Излагаются основные методы расчета чепей. Обсуждается работа трансформатора.
Роль взаимной индукции. Каждый из контуров, по которому течет переменный ток, является источником переменного магнитного поля. По закону электромагнитной индукции Фарадея оно индуцирует в других контурах, находящихся в этом поле, электродвижущие силы, которые изменяют силу тока в этих контурах. Таким образом, контуры оказываются связанными между собой посредством электромагнитной индукции.
$\mathbf{y}$ равнения для системы проводников с учетом самоиндукции и взаимоиндукции. Полный магнитный поток, пронизывающий $k$-й контур, определяется выражением
$\Phi_{k}=\sum_{i=1}^{N} L_{k_{l}} I_{i}$
которое является непосредственным обобщением формул (47.6) и (47.10) на случай многих контуров с током на основании принципа суперпозиции. Здесь $L_{k k}$ — индуктивность $k$-го контура, а $L_{k i}$ при $k
eq i$ — взаимная индуктивность $k$-го и $i$-го контуров. Общее число проводников равно $N$.

Для упрощения предположим, что емкости в цепях отсутствуют. Тогда с учетом электромагнитной индукции для силы тока в $k$-м контуре получаем уравнение
$I_{k} R_{k}=U_{k}-\mathrm{d} \Phi_{k} / \mathrm{d} t$,
где $U_{k}$ — сторонняя электродвижущая сила в $k$-м контуре. Подставляя (51.1) в (51.2), получаем для определения силы тока во всех контурах следующую систему уравнений:
\[
I_{k} R_{k}=U_{k}-\sum_{i=1}^{N} L_{k i} \frac{\mathrm{d} I_{i}}{\mathrm{~d} t} \cdot(k=1,2, \ldots, N) .
\]

Эта линейная система из $N$ уравнений для $N$ неизвестных сил токов $I_{k}$ является полной и, в принципе, ее всегда нетрудно решить. Единственной нетривиальной задачей является определение взаимных индуктивностей и индуктивностей контуров. В уравнениях (51.3) эти величины представляются известными.
Случай двух контуров. Рассмотрим в качестве примера систему уравнений для двух проводников:
$I_{1} R_{1}=U_{1}-\left(L_{11} \frac{\mathrm{d} I_{1}}{\mathrm{~d} t}+L_{12} \frac{\mathrm{d} I_{2}}{\mathrm{~d} t}\right)$,
$I_{2} R_{2}=U_{2}-\left(L_{21} \frac{\mathrm{d} I_{1}}{\mathrm{~d} t}+L_{22} \frac{\mathrm{d} I_{2}}{\mathrm{~d} t}\right)$,
где $L_{11}$ и $L_{22}$ — индуктивности первого и второго контуров; $L_{12}$ и $L_{21}$ взаимные индуктивности контурбв.

Дальнейшее решение будет достаточно простым, если рассмотреть ситуацию, которая с достаточной точностью осуществляется в трансформаторе переменного тока (рис. 209).
Трансформатор. В трансформаторе имеется два проводника, намотан-
ных в виде катушек на замкнутый сердечник из материала с большой магнитной проницаемостью, благодаря чему потоки магнитной индукции, создаваемые текущими по проводам токами, сосредоточены практически полностью внутри сердечника. Проводники называют обмотками трансформатора. Обмотка, к которой присоединяется источник сторонних э. д. с., является первичной, а обмотка, к которой присоединяется нагрузка,- вторичной.

Величины, относящиеся к первичной и вторичной обмоткам, обозначим соответственно с индексами 1 и 2. Запишем уравнения (51.2) в виде:
$I_{1} R_{1}=U_{1}-\mathrm{d} \Phi_{1} / \mathrm{d} t$,

\[
I_{2} R_{2}=-\mathrm{d} \Phi_{2} / \mathrm{d} t,
\]

где $R_{1}$ — омическое сопротивление первичной обмотки; $R_{2}$ — сумма омических сопротивлений вторичной обмотки и нагрузки, которая для простоты предполагается чисто омической; $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ — полные потоки магнитной индукции, охватываемые соответственно первичной и вторичной обмотками; $U_{1}$ сторонняя э. д. с., приложенная к первичной обмотке.

