Рассматриваются силы, действуючие на заряды, проводники и диэлектрики в электрическом поле. Анализируется возникновение объемных и поверхностных сил.

Природа сил. Все силы, возникающие в электростатическом поле, являются в конечном счете силами, действующими на заряд.
Сила, действующая на точечный заряд. Она равна
91
Сила и момент сил, действую-

С ила, действующая на непрерывно распределенный заряд. Она равна
Следовательно, объемная шлотность сил

Сила, действующая на диполь. Она равна сумме сил, приложенных к зарядам диполя (рис. 91):
\[
\mathbf{F}=\mathbf{F}_{(+)}+\mathbf{F}_{(-)}=q[\mathbf{E}(\mathbf{r}+\mathbf{l})-\mathbf{E}(\mathbf{r})] .
\]

Здесь $\mathbf{E}(\mathbf{r}+\mathbf{1})$ можно представить в виде ряда по $l_{x}, l_{y}, l_{z}$ и ограничиться линейными членами:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{E}(\mathbf{r}+\mathbf{l})=\mathbf{E}(\mathbf{r})+l_{x} \frac{\partial \mathbf{E}(\mathbf{r})}{\partial x}+l_{y} \frac{\partial \mathbf{E}(\mathbf{r})}{\partial y}+ \\
+l_{z} \frac{\partial \mathbf{E}(\mathbf{r})}{\partial z}+\ldots=\mathbf{E}(\mathbf{r})+(\mathbf{l} \cdot
abla) \mathbf{E}(\mathbf{r}),
\end{array}
\]

где $(\mathrm{l} \cdot
abla)=l_{x} \frac{\partial}{\partial x}+l_{y} \frac{\partial}{\partial y}+l_{z} \frac{\partial}{\partial z} \cdot$ С учетом (19.5) формула (19.4) принимает вид

В однородном поле сила, действующая на диполь, равна нулю, поскольку к зарядам
6 А Н. Матвеев
диполя приложены противоположно направленные и равные по модулю силы.
Момент сил, действующих на диполь. Силы, приложенные к зарядам диполя (см. рис. 91), составляют пару сил с моментом

Объемные силы, действующие на диэлектрик. Сила, приложенная к элементу объема $\mathrm{d} V$ диэлектрика, равна сумме сил, действующих на элементарные диполи внутри этого объема. Поэтому формула (19.6) принимает вид
\[
\mathrm{d} \mathbf{F}=\sum_{\Delta V} \mathbf{F}_{i}=\sum_{\Delta V}\left(\mathbf{p}_{i} \cdot
abla\right) \mathbf{E}_{i}
\]

где $\Delta V$ означает, что суммирование проводится по всем элементарным диполям в объеме $\Delta V$. В макроскопической картине напряженность $\mathbf{E}$ считается медленно изменяющейся величиной. Поэтому в сумме (19.8) $\mathbf{E}_{i}$ можно заменить на одинаковую для всех членов суммы напряженность E. Тогда суммирование в (19.8) сведется к вычислению $\sum_{\Delta V} \mathbf{p}_{i}=\mathbf{P} \Delta V$

Поэтому из (19.8) для объемной плотности силы, действуюцей в диэлектрике, получаем
$\mathbf{f}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{F}}{\Delta \boldsymbol{V}}=(\mathbf{P} \cdot \boldsymbol{
abla}) \mathbf{E}$.
Примем во внимание, что $\mathbf{P}=\varkappa \varepsilon_{0} \mathbf{E}=\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) \mathbf{E}$, и используем известное из векторного анализа тождество
\[
(\mathbf{E} \cdot \mathbf{
abla}) \mathbf{E}=1 / 2 \operatorname{grad} E^{2}-\mathbf{E} \times \operatorname{rot} \mathbf{E} \text {, }
\]

в котором ввиду потенциальности электростатического поля, $\operatorname{rot} \mathbf{E}=0$. Тогда [см. (19.10)]

Эта формула справедлива как для абсолютно жестких диэлектриков, так и для сэсимаемых диэлектриков при условии, что их поляризованность линейно зависит от плотности массы или, иначе говоря, при условии, что дипольные моменты индивидуальных молекул и атомов при сжатии и растяжении элемента объема не изменяются, а дипольные моменты, обусловленные смещением ионов, либо отсутствуют, либо их вклад в поляризованность может считаться несущественным. Эти условия выполняются у газов и в большинстве случаев у жидкостей.

Эта формула очень наглядна, поскольку показывает, что на элементарные объемы диэлектрика действуют силы, стремящиеся сдвинуть эти объемы в направлении максимальной скорости возрастания модуля напряженности электрического поля. Иногда это выражают в виде утверждения, что элемент объема диэлектрика увлекается в направлении роста модуля напряженности.

Формула для объемной плотности сил, справедливая для изотропных сжимаемых диэлектриков, имеет вид [см. (19.41)]
$\mathbf{f}=-\frac{1}{2} E^{2} \operatorname{grad} \varepsilon+\frac{1}{2} \operatorname{grad}\left[\rho_{m}\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}}\right)_{T} E^{2}\right]$,
где $\rho_{m}$-плотность массы диэлектрика. Эта формула справедлива и тогда, когда $\varepsilon
eq$ const. Если $P$ линейне зависит от $\rho_{m}$, то $\varepsilon=D / E=$ $=\varepsilon_{0}+P / E, P \sim \rho_{m}$, откуда $\rho_{m}\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}}\right)=\varepsilon-\varepsilon_{0}$, и формула (19.13) переходит в (19.12). Если внутри диэлектрика имеются свободные заряды и гидростатическое давление, то в (19.13) добавляется объемная плотность $\rho \mathbf{E}$ сил, действующих на свободные заряды, и гидростатическое давление.

Применим эти формулы для определения сил, действующих на диэлектрический шар в однородном поле (см. рис. 88). Для применения формулы (19 12) необходимо считать, что переход от внешней области с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_{2}$ к внутренней области с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_{1}$ совершается не скачком на поверхности шара, а непрерывно в некотором тонком сферическом слое. В этом слое напряженность $\mathbf{E}$ изменяется непрерывно от ее значения вне шара до значения внутри шара. В каждой точке сферического слоя для вычисления силы можно использовать формулу (19.12).

