Рассматриваются основные свойства и особенности расиространения электромагнитных волн в диэлектриках.
П лоские волны. Электромагнитная волна называется плоской, если вектор волны имеет одну и ту же величин во всех точках яюбой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. От плоскости к плоскости эти векторы, конечно, изменяются. Можно сказать, что поверхностями постоянной фазы в плоской волне являются плоскости, перпендикулярные направлению распространения. Волна называется монохроматической, если векторы волны изменяются со временем по гармоническому закону $c$ определенной одной частотой. Например, если плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси $Z$, то векторы ноля волны имеют вид:
\[
\mathbf{E}(z, t)=\mathbf{E}(z) \mathrm{e}^{t \omega t} ; \mathbf{B}(z, t)=\mathbf{B}(z) \mathrm{e}^{t \omega t} .
\]
Если поверхности постоянной фазы совпадают с поверхностями постоянной амплитуды, то волна пазывается однородной.
У равнения для векторов поля волны. Будем исходить не из потенциалов, как в § 61, а непосредственно из векторов поля. Рассмотрим случай однородной неограниченной среды $\varepsilon=$ const, $\mu=$ const. Проводимость диэлектрика $\gamma=0$. Уравнения Максвелла имеют вид:
$\operatorname{rot} \mathbf{B}=\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$,
$\operatorname{rot} \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$.
Дифференцируя обе части уравнения (62.2) по времени и исключая в левой части полученного равенства производную $\partial \mathbf{B} / \partial t$ с помощью (62.3), получаем
$-\operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{E}=\varepsilon \mu \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}$.
Воспользовавшись формулой (П.10) и учитывая, что div $\mathbf{E}=0$, поскольку свободные заряды отсутствуют, находим уравнение для $\mathbf{E}$ :
\[
abla^{2} \mathbf{E}-\varepsilon \mu \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}=0 .
\]
Аналогично находим уравнение для $\mathbf{B}$ :
\[
abla^{2} \mathbf{B}-\varepsilon \mu \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}=0 \text {. }
\]
Таким образом, векторы поля удовлетворяют волновому уравнению, в котором скорость распространения равна
\[
v=1 / \sqrt{\varepsilon \mu}=c / \sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}} .
\]
Формула (62,7) показывает, что в диэлектрике скорость распространения волн меньше, чем в вакууме.
В екторы волны. Совместим ось $Z$ с направлением распространения электромагнитной волны. Векторы поля при этом определяются формулами вида (62.1). Подставляя в (62.5) выражение для $\mathbf{E}$ [см. (62.1)] и сокращая обе части уравнения на $\mathrm{e}^{i \omega t}$ после дифференцирования, находим для $\mathbf{E}(z)$ уравнение
\[
\mathrm{d}^{2} \mathbf{E}(z) / \mathrm{d} t^{2}+k^{2} \mathbf{E}(z)=0,
\]
где $k=\omega \sqrt{\varepsilon \mu}$. Общее решение этого уравнения таково:
\[
\mathbf{E}(z)=\mathbf{E}_{01} \mathrm{e}^{-i k z}+\mathbf{E}_{02} \mathrm{e}^{i k z},
\]
где $\mathbf{E}_{01}$ и $\mathbf{E}_{02}$ – постоянные. Подставляя (62.9) в (62.1), находим
\[
\mathbf{E}(z, t)=\mathbf{E}_{01} \mathrm{e}^{i(\omega t-k z)}+\mathbf{E}_{02} \mathrm{e}^{i(\omega t+k z)} .
\]
Первое слагаемое в правой части (62.10) представляет собой волну, распространяющуюся в направлении положительных значений оси $Z$, а второе – в отрицательном направлении [см. (61.12)].
Аналогично находим и решение для В. Допустим, что волна распространяется в положительном направлении оси $Z$. Тогда
\[
\mathbf{E}(z, t)=\mathbf{E}_{0} \mathrm{e}^{i(\omega t-k z)} ; \mathbf{B}(z, t)=\mathbf{B}_{0} \mathrm{e}^{i(\omega t-k z)} .
\]
Такая волна является плоской, монохроматической и однородной.
Фазовая скорость. Формулы (62.11) показывают, что плоские волны в однородном диэлектрике распространяются без изменения амплитуды, т.е. без поглощения. Скорость движения плоскости постоянной фазы называется фазовой. Она находится дифференцированием по времени условия постоянства фазы:
$\omega t-k z=$ const,
которое дает
\[
\begin{array}{l}
\omega-k \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=0, \\
v=\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}}} .
\end{array}
\]
Формулы (62.11) записаны при специальном выборе системы координат, когда ось $Z$ совпадает с направлением распространения волны. От этого ограничения можно освободиться с помощью волнового вектора $\mathbf{k}$, который направлен вдоль распространения волн, а по модулю определяется (61.8). По определению плоской волны, распространяющейся в направлении вектора $\mathbf{k}$, векторы $\mathbf{E}$ и В в любой точке плоскости, перпендикулярной этому направлению, а в данном случае оси $Z$, одни и те же. Пусть $\mathbf{r}$ – радиус-вектор некоторой точки на такой плоскости постоянной фазы.