Сопротивление $R_{1}$ первичной обмотки достаточно мало и падение напряжения на ней за счет омического сопротивления может быть принято значительно меньшим $U_{1}$, т. е. $I_{10} R_{1} \ll U_{10}$, где $I_{10}$ и $U_{10}-$ амплитуды силы тока и напряжения в первичной обмотке. Поэтому в соотношении (51.6) можно пренебречь произведением $I_{1} R_{1}$ по сравнению с $U_{1}$ и записать его в виде $U_{1}=\mathrm{d} \Phi_{1} / \mathrm{d} t$.

В обычных условиях омическое сопротивление нагрузки много больше омического сопротивления вторичной обмотки. Поэтому $R_{2}$ в (51.7) равно с большой точностью сопротивлению нагрузки. Следовательно, $I_{2} R_{2}$ в левой части (51.7) равно напряжению $U_{2}$ на клеммах вторичной обмотки трансформатора. Поэтому (51.7) может быть записано следующим образом:
\[
U_{2}=-\mathrm{d} \Phi_{2} / \mathrm{d} t \text {. }
\]

Поскольку сторонняя э. д. с. изменяется по гармоническому закону $\left[U_{1} \sim \exp (i \omega t)\right]$, все величины изменяются по такому же закону. Следовательно $, \quad \mathrm{d} \Phi_{1} / \mathrm{d} t=i \omega \Phi_{1}, \quad \mathrm{~d} \Phi_{2} / \mathrm{d} t=$ $=i \omega \Phi_{2}$. Так как весь поток магнитной индукции заключен внутри сердечника, то каждый из витков первичной и вторичной обмоток охватывает один и тот же магнитный поток $\Phi_{0}$. Следовательно, потоки, охватываемые первичной и вторичной обмотками, равны
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{1}=\Phi_{0} N_{1}, \\
\Phi_{2}=\Phi_{0} N_{2},
\end{array}
\]

Векторная диаграмма трансформатора при холостом ходе
О Каковы физические условия реализации резонанса токов и резонанса напряжений? Какое соответствие существует между параметрами, хароктеризующими копебательный контур с сопротивлением, емкостью и индуктивностью, и параметроми механической колебательной системы с трением?
В чем физический смысл усповий согласования нагрузки с генератором?
Перечислите случаи, когда токи Фуко играют полезную роль и когда они нежелательны?
где $N_{1}$ и $N_{2}$ — число витков соответственно первичной и вторичной обмоток. С учетом (51.10) и (51.11) уравнения (51.8) и (51.9) принимают вид:
\[
\begin{array}{l}
U_{1}=i \omega N_{1} \Phi_{0}, \\
U_{2}=-i \omega N_{2} \Phi_{0} .
\end{array}
\]

Разделив почленно левые и правые части (51.12) и (51.13) и перейдя к модулям, получим
\[
\left|U_{1}\right| /\left|U_{2}\right|=N_{1} / N_{2} \text {. }
\]

Учитывая, что $\left|U_{1}\right|=U_{10},\left|U_{2}\right|=U_{20}$ — амплитуды напряжения на первичной и вторичной обмотках, запишем (51.14) в виде
\[
U_{10} / N_{1}=U_{20} / N_{2},
\]
т. е. амплитуда напряжения во вторичной обмотке во столько раз больше (меньше) амплитуды напряжения в первичной, во сколько раз число витков вторичной обмотки больше (меньше) числа витков первичной обмотки.

Если пренебречь потерями энергии в трансформаторе, то закон сохранения энергии имеет вид
\[
I_{1} U_{1}=I_{2} U_{2} \text {. }
\]

Переходя в (51.16) к модулям, получаем на основании (51.15) соотношение
\[
I_{10} N_{1}=I_{20} N_{2} \text {, }
\]

где $I_{10}$ и $I_{20}$ — амплитуды силы токов в первичной и вторичной обмотках.

Формулы (51.15) и (51.17) описывают закон преобразования амплитуд напряжений и сил токов в трансформаторе. Они строго справедливы для идеального трансформатора, в котором нет рассеяния магнитного потока и потерь энергии. Для реального трансформатора они соблюдаются с большой точностью.
Векторная диаграмма холостого хода транфформатора. Холостым ходом траноформатора является его работа при разомкнутой вторичной обмотке. Будем пренебрегать запаздыванием фазы потока магнитной индукции по сравнению с фазой силы тока в первичной обмотке из-за некоторой инерции перемагничивания материала сердечника. Это запаздывание пренебрежимо мало. Поэтому поток можно считать совпадающим по фазе с током в первичной обмотке, который называется током холостого хода. Ток во вторичной обмотке равен нулю. Из формулы
\[
U^{\text {инд }}=-\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t
\]

