Обсуждается точность экспериментальных проверок закона Кулона.
.
Экспериментальные проверки закона Кулона. Закон Кулона для силы $F$ взаимодействия двух точечных зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$, находящихся на расстоянии $r$, имеет вид
\[
F=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}
\]

где $\varepsilon_{0}=1 /\left(4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{9}\right) \Phi /$. Он был установлен ІІ. О. Кулоном $(1736-1806)$ в 1785 г. посредством прямых измерений сил взаимодействия между заряженными телами, размеры которых много меньше расстояния между ними. Точность опытов была небольшой. Лишь из общих соображений, основанных на аналогии с силами тяготения, существовала уверенность в абсолютной правильности этого закона.

Закон Кулона (6.1) входит в число основных экспериментальных фактов, на которых построено учение об электричестве. Проверка его справедливости и установление границ применимости являются важнейшими задачами, на решение которых были направлены значитетьные усилия экспериментаторов.

Проверка закона (6.1) посредством прямого измерения сил взаимодействия с очень большой точностью затруднительна, поскольку в распоряжении экспериментаторов нет покояцихся точечных зарядов. Поэтому с результатами экспериментов обычно сравниваются следствия из закона Кулона и на этой основе делаются заключения – границах его применимости и тонности

Первая экспериментальная проверка закона была проведена в 1772 г. Г. Кавендишем (1731-1810) за 13 лет до открытия его Кулоном. Однако он не опубликовал своей работы и тем самым потерял приоритет на открытие. Рукопись, содержащая описание его опытов, была найдена в архивах лишь примерно в конце 60-х годов XIX столетия. Метод Кавендиша широко применялся и в последнее время позволил проверить закон Кулона с большой точностью.

Задача экспериментальной проверки формулируется следующим образом Закон взаимодействия представляеาся в виде
\[
F=\text { const } / r^{2+\alpha} \text {. }
\]

Требуется найти порядок малости $\alpha$. Чем меньше $|\alpha|$, тем ближе закон взаимодеиствия к закону Кулона. Поэтому результат эксперимента выражается в форме ограничения на $\alpha .|\alpha| \leqslant \delta$. Задача эксперимента состоит в определении значения $\delta$.
Метод Кавендиша. Свободные заряды в однородном проводнике располагаются на его поверхности. На первый взгляд это является следствием отталкивания одноименных зарядов, в результате которого они стремятся разойтись на максимальные расстояния, устремляясь к поверхности проводника. Однако это неверно. Такая ситуация возникает из-за того, что сила взаимодействия точечных зарядов убывает точно обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, а не по другому закону.

Из теории тяготения известно, что сферический однородный слой вещества в полости, окруженной этим слоем, не создает никакой силы. Отсюда следует, что если точечные электрические заряды взаимодействуют по закону обратных квадратов расстояний, то сферический слой зарядов не создает никакой силы в этой полости.