Очевидно, $\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}=k z$ (рис. 257), и вместо (62.11) можно написать:
$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{E}_{0} \mathrm{e}^{t(\omega t-\mathbf{k} r)} ; \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{B}_{0} \mathrm{e}^{t(\omega t-\mathbf{k} r)}$.
Длина волны. По определению, это расстояние, на которое точка постоянной фазы перемещается за один период колебаний:
$\lambda=v T=\omega T / k=2 \pi / k$,
где
$k=2 \pi / \lambda$
– волиовое число.
войства волн. Для исследования свойств плоских волн подставим выражения (62.15a) в (62.2) и (62.3). Для упрощения вычислений целесообразно воспользоваться символическим операторным представлением векторных операций. Исходным является векторный оператор набла:
$\boldsymbol{
abla}=\mathbf{i}_{x} \frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{i}_{y} \frac{\partial}{\partial y}+i_{z} \frac{\partial}{\partial z}$,
где $\mathbf{i}_{x}, \mathbf{i}_{y}, \mathbf{i}_{z}$ – единичные векторы в направлении осей координат.
Нетрудно проверить, что с помощью этого оператора основные операции векторного анализа представляются так:
$\operatorname{grad} \varphi=
abla \varphi, \operatorname{div} \mathbf{A}=
abla \cdot \mathbf{A}, \operatorname{rot}=
abla \times \mathbf{A}$,
где $\boldsymbol{
abla} \cdot \mathbf{A}$ и $\boldsymbol{
abla} \times \mathbf{A}$ – скалярное и векторное произведения оператора $\boldsymbol{
abla}$ на вектор А. Учтем, что
$
abla \mathrm{e}^{-t \mathbf{k} r}=-i \mathbf{k e}^{-i k r}$.
С помощью уравнений Максвелла и выражений (63.15a) можно исследовать свойства плоских волн. Уравнение Максвелла $\operatorname{div} \mathbf{E}=0$ дает $\operatorname{div} \mathbf{E}=\boldsymbol{
abla} \cdot \mathbf{E}=-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{E}=0$.
Это означает, что вектор напряженности $\mathbf{E}$ волны перпендикулярен k, т. е. перпендикулярен направлению ее распространения. Аналогично, уравнение Максвелла
$\operatorname{div} \mathbf{B}=\boldsymbol{
abla} \cdot \mathbf{B}=-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{B}=0$
показывает, что и В также перпендикулярно направлению распространения волны. Подставляя выражения (62.15a) в (62.2) и (62.3), находим:
\[
\begin{array}{l}
-\mathbf{k} \times \mathbf{B}=\varepsilon \mu \omega \mathbf{E}, \\
\mathbf{k} \times \mathbf{E}=\omega \mathbf{B} .
\end{array}
\]
Пусть $\mathbf{n}$ – единичный вектор в направлении распространения волны. Тогда на основании (62.8) можно написать
\[
\mathbf{k}=\mathbf{n} \omega \sqrt{\varepsilon \mu}=\mathbf{n} \omega / v \text {. }
\]
Поэтому [см. (62.22)]
\[
\mathbf{n} \times \mathbf{E}=v \mathbf{B} \text {. }
\]
С помощью (62.19) и (62.20) было показано, что векторы $\mathbf{E}$ и В перпендикулярны п. Формулы (62 21), (62.22) и (62.24) показывают, что эти векторы также перпендикулярны друг другу. Взяв от обеих частей равенства (62.24) модули величин, находим $E=v B$.
Из соотношения (6224) можно заключить, что в однородном диэлектрике векторы Е и В изменяются в одной фазе. -Все формулы этого параграфа справедливы для вакуума, если положить $\varepsilon=\varepsilon_{0}, \mu=\mu_{0}, v=$ $=c$ – скорость света. Изменение векторов плоской волны в пространстве показано на рис. 258.
Плотность потока энергии. Она определяется вектором Пойнтинга, модуль которого в случае плоской волны равен
\[
\begin{array}{l}
|\mathbf{S}|=|\mathbf{E} \times \mathbf{H}|=|\mathbf{E}||\mathbf{H}|= \\
=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} \frac{1}{2}\left(\varepsilon E^{2}+\frac{1}{\mu^{2}} B^{2}\right)= \\
=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} \frac{1}{2}(\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}+\mathbf{B} \cdot \mathbf{H}),
\end{array}
\]
где $1 / \sqrt{\varepsilon \mu}=v$ – скорость распространения волны, а
\[
w=\frac{1}{2}(\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}+\mathbf{B} \cdot \mathbf{H})
\]
– объемная плотность энергии в ней. Выражение для потока энергии может быть
257
Поверхность постоянной фазы плоскои волны
258
Гармоническая плоская электромагнитная волна
– Электромагнитные волны излучаются лишь перененными токами и ускоренно движущиниися электрическими зарядами. Постоянные токи и заряды, движущиеся равномерно и прямолинейно, не излучают.
В чем состоят физические процессы, приводящие к возможности сүществования электромагнитных волн? Какова структура плоской волны и чему равна скорость ее распространения в вакуyме’
представлено в виде
\[
\mathbf{S}=w \mathbf{v} .
\]
Это означает, что скорость переноса энергии плоской волной в однородном диэлектрике равна фазовой скорости волны.