В случае $\varepsilon_{1}>\varepsilon_{2}$ напряженность поля внутри шара меньше, чем вне шара. Поэтому сила в каждой точке слоя направлена во внешнюю сторону шара. Вследствие симметрии равнодействующие этих сил по разные стороны шара стремятся растянуть шар по линии напряженности внешнего поля (см. рис. $88, a$ ), однако результирующая всех сил равна нулю и шар как целое остается в покое. При $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}$ силы в переходном сферическом слое направлены внутрь шара и их равнодействующие по разные стороны шара стремятся его сплющить по линии напряженности внешнего поля. Результирующая сила, действующая на шар в целом, как и ранее равна нулю (рис. 88,б).

Однако если внешнее поле неоднородно, то результирующая сила, действующая на шар в целом, не равна нулю. Легко видеть, что при $\varepsilon_{1}>\varepsilon_{2}$ она направлена в сторону возрастания напряженности поля в среде Этим объясняется, что легкие диэлектрические предметы притягиваются к наэлектризованным телам, поскольку для воздуха $\varepsilon_{2}=\varepsilon_{0}$ и всегда соблюдается условие $\varepsilon_{1}>\varepsilon_{0}$. Если же $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}$, то она направлена противоположно, т. е. в сторону уменьшения напряженности поля в среде Поэтому в среде с достаточно большой диэлектрической проницаемостью диэлектрические предметы с меньшей диэлектрической проницаемостью отталкиваются от наэлектризованных тел.

При исследовании поведения напряженности электрического поля на границе между двумя диэлектриками (см. рис. 84 и 85) было 6*
Механнзм возникновения силы отталкнвания со стороиы заряда на нейтральное диэлектрическое тело, помещенное в диэлектрическую среду с больщей, чем у тела, диэлектрической проницаемостью
95
Вытянутый эллипсоид в среде с большей, чем у него, диэлектрнческой пронндаемостью располагается поперек поля своей длинной осью
замечено, что $E^{2}$ всегда возрастает в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью. Поэтому из формулы (19.12) с помощью рассуждений, аналогичных использованным в случае диэлектрического шара, приходим к выводу, что на незаряженной границе между двумя диэлектриками сила всегда направлена в сторону диэлектрика с менышей диэлектрической проницаемостью. Этим объясняются многие явления. Например, диэлектрические тела, кусочки бумаги и т. д. притягиваются к заряду. Конечно, в любых частях поверхности тела, кусочка бумаги и т. д. силы направлены во внешнюю сторону, однако эти силы больше в частях поверхности, находяцихся ближе к заряду. В результате возникает суммарная сила притяжения (рис. 92).
Такое поведение диэлектриков может быть понято, исходя из выражения (18.35) для энергии диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon_{2}$, находящегося в среде с проницаемостью $\varepsilon_{1}$. Очевидно, что при $\varepsilon_{2}>\varepsilon_{1}$ эта энергия отрицательна. Она уменьшается из-за увеличения $\varepsilon_{2}$ и $\mathbf{E}_{1}$ и уменьшения $\varepsilon_{1}$. Так как система стремится к минимуму энергии, то при $\varepsilon_{2}>\varepsilon_{1}$ тело будет втягиваться в области с большей напряженностью поля или с меньшей диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_{1}$. Если же $\varepsilon_{2}<\varepsilon_{1}$, то диэлектрик с $\varepsilon_{2}$ будет выталкиваться из области с большей напряженностью в область с меньшей напряженностью.
Допустим, что диэлектрическое тело в виде вытянутого эллипсоида, помещено в поле, изображенное на рис. 93. Так как во всех точках поверхности эллипсоида силы, действующие во внешнюю сторону, больше там, где больше градиент квадрата напряженности, то возникает момент сил, стремящийся развернуть эллипсоид длинной осью в направлении силовых линий. Это особенно ясно, если вспомнить, что все части диэлектрика увлекаются в область наибольшей напряженности.
Если диэлектрическая проницаемость тела меньше диэлектрической проницаемости среды, то силы в поверхностном слое тела направлены во внешнюю сторону. Поэтому направление результирующей силы изменится. Диэлектрические тела, кусочки бумаги и т. д. вместо притяжения к наэлектризованному телу отталкиваются. Картина сил в этом случае показана на рис. 94. Вытянутый диэлектрический эллипсоид в среде с большей, чем у него, диэлектрической проницаемостью располагается своей длинной осью не в направлении силовых линий, а перпендикулярно их направлению (рис. 95). В этом случае части диэлектрика выталкиваются из области с большей напряженностью в области с меньшей напряженностью.
Силы, действующие на проводник. На заряд $\mathrm{d} q=\sigma \mathrm{d} S$, находящийся
на элементе поверхности $\mathrm{d} S$ проводника, действует лишь половина напряженности поля, имеющегося у поверхности проводника, поскольку вторая половина создается самим зарядом элемента поверхности и не может на него действовать (см § 16, рис. 39). Следовательно, поверхностная плотность силы равна
\[
\mathbf{f}_{\text {пов }}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{F}}{\mathrm{d} S}=\frac{\sigma \mathbf{E}}{2}=\frac{\sigma^{2}}{2 \varepsilon} \mathbf{n},
\]

где $\mathbf{n}$ – единичный вектор внешней нормали к поверхности проводника; $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды, с которой граничит проводник [см. (17.28)]. Таким образом, на поверхности проводника сила всегда действует в направлении внешней нормали и как бы стремится увеличить его объем.

