Обсуждается физическое содержание тока смещения. Проводится учет тока смещения в уравнениях Максвелна.
Сущность процесса. Постоянный ток не протекает в цепи с конденсатором, а переменный ток протекает. Сила квазистационарного тока проводимости во всех последовательно соединенных элементах цепи является одной и той же. В конденсаторе ток проводимости, связанный с движением электронов, не может существовать, поскольку обкладки конденсатора разделены диэлектриком. Поэтому необходимо заключить, что в конденсаторе происходит некоторый процесс, который как бы замыкает ток проводимости, т. е. в некотором смысле обеспечивает обмен зарядом между обкладками конденсатора без переноса заряда между ними. Этот процесс называется током смещения.

Рассмотрим цепь переменного тока с плоским конденсатором (рис. 245). Между обкладками конденсатора имеется электрическое поле с напряженностью $E=\sigma / \varepsilon$, где $\sigma$ – плотность заряда на обкладке; $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками. Электрическое смещение между обкладками конденсатора равно $D=\sigma=Q / S$, где $Q$-заряд на каждой из обкладок конденсатора; $S$-площадь обкладки. Сила тока в цепи равна $I=\partial Q / \partial t$. Отсюда следует, что
\[
I_{\mathrm{cm}}=S \frac{\partial D}{\partial t},
\]
т. е. процессом, замыкающим ток проводимости в цепи, является изменение электрического смещения между обкладками конденсатора, причем в формуле (57.1) величина $I$ дана с индексом «см» («смещение»), чтобы показать, что это не ток проводимости между обкладками, хотя $I=I_{\text {см }}$. Плотность тока смецения в пространстве между обкладками равна $j_{c м}=I_{c м} / S=\partial D / \partial t$. Учитывая, что направление $\mathbf{j}_{с м}$ в каждой точке между обкладками плоского конденсатора совпадает с направлением $\partial D / \partial t$, можно вместо (57.1) написать следующее дифференциальное соотношение:

Из локального характера этого соотношения следует ожидать его независимость от нелокальной модели (плоский конденсатор), в рамках которой оно получено. Так оно и есть на самом деле. Формула (57.2) определяет объемную плотность тока смещения $\mathbf{j}_{\text {см }}$. Существование тока смещения теоретически было постулировано Максвеллом в 1864 г. и в последующем экспериментально подтверждено другими учеными.
$\Pi^{\mathrm{o}}$ очему скорость изменения вектора смецения называется плотностью тока? Само по себе математическое равенство величины $S \partial D / \partial t$, характеризующей процесс между обкладками конденсатора, и силы тока проводимости вне обкладок конденсатора, т. е. равенство двух величин, относящихся к разным областям пространства и имеющим различную физическую природу, не содержит в себе, вообще говоря, какого-то физического закона. Поэтому называть $S \partial D / \partial t$ «током» можно только формально. Для того чтобы придать этому названию физический смысл, необходимо доказать, что $S \partial D / \partial t$ обладает наиболее характерными свойствами тока, хотя и не представляет движения электрических зарядов, подобного току проводимости. Главным свойством тока проводимости является его способность порождать магнитное поле. Поэтому решающим является вопрос о том, порождает ии ток смецения магнитное поле так же, как его порождает ток проводимости, или, более точно, порождает ли величина (57.2) такое же магнитное поле, как равная ей объемная плотность тока проводимости? Максвелл дал утвердительный ответ на этот вопрос.

Экспериментальная проверка правильности этого ответа состоит в следующем. По закону полного тока циркуляция вектора В по охватывающему ток контуру равна $\mu_{0} I$. Циркуляция может быть измерена с помоцью пояса Роговского. Перемещая его вдоль контура, отмечаем, что циркуляция не изменяется и тогда, когда пояс Роговского охватывает конденсатор. А это как раз и означает, что ток смецения в конденсаторе порождает такое же магнитное поле, как соответствующий ток проводимости. Однако наиболее ярким подтверждением порождения магнитного поля током смещения является существование электромагнитных волн. Если бы ток смещения не создавал магнитного поля, то не могли бы существовать электромагнитные волны.
Уравнение Максвелла с током смещения. Порождение магнитного поля током проводимости описывается уравнением
$\operatorname{rot} \mathbf{H}=\mathbf{j}$.
Учитывая порождение поля током смещения, необходимо обобщить это уравнение в виде
\[
\operatorname{rot} \mathbf{H}=\mathbf{j}+\mathbf{j}_{\mathrm{cm}} \text {. }
\]