Пусть заряд равномерно распределен по поверхности сферы с поверхностной плотностью $\sigma$ (рис. 16). В точке $P$ внутри сферы заряды, находящиеся на элементах поверхности $\mathrm{d} S_{1}$ и $\mathrm{d} S_{2}$, создают противоположно направленные силы $\mathrm{d} F_{1}=\sigma \mathrm{d} S_{1} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r_{1}^{2}\right)$ и $\mathrm{d} F_{2}=$ $=\sigma \mathrm{d} S_{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r_{2}^{2}\right)$. Из свойства касательных к концам хорды следует, что углы $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ между перпендикулярами к хорде и элементам поверхности $\mathrm{d} S_{1}$ и $\mathrm{d} S_{2}$ равны друг другу. Тогда $\mathrm{d} S_{1}=\mathrm{d} S_{2}^{\prime} / \cos \theta$ и $\mathrm{d} S_{2}=\mathrm{d} S_{2}^{\prime} / \cos \theta \quad$ Следовательно, $\mathrm{d} F_{1}=\sigma \mathrm{d} S_{1}^{\prime} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r_{1}^{2} \cos \theta\right), \quad \mathrm{d} F_{2}=$ $=\sigma \mathrm{d} S_{2}^{\prime} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r_{2}^{2} \cos \theta\right)$, где $\mathrm{d} S_{1}^{\prime} / r_{1}^{2}=\mathrm{d} \Omega_{1}$ и $\mathrm{d} S_{2}^{\prime} / r_{2}^{2}=\mathrm{d} \Omega_{2}-$ телесные углы, под которыми $\mathrm{d} S_{1}$ и $\mathrm{d} S_{2}$ видны из точки $P$ (они равны друг другу по построснию) Таким образом, равные по модулю силы $\mathrm{d} F_{1}$ и $\mathrm{d} F_{2}$
Возвикновение силы со стороны шарового слоя в точках внутри сферы
18
Метод Кавеидиша проверк захона Кулона
Если строго выполняется закон Кулона, то заряд праводящега шара распределяется на его поверхности. При откпонении от закона Кулона имеето заряд и в абъене шара.
противоположно направлены вследствие одноименности зарядов на $\mathrm{dS}_{1}$ и $\mathrm{dS}_{2}$. В результате происходит взаимная компенсация сил от всех пар противоположно расположенных элементов поверхности и полная сила, действующая на пробный заряд в точке $P$, равна нулю.
Если проводящему шару сообщить заряд, то он вследствие сферической симметрии равномерно распределится по поверхности сферы. Отсутствие зарядов в объеме доказывается так. Пусть внутри шара имеются некоторые заряды. Из-за сферической симметрии их распределение должно быть сферически симметричным. Рассмотрим некоторый сферический слой зарядов. На заряды слоя не действуют никакие силы со стороны зарядов, находящихся вне полости, ограниченной сферическим слоем, но на них действуют силы отталкивания со стороны зарядов, находящихся в полости, ограниченной сферическим слоем. А это означает, что сферический слой зарядов начнет движение от центра к периферии. Таким образом, при равновесном распределении заряды внутри проводящего шара отсутствуют.
Ипаче обстоит дело, если закон взаимодействия отличается от кулоновского. В этом случае в точке $P$ со-стороны зарядов $\sigma \mathrm{d} S_{1}$ и $\sigma \mathrm{d} S_{2}$, расположенных на элементах поверхности $\mathrm{d} S_{1}$ и $\mathrm{d} S_{2}$, действуют силы:
\[
\mathrm{d} F_{1}=\text { const } \frac{\mathrm{d} S_{1} \sigma}{r_{1}^{2}+\alpha}=\frac{\text { const } \cdot \sigma}{\cos \theta} \mathrm{d} \Omega_{1} \frac{1}{r_{1}^{\alpha}},
\]
$\mathrm{d} F_{2}=$ const $\frac{\mathrm{d} S_{2} \sigma}{r_{2}^{2+\alpha}}=\frac{\text { const } \cdot \sigma}{\cos \theta} \mathrm{d} \Omega_{2} \frac{1}{r_{2}^{\alpha}}$,
равнодействующая которых
\[
\Delta F=A\left(\frac{1}{r_{2}^{\alpha}}-\frac{1}{r_{1}^{\alpha}}\right)
\]

не равна нулю. В формуле (6.4) $A$ обозначает одинаковые множители перед $1 / r_{1}^{\alpha}$ и $1 / r_{2}^{\alpha} \quad$ в (6.3).

Наличие силы $\Delta F$ приводит к возможности равновесного распределения зарядов по всему объему проводящего шара, поскольку на заряд внутри шара действуют силы не только со стороны внутренних сферических слоев, но и внешних, причем характер их действия зависит от знака $\alpha$.