Результирующая сила, действующая на проводник в целом [см. (18.24)], равна
$\mathbf{F}=\frac{1}{2} \int_{S} \frac{\sigma^{2}}{\varepsilon} \mathbf{n} \mathrm{d} S=\frac{1}{2} \int_{S} \frac{\sigma^{2}}{\varepsilon} \mathrm{d} \mathbf{S}$,
где $S$ – поверхность проводника.
Выражение (19.15) позволяет сразу же вычислить силу, приходящуюся на участок площадью $S$ обкладки плоского конденсатора, заполненного диэлектриком:
$F=\frac{1}{2} \frac{\sigma^{2}}{\varepsilon} S$,
поскольку поле при этом однородно, т.е. $\sigma$ и $\varepsilon$ в подынтегральном выражении (19.15) являются постоянными. Эта сила направлена внутрь конденсатора.
Поверхностные силы, действующие на диэлектрик. Объемные силы электростатического происхождения в состоянии равновесия не приводят в движение соответствующие элементы объема. Они вызывают деформачию среды, в результате которой возникают объемные силы упругости, полностью уравновешивающие объемные электростатические силы. Аналогичное равновесие возникает в объеме жидкости, находящейся в поле тяжести. На каждый элемент объема действует сила тяжести жидкости, находящейся в элементе объема, однако она уравновешивается силой, возникающей в результате давления соседних участков жидкости на поверхность элемента объема. Объемные электрические силы приводят в движение элементарные объемы лишь при достаточно быстрых изменениях полей, когда упругие силы не уравновешивают электрические силы в каждый момент времени. Равнодействующая всех объемных сил приложена к диэлектрику в целом и может вызвать его движение, если только она не уравновешена какой-то другой силой.

Наряду с объемными у диэлектриков имеются также поверхностные силы, которые возникают в поверхностном слое диэлектрика. Они действуют наряду с объемными. При их выводе будем исходить из первого начала термодинамики.

При изотермических процессах термодинамическим потенциалом является свободная энергия $F$, связанная с работой соотношением
\[
\mathrm{d} A=-\mathrm{d} F \text {. }
\]

Поскольку термодинамические соотношения при отсутствии электрического поля были изучены в молекулярной физике, ограничимся учетом лишь тех величин, которые зависят от электрического поля. Поэтому в (19.17) рассматриваются лишь работа и изменение свободной энергии, обусловленные электрическим полем. Работу и изменение свободной энергии, обусловленные деформациями и силами упругости, не учитываем, т. е. считаем диэлектрик недеформируемым. Кроме того, ограничимся изотропными диэлектриками.

Свободной является та часть внутренней энергии, которая не связана в системе и доступна для получения работы. Ее величина зависит от условий осуществления процесса.

Рассмотрим плоскую границу между диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$. В качестве конкретной модели физической системы можно взять плоский конденсатор, пространство между обкладками которого заполнено жидкими диэлектриками с плоской границей раздела. Граница раздела может проходить либо параллельно, либо перпендикулярно обкладкам. С помощъю этой модели можно получить выражения для поверхностной плотности сил, действующих на границе между диэлектриками. Так как соотношения, которые будут получены, имеют локальный характер, они не зависят от конкретного вида нелокальной модели, в рамках которой получены, т. е. имеют обций характер.

Рассмотрим плоскую границу, параллельную обкладкам конденсатора (рис. 96). Напряженность Е поля перпендикулярна границе. В качестве положительной нормали выберем ту, которая направлена во второй диэлектрик. При бесконечно малом смещении границы производится работа за счет изменения свободной энергии. Вычислив независимо работу и изменение свободной энергии, найдем из (19.17) поверхностную плотность сил. Конечно, смещение $\mathrm{d} x$ следует рассматривать как виртуальное, т. е. не обязательно фактически осуществляемое.

Работа при смещении элемента поверхности $\Delta S$ по нормали на $\mathrm{d} x$ равна
$\mathrm{d} A=\Delta S f_{\Pi} \mathrm{d} x$,
где $f_{п}$ – поверхностная плотность силы.
При вычислении $\mathrm{d} F$ учтем, что на границе между диэлектриками $D_{2}=D_{1}$, т. е. смещение границы происходит при $D=$ const. Это соответствует условию постоянства заряда на обкладках конденсатора, поскольку $D=\sigma$. Следовательно, надо вычислить $\mathrm{d} F$ 96 при постоянном заряде $q$ обкладок, т.е. $(\mathrm{d} F)_{T, q}$. При смещении границы на $\mathrm{d} x$ объем $\Delta S \mathrm{~d} x$, первоначально заполненный электрической энергией с плотностью $E_{2} D_{2} / 2$, станет эаполненным энергией с плотностью $E_{1} D_{1} / 2$. Других энергетических факторов, участвующих в процессе при производстве работы, нет. Следовательно, разность энергий в объеме $\Delta S \mathrm{~d} x$ после перемещения границы и до ее перемещения и составляет изменение свободной энергии:
\[
(\mathrm{d} F)_{T, q}=\left(\frac{1}{2} D_{1 n} E_{1 n}-\frac{1}{2} D_{2 n} E_{2 n}\right) \Delta S \mathrm{~d} x,
\]

Возникновенне максвелловских натяжений
97
Воэннкновенне максвелловских
давлеиий
где индекс $n$ означает, что рассматриваются нормальные компоненты D и E.

С учетом (19.18) и (19.19) соотношение (19.17) принимает вид
\[
f_{\mathrm{n}}=1 / 2 E_{2 n} D_{2 n}-1 / 2 E_{1 n} D_{1 n} \text {. }
\]

Поверхностная плотность силы направлена по нормали к границе раздела. Из (19.20) видно, что поверхностная плотность силы $f_{п}$ слагается из двух частей:
1) поверхностной плотности силы
\[
f_{2 \mathrm{\pi}}=1 / 2 E_{2 n} D_{2 n} \text {, }
\]

возникающей под влиянием электрического поля второй среды и направленной в сторону второй среды;
2) поверхностной плотности силы
\[
f_{1 п}=-1 / 2 E_{1 n} D_{1 n} \text {, }
\]

возникающей под влиянием электрического поля первой среды и направленной в сторону первой среды.
Компонента поля, нормальная к поверхности раздела дизлектриков, как бы притягивает к себе поверхность с поверхностной плотностью силы, равной объемной плотности электрической энергии попя, связанной с этой компонентой.
Компонента поля, тангенциальная к поверхности раздела дизлектриков, как бы давит на поверхность, причет давление равно объенной плотности электрической энергии поля, связанной с этой компонентой.
Всегда, независимо от ориентации поля, поверхностная сила действует в сторону дизлектрика с пеньшей дизлектрической проницаемостью.

