t-x / v$ или $t+x / v$. Проверим это, например, для функции $\Phi(t-x / v)$ :
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=\Phi^{\prime}, \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}}=\Phi^{\prime \prime}, \frac{\partial \Phi}{\partial x}=-\frac{1}{v} \Phi^{\prime}, \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \Phi^{\prime \prime},
\]

где $\Phi^{\prime}$ – производная по аргументу функции. И3 (61.11) следует, что произвольная функция $\Phi(t-x / v)$ действительно удовлетворяет уравнению (61.10). Аналогично доказывается, что и функция $\Phi(t+x / v)$ также удовлетворяет этому уравнению.

Смысл этих решений очень прост. Функция $\Phi(t-x / v)$ представляет собой волну, движущуюся в направлении положительных зиачений оси $X$ со скоростью v. Действительно,
$t-x / v=t+\Delta t-(x+\Delta x) / v$
при $\Delta x / \Delta t=v$. Это означает, что если в момент времени $t$ функция $\Psi(t-x / v)$ представляется некоторой кривой (рис. 251), то в момент времени $t+\Delta t$ она изображается той же кривой, но сдвинутой в направлении положительных значений оси $X$ на $v \Delta t$, т. е. это волна, движущаяся в направлении положительных значений оси $X$ со скоростью v. Вот почему было введено обозначение $\varepsilon \mu=1 / v^{2}$.

Аналогично показывается, что функция $\Phi(t+x / v)$ представляет собой волну, распространяючуюся со скоростью $v$ в направлении отрицательных значений оси $X$.

Рассмотрим решение волнового уравнения в сферически симметричном случае, т. е. считая, что в (61.9) $f=0$, а $\Phi=\Phi(r)$, где $r$ – расстояние от начала координат до рассматриваемой точки. В этом случае Ф от углов не зависит и оператор Лапласа имеет вид
\[

abla^{2} \Phi=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \Phi}{\partial r}\right)=\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial r}=\frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}(r \Phi) \text {. }
\]

Поэтому волновое уравнение для $\Phi$ записывается в виде
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}(r \Phi)-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}(r \Phi)}{\partial t^{2}}=0
\]

Решением этого уравнения для $Г Ф$, как и в предыдущем случае, являются произвольные функции от аргументов $t-r / v$ и $t+r / v$, т. е. общее выражение для $\Phi$ таково:
\[
\Phi(r, t)=\frac{\Psi_{1}(t-r / v)}{r}+\frac{\Psi_{2}(t+r / v)}{r} .
\]

Функция $\Psi_{1}(t-r / v)$ представляет волну, движущуюся в радиальном направлении от начала координат со скоростью $v$. Форма волны при этом не изменяется, а амплитуда уменьшается как $1 / r$. Эта волна называется расходящейся. Функция $\Psi_{2}(t+r / v)$ представляет сходящуюся к началу координат волну.

Возвращаясь к (61.5) и (61.8), видим, что потенциалы поля, а следовательно, и сами поля распространяются в свободном пространстве $(\rho=0)$ со скоростью $v=1 / \sqrt{\varepsilon \mu}$. В вакууме $\mu=\mu_{0}, \varepsilon=\varepsilon_{0}$, поэтому скорость распространения полей равна скорости света $c=1 / \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}$. Таким образом электромагнитные волны и всякие изменения электрического и магнитного поля распространяются в вакууме со скоростью света. А это означает, что электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью света. Например, если два точечных заряда покоятся на расстоянии $r$ друг от друга и один из зарядов в некоторый момент сдвинут со своего места, то другой заряд «почувствует» этот сдвиг лишь спустя время $\tau=r / c$.
3 апаздывающие и опережающие потенциалы. Учитывая свойства решений волнового уравнения, следует ожидать, что решение уравнений (61.5) и (61.8) для потенциалов переменных полей отличается от решений уравнений (37.11a) и (14.35) для потенциалов постоянных полей только тем, что надо учесть конечную скорость распространения электромагнитных взаимодействий. Другими словами, движущийся заряд и эемент переменного нока создают 6 каждой точке окружаючего пространства такой же потенциал, как если бы заряд был неподвижным, а ток постоянным, но с тем различием, что такой потенциал в каждой точке создается не в тот же момент времени, а позднее на время запаздывания, т.е. на время, необходимое электромагнитному полю для распространения от источника до точки наблюдения. Поэтому для зарядов и токов, находящихся в конечной области пространства, получаем вместо формул (37.11a) и (14.35) следующие формулы:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}(\mathbf{r}, t)=\frac{\mu}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{j}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t-\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right| / v\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} \mathrm{d} V^{\prime}, \\
\varphi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon} \int \frac{\rho\left(\mathbf{r}^{\prime}, t-\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right| / v\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} \mathrm{d} V^{\prime},
\end{array}
\]