Тогда, принимая во внимание (57.2), окончательно получаем уравнение

являющееся одним из уравнений Максвелла.
Релятивистская природа тока смещения. При преобразовании полей от одной системы координат к другой электрическое и магнитное поля обусловливают друг друга (см. § 11). Если в некоторой системе координат имеется неоднородное магнитное поле, то в другой системе
Двухслойный плоский конденсатор с утечкой
– Формальное равенство тока смещення в конденсаторе н тока проводимости в присоединенных к его обкладкам проводах не содержнт в себе какого-ли6о физнческого зокона. Новый физнческий закон состоит в том, что ток смещення создает такое же магнитное поле как н соответствующнй ему ток проводимости.
координат это поле представляется переменным по времени и одновременно появляется электрическое поле. А это как раз и есть свидетельство того, что переменное электрическое поле порождает магнитное поле. Однако отсюда не следует, что порождение магнитного поля переменным электрическим полем не является новым фундаментальным явлением в физике электричества и магнетизма. Ситуация здесь аналогична той, которая была подробно разобрана в связи с электромагнитной индукцией в § 45, 46. Порождение магнитного поля переменным электрическим полем является фундаментальным явлением природы.
Пример 57.1. Между обкладками плоского конденсатора имеются два слоя слабо проводячего материала с удельными проводимостями $\gamma_{\mathrm{t}}$ и $\gamma_{2}$ диэлектрическими пропичемостями $\varepsilon_{1} и \varepsilon_{2}$. Толиины слоев равны соответственно $a_{1} \quad и \quad a_{2}$ (рис. 246). Плоцади обкладок конденсатора $S$. Исследовать процесс установления силы тока в цепи, если в момент $t=0$ к обкладкам конденсатора приложена постоянная разность потенциалов $U_{0}$. Рассмотреть процессы, возникаючие при размыкании чепи и при шунтировании источника сторонних э.д.с.
В момент вктючения напряжения на границе между слоями не может мгновенно возникнуть поверхностный заряд. Поэтому в начальное мгновение рассматриваемая система ведет себя так, как будто проводимость вещества между пластинами равна нулю, т. е. как идеальный конденсатор. Поэтому в пространстве между пластинами возникает смещение
$D=\varepsilon_{1} E_{1}=\varepsilon_{2} E_{2}$,
где $E_{1}$ и $E_{2}$ – напряженности электрического поля в первом и втором слоях соответственно. В (57.6) учтена непрерывность $D$. Так как разность потенциалов между пластинами равна $U_{0}$, то
\[
\int_{(1)}^{(2)} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=a_{1} E_{1}+a_{2} E_{2}=U_{0},
\]

где в качестве пути интегрирования ог первой пластины ко второй взят путь по нормали к пластинам, Из (57.6) и (57.7) следует, что
\[
D=\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} U_{0} /\left(\varepsilon_{2} a_{1}+\varepsilon_{1} a_{2}\right) \text {. }
\]

Весь ток в начальный момент является током смещения. Он равен бесконечности, поскольку разность потенциалов включается мгновенно и $D$ мгновенно возрастает от 0 до значения, определяемого по формуле (57.8). Поверхностная плотность заряда на пластинах также возрастает мгновенно от 0 до $\sigma_{1}=-\sigma_{2}=D$.

Мгновенные изменения электрического смещения от нуля до конечного значения обусловлены очень большой скоростью возникновения поляризованности вещества под влиянием внешнего поля. Поляризованность возникает за время, характерное для внутримолекулярных процессов.

В последующие моменты времени после включения начинает возрастать сила тока проводимости и по прошествии достаточного времени $(t \rightarrow \infty)$ устанавливается равновесное значение плотности тока:
\[
j=\gamma_{1} E_{1}=\gamma_{2} E_{2}=\gamma_{1} \gamma_{2} U_{0} /\left(\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}\right),
\]

где учтено соотношение (57.7). Поскольку проводимость неоднородна, на поверхности раздела между слоями существует заряд с поверхностной плотностью $\sigma=D_{2 n}-D_{1 n}=\varepsilon_{2} E_{2}-\varepsilon_{1} E_{1}=\left(\varepsilon_{2} \gamma_{1}-\varepsilon_{1} \gamma_{2}\right) U_{0} /\left(\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}\right)$,
где использовано граничное условие (17.36), так как напряженность электрического поля не зависит от времени.