Таким образом, в данном случае электрические поля, находящиеся по разные стороны от граничы раздела как бы притягивают к себе поверхность раздела с поверхностной плотностью силы, равной объемной плотности электрической энергии, приходящейся на нормальную компоненту напряженности поля.

Равнодействующая двух сил, приложенных к поверхности раздела от полей по разные стороны от границы, является полной силой, действующей на границу раздела. Так как $D_{2 n}=D_{1 n}=D_{n}$, то [см. (19.20)] $f_{\mathrm{\Pi}}=\frac{1}{2} D_{n}^{2}\left(\frac{1}{\varepsilon_{2}}-\frac{1}{\varepsilon_{1}}\right)$.

При $\varepsilon_{2}<\varepsilon_{1}$ поверхностная плотность силы $f_{\text {п }}>0$. Это означает, что на границу раздела сила действует в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью, т.е. в направлении бо́льшей объемной плотности электрической энергии. Заметим, что объемная плотность силы [см. (19.12)] также направлена в сторону увеличения объемной плотности электрической энергии.

Теперь рассмотрим диэлектрики, плоская граница между которыми перпендихулярна обкладкам плоского конденсатора (рис. 97). В этом случае на границе соблюдается условие $E_{2 \tau}=E_{1 \tau}=E_{\tau}$, поскольку напряженность поля направлена параллельно границе. Индекс $\tau$ означает тангенциальные к поверхности раздела компоненты векторов. Смещение границы происходит при условии $E_{\tau}=$ const, т. е. при постоянной разности потенциалов. Следовательно, необходимо вычислить изменение свободной энергии $(\mathrm{d} F)_{T, \varphi}$. Для поддержания неизменной разности потенциалов необходимо изменить плотность зарядов на той части обкладок конденсатора, которая соответствует смещению поверхности раздела на $\mathrm{d} x$. Для этого затрачивается энергия по перемецению заряда, равная $\mathrm{d} q\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)=\mathrm{d} q E_{\imath} l$, где $E_{\tau}$ и $l$ – напряженность поля и расстояние между обкладками конденсатора. Поверхностные плотности заряда в области соприкосновения обкладок с первым и вторым диэлектриком равны соответственно $\sigma_{1}=\varepsilon_{1} E_{1}=\varepsilon_{1} E_{\tau}$ и $\sigma_{2}=\varepsilon_{2} E_{2}=$ $=\varepsilon_{2} E_{\tau}$. Глубина диэлектрика в направлении, перпендикулярном плоскости рис. 97, равна $\Delta S / l$. Следовательно,
\[
\mathrm{d} q=\left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right)(\Delta S / l) \mathrm{d} x .
\]

При данных условиях для производства работы доступна лишь разность между энергией поля и энергией, которая затрачивается для поддержания постоянства потенциалов. Поэтому изменение свободной энергии равно
\[
(\mathrm{d} F)_{T, \varphi}=\left({ }^{1} / 2 E_{1 \tau} D_{1 \tau}-1 / 2 E_{2 \tau} D_{2 \tau}\right) \Delta S \mathrm{~d} x-\left(\sigma_{2}-\sigma_{1}\right)(\Delta S / l) \mathrm{d} x E_{\tau} l .
\]

Так как $\sigma_{2}=\varepsilon_{2} E_{\tau}$ и $\sigma_{1}=\varepsilon_{1} E_{\tau}$, то
\[
(\mathrm{d} F)_{T \varphi}=-\left({ }^{1} / 2 E_{1 \tau} D_{1 \tau}-1 / 2 E_{2 \mathrm{r}} D_{2 \tau}\right) \Delta S \mathrm{~d} x \text {. }
\]

С учетом (19.18) и (19.26) соотношение (19.17) принимает вид
\[
f_{\Pi}=-1 / 2 E_{2 \tau} D_{2 \tau}+{ }^{1 / 2} E_{1 \tau} D_{1 \tau} .
\]

Эта поверхностная плотность силы также направлена по нормали х поверхности раздела. Из (19.27) видно, что она слагается из двух частей:
1) поверхностной плотности силы
\[
f_{2 \pi}=-1 / 2 E_{2 \tau} D_{2 \mathrm{r}} \text {, }
\]

действующей на границу раздела в направлении первой среды со стороны электрического поля второй среды. Напомним, что положительная нормаль выбрана из первой среды во- вторую и, следовательно, знак минус в (19.28) свидетельствует о направлении силы из второй среды в первую:
2) плотности силы
\[
f_{1 \mathrm{n}}=1 / 2 E_{1 \mathrm{r}} D_{1 \mathrm{v}}
\]

действующей на границу в направлении положительной нормали со стороны электрического поля первой среды.

Таким образом, за счет тангенциальной компоненты напряженности электрическое поле как бы давит на граничащую с ним поверхность раздела, причем давление равно объемной плотности энергии, приходящейся на тангенциальную компоненту напряженности поля.

Равнодействующая сил давления, приложенных к поверхности раздела со стороны полей по разные стороны границы, является полной силой, приложенной $\mathbf{к}$ границе. Поскольку $E_{1 \tau}=E_{2 \tau}=E_{\tau}$, формула (19.27) принимает вид
\[
f_{\text {п }}=1 / 2 E_{\tau}^{2}\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}\right) \text {. }
\]

При $\varepsilon_{2}<\varepsilon_{1}$ плотность силы $f_{\text {п }}>0$. Следовательно, поверхностная плотность силы направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью. Таким образом, всегда, независимо от ориентачии поля относительно поверхности раздела, поверхностная плотность силь направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью [см. (19.12)]. Справедливость и общность этого утверждения также следуют из равенства (18.36), если принято во внимание, что система стремится перейти в состояние с наименьшей энергией.
Объемные силы, действующие на сжимаемый диэлектрик. Исходим из формулы (18.36), в которой $\delta \varepsilon$ обусловливается деформацией, изменяющей плотность массы. Процессы предполагаются изотермическими ( $T=$ const). Диэлектрическая проницаемость изменяется от точки к точке, являясь функцией от $\mathbf{r}$, и, кроме того, может зависеть от плотности $\rho_{m}$ массы диэлектрика, т. е. $\varepsilon=\varepsilon\left(\mathbf{r}, \rho_{m}\right)$. Пусть при деформации элемент объема $\mathrm{d} V$ смещается на $I$ и при этом происходит изменение плотности массы диэлектрика. Элемент объема, который после смещения находится в точке с радиус-вектором $\mathbf{r}$, до смещения находился в точке $\mathbf{r}-\mathbf{1}$. Следовательно,
\[
\mathrm{d} \varepsilon=-1 \operatorname{grad} \varepsilon+\frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}} \delta \rho_{m},
\]

где $\delta \rho_{m}$ – изменение плотности массы диэлектрика.