где $v=1 / \sqrt{\varepsilon \mu} ;\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|$ – расстояние между точкой, в которой вычисляется потенциал, и элементом $\mathrm{d} V^{\prime}$ объема интегрирования.

В даниый момент времени в данной точке потенциал обусловлен не положением и величиной зарядов и сил токов в данный момент времени, а их положениями и величинами в предшествуючие моменты времени, определяемыми с учетом скорости распространения электромагнитного поля. Например, пусть некоторый электрический заряд быстро приближается к какой-то точке. Скалярный потенциал, созданный зарядом в точке, определяется не расстоянием от заряда до точки в данный момент времени, а расстоянием в некоторый предшествую-, щий момент времени, т. е. большим расстоянием. При скорости заряда, близкой к скорости света, различие в расстояниях может быть весьма значительным.

Здесь не приводится формальная проверка того, что формулы (63.16) и (61.17) удовлетворяют уравнениям (61.5) и (61.8). В принципе это делается так же, как и для решений (14.35) и (37.11a).

Потенциалы вида (61.16) и (61.17) называются запаздываюцими, потому что они описывают потенциалы в более поздний момент
времени $t$ по сравнению с моментом времени $t-\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right| / v$ для зарядов и токов, которые этот потенциал создали. Формально решениями уравнений (61.5) и (61.8) являются также решения, аналогичные (61.16) и (61.17), но с заменой временных аргументов $t-\mid \mathbf{r}-$ – $\mathbf{r}^{\prime} / v$ на $t+\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right| / v$, что соответствует двум возможным знакам в аргументах решений (61.15) волнового уравнения. Решение со знаком «+» в аргументе не имеет ясного физического смысла, поскольку оно формально соответствует ситуации, в которой сначала создается потенциал, а потом появляются соответствуюцие ему заряды и токи, т. е. потенциал опережает заряды и токи. Поэтому он называется опережающим. Для получения решений задач с граничными условиями опережаючим потенчиалом приходится пользоваться наряду с запаздываючим. Это можно понять из следующего. Пусть надо найти электромагнитное поле, удовлетворяющее некоторым условиям на границе. Ясно, что в точках внутри объема поле должно быть таким, чтобы, достигнув в более поздний момент времени границы, иметь значения, предписанные граничными условиями. Ясно, что при решении таких задач необходимо руководствоваться не только прошедшим, но и принимать во внимание, что должно произойти в будущем, т.е. необходимо использовать опережающие потенциалы. Но это ни в какой степени не означает нарушения принципа причинности, как это непосредственно видно из проведенного выше рассуждения. С физической точки зрения это есть просто ответ на вопрос о том, что должно было произойти в прошлом, чтобы настояцее являлось таким, каким оно есть при известных законах развития.
В ибратор Герца. Это электрический диполь, момент которого изменяется со временем. Реальным прототипом вибратора Герца может служить совокупность двух металлических шариков (рис. 252), соединенных проводником. Если шарикам сообщить равные, но противоположные по знаку, заряды и предоставить систему самой себе, то будет происходить колебательный процесс перезарядки шариков. Колебания тока будут затухающими. Ес.ти сопротивление проводников мало и потери на излучение за один период невелики, то в течение достаточно большого числа периодов затуханием можно пренебречь. Тогда на расстояниях, много больших $l$, система может рассматриваться как диполь, момент которого изменяется со временем. Таким вибратором пользовался Герц, впервые экспериментально получивший электромагнитные волны. Поэтому он называется вибратором Герца.
С калярный потенциал диполя, изменяющегося со временем. Потенциал диполя определяется формулой (61.17), которую удобно переписать в виде
\[
\varphi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \frac{\rho\left(\xi, t-r^{\prime} / c\right)}{r^{\prime}} \mathrm{d} V_{\xi},
\]