следует, что $U^{\text {инд }}$ отстает на $\pi / 2$ от потока Ф. Поэтому векторная диаграмма ненагруженного трансформатора имеет вид, изображенный на рис. 210: $U_{1}$-внешнее напряжение, приложенное к первичной обмотке; $U_{1}^{\text {инд }}$ — напряжение в первичной обмотке в результате самоиндукции; $U_{2}^{\text {инд }}$ — напряжение на вторичной обмотке в результате взаимной индукции; $I_{0}$ — сила тока холостого хода; $\Phi_{0}$ — поток холостого хода, охватываемый каждым из витков обмоток трансформатора. Как и раньше, потерями и рассеянием потока в трансформаторе пренебрегаем.
По закону электромагнитной индукции
\[
\begin{array}{c}
U_{1}^{\text {инд }}=-\frac{\mathrm{d} \Phi_{0}}{\mathrm{~d} t} N_{1}, \\
U_{2}^{\text {иид }}=-\frac{\mathrm{d} \Phi_{0}}{\mathrm{~d} t} N_{2},
\end{array}
\]

поскольку полные потоки индукции, пронизывающие первичную и вторичную обмотки, равны:
\[
\Phi_{1}=\Phi_{0} N_{1}, \Phi_{2}=\Phi_{0} N_{2} .
\]

Необходимо учесть, что сила тока холостого хода очень мала, как и омическое сопротивление первичной обмотки по сравнению с ее индуктивным сопротивлением. Поэтому (см. рис. 210)
\[
U_{1} \approx U_{1}^{\prime} \approx-U_{1}^{\text {инд }}
\]
T. e.
\[
U_{1}^{\text {ннд }} \approx-U_{1} .
\]

Разделив почленіо левые и правые части равенства (51.20) на соответствующие части равенства (51.19) и принимая во внимание (51.23), находим
\[
\left|U_{2}^{\text {ннд }}\right| /\left|U_{1}\right| \approx N_{2} / N_{1},
\]

Векторная диаграмма нагруженного трансформатора. В нагруженном трансформаторе поток $\Phi_{0}$, охватываемый каждым из витков обмоток, создается токами как первичной, так и вторичной обмоток. Э. д. с. самоиндукции в первичной обмотке должна все время компенсировать внепнее напряжение, т. е. сумма потоков $\Phi^{(1)}$ и $\Phi^{(2)}$, создаваемых токами первичной и вторичной обмоток, должна быть примерно равна потоку $\Phi_{0}$ холостого хода, т. е. $\Phi_{0}=\Phi^{(1)}+\Phi^{(2)}$. А это приводит к тому, что напряжение во вторичной обмотке будет удовлетворять условию (51.24) и для нагруженного трансформатора.

Следует обратить внимание, что потоки $\Phi^{(1)}$ и $\Phi^{(2)}$ не являются полными потоками $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$, охватываемыми первичной и вторичной обмотками. Потоки $\Phi^{(1)}$ и $\Phi^{(2)}$ являются потоками, охватываемыми одним витком каждой из обмоток, созданными в сердечнике соответственно токами $I_{1}$ и $I_{2}$. Полные потоки, охватываемые первичной и вторичной обмотками, равны $\Phi_{1}=N_{1}\left(\Phi^{(1)}+\Phi^{(2)}\right), \Phi_{2}=N_{2}\left(\Phi^{(1)}+\right.$ $\left.+\Phi^{(2)}\right)$.

Векторная диаграмма нагруженного трансформатора изображена на рис. 211. Силы токов $I_{1}$ и $I_{2}$ значительно больше силы тока $I_{0}$ холостого хода, поэтому и создаваемые ими потоки $\Phi^{(1)}$ и $\Phi^{(2)}$ значительно больше потока $\Phi_{0}$. Так как $\Phi^{(1)}+\Phi^{(2)}=\Phi_{0}$ (комплексные числа), то
Автотрансформатор
Почему сердечник автотрансформатора должен быть замкнутым?
Каковы принципиальные преимущество и недостатки синхронных и асинхронных двигателей?
Какова роль «проскальзывания» в асинхронном двигателе? От чего она зависит ? Как должен быть включен трансформатор для согласования генератора с нагрузкой, если сопротивление нагрузки слишком мало? Чем реальный трансформатор отличается от идеальhoro?
\[
\Phi^{(1)} \approx-\Phi^{(2)},\left|\Phi^{(1)}\right| \approx\left|\Phi^{(2)}\right| .
\]

