Выводятся формулы для энергии магнитного поля контуров с токои и выражение для плотности энергии. Приводятся выражения для энергии магнетика во внешнем магнитном поле и объемных сил, действующих на сжимаемые магнетики.

Энергия магнитного поля изолированного контура с током. Для того чтобы в неподвижном контуре создать электрический ток, необходимо включить в цепь источник сторонних э. д. с. Если в цепи течет постоянный ток, то энергия, поступающая в цепь из источника сторонних э. д. с., расходуется на выделение джоулевой теплоты и на совершение работы в потребилеле энергии. Индукция магнитного поля, как и его энергия, при этом неизменна. Индукция изменяется с изменением силы тока. Следовагельно, источник сторонних э. д. с. передает в цепь энергию ша создание магнитного́ поля в процессе увеличения силы тока. Вычислив работу, совершаемую источником сторонних э. д. с. для увеличения силы тока от нуля до конечного значения, получим энергию магнитного поля, которое связано с этим током.

При изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром, в контуре возникает э. д. с. индукции в соответствии с законом (46.1). У изолированного контура поток электромагнитной индукции $\Phi$ возникает за счет магнит ного поля, создаваемого током в контуре (рис. 181). При увеличении силы оока возрастает поток Ф, охватываемый током, и в контуре по закону Фарадея возникает э. д. с. индукции, которая в данном случае называется э. д. с. самоиндукции. По правилу Ленца, она направлена так, что препятствует увеличению силы тока. Для увеличения силы тока необходимо, чтобы сторонняя э. д. с. источника была паправлена противоположно э. д. с. самоиндукции и равна ей. Таким образом, в прочессе роста силы тока источник сторонних э.д.с. совершает работу против э.д.с. самоиндукции. За промежуток времени $\mathrm{d} t$ по контуру проходит количество электричества $\mathrm{d} Q=I \mathrm{~d} t$ и, следовательно, против э. д. с. самоиндукции исгочник сторонних сил в течение $\mathrm{d} t$ совершает работу
$\mathrm{d} A=-\mathscr{E}^{\text {инд }} I \mathrm{~d} t=(\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t) I \mathrm{~d} t=I \mathrm{~d} \Phi$,
где для бения использована формула (46.1). При совершении этой работы происходит превращение энергии источника сторонних э.д.с. в энергию магнитного поля тока в контуре. Поэтому измеление энергии магнитного поля связано с изменением потока соотношением
$\mathrm{d} W=I \mathrm{~d} \Phi$.
Индукция магнитного поля тока в соответствии с законом Био – Савара (10.10) линейно зависит от силы тока. Поэтому при
11 A $\mathrm{H}$ Матвеев
При увсличении тока источник сторонних э.л.с. совершает работу против э д.с. самоинлукиии
182
$\kappa$ вычислению индуктивносп контура
– Почему взаимная инауктивность может быть рассчитана по формуле, в которую входят линейные токи, а индуктивность не может быть выражена через линейные токи?
Какое свойство магнитного поля обусловливает постоянство индуктивности жесткого контура с токон? Индуктивности и взаинные индуктивности зависят только от геометрических характеристик контуров $с$ током $n$ их взаимного расположения. $\Phi_{11}=L_{11} I_{1}, \Phi_{22}=L_{22} I_{2}$.
переменной силе тока, протекающего по жесткому неподвижноиу контуру, картина силовых линий остается прежней, а индукция в каждой точке растет иронорчиопально силе тока. А это означает, что поток магнитной индукции Ф сквозв фиксированную неподвижную плочадь пакже пропориионален силе тока, и пототу
\[
\Phi=L I \text {, }
\]

где $L$-постояный коэффициент пропорциональности, не зависящий от силы тока и индукции магнитного поля. Этот коэффициент называется индуктивностью контура.

Подставляя (47.3) в (47.2), находим $\mathrm{d} W=L I \mathrm{~d} I=\mathrm{d}\left(1 / 2 L I^{2}\right)$.