Можно показать, что элемент объема $\mathrm{d} V^{\prime}$ после деформирования равен
\[
\mathrm{d} \boldsymbol{V}=(1+\operatorname{div} \mathbf{l}) \mathrm{d} V^{\prime} .
\]

Закон сохранения массы для элемента объема имеет вид
\[
\rho_{m} \mathrm{~d} V=\rho_{m}^{\prime} \mathrm{d} V^{\prime}
\]

или
$\rho_{m}(1+\operatorname{div} \mathrm{I}) \mathrm{d} V^{\prime}=\rho_{m}^{\prime} \mathrm{d} V^{\prime}$,
где $\rho_{m}$ и $\rho_{m}^{\prime}$ – плотности массы после деформации и до деформации. Из (19.34) следует, что для бесконечно малого смецения
$\delta \rho_{m}=\rho_{m}-\rho_{m}^{\prime}=-\rho_{m} \operatorname{div} \mathbf{~}$.
Подставляя (19.31) и (19.35) в (18.36), находим
$\delta W=\frac{1}{2} \int\left[E^{2} \mathbf{l} \cdot \operatorname{grad} \varepsilon+E^{2} \rho_{m} \frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}} \operatorname{div} \mathbf{l}\right] \mathrm{d} V$.
По формуле (П.12) имеем
$E^{2} \rho_{m} \frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}} \operatorname{div} \mathbf{l}=\operatorname{div}\left(E^{2} \rho_{m} \frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}} 1\right)-1 \cdot \operatorname{grad}\left(E^{2} \rho_{m} \frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}}\right)$.
Тогда [см. (19.36)]
$\delta W=\frac{1}{2} \int\left[E^{2} \operatorname{grad} \varepsilon-\operatorname{grad}\left(E^{2} \rho_{m} \frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}}\right)\right] \cdot 1 \mathrm{~d} V+\frac{1}{2} \int \operatorname{div}\left(E^{2} \rho_{m} \frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}} 1\right) \mathrm{d} V$.

При обычных предположениях о непрерывности подынтегральных выражений можно второй из интегралов преобразовать по теореме Гаусса – Остроградского в интеграл по поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем. Считая для упрощения рассуждений, что диэлектрик занимает все пространство, а порождающие поле заряды распределены в конечной области пространства, убеждаемся, что второй интеграл равен нулю, поскольку $E^{2} \sim 1 / r^{4}$, где $r$ – расстояние от заряда до поверхности интегрирования и, следовательно,
\[
\int \operatorname{div}\left(E^{2} \rho_{m} \frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}} \mathbf{l}\right) \mathrm{d} V=\int_{S \rightarrow \infty} E^{2} \rho_{m} \frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}} \mathbf{l} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \rightarrow 0 .
\]

Объемная плотность сил $\mathbf{f}$ описывает действие электрического поля на диэлектрик. Объемная плотность совершаемой этой силой работы при деформации равна f.l. Поэтому закон сохранения энергии при деформации с учетом (19.38) и (19.39) имеет вид
\[
\int \mathbf{f} \cdot \mathbf{l d} V=-\frac{1}{2} \int\left[E^{2} \operatorname{grad} \varepsilon-\operatorname{grad}\left(E^{2} \rho_{m} \frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}}\right)\right] \cdot 1 \mathrm{~d} V .
\]

Так как равенство (19.40) справедливо при произвольных смещениях lo

Эта формула справедлива для изотропных сжимаемых диэлектриков при произвольной зависимости $\varepsilon$ от плотности массы $\rho_{m}$ [см. (19.13)].

Если поляризованность линейно зависит от объемной плотности массы, то
$\rho_{m} \frac{\partial \varepsilon}{\partial \rho_{m}}=\varepsilon-\varepsilon_{0}$
и (19.41) переходит в (19.12). Следовательно, формула (19.12) справедлива не только для жестких диэлектриков, но и для сжимаемых c $P \sim \rho_{m}$.

Хотя формула (19.41) для упрощения рассуждений при преобразованиях (19.39) была выведена в предположении, что диэлектрик занимает все пространство, она справедлива всегда, поскольку является дифференциальным соотношением, справедливость которого не может зависеть от того, что происходит в других точках пространства.
В ычисление сил из выражения для энергии. Для того чтобы перенести заряд $\mathrm{d} q$ в точку с потенциалом $\varphi$, необходимо совершить работу $\varphi \mathrm{d} q$. Поэтому полное изменение энергии системы зарядов при изменении зарядов на $\mathrm{d} q_{i}$ равно
$\sum_{j} \varphi_{J} \mathrm{~d} q_{J}$.
Оно сопровождается изменением энергии электрического поля на $\mathrm{d} W$ и производством работы зарядами. Если конфигурация системы характеризуется параметрами $\xi_{\text {, }}$, то, по определению, обобщенной силой, связанной с этим параметром, называется величина $F_{i}$, такая, что $F_{i} \mathrm{~d} \xi_{i}$ является работой, которую производит система при изменении параметра $\xi_{i}$ на $\mathrm{d} \xi_{i}$. Закон сохранения энергии имеет вид
\[
\sum_{j} \varphi_{j} \mathrm{~d} q_{j}=\mathrm{d} W+\sum_{i} F_{i} \mathrm{~d} \xi_{i} .
\]

Рассмотрим прежде всего виртуальные процессы, в которых заряды сохраняют постоянные значения, т. е. $\mathrm{d} q_{1}=0$. В этом случае уравнеиие (19.44) принимает вид
\[
\mathbf{0}=(\mathrm{d} W)_{q}+\sum_{i} F_{i} \mathrm{~d} \xi_{i} .
\]

Здесь ( $\mathrm{d} W)_{q}$ зависит только от $\xi_{i}$ и поэтому
\[
(\mathrm{d} W)_{q}=\sum_{i}\left(\frac{\partial W}{\partial \xi_{i}}\right)_{q} \mathrm{~d} \xi_{\mathrm{i}} .
\]

Сравнение (19.45a) и (19.45б) с учетом независимости $\mathrm{d} \xi_{i}$ приводит к равенству где индекс $q$ у частной производной в явном виде показывает, что сила вычисляется при постоянных зарядах. Для использования этой формулы энергия $W$ должна быть выражена в виде функции от зарядов и параметров $\xi_{i}$.