где предполагается, что диполь расположен в вакууме ( $\varepsilon=\varepsilon_{0}, \mu=\mu_{0}$ ). При вычислении (61.18) начало координат целесообразно поместить
в области распределения заряда; местоположение начала в пределах области распределения заряда несущественно, потому что размеры диполя предполагаются сколь угодно малыми по сравнению с расстояниями до точек, в которых рассматривается его поле. Положение точки, в которой вычисляется потенциал поля, характеризуется радиусвектором $\mathbf{r} ; \xi$-радиус-вектор элемента объема $\mathrm{d} V_{\xi}$, а $r^{\prime}$ – есть расстояние между элементом объема $\mathrm{d} V_{\xi}$ и точкой наблюдения (рис. 253).

Рассмотрим потенциал на больших расстояниях от диполя ( $\xi / r \ll 1$ ). Учитывая, что
$\mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r}-\xi, \mathbf{r}^{\prime}=\sqrt{r^{2}-2 \mathbf{r} \cdot \xi+\xi^{2}}$,
можно выражение для $r^{\prime}$ разложить в ряд по $\xi / r$ и ограничиться линейным членом разложения
\[
r^{\prime}=r\left(1-2 \frac{\mathbf{r} \cdot \xi}{r^{2}}-\frac{\xi^{2}}{r^{2}}\right)^{1 / 2}=r-\frac{\mathbf{r} \cdot \xi}{r}+\ldots
\]

Пользуясь этой формулой, разложим подынтегральное выражение в (61.18) в ряд Тэйлора в точке $r$ :
\[
\frac{\rho\left(\xi, t-r^{\prime} / c\right)}{r^{\prime}}=\frac{\rho(\xi, t-r / c)}{r}-\frac{r \cdot \xi}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{\rho(\xi, t-r / c)}{r}\right]+\ldots
\]

Подставляя (61.21) в (61.18), находим
\[
\varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r} \int \rho \mathrm{d} V_{\xi}-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{r}}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r} \int \xi \rho \mathrm{d} V_{\xi},
\]

где принято во внимание, что $r$ является при интегрировании постоянной величиной. Вследствие электрической нейтральности системы первый интеграл в правой части (61.22) равен нулю, а второй представляет собой момент диполя [см. (17.2)]
\[
\int \xi \rho(t-r / c) \mathrm{d} V_{\zeta}=\mathbf{p}(t-r / c) .
\]

Поэтому окончательно потенциал диполя, изменяющегося со временем, определяется формулой
\[
\varphi(\mathbf{r}, t)=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{r}}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{\mathbf{p}(t-r / c)}{r}\right] .
\]

Пользуясь выражением для дивергенции в сферических координатах, формулу (61.24) можно представить в виде
\[
\varphi(\mathbf{r}, t)=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \operatorname{div} \frac{\mathbf{p}(t-r / c)}{r} .
\]