Рассмотрим случай, когда $\alpha>0$. При этом сила со стороны заряда $(\sigma>0)$, расположенного от точки $P$ (рис. 16) на более отдаленном элементе поверхности, меньше, чем со стороны заряда на более близком элементе поверхности. Следовательно, сила направлена в сторону более отдаленного элемента поверхности. Суммируя возможные пары элементов поверхности, приходим к заключению, что результирующая сила $\mathbf{F}$ направлена к центру $O$ (рис. 17). Следовательно, внутри сферы радиусом $O P$ можно создать такое распределение заряда, при котором сила в точке $P$ со стороны этого распределения компенсирует силу со стороны зарядов во внешних сферических слоях. В результате слой зарядов на сфере радиусом $O P$ может находиться в равновесии. Нужно подобрать такое распределение плотности зарядов по радиусу, чтобы в каждой точке внутри шара сила была равна нулю. Такое распределение будет равновесным. Таким образом, при $\alpha>0$ в заряженном проводящем шаре заряды присутствуют не только на поверхности, как при $\alpha=0$, но и в объеме. Аналогичный вывод получается и при $\alpha<0$. Можно произвести более детальный математический подсчет и найти заряд в объеме шара как функцию от $\alpha$. Метод Кавендиша состоит в измерении заряда в объеме шара и последующем вычислении значения $\alpha$.

К проводящему шару (рис. 18) плотно примыкает разъемная проводящая сферическая оболочка, состоящая из двух полусфер. Когда она надета на шар, системе сообщается электрический заряд. Затем оболочка с помощью изолирующих ручек отъединяется от шара и исследуется оставшийся в нем заряд.

Если закон Кулона справедлив, то весь заряд находится на оболочке и удаляется вместе с ней. Остающийся на шаре заряд равен нулю.

Если имеется отклонение от закона Кулона, то часть заряда сосредоточится в объеме шара, а часть находится на оболочке. После удаления оболочки на шаре остается некоторый заряд. Определив его, можно оценить $\alpha$. Конечно, в экспериментах непосредственно можно измерить не заряд, а потенциалы, что не меняет сути дела.

Кавендиш получил, что $|\alpha| \leqslant 0,02$. Примерно через сто лет аналогичные опыты произвел Максвелл и нашел $|\alpha| \leqslant 5 \cdot 10^{-5}$. В 1971 г. метод Кавендиша был усовершенствован. Опыт проводился не в статическом режиме, а с помощью переменных по времени потенциалов. Установка состоит из двух концентрических проводящих сфер. На внешнюю подавалось переменное напряжение $\pm 10$ кВ относительно земли. В случае отклонения от закона Кулона потенциал внутренней сферы должен меняться относительно земли. Исследователи могли фиксировать разность потенциалов меньшую, чем 1 пВ. Они не обнаружили колебаний потенциала внутренней сферы, что позволило принять $|\alpha| \leqslant|2,7 \pm 3,1| \cdot 10^{-16}$.
Этими опытами справедливость закона Кулона с указанной чрезвычайно больиой точностью подтверждена для расстояний от нескольких миллиметров до десятков сантиметров.
Проверка закона для больших расстояний. Применить метод Кавендиша для проверки закона Кулона уже для расстояний, равньх нескольким метрам и больше, затруднительно. Для больших расстояний используют косвенные методы, обоснование которых лежит вне классической теории электричества. Они используют квантово-механические предсгавления о взаимодействии частиц с учетом их волновых свойств. Каждое взаимодействие обусловливается конкретным видом частиц. Закон взаимодействия зависит от свойств частиц, обусловливающих взаимодействие и в первую очередь от их массы. Если масса покоя частиц, ответственных за взаимодействие, равна нулю, то сила взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояний, а потенциал взаимодействия обратно пропорционален расстоянию. Если же у частиц, осуществляющих взаимодействие, масса покоя отлична от нуля, то потенциал изменяется по закону $\sim(1 / r) \exp (-\mu r)$, где $\mu$ зависит от массы покоя частиц. При нулевой массе покоя $\mu$ равно нулю и потенциал изменяется обратно пропорционально расстоянию, как это должно быть при законе Кулона и законе тяготения Ньютона. По современным представлениям электромагнитные взаимодействия обусловливаются фотонами. Поэтому вопрос о справедливости закона Кулона сводится к вопросу о равенстве массы покоя фотонов нулю.

