Обсуждаются физический смысл, условия применимости, полнота и совместность системы уравнений Максвелла.
Система уравнений Максвелла. Полученные в предыдущих параграфах в результате обобщения экспериментальных фактов уравнения (57.5), (46.5), (36.4), (17.30) составляют систему уравнений Максвелла:
$\operatorname{rot} \mathbf{H}=\mathbf{j}+\partial \mathbf{D} / \partial t$, (I) $\quad \operatorname{div} \mathbf{B}=0$, (III)
$\operatorname{rot} \mathbf{E}=-\partial \mathbf{B} / \partial t$, (II) $\operatorname{div} \mathbf{D}=\rho$. (IV)
Эти уравнения, называемые полевыми, применимы для описания всех макроскопических электромагнитных явлений. При рассмотрении конкретной ситуации необходимо учесть электромагнитные свойства материальных сред. Во многих случаях это достигается соотношениями (17.31), (38.24), (16.5):
$\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}, \mathbf{B}=\mu \mathbf{H}, \mathbf{j}=\gamma \mathbf{E}(\mathbf{V})$,
называемыми обычно материальными уравнениями. Однако существует много явлений, когда материальные уравнения имеют другой вид (например, нелинейные явления) и их установление составляет самостоятельную научную задачу.
Физический смысл уравнений. Уравнение (I) выражает закон, по которому магнитное поле порождается токами проводимости и смещения, являющимися двумя возможными источниками магнитного поля.
Уравнение (II) выражает закон электромагнитной индукции и указывает на изменяющееся магнитное поле как на один из возможных источников, порождающих электрическое поле. Вторым источником электрического поля являются электрические заряды, порождение поля которыми описывается уравнением (IV), выражающим закон Кулона. Физический смысл уравнения (III) подробно обсуждается в связи с (36.4).

Материальные уравнения (V) являются соотношениями между векторами поля и токами, учитывающими свойства материальной среды. Учет диэлектрических свойств, феноменологически описываемых поляризованностью, содержится в диэлектрической проницаемости $\varepsilon$; учет магнитных свойств, феноменологически описываемых намагниченностью, содержится в магнитной проницаемости $\mu$; учет проводящих свойств среды содержится в удельной проводимости $\gamma$.

Уравнения поля являются линейными, учитывающими принцип суперпозиции, который является независимым экспериментальным фактом.
$\mathbf{Y}^{\text {словия применимости уравнений. По ходу обоснования уравнения }}$
(58.1) видно, что они справедливы при следующих условиях:
1) материальные тела в поле неподвижны;
2) материальные константы $\varepsilon, \mu, \gamma$ могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля;
3) в поле отсутствуют постоянные магниты и ферромагнитные тела.

Для того чтобы учесть движение среды, проще всего поступить так. Наличие среды для электрических и магнитных явлений сводится в конечном счете к наличию зарядов среды и их движениям. Поэтому можно исходить из уравнений Максвелла для вакуума ( $\varepsilon=\varepsilon_{0}, \mu=\mu_{0}$ ), а среду учесть точно так же, как это делалось в § 17 и 38, но приняв во внимание движение зарядов. В результате получается, что уравнения поля (58.1) сохраняют без изменения свой вид, а весь учет движения среды сводится к модификации материальных уравнений (58.1б), которые становятся зависимыми от скорости среды и значительно усложняются. При этом они перестают быть соотношениями между двумя величинами (например, между D и $\mathbf{E}$ и т. д.), а «зацепляются» друг за друга. Например, плотность тока проводимости начинает зависеть от индукции магнитного поля, а не только от напряженности электрического поля и т. д.

Поле вне постоянных магнитов и ферромагнетиков в предположении, что известна их намагниченность, можно описать с помощью уравнений Максвелла. Однако решить задачу при наличии ферромагнетиков в пространстве, когда, например, заданы токи, с помощью уравнений Максвелла нельзя. Они неприменимы для этого случая.
Полнота и совместность системы уравнений. С помощью материальных уравнений (58.1б) можно исключить из полевых уравнений (58.1a) величины D, H и $\mathbf{j}$, в результате чего они становятся уравнениями относительно векторов Е и В, т. е. относительно шести неизвестных независимых компонент этих величин. С другой стороны, число скалярных уравнений в (58.1a) равно восьми. Получается, что имеется восемь уравнений для шести неизвестных величин, т. е. число уравнений превышает число неизвестных, что недопустимо, поскольку система уравнений кажется переполненной.

Однако в действительности система не переполнена и никаких трудностей не возникает. Это обусловлено тем, что уравнения (I) и (IV) и (II) и (III) имеют одинаковые дифференциальные следствия и потому связаны между собой, хотя и нельзя сказать, что какие-то из них являются следствиями других.

Для доказательства одинаковости дифференциальных следствий уравнений (II) и (III) применим к обоим частям уравнения (II) операцию div, а обе части уравнения (III) продифференцируем по времени. В обоих случаях получается одно и то же уравнение $\partial \operatorname{divB} / \partial t=0$.
Докажем, что с учетом закона сохранения заряда
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \mathbf{j}=0
\]

уравнение (IV) можно рассматривать как дифференциальное следствие уравнения (I). Для доказательства применим операцию div к обеим частям уравнения (I):
$\operatorname{div} \mathbf{j}+\partial \operatorname{div} \mathbf{D} / \partial t=0$,
где $\operatorname{div} \operatorname{rot} \mathbf{H}=0$. Сравнивая (58.3) с (58.2), находим, что должно выполняться равенство
\[
\operatorname{div} \mathbf{D}=\rho,
\]

совпадающее с уравнением (IV). Тем самым доказано, что (IV) является дифференциальным следствием уравнения (I) с учетом закона сохранения заряда.

Наличие двух дифференциальных связей между уравнениями (I-IV) делает эту систему совместной. Более подробный анализ показывает, что система уравнений является полной, а ее решение однозначно при заданных граничных и начальных условиях. Доказательство единственности решения в общих чертах сводится к следующему. Если имеется два различных решения, то их разность вследствие линейности уравнений Максвелла является также решением, но при нулевых зарядах и токах и нулевых начальных и граничных условиях. Отсюда, пользуясь выражением для энергии электромагнитного поля и законом сохранения энергии, заключаем, что разность решений тождественно равна нулю, т.е. решения одинаковы. Тем самым единственность решения уравнений Максвелла доказана.