В екторный потенциал. Он вычисляется разложением подынтегрального выражения (61.16) в ряд вида (61.21):
\[
\mathbf{A}(\mathbf{r}, t)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\mathbf{p}(t-r / c)}{r}\right] .
\]
Электрическое и магнитное поля. Для упрощения написания последующих формул введем обозначение
\[
\Pi=\frac{\mathbf{p}(t-r / c)}{r}=\mathbf{p}_{0} \Phi(t, r),
\]

где $\mathbf{p}_{0}$ – постоянный вектор, характеризующий направление колебаний диполя. Исходя из (61.25) и (61.26), получаем:
$\mathbf{B}=\operatorname{rot} \mathbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \operatorname{rot} \frac{\partial \boldsymbol{\Pi}}{\partial t}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{rot} \Pi$,
$\mathbf{E}=-\operatorname{grad} \varphi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \operatorname{grad} \operatorname{div} \boldsymbol{\Pi}-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{\Pi}}{\partial t^{2}}=$
$=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\operatorname{grad} \operatorname{div} \boldsymbol{\Pi}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{\Pi}}{\partial t^{2}}\right)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \operatorname{rot} \operatorname{rot} \boldsymbol{\Pi}$,
где принято во внимание, что $\mu_{0} \varepsilon_{0}=1 / c^{2}$, учтена формула (П.10), а вектор П удовлетворяют волновому уравнению
\[

abla^{2} \Pi-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \Pi}{\partial t^{2}}=0 \text {. }
\]

Значение $\operatorname{rot} П$ вычисляется по формуле (П.16):
$\operatorname{rot} \mathbf{\Pi}=\operatorname{rot} \mathbf{p}_{0} \Phi=\operatorname{grad} \Phi \times \mathbf{p}_{0}=\frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial r} \mathbf{r} \times \mathbf{p}_{0}$.
Дальнейшие вычисления удобнее провести в сферической системе координат. Направим полярную ось $Z$ вдоль вектора $p_{0}$, поместив начало координат в центре диполя. Полярный и азимутальный углы обозначим соответственно $\theta$ и $\alpha$ (рис. 254). Очевидно,
\[
\left(\mathbf{r} \times \mathbf{p}_{0}\right)_{r}=\left(\mathbf{r} \times \mathbf{p}_{0}\right)_{\theta}=0,\left(\mathbf{r} \times \mathbf{p}_{0}\right)_{\alpha}=-r p_{0} \sin \theta,
\]

поэтому
\[
\operatorname{rot}_{r} \boldsymbol{\Pi}=\operatorname{rot}_{\theta} \boldsymbol{\Pi}=0, \operatorname{rot}_{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\Pi}=-\sin \theta \frac{\partial \Pi}{\partial t} .
\]

Отсюда на основании (61.28) получаем:
\[
B_{r}=B_{0}=0, B_{\alpha}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{rot}_{\alpha} \Pi=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \sin \theta \frac{\partial^{2} \Pi}{\partial t \partial r} .
\]

Проекции вектора Е вычисляются с помощью формулы для ротора в сферической системе координат:
\[
\begin{array}{l}
E_{r}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \operatorname{rot}_{\alpha} \Pi\right)=-\frac{1}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial \Pi}{\partial r}, \\
E_{0}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \operatorname{rot}_{\alpha} \Pi\right)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \Pi}{\partial r}\right) .
\end{array}
\]

Формулы (61.34) и (61.35) показывают, что вектор напряженности электрического поля лежит в меридиональных плоскостях, а вектор индукции магнитного поля перпендикулярен меридиональной плоскости, проведенной через соответствующую точку, причем магнитные силовые линии совпадают с параллелями рассматриваемой сферической системы координат. Векторы электрического и магнитного полей в каждой точке взаимно перпендикулярны.

