Обсуждаются физическая природа диамагнитной воспримчивости и ее свойства.
Ларморова прецессия. В магнитном поле частота вращения электронов в атоме отличается от их частоты вращения при отсутствии магнитного поля. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим простейший случай, когда при отсутствии магнитного поля электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиусом $r$ и частота его вращения равна $\omega_{0}$ (рис. 162). Уравнение Ньютона для движения электрона имеет вид
$m \omega_{0}^{2} r=F_{\mathrm{L}}$,
где $F_{\text {ц }}$ – центростремительная сила, возникающая в результате притяжения электрона ядром. Эта сила весьма велика по сравнению с силами, которые могут действовать на электрон со стороны внешних полей, поэтому радиусы орбит электронов при помещении атома во внешние поля не изменяются. Атом в отношенит действия внешних полей можсно с большой точностью рассматривать как жесткий.

Теперь пусть атом находится во внешнем поле, вектор индукции В которого перпендикулярен плоскости орбиты электрона. Сила Лоренца действует. вдоль радиуса, а по направлению либо совпадает с центростремительной силой, либо противоположна ей в зависимости от относительной ориентировки векторов угловой скорости движения электрона по орбите и магнитной индукциц. Эта сила равна по абсолютному значению
\[
F=|e| \omega r B \text {, }
\]

где $e$ – заряд электрона; $\omega$ – частота вращения электрона по орбите в магнитном поле, отличная от $\omega_{0}$.

Уравнение движения электрона в магнитном поле имеет вид $m \omega^{2} r=F_{\mathrm{ц}} \pm|e| \omega r B$,

где радиус $r$ орбиты электрона тот же, что и в (40.1), а знаки ( $\pm$ ) выбираются в соответствии с относительной ориентировкой векторов угловой скорости движения электрона по орбите и магнитной индукции. Центростремительная сила $F_{\llcorner}$в (40.3), конечно, та же самая, что и в (40.1), поскольку это сила притяжения со стороны ядра, а расстояние $r$ не изменилось. Исключая из (40.1) и (40.3) $F_{\text {ц }}$, получаем
\[
m \omega^{2} r-m \omega_{0}^{2} r= \pm|e| \omega r B .
\]

Учитывая, что $\omega^{2}-\omega_{0}^{2}=\left(\omega-\omega_{0}\right)\left(\omega+\omega_{0}\right) \approx 2 \Delta \omega \omega$, где $|\Delta \omega|=$ $=\left|\omega-\omega_{0}\right| \ll \omega$, из (40.4) находим
$\Delta \omega= \pm|e| B /(2 m)$.

Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает донолнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой
\[
\omega_{L}=|e| B /(2 m),
\]

которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция В (см. рис. 162) направлена противоположно угловой скорости движения электрона вокруг ядра, то сила $\mathbf{F}$ направлена против $\mathbf{F}_{\mathrm{u}}$ и, следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что $\omega_{L}$ совпадает с направлением $\mathbf{B}$. Если направление В противоположно первоначальному, то иридем к такому же заключению. Поэтому можно записать

где учтено, что заряд электрона $e$ отрицателен. Образование этой дополительной угловой скорости врачения без изменения радиуса орбиты можно себе представить 6 виде дополите.іного вращения атома как целого с частотой $\omega_{L}$ в магнитном поле. Полная частота вращения электрона равна сумме его частоты вращения $\omega_{0}$ в атоме и частоты вращения $\omega_{I}$ атома. Все это справедливо лишь для случая, когда векторы угловой скорости и индукции магнитного поля коллинеарны.

Поскольку скорость электрона в атоме, помещенном в магнитное поле, изменяется, то изменяется и его кинетическая энергия. С другой стороны, поско.’ьку $r$ остается неизменным, потенциальная энергия не изменяется. Спрашивается, за счет чего изменилась энергия электрона в атоме, если известно, что магнитное поле действует всегда перпендикулярно скорости и не производит работы? Ответ на этот вопрос может быть дан только в рамках теории электромагнитной индукции (см. гл. 8): при возникновении магнитного поля порождается эектрическое поле, под действием которого изменяется скорость движения электронов в атоме.
10 A. Н. Ма1веев
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим полученные результаты на произвольный случай. Атом с движущимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магиитным моментом. Момент импульса электрона равен $m \omega r^{2}$. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой $e / T=e \omega /(2 \pi)$ и, следовательно, магнитный момент атома равен $\pi r^{2}$ e $/(2 \pi)$. С учетом направления механического и магнитного моментов атома, обусьовтенных движением эектрона, запишем:
$\mathbf{L}=m r^{2} \boldsymbol{\omega}, \mathbf{p}_{\mathrm{m}}=\left(e r^{2} / 2\right) \boldsymbol{\omega}$.
3 десь учтено, что заряд $е$ электрона отрицателен, а механический момент $\mathbf{L}$ и магнитиый момент $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$ имеют противоположные направления (рис. 163, $a$ ).

Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид
\[
\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=\mathbf{M} \text {. }
\]

где М-момент сил [см. (39.8)]. Из (40.8) следует, что
\[
\mathbf{p}_{m}=e \mathbf{L} /(2 m)
\]

и, следовательно, уравнение (41.9) принимает вид
\[
\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=\frac{e}{2 m} \mathbf{L} \times \mathbf{B}=-\frac{e}{2 m} \mathbf{B} \times \mathbf{L} .
\]

Сравнение (40.11) с уравнением движения точек абсолютно твердо о тела, вращающегося с угловой скоростью $\omega$,
\[
\mathbf{v}=\mathrm{d} \mathbf{r} / \mathrm{d} t=\omega \times \mathbf{r}
\]

показывает, что конец вектора $\mathbf{L}$ движется вокруг направления вектора индукıии с частотой
\[
\omega_{L}=-e \mathbf{B} /(2 m) \text {. }
\]

Следовательно, амои совериает в магнинном поле, подобно гироскопу. прецесионное двнжение (рис. 163,6). Оно называется ларморовой прецессией.
Диамагнетизм. В результате ларморовой прецессии от каждого электрона в атоме возникает круговой ток, который с направлением вектора индукции магиитного поля составляет левовинговую систему. Следовательно, создаваемая этим круговым током дополнительная индукция магнитного поля направлена навстречу вектору индукции внешнего магнитного поля. Магнитный момент атома, возникаючий в резульmaпtе пречессии, и намагниченность также направлены противоположно вектору индукции внешнего магнитного поля. Эта картина возникновения ларморовой прецессии и связанных с ней магнитного момента и дополнительного магнитного поля составляет сущность явления диамагнетизма. Очевидно, что диамагнетизмом обладает любое вещество. Вопрос заключается лишь в оценке его величины.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпадающей с направлением магнитного поля (рис. 164). Возникающий вследствие этого магнитный момент равен
$\mathbf{p}_{\mathrm{m} i}=S_{i} I_{i}=\pi r_{i}^{2} e / T=e r_{i} \omega_{\mathrm{L}} / 2$,
откуда
$J=\frac{1}{\Delta V} \sum_{\Delta V} p_{\mathrm{m} i}=-\frac{e^{2}}{4 m} B N\left\langle\sum_{i} r_{i}^{2}\right\rangle$,
где $N$ – концентрация атомов. В (40.15) использовано выражение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси ларморовой прецессии. На рис. 164 видно, что
\[
R_{i}^{2}=x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2},
\]

где $R_{i}$ – расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем
\[
\left.\left\langle x_{i}^{2}\right\rangle=\left\langle y_{i}^{2}\right\rangle=\left\langle z_{i}^{2}\right\rangle=R_{i}^{2}\right\rangle / 3
\]

и, следовательно,
\[
\left\langle r_{i}^{2}\right\rangle=\left\langle x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right\rangle=2\left\langle R_{i}^{2}\right\rangle / 3=2\left\langle R^{2}\right\rangle / 3,
\]

откуда
\[
\left\langle\sum_{i} r_{i}^{2}\right\rangle=2 Z\left\langle R^{2}\right\rangle / 3
\]

где $Z$ – число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
\[
J=-\frac{e^{2}}{6 m} N Z\left\langle R^{2}\right\rangle \mu H \text {. }
\]

Сравнивая (40.20) с формулой
\[
J=\chi_{\text {म }} H \text {, }
\]
164
К вычисленито диамагиятной осприимчивости
– Изменение частоты вращения электронов в атоме, обусловливающее диамагнетизм, возникает при изменении индукции магнитного поля во время внесения атома в матнитное поле или во время возникновения магнитного поля. Само по себе магнитное поле не производит работы и не в состоянии изменить скорость движения электронов в атоме.
Диамагиитная восприимчивость не зависит от температуры, поскольку тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь зометное время из состояния ларморовой прецессии.
$10^{*}$

получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
\[
\chi_{, i}=-\frac{e^{2}}{6 m} N Z\left\langle R^{2}\right\rangle \mu_{0},
\]
г.те учтено, что $\mu \approx \mu_{0}$, поскольку у диамагнетиков проницасмость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (40.22) хорошо согласуется с экспериментом. если под $\left\langle R^{2}\right\rangle$ понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атомс, вычисленпый но квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная восприимчивость имеет порядок $\sim 10^{-5}$, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрагии атомов [т. е. меньших значений $N$ в формуле (40,22)].

Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула (40.22) показывает, что $\chi_{\text {д }}$ не зависит оm mемпературь, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объяснястся тем, что ларморовское движение электронов устанавливастся очень быстро, за характерные лля атомных процессов промежутки времени. Поэтому пеп.овое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибуд заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хороно подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной воснриимчивости от температуры была открыта экслерименталыно в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).