В переходном режиме, до достижения стационарных значений (57.9) и (57.10), токи проводимости в первом и втором слоях различны, а плотность заряда на границе раздела между слоями возрастает со временем. Одинаковое значение в обоих слоях в переходном режиме имеет сумма объемных плотностей токов проводимости и смещения, называемая полной объемной плотностью тока:
\[
j_{\mathrm{n}}=\gamma_{1} E_{1}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_{1} E_{1}\right)=\gamma_{2} E_{2}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_{2} E_{2}\right) .
\]

Исключив $E_{2}$ из (57.11), с помощью (57.7) получаем уравнение для $E_{1}$ :
\[
\frac{\mathrm{d} E_{1}}{\mathrm{~d} t}+\frac{E_{1}}{\tau}=\frac{\gamma_{2} U_{0}}{\varepsilon_{2} a_{1}+\varepsilon_{1} a_{2}},
\]

где
\[
\tau=\left(\varepsilon_{1} a_{2}+\varepsilon_{2} a_{1}\right) /\left(\gamma_{1} a_{2}+\gamma_{2} a_{1}\right) .
\]

Аналогичное уравнение получается и для $E_{2}$.
Решение этих уравнений при начальном условии (57.8) таково:
\[
\begin{array}{l}
E_{1}=\frac{\gamma_{2} U_{0}}{\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-t / \tau}\right)+\frac{\varepsilon_{2} U_{0}}{\varepsilon_{2} a_{1}+\varepsilon_{1} a_{2}} \mathrm{e}^{-t / \tau}, \\
E_{2}=\frac{\gamma_{1} U_{0}}{\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-t / \tau}\right)+\frac{\varepsilon_{1} U_{0}}{\varepsilon_{2} a_{1}+\varepsilon_{1} a_{2}} \mathrm{e}^{-t / \tau} .
\end{array}
\]

При $t \rightarrow \infty$ эти решения, как и должно быть, принимают вид (57.9). Поверхностная плотность заряда между слоями изменяется по закону
\[
\sigma=\varepsilon_{2} E_{2}-\varepsilon_{1} E_{1}=\frac{\varepsilon_{2} \gamma_{1}-\varepsilon_{1} \gamma_{2}}{\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-t / \tau}\right) U_{0}
\]

—————————————————————-
0048_fiz_ob_matveev_03_no_photo_page-0392.jpg.txt

392
9. Электромагнитные волны
При $t=0$ поверхностная плотность заряда $\sigma=0$, а при $t \rightarrow \infty$ она, как и следовало ожидать, стремится к (57.10).
Полная плотность тока находится из (57.11) с учетом (57.14) и (57.15):
\[
\begin{array}{l}
j_{\mathrm{n}}=\gamma_{1} E_{1}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_{1} E_{1}\right)=\gamma_{2} E_{2}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_{2} E_{2}\right)=\left[\frac{\gamma_{1} \gamma_{2}}{\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}}+\left(\gamma_{1}-\frac{\varepsilon_{1}}{\tau}\right) \times\right. \\
\left.\times\left(\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{2} a_{1}+\varepsilon_{1} a_{2}}-\frac{\gamma_{2}}{\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}}\right) \mathrm{e}^{-t / \tau}+\frac{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{2} a_{1}+\varepsilon_{1} a_{2}} \delta(t)\right] U_{0},
\end{array}
\]

где $\delta(t)$ – дельта-функция. Она возникла из-за того, что смещение $D$ при $t=0$ возросло мгновенно от 0 до (57.8). Другими словами, при вычислении производной по времени в (57.17) имеем
\[
\frac{\partial\left(\varepsilon_{1} E_{1}\right)}{\partial t}=\varepsilon_{1} \frac{\partial E_{1}}{\partial t}+\frac{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} U_{0}}{\varepsilon_{2} a_{1}+\varepsilon_{1} a_{2}} \delta(t),
\]

а при вычислении $\partial E_{1} / \partial t$ в (57.18) пользуемся выражением (57.14), справедливым для всех $t>0$.

Проведенный анализ показывает, что распределение напряжений по различным участкам цепи в момент включения внешнего напряжения может существенно отличаться от распределения в установившемся режиме. Это обстоятельство необходимо принимать во внимание при расчете цепей.