Формулы (61.34) и (61.35) справедливы при произвольной зависимости функции $\Phi(t, r)$ в (61.27) от времени. Считая, что момент диполя изменяется по гармоническому закону
$\mathbf{p}=\mathbf{p}_{0} \mathrm{e}^{i \omega t}$,
получаем
$\boldsymbol{\Pi}=\mathbf{p}_{0} \frac{\mathrm{e}^{i \omega(t-r / c)}}{r}$.
Выполняя соответствующие дифференцирования в формулах и (61.35), находим выражения для отличных от нуля проекций:
\[
\begin{array}{l}
B_{\alpha}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} i \omega \sin \theta\left(\frac{1}{r}+\frac{i \omega}{c}\right) \Pi, \quad E_{r}=\frac{1}{2 \pi \varepsilon_{0}} \cos \theta\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{i \omega}{c r}\right) \Pi, \\
E_{\theta}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sin \theta\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{i \omega}{c r}-\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\right) \Pi .
\end{array}
\]

Поле в непосредственной близости к осчиллятору на расстояниях, меньших длины волны $\lambda=c T=2 \pi c / \omega$, одинаково с полем статического диполя и тока. На расстояниях, много больших длины волны, поле осциллятора принципиально отличается от поля постоянного диполя и тока. Соответствующая область называется волновой зоной.
Поле вибратора в волновой зоне. Расстояние $r$ до точек волновой зоны удовлетворяет, по определению, следующему неравенству:
\[
\frac{1}{r} \ll \frac{\omega}{c} \text {. }
\]

Поэтому в формулах (61.38) можно пренебречь $1 / r$ и $1 / r^{2}$ по сравнению с $\omega / c$ и $\omega^{2} / c^{2}$. В результате получаем следующие выражения для проекций векторов поля:
\[
\begin{array}{l}
B_{\alpha}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\omega^{2}}{c} \Pi \sin \theta, B_{r}=B_{\theta}=0 ; \\
E_{\theta}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\omega^{2}}{c^{2}} \Pi \sin \theta, E_{r}=E_{\alpha}=0 .
\end{array}
\]

В этих формулах в качестве $\Pi$ можно взять либо действительную, либо мнимую часть выражения (61.37), например:
\[
\Pi=\frac{p_{0} \cos \omega(t-r / c)}{r} .
\]

Поэтому окончательно напряженность и индукция электромагнитного поля в волновой зоне вибратора могут быть представлены следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
E_{\theta}=c B_{\alpha}= \\
=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\omega^{2}}{c^{2}} \frac{\sin \theta}{r} p_{0} \cos \omega\left(t-\frac{r}{c}\right), \\
E_{r}=E_{\alpha}=0, B_{r}=B_{0}=0 .
\end{array}
\]

Эти формулы показывают, что в волновой зоне электрический и магнитный векторы перпендикулярны друг другу и радиусвектору r. Векторы Е, B, r составляют правовинтовую тройку векторов в каждой точке. Напряженность поля убывает обратно пропорционально первой степени расстояния. Представляемая формулами (61.43) волна называется сферической. Она распространяется в направлении радиус-вектора. Поверхности постоянной фазы этой волны являются сферами. Скорость волны (фазовая) равна скорости света. Поскольку $E_{\theta}=$ $=c B_{w}$ малые участки поверхности сферической волны могут рассматриваться как плоские электромагнитные волны.
Мощность, излучаемая вибратором. Плотность потока электромагнитной энергии характеризуется вектором Пойнтинга (59.7). Поэтому поток электромагнитной энергии $P$ сквозь поверхность $S$ сферы радиусом $r$, окружающую вибратор, равен
\[
\begin{array}{l}
P=\int_{S} \mathbf{E} \times \mathbf{H} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_{S} E_{\theta} H_{\alpha} \mathrm{d} S= \\
=\frac{1}{16 \pi^{2} \varepsilon_{0}} \frac{\omega^{4} p_{0}^{2}}{c^{3}} \cos ^{2} \omega\left(t-\frac{r}{c}\right) \int_{0}^{\pi} \sin ^{3} \theta \mathrm{d} \theta \times \\
\times \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \alpha=\frac{1}{6 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\omega^{4} p_{0}^{2}}{c^{3}} \cos ^{2} \omega\left(t-\frac{r}{c}\right) .
\end{array}
\]

