Дается математическая формулировка закона сохранения энергии и обсуждается понятие потока электромагнитной энергии.
Формулировка. Энергия электрического и магнитного поля определяется формулами (18.16) и (47.26). В § 19 и 39 были исследованы силы в электрическом и магнитном полях, под действием которых совершается работа. В § 49 была определена работа переменного тока, в § 27 изучено тепловое действие тока. Закон сохранения энергии требует, чтобы все эти процессы были сформулированы в виде закона сохранения и превращения различных форм энергии друг в друга. Поскольку при этом источники производства электромагнитной энергии пространственно отделены от мест ее потребления, возникает представление о движении энергии, характеризуемом ее потоком.
Рассмотрим некоторый замкнутый объем $V$, в котором имеются электромагнитное поле и токи (рис. 247). Джоулева теплота, выделяемая токами в этом объеме, равна
$P=\int_{V} \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} \mathrm{d} V$.
Для упрощения расчета предполагается, что других превращений энергии в этом объеме нет. Подставляя в (59.1) выражения для $\mathbf{j}$ из уравнения (58.1a), получаем
\[
P=\int_{V} \mathbf{E} \cdot \operatorname{rot} \mathbf{H} \mathrm{d} V-\int_{V} \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \mathrm{~d} V .
\]

По формуле (П.15) имеем
$\operatorname{div} \mathbf{E} \times \mathbf{H}=\operatorname{rot} \mathbf{E} \cdot \mathbf{H}-\mathbf{E} \cdot \operatorname{ret} \mathbf{H}$
и, следовательно,
$P=-\int_{V} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot \mathbf{H} \mathrm{d} V-\int_{V} \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \mathrm{~d} V-\int_{V} \operatorname{div} \mathbf{E} \times \mathbf{H} \mathrm{d} V$,
где $\operatorname{rot} \mathbf{E}=-\partial \mathbf{B} / \partial t$. Учитывая, что $\mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\frac{1}{2} \frac{\partial(\mathbf{H} \cdot \mathbf{B})}{\partial t}$ и $\frac{\mathbf{E} \cdot \partial \mathbf{D}}{\partial t}=$ $=\frac{1}{2} \frac{\partial(\mathbf{E} \cdot \mathbf{D})}{\partial t}$, и преобразуя последний интеграл в (59.4) по теореме
Гаусса – Остроградского в интеграл по поверхности $\sigma$, ограничивающей объем $V$, окончательно получаем
\[
P=-\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{1}{2} \int_{V}(\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}+\mathbf{B} \cdot \mathbf{H}) \mathrm{d} V\right]-\int_{\sigma} \mathbf{E} \times \mathbf{H} \cdot \mathrm{d} \sigma .
\]

Здесь поверхность обозначена $\sigma$ для того, чтобы букву $S$ сохранить для обозначения плотности потока электромагнитной энергии.
Поток энергии.
Величина
$W=\frac{1}{2} \int_{V}(\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}+\mathbf{B} \cdot \mathbf{H}) \mathrm{d} V$
характеризует электромагнитную энергию, заключенную в объеме $V$. Величина

является плотностью потока энергии сквозь поверхность, ограничивающую объем $V$, и называется вектором Пойнтинга. Она была получена Д. Г. Пойнтингом (1852-1914) в 1884 г. Однако на десять лет раньше, в 1874 г. Н. А. Умовым (1846-1915) было проведено общее исследование движения энергии в телах, которое характеризовалось соответствующим потоком энергии. Поэтому вектор (59.7) называется также вектором Умова-Пойнтинга. Равенство (59.4) удобнее переписать в виде
т. е. изменение энергии электромагнитного поля в объеме происходит за счет работы токов проводимости в этом объеме и потока энергии сквозь поверхность, ограничиваючую объем. Если энергия электрического поля не изменяется $\partial W / \partial t=0$, то [см. (59.8)]
\[
P=-\int_{\boldsymbol{\sigma}} \mathbf{S} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\sigma} .
\]

Следовательно, вся произвоимая в замкнутом объеме работа совериается за счет потока электромагнитной энергии сквозь поверхность, ограничивающую объем.

Равенство (59.8) выражает закон сохранения энергии электромагнитного поля.

Следует подчеркнуть, что (59.8) является именно выражением закона сохранения энергии, а не его доказательством.
247
К формулировке закона сохранения энергии
– Закон сохранения энергнн как всеобщнй закон прнроды предполагается данным прн построенни теорни электрнчества и магнетизма. Исходя нз закона сохранення энергнн как всеобщего закона можно найти математическое выраженне для объемной плотности энергин электрического и магннтного полей и плотности энергин эпектрического н магнитного полей и плотностн потока электромагннтной энергин, а также установнть связь между ннмн, выражающую идею двнження электромагннтной энергни. В формуле (59.8) физическая величина $P$ учнтывает возможность взаимопревращення различных форм энергин друг в друга.