Интегрируя обе части (47.4) от $I=0$ до некоторого значения $I$, получаем формулу
\[
W=1 / 2 L I^{2},
\]

которая определяет энергию магнитного поля, создаваемого током силы $I$, текущим по контуру с индуктивностью $L$.
нергия магнитног о поля нескольких контуров с током. Аналогично можно найти энергию магнитного поля двух контуров с током (рис. 183). При этом надо учесть, что э.д.с. индукции в каждом контуре возникает не только за счет изменения потока ипдукции магнитного поля, создаваемого током этого контура, но и за счет изменения потока индукции магнитного поля, создаваемого током, текущим в другом контуре. Обозначим: $I_{1}$ и $I_{2}$ – силь токов в первом и втором контурах, $\Phi_{11}$ и $\Phi_{12}$ – охватываемые первым контуром потоки магнитной индукции полей, создаваемых соответственно токами $I_{1}$ и $I_{2}$. Аналогичные величины для второго контура обозначим $\Phi_{22}$ и $\Phi_{21}$. Полные потоки, охватываемые каждым из контуров, равны
\[
\Phi_{1}=\Phi_{11}+\Phi_{12}, \Phi_{2}=\Phi_{21}+\Phi_{22} .
\]

Пусть $L_{11}$ и $L_{22}$ – индуктивности контуров. Тогда [см. (47.3)]
\[
\Phi_{11}=L_{11} I_{1}, \Phi_{22}=L_{22} I_{2} .
\]
К вычислению энергии магнитного поля двух контуров с током
Из тех же соображений, которые были изложены при получении формулы (47.3), заключаем, что поток $\Phi_{12}$, охватываемый гервым контуром, за счет магнитного ноля, создаваемого током во втором контуре, пропорционален силе тока $I_{2}$ во втором контуре:
$\Phi_{i 2}=L_{12} I_{2}$,
где $L_{12}$ – постоянная, называемая взаимной индуктивностью первого и второго контуров. Аналогично, для второго контура получаем $\Phi_{2 \mathrm{I}}=L_{21} I_{1}$.
Поэтому [см. (47.6)]
$\Phi_{1}=L_{11} I_{1}+L_{12} I_{2}, \Phi_{2}=L_{21} I_{1}+L_{22} I_{2}$.
Э. д. с. индукции в первом и втором контурах равны:
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon_{1}^{\text {ин }}=-\frac{\mathrm{d} \Phi_{1}}{\mathrm{~d} t}=-\left(L_{11} \frac{\mathrm{d} I_{1}}{\mathrm{~d} t}+L_{12} \frac{\mathrm{d} I_{2}}{\mathrm{~d} t}\right), \\
\varepsilon_{2}^{\text {инл }}=-\frac{\mathrm{d} \Phi_{2}}{\mathrm{~d} t}=-\left(L_{21} \frac{\mathrm{d} I_{1}}{\mathrm{~d} t}+L_{22} \frac{\mathrm{d} I_{2}}{\mathrm{~d} t}\right) .
\end{array}
\]

Вся работа, совершаемая источииками сторонних э. д. с. контуров в течение $\mathrm{d} t$, аналогично (47.1) равна
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} A=\mathrm{d} A_{1}+\mathrm{d} A_{2}=-\mathscr{C}_{1}^{\text {н } /} I_{1} \mathrm{~d} t-\mathscr{E}_{2}^{\mathrm{nI}} I_{2} \mathrm{~d} t= \\
=\left(L_{11} I_{1} \mathrm{~d} I_{1}+L_{12} I_{1} \mathrm{~d} I_{2}+L_{21} I_{2} \mathrm{~d} I_{1}+L_{22} I_{2} \mathrm{~d} I_{2}\right),
\end{array}
\]

где использованы соотноцения (47.10).
Для дальнейших вычислений докажем, что $L_{12}=L_{21}$. С этой целью вычислим $\Phi_{21}$ и $\Phi_{12}$ :
$\Phi_{21}=\int_{S_{2}} \mathbf{B}_{1} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}_{2}, \Phi_{12}=\int_{S_{1}} \mathbf{B}_{2} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}_{1}$,
где $\mathbf{B}_{1}$ и $\mathbf{B}_{2}$ – индукции полей, создаваемых соответственно токами $I_{1}$ и $I_{2} ; S_{1}$ и $S_{2}$ – поверхности интегрирования, натянутые на контуры. Индукция поля в каждой точке равна $\mathbf{B}_{1}+\mathbf{B}_{2}$. Обозначив $\mathbf{A}_{1}$ и $\mathbf{A}_{2}-$ векторные потенциалы, описывающие поля $\mathbf{B}_{1}$ и $\mathbf{B}_{2}$, имеем
\[
\mathbf{B}_{1}=\operatorname{rot} \mathbf{A}_{1}, \mathbf{B}_{2}=\operatorname{rot} \mathbf{A}_{2}
\]
$11^{*}$

8. Электромагнитная индукция и квазисьационарные перемснные токи
и, следовательно, равенства (47.13) принимают вид:
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{21}=\int_{S_{2}} \operatorname{rot} \mathbf{A}_{1} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}_{2}=\int_{L_{2}} \mathbf{A}_{1} \cdot \mathrm{d}_{2}, \\
\Phi_{12}=\int_{S_{1}} \operatorname{rot} \mathbf{A}_{2} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}_{1}=\int_{L_{1}} \mathbf{A}_{2} \cdot \mathrm{dl}_{1},
\end{array}
\]