Это есть мощность потока, т. е. энергия излучения вибратора в 1 с. Средняя за период излучения мощность излучения равна
\[
\langle P\rangle=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} P \mathrm{~d} t=\frac{1}{12 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\omega^{4} p_{0}^{2}}{c^{3}} .
\]
256
Соотношение между смещением электрических зарядов, создающих дипольный эпекірический момент, и током в рамке, созлающим магнитный момент
Эта формула показывает, что мочность излучения вибратора очень сильно зависит от частоты и пропорциональна ее четвертой степени. Это означает, что для увеличения мощности излучения целесообразно переходить к более коротким длинам волн.

Так как вектор Пойнтинга убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, а площадь поверхности сферы растет прямо пропорционально квадрату расстояния, то полный поток энергии, пересекающий поверхность сферы, не изменяется с расстоянием, следовательно, энергия без потерь переносится от вибратора в отдаленные участки пространства в виде электромагнитных волн. Плотность потока излучения уменьшается с увеличением расстояния обратно пропорционально квадрату расстояний. Благодаря потери энергии на излучение колебания вибратора должны быть затухающими. Чтобы иметь незатухающие колебания вибратора, необходимо к нему извне постоянно подводить энергию. Вибратор является простейшим излучателем электромагнитных волн.
Излучение рамки с током. Другим простейшим излучателем электромагнитных волн является рамка с током, которая характеризуется магнитным моментом $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}=$ IS (рис. 255). Ее излучение аналогично излучению диполя. Приведем лишь результат. Магнитный момент рамки с током изменяется по закону
$\mathbf{p}_{\mathrm{m}}=\mathbf{p}_{\mathrm{m}_{0}} \cos \omega t$.
Поместим начало сферической системы координат в центр рамки, а ось $Z$ направим вдоль магнитного момента, т. е. на рис. 254 следует себе представлять ток текущим в плоскости $z=0$, а магнитный момент тока $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$ расположенным как $\mathbf{p}$. Для поля излучения рамки с током получаются следующие формулы:
\[
\begin{array}{l}
E_{\alpha}=-c B_{\theta}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\omega^{2}}{c} \frac{\sin \theta}{r} \mathbf{p}_{\mathrm{m}_{0}} \cos \omega\left(t-\frac{r}{c}\right), \\
E_{r}=E_{\theta}=0, B_{r}=B_{\alpha}=0 .
\end{array}
\]

Сравнение формул (61.47) и (61.43) показывает, что если между магнитным моментом $\mathbf{p}_{\mathrm{m}_{0}}$ тока и дипольным моментом $\mathbf{p}_{0}$ соблюдается соотношение (рис. 256)
\[
\mathbf{p}_{\mathrm{m}_{0}}=c \mathbf{p}_{0},
\]

то напряженность электрического поля и магнитная индукция излучения диполя равны по модулю соответствующим модулям векторов поля излучения рамки с током, изменяется лишь их направление в пространстве. У диполя напряженность электрического поля направлена по меридианам, а у рамки перпендикулярно меридиональным плоскостям по параллелям. Соответствующим образом изменяется и ориентировка векторов магнитного поля. Как видно из (61.47) и (61.43), векторы поля излучения диполя и рамки с током находятся между собой в следующем соотношении:

—————————————————————-
0048_fiz_ob_matveev_03_no_photo_page-0415.jpg.txt

§ 61. Из.тчение электромагнитных волн
415
$E_{\alpha}$ (рамки) $=-c B_{\alpha}$ (диполя), $c B_{\theta}$ (рамки) $=E_{0} \quad$ (диполя).
Мощность излучения рамки с током определяется формулами (61.44) и (61.45) с заменой в них дипольного момента на магнитный момент по формуле (61.48).