Все частицы наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами. Энергия $\varepsilon_{\phi}$ фотонов связана с частотой и массой соотношениями $\varepsilon_{\phi}=\hbar \omega$ и $\varepsilon_{\phi}=m_{\gamma} c^{2}$, где $\hbar=1,05 \cdot 10^{-34}$ Дж с – постоянная Планка, $m_{\gamma}$ – масса фотона. Эта масса больше массы покоя, если таковая у фотона имеется. Поэтому, найдя верхний предел для $m_{\gamma}$, получим ограничение на массу покоя фотона. Доказав экспериментально существование электромагнитных волн достаточно большой длины, можно утверждать, что значение $m_{\gamma}$ достаточно мало. Если бы удалось продемонстрировать существование электромагнитных волн бесконечной длины волны, то можно было бы утверждать, что масса покоя фотона равна нулю и, следовательно, закон Кулона справедлив абсолютно.

Наиболее длинные электромагнитные волны, которые удается в настоящее время наблюдать, образуются в виде стоячих волн в пространстве между поверхностью земли и ионосферой. Они называются резонансами Шумана. Наименьший резонанс Шумана соответствует частоте $v_{0}=8$ Гц. На основании этого с учетом расстояния от поверхности земли до ионосферы и условий образования стоячих волн для массы фотона получаем $m_{\gamma}<10^{-48}$ кг. Эта оценка показывает, что закон Кулона выполняется с чрезвычайно большой точностью, поскольку неравенство $|\alpha| \leqslant 10^{-16}$ эквивалентно $m_{y} \leqslant 10^{-50}$ кг.

Проведены эксперименты, связанные с исследованием магнитного поля с помощью спутников в околоземном пространстве и позволяющие определить точность выполнения закона Кулона на больших

—————————————————————-
0048_fiz_ob_matveev_03_no_photo_page-0049.jpg.txt

§ 6. Закон Кулона
49
расстояниях. Установлено, что закон Кулона выполняется с чрезвычайно большой точностью вплоть до расстояний порядка $10^{7}$ м. Нет сомнений, что и для больших расстояний закон Кулона также хорошо выполняется, однако прямых экспериментальных проверок не проводилось.
Проверка закона для малых расстояний. Для малых расстояний закон Кулона проверяется в экспериментах по взаимодействию элементарных частиц. Уже опыты Резерфорда позволили заключить, что закон Кулона справедлив с большой точностью вплоть до расстояний $10^{-15} \mathrm{~m}$. Последующие эксперименты по упругому рассеянию электронов при энергиях в несколько миллиардов электрон-вольт показали, что закон Кулона справедлив вплоть до расстояний $10^{-17} \mathrm{M}$.

При интерпретации этих экспериментов используется квантовая электродинамика.
Полевая трактовка закона Кулона. До работ Фарадея закон Кулона трактовался с позиций дальнодействия, т.е. считалось, что одно тело действует на другое как бы без посредников. Поэтому и называлась эта концепция как действие на расстоянии. В первой половине XIX в. выработалась другая точка зрения на механизм взаимодействия, согласно которой взаимодействие между телами осуществляется лииь посредством непрерывной «передачи сил» через пространство между телами. Такое представление получило название концепции близкодействия. Она была введена в науку Фарадеем (1791-1867) в ряде работ, опубликованных в период с 1831 по 1855 г. Вместе с идеей близкодействия в науку вошло представление о поле как посреднике, осуществляючем взаимодействие. Первоначально функции посредника приписывались среде, которая заполняет все мировое пространство. Эта среда получила название Мирового эфира. Состояние эфира характеризовалось определенными механическими свойствами, такими, как упругость, натяжение, движение одних частей среды относительно других и т. д. По этой трактовке сила, действующая на тело, является следствием взаимодействия тела со средой в той точке, в которой находится тело. Таким образом, механизм взаимодействия формулируется в виде локальных соотношений. Попытка математической формулировки этой механической картины передачи взаимодействий была предпринята в 1861-1862 гг. Максвеллом (1831-1879), пытавшимся представить силы электромагнитного взаимодействия в виде механических сил, обусловленных натяжениями и давлениями в эфире. Затем он перешел к феноменологической формулировке взаимодействия, характеризуя состояние среды с помощью векторов Е, D, Н, В, которым, однако, не дается какой-то механической интерпретации. Следует отметить, что при этом Максвелл не исключал возможности механического истолкования феноменологических уравнений. В 1864 г. он сформулировал уравнения электромагнитного поля – уравнения Максвелла. В дальнейшем выяснилось, что нельзя приписывать эфиру механических свойств и нельзя говорить о движении относительно эфира. Надежда на механическое истолкование электромагнитных взаимодействий потеряла право на существование. Но идея локальной. формулировки взаимодействия и необходимость существования в пространстве поля, которое осуцествляет это взаимодействие, сохранились. Поле становится первоначальной суцностью и характеризуется величинами, которые не могут быть интерпретированы в рамках механических представлений. Это утверждение в наиболее четкой форме было высказано в 1889 г. Герцем (1857-1894), экспериментально открывшим электромагнитные волны и сформулировавшим уравнения Максвелла для вакуума в современнім виде. Ясно, что поле существует в пространстве и времени наряду с материей в виде атомов, молекул и т. д.