где $L_{1}$ и $L_{2}$ – контуры с током. Переход к интегрированию по контурам произведен в соответствии с формулой Стокса. Формула (37.116), выражающая векторный потенциал через ток, в данном случае принимает вид
\[
\mathbf{A}_{1}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I_{1} \int_{L_{1}} \frac{\mathrm{dl}_{1}}{r}, \mathbf{A}_{2}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I_{2} \int_{L_{2}} \frac{\mathrm{dl}_{2}}{r} .
\]

Подставляя (47.15a) в (47.14), получаем:
$\Phi_{21}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I_{1} \iint_{L_{2}} \frac{\mathrm{d}_{1} \cdot \mathrm{d}_{2}}{r_{21}}, \quad \Phi_{12}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I_{2} \iint_{I_{1}} \frac{\mathrm{dl}_{2} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}_{1}}{r_{12}}$,
где $r_{12}=r_{21}$ – расстояние между элементами $\mathrm{dl}_{1}$ и $\mathrm{dl}_{2}$ первого и второго контуров. Сравнивая (47.156) с (47.8) и (47.9), получаем:
$L_{12}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \iint_{L_{1}} \frac{\mathrm{d}_{2} \cdot \mathrm{d}_{1}}{r_{12}}, \quad L_{21}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \iint_{L_{2}} \frac{\mathrm{d}_{1} \cdot \mathrm{d}_{2}}{r_{21}}$.
Формулы (47.16а) показывают, что взаимная индуктивность зависит только от геометрических характеристик контуров и от их взаимного расположения. Поскольку $\mathrm{dl}_{1}$ и $\mathrm{dl}_{2}$ – независимье переменные интегрирования, можно изменить порядок интегрирований. Учитывая также, что $r_{12}=r_{21}$ и $\mathrm{dl}_{1} \cdot \mathrm{dl}_{2}=\mathrm{dl}_{2} \cdot \mathrm{dl}_{1}$, заключаем, что
\[
L_{12}=L_{21} \text {, }
\]
т. е. взаимная индуктивность первого контура со вторым равна взаимной индуктивности второго контура с нервым. С учетом этого можно написать
$L_{12} I_{1} \mathrm{~d} I_{2}+L_{21} I_{2} \mathrm{~d} I_{1}=\mathrm{d}\left(1 / 2 L_{12} I_{1} I_{2}+1 / 2 L_{21} I_{2} I_{1}\right)$
и, следовательно, представить (47.12) в виде
$\mathrm{d} A=\mathrm{d}\left(1 / 2 L_{11} I_{1}^{2}+{ }^{1 / 2} L_{12} I_{1} I_{2}+1 / 2 L_{21} I_{2} I_{1}+1 / 2 L_{22} I_{2}^{2}\right)$.
Учитывая, что затрачиваемая на увеличение силы тока работа равна энергии образовавшегося при этом магнитного поля, после интегрирования обеих частей равенства (47.17a) от нулевых значений силы тока в контурах $I_{1}=0, I_{2}=0$ до их значений $I_{1}$ и $I_{2}$ получаем
\[
W=\frac{1}{2}\left(L_{11} I_{1}^{2}+L_{12} I_{l} I_{2}+L_{21} I_{2} I_{1}+L_{22} I_{2}^{2}\right)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} L_{i k} I_{i} I_{k} .
\]

—————————————————————-
0048_fiz_ob_matveev_03_no_photo_page-0325.jpg.txt

§ 47. Энері ия магннного поля
325
Эта формула определяет энергию магнитного поля, создаваемого токами $I_{1}$ и $I_{2}$. Она легко обобщается на случай $N$ контуров:
\[
W=\frac{1}{2} \sum_{\substack{i=1 \\ k=1}}^{N} L_{i k} I_{i} I_{k}
\]

где $L_{i k}$ при $i=k$ называется индуктивностью $i$-го контура, а при $i
eq k-$ взаимной индуктивностью $i$-го, и $k$-го контуров. Выражения для этих коэффициентов даются формулами (47.16a), принимающими вид
\[
L_{i k}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{L_{i}}^{-} \int_{L_{k}} \frac{\mathrm{dl}_{i} \cdot \mathrm{dl}_{k}}{r_{i k}} \quad(i
eq k),
\]

где $\mathrm{dl}_{i}, \mathrm{dl}_{k}$ – элементы длины $i$-го и $k$-го контуров $L_{i}$ и $L_{k}, r_{i k}$ – расстояние между ними. Из (47.19) следует равенство
\[
L_{i k}=L_{k i}
\]