Вибратор и рамка с током являются элементарными излучателями электромагнитных волн. Излучение более сложных систем может быть сведено к элементарным излучателям с помощью принципа суперпозиции.
Излучение ускоренно движущегося электрона. Поместим мысленно
в начало координат положительный заряд, равный по величине заряду электрона. Он неподвижен и по закону Кулона создает в окружающем пространстве постоянное по времени электрическое поле, напряженность которого убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Совокупность движущегося элекгрона и неподвижного положительного заряда составляет диполь, момент которого изменяется со временем. Векторы поля излучения диполя являются переменными и убывают обратно пропорционально первой степени расстояния. Ясно, что постоянное электрическое поле неподвижного заряда компенсируется электрическим полем электрона и какого-либо отношения к полю излучения иметь не может, т. е. поле излучения является полем излучения колеблющегося электрона. Положительный заряд помещен в начало координат лишь мысленно, что позволяет воспользоваться полученными выше формулами для излучения диполя с переменным во времени моментом.

Возникающий при отклонении электрона от начала координат на $z(t)$ дипольный момент равен
\[
\mathbf{p}(t)=-|e| z(t) \mathbf{i}_{2},
\]

где $\mathbf{i}_{z}$ – единичный вектор вдоль оси $Z$. Знак минус возник из-за того, что дополнительный момент направлен от отрицательного заряда к положительному. Принимая, что
$z=b \cos \omega t$,
где $b$ – амплитуда колебания электрона, для дипольного момента (61.50) получаем
$\mathbf{p}=-\mathbf{i}_{\mathbf{z}}|e| b \cos \omega t$.
Сравнение (61.52) с действительной частью (61.36) для диполя показывает, что момент ро вормуле (61.36) связан с величинами, характеризующими движение электрона, соотношениями:
\[
\mathbf{p}_{0}=-\mathbf{i}_{z}|e| b, p_{0}=|e| b .
\]

Формула (61.43), характеризующая векторы поля излучения, принимает теперь вид:
\[
E_{\theta}=c B_{\alpha}=-\frac{\omega^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} c^{2}} \frac{\sin \theta}{r}|e| b \cos \omega\left(\tau-\frac{r}{c}\right),
\]

\[
E_{\alpha}=E_{r}=0, B_{r}=B_{\theta}=0,
\]

где $\tau$ – время прихода волны в точку наблюдения на сфере радиусом $r$. Переменная $t=\tau-r / c$ зарезервирована для времени, характеризующего движение электрона. Из формулы (61.51) следует, что
\[
\ddot{z}=-\omega^{2} b \cos \omega t,
\]

и поэтому (61.54) можно переписать:
\[
E_{\theta}(r, \tau)=c B_{\alpha}(r, \tau)=\left.\frac{|e|}{4 \pi \varepsilon_{0} c^{2}} \frac{\sin \theta}{r} \ddot{z}\right|_{t=\tau-r / c}=-\left.\frac{e}{4 \pi \varepsilon_{0} c^{2}} \frac{\sin \theta}{r} \ddot{z}\right|_{t=\tau-r / c},
\]

где учтено, что заряд электрона отрицателен. Формула (61.44) для мощности излучения принимает следующий вид:
т.е. мошность излучения пропорциональна квадрату ускорения электрона. Равномерно движучийся заряд не излучает.

Формулы (61.56) и (61.57) получены для модели колеблющегося электрона. Однако они зависят только от ускорения электрона в любой данный момент времени. Следовательно, описываемое ими поле излучения не зависит от того, как электрон двигался до данного момента и как он будет двигаться после этого момента. Поэтому они всегда применимы и представляют выражения для напряженности и индукции поля излучения и мощности излучения в зависимости от ускорения при любом движении. Однако при этом скорости электрона должны быть малы, поэтому, строго говоря, это формулы для покоящегося электрона, обладающего ускорением, что очевидно из определения диполя, занимающего бесконечно малую область пространства и покоящегося в ней.