Можно обобщенную силу выразить также через производную при постоянном потенциале. Для этого принимаем во внимание выражение $W=\frac{1}{2} \sum_{i} \varphi_{i} q_{i}$.
Изменение энергии при постоянных потенциалах равно
\[
(\mathrm{d} W)_{\varphi}=\frac{1}{2} \sum_{i} \varphi_{i} \mathrm{~d} q_{i},
\]

поэтому [см. (19.45a)]
$0=(\mathrm{d} W)_{\varphi}-\sum_{i} F_{i} \mathrm{~d} \xi_{i}$.
Учитывая независимость $\mathrm{d} \xi_{i}$, получаем

где индекс $\varphi$ у частной производной в явном виде показывает, что она вычисляется при постоянных потенциалах. Для использования этой формулы энергия $W$ должна быть выражена в виде функции от потенциалов $\varphi_{j}$ и параметров $\xi_{i}$. Ясно, что формулы (19.46) и (19.50) эквивалентны и получаются одна из другой. Какой из них пользоваться, зависит от обстоятельств.

Пусть, например, требуется вычислить силу, с которой притягиваются друг к другу пластины плоского конденсатора. Энергия плоского конденсатора равна
\[
W=Q^{2} /(2 C)=(\Delta \varphi)^{2} C / 2 \text {, }
\]

где $C=\varepsilon_{0} S / x ; S$ и $x$ – площадь обкладки конденсатора и расстояние между обкладками.
Вычисление силы по формулам (19.46) и (19.50) дает:
\[
\begin{array}{l}
F_{x}=-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{Q^{2}}{2 C}\right)_{Q}=-\frac{Q^{2}}{2} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{C}\right)=\frac{Q^{2}}{2 C^{2}} \frac{\partial C}{\partial x} \\
F_{x}^{\prime}=\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{(\Delta \varphi)^{2} C}{2}\right]_{Q}=\frac{(\Delta \varphi)^{2}}{2} \frac{\partial C}{\partial x} .
\end{array}
\]
Принимая во внимание опрелеление емкости $C=Q / \Delta \varphi$, заключаем, что $F_{x}^{\prime}=F_{x}$.

Пример 19.1. Исходя из результатов решения примера 16.3, найти момент силы, который сближает пластинки конденсатора, изображенного на рис. 73. Энергия конденсатора [см. (16.109)] равна
\[
W=\frac{U_{0}^{2} C}{2}=\frac{U_{0}^{2} l \varepsilon \ln (b / a)}{2 \alpha_{0}} .
\]

Обобщенной силой для угла поворота является момент силы $M$ относительно оси, совпадающей в данном случае с линией пересечения пластин конденсатора. Поэтому с учетом (19.50) получаем
\[
M=\left(\frac{\partial W}{\partial \alpha_{0}}\right)_{q}=-\frac{U_{0}^{2} l \varepsilon \ln (b / a)}{2 \alpha_{0}^{2}},
\]

где знак минус свидетельствует о том, что момент сил стремится уменьшить угол $\alpha_{0}$. Другими словами, между пластинами конденсатора действуют силы притяжения. Конечно, между пластинами конденсатора всегда действуют силы притяжения и результат (19.54) лишь подтверждает, что момент сил получился с неравным знаком. Такая проверка правильности результата бывает полезной при использовании обобщенных координат и обобщенных сил, когда эти переменные не имеют достаточно наглядной интерпретации.

Получим этот результат другим способом. Поверхностная плотность силы, действующей на проводник, равна $f=\sigma^{2} /(2 \varepsilon)$. Поэтому на слой длиной $l$ между $\boldsymbol{r}$ и $\boldsymbol{r}+\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ действует сила
\[
\mathrm{d} F=-f l \mathrm{~d} r=-\frac{\varepsilon U_{0}^{2}}{2 \alpha_{0}^{2} r^{2}} l \mathrm{~d} r,
\]

где для $\sigma$ использовано значение (16.107б). Знак минус учитывает, что эта сила стремится уменьшить угол $\alpha_{0}$. Результирующая сила, действующая на пластину, равна
\[
F=\int_{a}^{b} \mathrm{~d} F=-\frac{\varepsilon U_{0}^{2} l}{2 \alpha_{0}^{2}} \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} r}{r^{2}}=\frac{\varepsilon U_{0}^{2} l}{2 \alpha_{0}^{2}}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right) .
\]

Линия приложения сил находится от оси вращения на расстоянии $r_{0}$, которое определяется условием
\[
r_{0} F=\int_{a}^{b} r \mathrm{~d} F=-\frac{\varepsilon U_{0}^{2} l}{2 \alpha_{0}^{2}} \ln \frac{b}{a},
\]

откуда
\[
r_{0}=\frac{a b}{b-a} \ln \frac{b}{a} .
\]

Момент силы относительно оси вращения равен
\[
M=r_{0} F=-\frac{\varepsilon U_{0}^{2} l}{2 \alpha_{0}^{2}} \ln \frac{b}{a},
\]

что совпадает с (19.54).