Следовательно, поле есть также вид материи, обладающий свойственными для всякой материи характеристиками – импульсом, энергией и т. д.
$\exists$ лектрическое поле. Обозначим: $F_{12}$ – силу со стороны заряда $q_{1}$ на заряд $q_{2} ; \mathbf{F}_{21}$ – силу со стороны заряда $q_{2}$ на заряд $q_{1} ; \mathbf{r}_{12}$ и $\mathbf{r}_{21}$ векторы, проведенные из точки нахождения первого заряда в точку нахождения второго заряда, и наоборот. В соответствии с этим запишем закон Кулона в виде:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{F}_{12}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r_{12}^{2}} \frac{\mathbf{r}_{12}}{r_{12}} q_{2}, \\
\mathbf{F}_{21}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r_{21}^{2}} \frac{\mathbf{r}_{21}}{r_{21}} q_{1} .
\end{array}
\]

По своему физическому содержанию эти две формулы различны и определяют силы, действующие на второй и первый заряд в точке их нахождения, т.е. описывают силы в различных пространственных точках. Но механизм возникновения этих сил одинаков. Заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ создают в окружаючем их пространстве электрическое поле, которое характеризуется напряженностью Е. Напряженность поля является локальным понятием и имеет определенное значение в каждой точке пространства. Напряженностью электрического поля в точке называется величина, равная отношению силы, с которой поле действует на положительный заряд, помеченный в данную точку поля, к заряду. Отсюда, однако, не следует, что для измерения напряженности поля достаточно в точку пространства поместить положительный заряд и измерять действующую на него силу.

Во многих случаях внесение заряда в данную точку сопровождается сильным изменением напряженности электрического поля в ней и результат измерения оказывается сильно искаженным (см. § 7).
С учетом сказанного формулы (6.5) можно представить в виде:
\[
\mathbf{E}_{2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r_{12}^{2}} \frac{\mathbf{r}_{12}}{r_{12}} \text {, (a) } \quad \mathbf{F}_{12}=\mathbf{F}_{2}=q_{2} \mathbf{E}_{2} \text {, (б) }
\]
$\mathbf{E}_{1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r_{21}^{2}} \frac{\mathbf{r}_{21}}{r_{21}}$,
(a) $\mathbf{F}_{21}=\mathbf{F}_{1}=q_{1} \mathbf{E}_{1}$,
Формула (6.6a) описывает напряженность электрического поля, образуемого точечным зарядом $q_{1}$, а формула (6.6б) характеризует силу, с которой поле с напряженностью $\mathbf{E}_{2}$ действует на заряд, находящийся в точке поля. Аналогичный смысл имеют и формулы (6.7).