Однако обобщение этих формул на произвольные скорости ие составляет труда. Для этого надо просто перейти в ту систему координат, где электрон движется с произвольной скоростью, и воспользоваться формулами преобразования полей и ускорений. В результате получаются формулы, справедливые для произвольных скоростей и ускорений заряда. Здесь они не приводятся.
Сила торможения излучением. Из-за излучения электрон теряет свою энергию и замедляется, т.е. на него действует тормозяцая сила. Найдем ее. Очевидно, что уравнение колебаний электрона с учетом силы торможения имеет вид
\[
m \ddot{z}+m \omega^{2} z=F,
\]

где $\omega$ – частота свободных колебаний при отсутствии силы торможения излучением. Умножая обе части этого уравнения на $\dot{z}$, получаем

\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{m \dot{z}^{2}}{2}+\frac{m \omega^{2}}{2} z^{2}\right)=F \dot{z} .
\]

В правой части (61.59) стоит работа силы торможения излучением, отнесенная ко времени. По определению она равна мощности излучения [см. (61.57)], поэтому
$F \dot{z}=-\frac{1}{6 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{c^{3}} \ddot{z}^{2}$.
Равенство (61.60) выражает закон сохранения энергии при излучении. В общем виде из него нельзя найти силы $F$ в виде функции от $z$ и ее производных. Это можно сделать лишь приближенно, предполагая, что:
1) излучение, а следовательно, и затухание колебаний не очень велики, так что в течение некоторого числа периодов движение можно считать практически периодическим;
2) из закона сохранения энергии для средних величин, относящихся к неболышому числу периодов, можно вывести заключения о равенстве мгновенных значений соответствуюцих величин.
Исходим из очевидного равенства:
\[
\dddot{z}^{2}=-\dddot{z} \dot{z}+(\dddot{z} \dot{z})^{2} \text {. }
\]

Усредняя $\left.^{\prime} \ddot{z} z\right)^{*}$ по одному периоду и пользуясь первым из предположений, имеем
\[
\left\langle(\ddot{z} \ddot{z})^{\circ}\right\rangle=\frac{1}{T}\left[(\ddot{z} \ddot{z})_{t=T}-(\ddot{z} \ddot{z})_{t=0}\right]=0 .
\]

Тогда (61.60) с учетом (61.61) и (61.62) принимает вид
\[
\langle F \dot{z}\rangle=\frac{1}{6 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{c^{3}}\langle\dddot{z} \dot{z}\rangle \text {. }
\]

На основании второго допущения находим
\[
F=\frac{1}{6 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{c^{3}} \dddot{z} \text {. }
\]

Эта формула определяет силу торможения излучением. Уравнение колебаний электрона с учетом силы торможения имеет вид
\[
m \ddot{z}+m \omega^{2} z-\left[e^{2} /\left(6 \pi \varepsilon_{0} c^{3}\right)\right] \dddot{z}=0 .
\]

В электродинамике выражение для силы торможения обобщается на произвольное движение. Оно там тоже описывается третьей производной по собственному времени от соответствующих величин, характеризующих движение электрона. Получаемое при этом уравнение релятивистски инвариантно. Долго считалось, что оно правильно описывает реакцию излучения. Однако недавно был проведен расчет на ЭВМ ряда простых случаев движения и были получены заведомо бессмысленные результаты. Поэтому вопрос о релятивистски инвариантном классическом описании движения электрона с учетом реакции излучения в настоящее время не может считаться решенным.

Наличие силы торможения подтверждено экспериментально в ускорителях. Как уже было сказано, заряженные частицы в ускорителе испытывают небольшие гармонические колебания около равновесной орбиты, называемые бетатронными (см. \$ 56). Кроме того, заряд при своем движении интенсивно излучает. Сила торможения излучением вызывает затухание бетатронных колебаний.