Дается вывод дифференциальной формы закона полного тока. Обсуждается экспериментальная проверка закона полного тока.

Постановка задачи. Так же как и в электростатике, нам необходимо получить дифференциальную формулировку законов магнитного поля. В электростатике это было сделано, исходя из закона Кулона и принципа суперпозиции как экспериментальных положений. Их интегральная формулировка дается теоремой Гаусса, из которой следует дифференциальное уравнение (13.20).

В случае магнитного поля можно, в принципе, поступить аналогично, а именно, можно исходить из закона Био-Савара (10.10) или (10.11) и принципа суперпозиции для магнитного поля как экспериментальных факторов. Их интегральная формулировка называется законом полного тока (в данной главе для случая стационарных полей), из которых получается соответствующее дифференциальное уравнение. Однако можно поступить по-другому и продолжить теоретический вывод законов магнитного поля из законов электрического поля с помощью теории относительности (см. §8,9). Поэтому исходим из формулы (9.28) для индукции магнитного поля тока, текущего по прямолинейному бесконечному проводнику, которая была получена теоретически.
Интегральная формулировка закона полного тока. Линии индукции магнитного поля, порождаемого током, текущим по прямолинейному бесконечному тонкому проводнику, являются концентрическими окружностями, центр которых лежит на линии тока. Значение индукции дается формулой (9.28). Вычислим циркуляцию вектора В
$\oint \mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{I}$
по некоторому замкнутому вокруг тока $I$ контуру $L$ (рис. 136). Поскольку линии В лежат в плоскостях, перпендикулярных линии тока $I$, контур $L$ следует выбрать лежащим в одной из плоскостей.

Используя при вычислении интеграла (35.1) обозначения, показанные на рис. $137,a$, получаем
$\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=B\mathrm{d}l\cos (\widehat{\mathbf{B},\mathrm{d}\mathbf{l}})=B\mathrm{d}{l}_{\perp }$.
По определению, $\mathrm{d}\alpha =\mathrm{d}{l}_{\perp }/r$. Принимая во внимание формулу (10.3), перепишем (35.2) в виде
B $\cdot \mathrm{d}\mathbf{I}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I}{r}\mathrm{d}{l}_{\perp }=\frac{{\mu }_0}{2\pi }I\mathrm{d}\alpha$.
Тогда
$${\oint }_L\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }I{\oint }_L\mathrm{d}\alpha ={\mu }_{0}I,$$

где учтено, что интеграл от d $\alpha$ по замкнутому контуру, окружающему начало координат, равен $2\pi$. Следовательно, циркуляция вектора В по замкнутому контуру вокруг тока не зависит от вида контура и определяется только силой тока.

Если замкнутый контур $L^{\prime }$ не охватывает ток $I$ (рис. 137,6 ), то
$${\oint }_{L^{\prime }}\mathrm{d}\alpha =0\text{, }$$
т. е. циркуляция вектора B по замкнутому контуру, не охватывающему ток, равна нулю. Поэтому полученные результаты могут быть сформулированы так:

Представим себе, что имеется большое число токов и контур охватывает часть из них (рис. 138). Индукция магнитного поля в каждой точке контура по принципу суперпозиции равна сумме индукции магнитных полей, создаваемых каждым из токов:
$$\mathbf{B}=\sum _i{\mathbf{B}}_i.$$

Подставляя В в левую часть (35.6), получаем
$$\begin{array}{l}{\int }_L\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}={\int }_L\left(\sum _i{\mathbf{B}}_i\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=\sum _i{\int }_L{\mathbf{B}}_i\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=\\ =\sum _k{\mu }_0{I}_k={\mu }_{0}I,\end{array}$$

где индексом $k$ обозначены лишь токи, охватываемые контуром $L$. Токи, не охватываемые $L$, не дают вклада в интеграл. Следовательно, сила тока I в (35.8) есть сумма всех сил токов, охватываемых контуром. Поэтому в общем случае закон полного тока может быть сформулирован в виде
$\frac{138}{\text{ Обобщение закона полного тока }}$ на произвольную совокупность токов где $I$ — сила полного тока, охватываемого контуром $L$. Если сила полного тока равна нулю, то и циркуляция равна нулю. Этот случай реализуется не только тогда, когда контур не охватывает никакого тока, но и тогда, когда охватываемые токи текут в противоположных направлениях и в сумме дают нуль. Например, циркуляция В по контуру, охватывающему два равных по силе тока, текущих в противоположных направлениях, равна ну.ю. В формуле (35.9) знак тока $I$ учитывается по общему правилу (см. § 14): если направление обхода контура $L$ и направление тока связаны правилом правого винта, то знак I положителен.
В противном случае знак $I$ отрицателен.
Выражение (35.9) закона полного тока для вакуума в стационарном случае является непосредственным следствием соотношения (9.28) и может быть проверено экспериментально. Этот закон выше был выведен дтя тока, текущего по прямому бесконечному проводнику, но сейчас станет очевидным, что он справедлив и для произвольного тока.
Дифференциальная форма закона полного тока. Перепишем формулу (35.9) для объемных токов. Обозначим $S$ — поверхность, охватываемую контуром $L$. Как обычно, положительная нормаль к поверхности связана с направлением обхода контура $L$ правилом правого винта.
Сила полного тока $I$, протекающего через поверхность, равна
$$I={\int }_S\mathbf{j}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S},$$

где $\mathbf{j}$ — объемная плотность тока. Следовательно, закон полного тока (35.9) принимает вид
$${\int }_L\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{I}={\mu }_0{\int }_S\mathbf{j}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\text{. }$$

Левую часть равенства (35.11) можно преобразовать по теореме Стокса в интеграл по поверхности:
$${\int }_L\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}={\int }_S\mathrm{rot}\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$$

и представить равенство (31.11) в виде
$${\int }_S[\mathrm{rot}\mathbf{B}-{\mu }_0\mathbf{j}]\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0.$$

Равенство нулю интеграла (35.13) должно соблюдаться при произвольном выборе поверхности $S$. Следовательно, подынтегральное выражение равно нулю:

Равенство (35.14) является дифференциальной формой закона полного тока. Оно имеет дифференциальный характер и справедливо в каждой точке. Отсюда следует, что оио справедливо для произвольного поля, хотя и выведено для поля, порождаемого током, текучим по прямолинейному бесконечному проводнику.