Примем во внимание равенства
\[
\left|\Phi^{(1)}\right|=\text { const }\left|I_{1}\right| N_{1},\left|\Phi^{(2)}\right|=\text { const }\left|I_{2}\right| N_{2},
\]

которые будут очевидными, если учесть, что $\Phi^{(1)}$ и $\Phi^{(2)}$ — потоки, создаваемые каждой из обмоток. Тогда (51.25) принимает вид равенства
\[
\left|I_{1}\right| N_{1}=\left|I_{2}\right| N_{2},
\]

которое удобнее записать в форме
\[
\frac{\left|I_{2}\right|}{\left|I_{1}\right|}=\frac{N_{1}}{N_{2}},
\]

что, как и должно быть, совпадает с (51.17). Первые трансформаторы были созданы П. Н. Яблочковым $(1847-1894)$ в 1877 г. и Ф. И. Усагиным (1855-1919) в 1882 г.
Автотрансформатор. Очень экономичной конструкцией трансформатора, помогающей сберечь обмоточные провода, является автогрансформатор, изображенный на рис. 212. Физические принципы его работы и формулы аналогичны рассмотренным выше. Эксплуатационное отличие состоит в том, что первичная и вторичная обмотки автотрансформатора находятся между собой в электрическом контакте, а обмотки трансформатора изолированы. Поэтому, например, статические электрические заряды могут перейти из первичной обмотки автотрансформатора во вторичную, а в трансформаторе это исключается. Эти особенности трансформаторов и автотрансформаторов в ряде случаев приходится принимать во внимание.
Tрансформатор как элемент цепи. Сила тока во вторичной цепи равна (рис. 209) $I_{2}=U_{2} / R$.

Учитывая, что $I_{1} N_{1}=I_{2} N_{2}, \quad U_{1} / N_{1}=$ $=U_{2} / N_{2}$, из (51.29) получасм
$\frac{N_{1}}{N_{2}} I_{1}=\frac{1}{R} \frac{N_{2}}{N_{1}} U_{1}$.

Следовательно, сопротивление $R$ во вторичной цепи трансформатора представляется со стороны входа эффективным сопротивлением
\[
R_{3 \phi}=\frac{U_{1}}{I_{1}}=\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2} R .
\]

Это означает, что трансформатор можно использовать для согласования источника мощности с нагрузкой для получения максимальной отдачи мощности [см. (49.34)]. Например, с его помощью можно согласовать большое внутреннее сопротивление усилителя с малым сопротивлением громкоговорителя. Комплексные импедансы преобразуются также аналогично (51.31).
Реальный трансформатор. Из (51.31) видно, что идеальный трансформатор со стороны первичной обмотки представляется в виде чистого сопротивления. Индуктивность первичной обмотки никак не проявляется, что обусловлено взаимным уничтожением магнитных потоков, создаваемых токами в первичной и вторичной обмотках, т. е. трансформатор в цепи выступает как преобразователь эффективного сопротивления, не обладающий собственной индуктивностью.

Приведенные соотношения справедливы для идеального трансформатора. Реальный трансформатор обладает как индуктивностью, так и емкостью. Эквивалентная схема его представлена на рис. 213. Индуктивности $L_{1}$ и $L_{2}$ первичной и вторичной обмоток обусловлены рассеянием магнитного потока, в результате которого нет полной компенсации магнитных потоков, создаваемых токами первичной и вторичной обмоток. Сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$ являются омическими сопротивлениями проводников обмоток. Индуктивность $L_{0}$ в первичной обмотке обусловлена магнитным потоком, соответствующим току холостого хода в первичной обмотке. Емкости $C_{1}$ и $C_{2}$ в обмотках возникают за счет емкостной связи между витками проводников этих обмоток.

Из эквивалентной схемы траноформатора можно заключить, что на очень малых частотах трансформатор перестает работать из-за того, что индуктивное сопротивление $\omega L_{0}$ становится очень малым и бо́льшая часть тока идет через индуктивность $L_{0}$. На достаточно больших частотах трансформатор также не работает, поскольку ток в основном идет через емкость $C_{1}$, минуя витки трансформатора. В технической характеристике трансформатора всегда указываются пределы его нормальной эксплуатации.
Каковы основные преимущества использования трехфазного тока по сравнению с однофозным ?
Начертите схемы соединения нагрузок и генероторов звездой и треугольником и перечислите соотношения между фазными и лииейными напряжениями и токами.