При размыкании цепи $j_{\mathrm{n}}=0$ и, следовательно, уравнения (57.11) принимают вид:
\[
\gamma_{1} E_{1}+\frac{\partial\left(\varepsilon_{1} E_{1}\right)}{\partial t}=0, \gamma_{2} E_{2}+\frac{\partial\left(\varepsilon_{2} E_{2}\right)}{\partial t}=0 .
\]

Поля распадаются независимо. В установившемся режиме, как это видно из (57.14) и (57.15),
\[
E_{10}=\gamma_{2} U_{0} /\left(\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}\right), E_{20}=\gamma_{1} U_{0} /\left(\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}\right) .
\]

Решение уравнений (57.19) при начальных условиях (57.20) имеет вид:
\[
E_{1}=\frac{\gamma_{2} U_{0}}{\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}} \mathrm{e}^{-t / \tau_{1}}, E_{2}=\frac{\gamma_{1} U_{0}}{\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}} \mathrm{e}^{-t / \tau} 2,
\]

где $\tau_{1}=\varepsilon_{1} / \gamma_{1}, \tau_{2}=\varepsilon_{2} / \gamma_{2}$.
Разность потенциалов между разомкнутыми клеммами изменяется так:
\[
U=a_{1} E_{1}+a_{2} E_{2}=\frac{U_{0}}{\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}}\left[\gamma_{2} a_{1} \mathrm{e}^{-t / \tau_{1}}+\gamma_{1} a_{2} \mathrm{e}^{-t / \tau_{2}}\right] .
\]

Поверхностная плотность заряда на границе между слоями в конденсаторе определяется формулой
\[
\sigma=\varepsilon_{2} E_{2}-\varepsilon_{1} E_{1}=\frac{U_{0}}{\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}}\left[\varepsilon_{2} \gamma_{1} \mathrm{e}^{-t / \tau_{2}}-\varepsilon_{1} \gamma_{2} \mathrm{e}^{-t / \mathrm{t}}\right] .
\]

При шунтировании источника сторонних э. д. с. $U_{0}=0$ и уравнения (57.7) и (57.12) принимают вид:
$a_{1} E_{1}+a_{2} E_{2}=0$,
\[
\frac{d E_{1}}{d t}+\frac{E_{1}}{\tau}=0 \text {, }
\]

—————————————————————-
0048_fiz_ob_matveev_03_no_photo_page-0393.jpg.txt

§ 58. Система уравнений Максвелла
393
где $\tau$ – определяется выражением (57.13). Начальное устовие при $t=0$ находится из (57.10) с учетом (57.24):
\[
\varepsilon_{2} E_{20}-\varepsilon_{1} E_{10}=-\left(\frac{\varepsilon_{2} a_{1}}{a_{2}}+\varepsilon_{1}\right) E_{10}=\frac{\varepsilon_{2} \gamma_{1}-\varepsilon_{1} \gamma_{2}}{\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}} U_{0} .
\]

Решение уравнения (57.25) с начальным значением $E_{10}$ из (57.26) таково:
\[
E_{1}=-E_{2} a_{2} / a_{1}=-\frac{\left(\varepsilon_{2} \gamma_{1}-\varepsilon_{1} \gamma_{2}\right) a_{2} U_{0}}{\left(\varepsilon_{2} a_{1}+\varepsilon_{1} a_{2}\right)\left(\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}\right)} \mathrm{e}^{-t / \tau} .
\]

Сила тока в контуре и поверхностная плотность заряда между слоями равны:
\[
\begin{aligned}
I & =\left[\left(\frac{\gamma_{1} \varepsilon_{2}-\gamma_{2} \varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1} a_{2}+\varepsilon_{2} a_{1}}\right)^{2} \frac{a_{1} a_{2} U_{0}}{\left(\gamma_{2} a_{1}+\gamma_{1} a_{2}\right)} \mathrm{e}^{-t / \mathrm{t}}-\frac{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} U_{0}}{\varepsilon_{1} a_{2}+\varepsilon_{2} a_{1}} \delta(t)\right] S, \\
\sigma & =\frac{\varepsilon_{2} \gamma_{1}-\varepsilon_{1} \gamma_{2}}{\gamma_{2} a_{1}+v_{1} a_{1}} U_{0} \mathrm{e}^{-t / \tau} .
\end{aligned}
\]

Член с $\delta$-функцией в (57.28) появился из-за того, что в момент шунтирования источника сторонних э. д. с. вектор смещения $D$ скачком изменился от значения, соответствующего формуле (57.9) для установившегося режима, к значению, соответствующему начальным условиям при $t=0$ по формуле (57.26).