Теперь можно доказать, что закон полного тока (35.9) справедлив для произвольных токов, а не только для прямолинейных. Для доказательства возьмем произвольные токи и проведем произвольную поверхность $S$, ограниченную замкнутым контуром $L$. Умножая обе части (35.14) на элемент dS этой поверхности и интегрируя по dS, находим
$${\int }_S\mathrm{rot}\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\mu }_0{\int }_S\mathbf{j}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

Левую часть (35.15) преобразуем по теореме Стокса (35.12) в интеграл по контуру, а правую часть с помощью (35.10) выразим через полный ток $I$, пересекающий поверхность. В результате (35.15) принимает вид (35.9). Это доказывает, что закон (35.9) справедлив для произвольных токов и произвольных контуров. Отметим также, что при вычислении силы полного тока по формуле (35.10) можно выбрать любую поверхность $S$, натянутую на контур $L$. Отсюда следует, что уравнение (35.14) было получено, исходя из закона Кулона, принципа суперпозиции для напряженности электрического поля, инвариантности заряда и формул теории относительности. Закон Био — Савара в форме (10.10) или (10.11) получастся из (35.14) как решенис этого уравнсния в случае отсутствия токов на бесконечности [см. (37.11в)].
$Э$ кспериментальная проверка закона полного тока. Для демонстрации закона полного тока и для его экспериментальной проверки с пе очень большой точностью можно воспользоваться поясом Роговского. Он представляет собой гибкую проволочную спираль, выполненную в виде пояса (рис. 139), концы которой присоединены к гальванометру. Действие пояса основано на законе электромагнитной индукции Фарадея (см. гл. 8): при изменении магнитного поля в цепи спирали пояса Роговского возникает электрический ток. По показаниям гальванометра можно определить
$${\int }_L\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}\text{, }$$

где $L$ — контур, совпадающий с осью спирали пояса Роговского.
Для демонстрации закона полного тока (35.9) достаточно расположить пояс Роговского в виде замкнутого контура, совпадающего с контурами $L$ и $L^{\prime }$ (см. рис. 137). При включении тока в случае, показанном на рис. $137,a$, наблюдается отклонение стрелки гальванометра, по которому можно убедиться, что интеграл равен ${\mu }_{0}I$. В случае, изображенном на рис. 137,6 , отброс гальванометра отсутствует, что означает равенство нулю циркуляции вектора В по контуру $L^{\prime }$.’
В рованием формулы Био — Савара. Формула (35.14) получается

Коаксиальный кабель
— Если магнитная проницаемость тела больше чем среды, то оно ведет себя как парамагнетик, если меньше — как диамагнетик.
Циркуляция вектора индукции по замкнутому контуру вокруг тока не зависит от вида контура и определяет ся только силой тока.
сразу, если взять операцию rot от обеих частей формулы (10.11), выражающей закон Био — Савара. В правой части операция rot применяется только к подынтегральному выражению, поскольку объем $V$ интегрирования не зависит от переменных, по которым выполняется операция. От этих переменных ј в подынтегральном выражении не зависит, а зависит лишь $\mathbf{r}$ и . Вычислив rot и проведя интегрирование, получим формулу (35.14). Эти вычисления можно провести в качестве упражнения.
Пример 35.1. С помощью закона полного тока найти индукцию магнитного поля в коаксиальном кабеле, который используется для передачи постоянного тока (рис. 140). Ток течет по чентральной жиле радиусом $r_1$ и возвращается по оболочке, внутренний и внешний радиусы которой равны $r_2$ и $r_3$. Пространство между жилой и оболочкой заполнено диэлектриком.
Учитывая осевую симметрию магнитного поля, по закону полного тока получаем
$$B=\frac{\mu }{2\pi }\frac{I_r}{r}$$

где $I_r$ — сила тока, охватываемого круговым контуром радиусом $r$. Плотность тока в жиле $j_1=$ $=I/\left(\pi r_1^2\right)$. Поэтому при $0<r<r_1$ имеем $I_r=$ $=j_1\pi r^2=I{r}^2/r_1^2$ и, следовательно, $B=\mu Ir/\left(2\pi r_1^2\right)$.

При $r_1<r<r_2$ имеем $I_r=I=$ const и, следовательно,
$B=\mu l/(2\pi r)$.
При $r_2<r<r_3$ контур охватывает встречный ток, плотность которого
$j_2=I/\left[\pi (r_3^2-r_2^2)\right]$.
Тогда сила тока, охватываемого контуром при $r_2<r<r_3$, и индукция магнитного поля равны:
$I_r=I-I\frac{r^2-r_2^2}{r_3^2-r_2^2}$,
$B=\frac{\mu I}{2\pi r}(1-\frac{r^2-r_2^2}{r_3^2-r_2^2})$.
Вне кабеля индукция поля обращается в нуль.