Таким образом, действие одного заряда иа другой разделено на два этапа:
1. Точечный заряд $q$ создает в окружающем его пространстве электрическое поле, напряженность которого
$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r}$,
где $\mathbf{r}$ – радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда до точки, в которой определяется напряженность (рис. 19).
2. Точечный заряд $q$, находящийся в точке поля с напряженностью $\mathbf{E}$, подвергается со стороны этого поля действию силы

Формулировка второго этапа взаимодействия, выражаемая формулой (6.9), является локальной: напряженность $\mathbf{E}$, заряд $q$ и сила $\mathbf{F}$ определяются в одной и той же точке. Формулировка же первого этапа взаимодействия, выражаемая формулой (6.8), не является локальной: напряженность Е в левой части (6.8) зависит не только от точки, где она определяется, но и от точки нахождения источника поля. Другими словами, (6.8) является соотношением между величинами, относяцимися к различным точкам пространства, т. е. имеет нелокальный характер. Локальная формулировка дана в § 13 .
(О) границах применимости классической концепции поля. Выше предполагалось, что напряженность $\mathbf{E}$ непрерывно и достаточно плавно изменяется в пространстве и во времени. Однако в рамках квантовых
19
Полевая трактовка закона Кулона
Представление о классическом непрерывном взаимодействни справедливо пишь при условии малости действия отдельных квантов по сравнению с совокупным действием, т. е. когда рассматрнваеное явление зависит от одновременного действия громадного чнсла квантов и когда действие отдельных квантов не проявляется.
Определение напряженности электрического поля не связано с малостью пробных зарядов.
На каком физическом законе основан метод Кавендиша для проверки закона Кулона! Какова точность проверки закона Кулона современными средствами по методу Кавендиша? Для каких расстояний эти проверки справедливы?
В чем состоит метод проверки закона Кулона для бопьших расстояний’ До каких расстояний имеются прямые результаты проверки? Каковы они?
На чем основана проверка справедливости закона Кулона для очень малых расстояний? Каковы результаты проверки?
В чем отличие понятий электромагнитного поля и эфира?
представлений сила взаимодействия между заряженными телами возникает в результате обмена фотонами. Отсюда следует дискретность взаимодействия. А это означает, что напряженность $\mathbf{E}$ нельзя представлять себе как непрерывную величину, плавно изменяющуюся в пространстве и времени. Спрашивается, при каких условиях все же можно считать ее непрерывной? Ясно, что это возможно лишь при условии малости действия отдельных квантов по сравнению с совокупным действием, т. е. когда рассматриваемые явления зависят от одновременного действия громадного числа квантов. Такая ситуация осуществляется наиболее часто. Например, электрическая лампочка мощностью 200 Вт на расстоянии 2 м дает поток фотонов видимого света, равный примерно $10^{15}$ фотонов $/\left(\mathrm{cm}^{2} \cdot\right.$ c). Площадь зрачка глаза много меньше $1 \mathrm{~cm}^{2}$, тем не менее число фотонов, попадающих в глаз за 1 с, велико. Поэтому поток фотонов воспринимается как непрерывный. Однако уменьшением интенсивности света можно добиться такого положения, чтобы в глаз попадало лишь небольшое число фотонов в секунду. При специальных условиях глаз способен воспринимать отдельные фотоны в виде раздельных вспышек. В этом случае уже нельзя пользоваться представлением о непрерывном потоке света. Радиостанции ультракоротковолнового диапазона в СССР работают на частотах $60-70$ МГц. На расстоянии 10 км такая радиостанция мощностью 200 Вт дает поток около $4 \cdot 10^{14}$ квантов $/\left(\mathrm{cm}^{2} \cdot\right.$ с). Это соответствует плотности $10^{4}$ квантов $/ \mathrm{cm}^{3}$. Следовательно, в объеме, равном кубу длины волны $\left(\approx 64 \mathrm{~m}^{3}\right)$, находится более $10^{11}$ квантов излучения. При этих условиях также является затруднительной фиксация поля отдельного кванта. В тех случаях, когда действие отдельных квантов не проявляется, применимо классическое описание. Это возможно, когда число квантов велико, а импульс отдельного кванта мал по сравнению с импульсом материальной системы. Например, излучение отдельного атома нельзя рассматривать классически, потому что число фотонов до излучения равно нулю, а после излучения имеется только один фотон.