Задачи
2.1. Найти напряженность электрического поля в шаровой полости радиусом а внутри равномерно заряженного шара радиусом $R$. Объемная плотность заряда $\rho$ (рис. 98).
2.2. Найти напряженность поля в бесконечной круглой цилиндрической полости, ось которой параллельна оси бесконечно длинного равномерио заряженного круглого цилинцра. Объемная плотность заряда $\rho$ (рис. 98).
2.3. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно $d$. В пространство между обкладками конденсатора вносится металлическая пластина толщиной $\delta$, поверхность которой параллельна обкладкам. Пластины кои-
98
Цилиндрическая полость в цилиидре илн шаровая полость в шаре
99
Проводящая пластина в плоском конденсаторе
денсатора имеют потенциалы $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ (рис. 99). Найти потенциал металлической пластины.
2.4. Определить силу, действующую на заряд $q$, расположенный на расстоянии $d$ от центра незаряженной изолированной проводящей сферы радиусом $r_{0}\left(d>r_{0}\right)$.
2.5. Найти силу, действующую на заряд $q$, помещенный внутри металлической сферы на расстоянии $r$ от ее центра. Радиус сферы равен $a$.
2.6. Имеются две концентрические проводящие сферы радиусами $r_{1}$ и $r_{2} \quad\left(r_{1}<r_{2}\right)$. Между сферами на расстоянии $d$ от их общего центра ( $r_{1}<d<r_{2}$ ) помещен . точечный заряд $q$. Определить заряды, индуцированные на сфеpax.
2.7. На расстоянии $d$ от центра заземленной сферы помещен точечный заряд q. Определить отношение $f$ заряда, индуцированного на части сферы, видимой из точки нахождения заряда $q$, к заряду невидимой части сферы. Радиус сферы равен $a, d>a$.
2.8. Два конденсатора емкостью $C_{1}$ и $C_{2}$ и с зарядами $q_{1}$ и $q_{2}\left(q_{1}\right.$ и $q_{2}$-абсолютное значение зарядов пластин первого и второго конденсаторов) соединены параллельно. Вычислить изменение энергии конденсаторов и объяснить полученный результат.
2.9. Диэлектрическая проницаемость среды между пластинами плоского конденсатора площадью $S$ равномерно изменяется от $\varepsilon_{1}$ до $\varepsilon_{2}$. Расстояние между пластинами равно $d$. Определить емкость конденсатора.
2.10. Цилиндрический конденсатор с радиусами пластин $r_{1}$ и $r_{2}$ опущен вертикально в диэлектрическую жидкость с диэлектрической проницаемостью є. Нижний конец конденсатора находится в жидкости, верхний – в воздухе, диэлектрическая проницаемость которого $\varepsilon_{0}$. Плотность массы жидкости равна $\rho$. Определить высоту $h$, на которую поднимается жидкость между пластинами конденсатора, если разность потенциалов между ними $U$.
2.11. Проводящий шар, плотность которого $\rho_{1}$, плавает в жидкости, имеющей плотность $\rho_{2}\left(\rho_{2}>2 \rho_{1}\right)$ и диэлектрическую проницаемость є. Шар погружен в жидкость менее чем иа половину. Какой заряд надо ему сообщить для того, чтобы он погрузился в жидкость до половины? Радиус шара равен $a$.
2.12. Обкладки плоского конденсатора имеют форму квадрата со стороной а. Расстояние и разность потенциалов между пластинами соответственно равны $d$ и $\boldsymbol{U}$. В простраиство между обкладками частично вдвинута пластина толщиной $\Delta$ в форме квадрата со стороной а. Ее поверхности и стороны параллельны поверхностям и сторонам обкладок, а диэлектрическая проницаемость равна \&. Найти силу, с которой пластина втягивается в пространство между обкладками конденсатора.
2.13. На расстоянии $d$ от оси бесконечного проводящего цилиндра радиусом $r$ находится равномерно заряженная бесконечная нить, параллельная оси цилиндра. Линейная плотность заряда $\tau$. Onределить силу, действующую на длину $l$ нити $(d>r)$.
2.14. Методом изображений найти силу, приходящуюся на длину $l$ каждого из двух бесконечных проводящих цилиндров, расстояние между параллельными осями которых равно $d$. Радиусы цилиндров $r_{1}$ и $r_{2}$. Один из цилиндров
заряжен с линейной плотностью заряда $\tau$.
2.15. Найти дипольный момент заряда, равномерно распределенного по поверхности сферы радиусом a. Одна из полусфер имеет заряд $Q$, а другая $-Q$.
2.16. Точечный диполь с моментом $\mathbf{p}$ находится. на расстоянии $d$ от центра заземленной проводящей сферы радиусом $a$. Найти индуцированный дипольный момент сферы.
2.17. К обкладкам плоского воздушного конденсатора, имеющим форму квадратов со стороной $l$, приложена постоянная разность потенциалов $U_{0}$. Определить силу, необходимую для того, чтобы сдвинуть одну из пластинок параллельно самой себе в направлении, перпендикулярном какойлибо стороне квадрата, при неизменном расстоянии $d$ между пластинами.
2.18. Имеется проводящий шар радиусом $r_{1}$ и концентричный с ним сферический проводящий слой, внутренняя поверхность которого имеет радиус $r_{2}\left(r_{2}>r_{1}\right)$, а внешняя радиус $r_{3}\left(r_{3}>r_{2}\right)$. Пространство между $r_{1}$ и $r_{2}$ свободно. Заряды шара и слоя равны соответственно $Q_{1}$ и $Q_{2}$, причем $Q_{1}
eq-Q_{2}$ (как это не бывает в конденсаторе). Найти энергию этой системы зарядов.
2.19. Найти напряженность электрического поля в центре прямого круглого цилиндра длиной $l$ и радиусом $a$, поляризованность которого $\mathbf{P}$ параллельна оси и однородна.
2.20. Поляризованность $\mathbf{P}$ в задаче 2.19 направлена перпендикулярно оси цилиндра. Найти напряженность поля в центре цилиндра.
2.21. Бесконечный проводящий цилиндр кругового сечения радиусом $a$ и проводящая плоскость, расположенная на расстоянии $d$ от оси цилиндра, образуют конденсатор. Найти емкость, приходящуюся на длину $l$ цилиндра.
2.22. Воспользовавшись результатом решения задачи 2.21, найти силу, действующую со стороны заземленной бесконечиой плоскости на участок длины $l$ прямолинейной заряжениой иити, параллельной плоскости. Линейная плотность заряда нити равна $\tau$.
2.23. Молекула представлеиа модельио зарядом $-2|q|$ в начале координат и двумя зарядами $|q|$, расположенными в точках, характеризуемых радиус-векторами
$\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$, причем $\left|\mathbf{r}_{1}\right|=\left|\mathbf{r}_{2}\right|=l$. Угол между $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$ обозначим $\theta$. Найти эффективный заряд $|q|_{\text {эф }}$ для молекулы воды $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$, у которой $l=0,958 \cdot 10^{-10} \mathrm{M}, \theta=105^{\circ}$, $p=6,14 \cdot 10^{-30}$ Кл.м.
2.24. Между двумя параллельными бесконечными проводящими заземленными плоскостями, расстояние между которыми $d$, помещен точечный заряд $q$ на расстоянии $x$ от одной из них. Найдя изображения заряда $q$, вычислить действующую на него силу.
Ответы
2.1. $\mathbf{E}=\rho r /\left(3 \varepsilon_{0}\right)$ 2.2. $\mathbf{E}=\rho r /\left(2 \varepsilon_{0}\right)$. 2.3. $\varphi=\varphi_{1}-\frac{\Delta}{d-\delta}\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)$. 2.4. $F=-\frac{q^{2} r_{0}^{3}}{4 \pi \varepsilon_{0} d^{3}} \times$ $\times\left[\frac{2 d^{2}-r_{0}^{2}}{\left(d^{2}-r_{0}^{2}\right)^{2}}\right]$. 2.5. $F=\frac{q^{2} a r}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(a^{2}-r^{2}\right)^{2}}$. 2.6. $q_{1}=-\frac{r_{1}\left(r_{2}-d\right)}{d\left(r_{2}-r_{1}\right)} q, \quad q_{2}=-\frac{r_{2}\left(d-r_{1}\right)}{d\left(r_{2}-r_{1}\right)} q$.
2.7. $f=\sqrt{(d+a) /(d-a)}$ 2.8. $\Delta W=\left(C_{2} q_{1}-C_{1} q_{2}\right)^{2} /\left[2 C_{1} C_{2}\left(C_{1}+C_{2}\right)\right]$ 2.9. $C=$ $=\frac{S}{d} \frac{\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}}{\ln \left(\varepsilon_{2} / \varepsilon_{1}\right)}$. 2.10. $h=\frac{\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) U^{2}}{\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right) \ln \left(r_{2} / r_{1}\right)} \frac{1}{\rho g}$. 2.11. $Q=4 \pi\left(\varepsilon+\varepsilon_{0}\right) \sqrt{\frac{a_{n}^{5} g\left(\rho_{2}-2 \rho_{1}\right)}{3\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)}}$.
2.12. $F=\frac{\varepsilon_{0}}{2} \frac{\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) \Delta}{(d-\Delta) \varepsilon+\Delta \varepsilon_{0}} \frac{a}{d} U^{2}$. 2.13. $f=-\tau^{2} d l /\left[2 \pi \varepsilon_{0}\left(d^{2}-r^{2}\right)\right]$ 2.14. $f==$ $=-\frac{\tau^{2} d l}{2 \pi \varepsilon_{0}}\left[d^{2}-\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}\right]^{-1 / 2}\left[d^{2}-\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}\right]^{-1 / 2} \cdot$ 2.15. $p=Q a$. 2.16. $\mathbf{p}_{\text {иид }}=\mathrm{p} a^{3} / d^{3}$. 2.17. $F=-\frac{1}{2} \frac{\varepsilon_{0} l}{d} U_{0}$. 2.18. $W=\frac{1}{8 \pi \varepsilon_{0}}\left[\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{3}}\right) Q_{1}^{2}+\frac{2 Q_{1} Q_{2}+Q_{2}^{2}}{r_{3}}\right]$. 2.19. $\mathbf{E}=-\left(1 / \varepsilon_{0}\right) \mathbf{P}\left(1-l / \sqrt{4 a^{2}+l^{2}}\right) . \quad$ 2.20. $\quad \mathbf{E}=-\frac{\left[1 /\left(2 \varepsilon_{0}\right)\right] l \mathbf{P}}{\sqrt{4 a^{2}+l^{2}}}$.
2.21. $C=$
$=\frac{2 \pi \varepsilon_{0} l}{\ln \left[\left(d+\sqrt{d^{2}-a^{2}}\right) / a\right]} ;$ при $a \ll d$ имеем $C \approx \frac{2 \pi \varepsilon_{0} l}{\ln (2 d / a)} \cdot$ 2.22. $F=-\left(\frac{\partial W}{\partial d}\right)_{Q}=$ $=\left(\frac{\partial W}{\partial d}\right)_{\varphi}=\frac{1}{2} U^{2} \frac{\partial C}{\partial d}=\frac{U^{2}}{d} \frac{\pi \varepsilon_{0} l}{(\ln 2 d / a)^{2}}=\frac{U^{2} C^{2} l}{4 \pi \varepsilon_{0} d}=\frac{\tau^{2} l}{4 \pi \varepsilon_{0} d}$.2.23. $\mathbf{p}=|q|_{Э \phi}\left(\mathbf{r}_{1}+\mathbf{r}_{2}\right)$, $p=2|q|_{\text {эф }} l \cos (\theta / 2), \quad|q|_{э \Phi}=5,26 \cdot 10^{-20} \quad$ Кл $=0,328|e|$. 2.24. $F=-\frac{q^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0}} \times$ $\times\left\{\frac{1}{x^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{(n d+x)^{2}}-\frac{1}{(n d-x)^{2}}\right]\right\}$.

$\S 20$
Локальнос поле
$\S 21$
Неполярные диэлектрнки
$\S 22$
Полярные диэлектрики
Диэлектрики
$\S 23$
Сегнетоэлектрнки
Основной физический фактор, определяющий характер взаимодействия диэлектрика с электрическим полем,электрический дипольный момент атомов и молекул.
Основные механизмы поляризации возникновение индуцированных дипольных моментов атомов и молекул или переориентация и перераспределение в пространстве имеющихся. Существует также и ионная решеточная поляризованность.
§ 24
Пьезоэлектрики