являющееся обобщением (47.16б) на случай многих контуров с током.
7 нергия магнитного поля при наличии магне гиков. Если все пространство заполнено однородным магнетиком, то создаваемая заданными токами индукция поля изменяется в $\mu / \mu_{0}$ раз по сравнению с индукцией в вакууме [см. (38.29)]. Следовательно, во столько же раз изменяются потоки $\Phi$ и $\mathrm{d} \Phi$ в формуле (47.1). Все последующие вычисления аналогичны, но везде Ф изменяется в $\mu / \mu_{0}$ раз. Из формул (47.7) и (47.8) заключаем, что индуктивность контура и взаимные индуктивности увеличиваются в $\mu / \mu_{0}$ раз. Это означает, что формулы (47.16a) для взаимной индуктивности при наличии магнетика имеют тот же вид, но с заменой $\mu_{0}$ на $\mu$. Такая же замена происходит и в формулах (47.15a) и (47.156). Выражения (47.5) и (47.17) для энергии магнитного поля остаются без изменения, но в них индуктивности и взаимные индуктивности увеличиваются в $\mu / \mu_{0}$ раз. Следовательно, и энергия магнитного поля токов, протекающих в неограниченном однородном магнетике, изменяется в $\mu / \mu_{0}$ раз по сравнению с энергией поля тех же токов в вакууме.
Плотность энергии магнитного поля. Магнитное поле заданных токов распределено по всему пространству. Выразим энергию поля (47.5) изолированного контура с током через векторы поля. Формула (47.5) с помощью (47.3) может быть предспавлена в виде
\[
W=1 / 2 I \Phi \text {. }
\]

Здесь
\[
\Phi=\int_{S} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_{S} \operatorname{rot} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_{L} \mathbf{A} \cdot \mathrm{dl},
\]

где $L$ и $S$ – соответственно контур тока и поверхность, натянутая на этот контур. В (47.22) потенциал А создается током I. Таким образом,замкнутый ток взаимодействует со своим собственным магнитным полем. Физическая сущность этого взаимодействия состоит в том, что каждый из элементов тока $I$ dl создает в пространстве магнитное поле, с которым взаимодействуют другие элементы тока. Подставляя (47.22) в (47.21), находим
\[
W=\frac{I}{2} \int_{L} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=\frac{1}{2} \int_{V} \mathbf{A} \cdot \mathbf{j} \mathrm{d} V,
\]

где с помощью соотношения (9.26) произведен переход к объемным токам. Теперь преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы в него входили только векторы поля и векторный потенциал. Для этого воснользуемся формулами $\mathbf{B}=\operatorname{rot} \mathbf{A}, \mathbf{j}=\operatorname{rot} \mathbf{H}$, а также известным из векторного потенциала соотноиением $\operatorname{div}(\mathbf{A} \times \mathbf{H})=\mathbf{H} \cdot \operatorname{rot} \mathbf{A}-\mathbf{A} \cdot \operatorname{rot} \mathbf{H}$. В результате получаем $\mathbf{A} \cdot \mathbf{j}=\mathbf{H} \cdot \mathbf{B}-\operatorname{div}(\mathbf{A} \times \mathbf{H})$ и, следовательно, формула (47.23) принимает вид
\[
W=\frac{1}{2} \int \mathbf{H} \cdot \mathbf{B} \mathrm{d} V-\int \operatorname{div}(\mathbf{A} \times \mathbf{H}) \mathrm{d} V \text {. }
\]

Второй интеграл по теореме Гаусса – Остроградского преобразуется в интеграл по поверхности, ограничивающей объем интегрирования: $\int_{V} \operatorname{div} \mathbf{A} \times \mathbf{H} \mathrm{d} V=\int_{S} \mathbf{A} \times \mathbf{H} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$.

Если все токи расположены в конечной области пространства, то на больших расстояниях $r$ от. этой области $A \sim 1 / r, H \sim 1 / r^{2}$, т. е. годынтегральное выражение убывает как $\sim 1 / r^{3}$. Поверхность иітегрирования при этом растет как $r^{2}$ и, следовательно, интеграл уменьшается как $1 / r$. Поэтому для всего пространства, когда $r \rightarrow \infty$, второй интеграл в (47.24) обрацается в нуль и полная энергия поля представляется формулой

Можно сказать, что энергия поля распределена по всему пространству с объемной плотностью
т. е. объемная плотность энергии магнитного поля в каждой точке определяется значением векторов поля в этой точке, при этом, конечно, несущественно, какими источниками созданы эти поля.
Индуктивносп. В равенстве (47.23) представим потенциал А с помощью (37.11a) в виде
\[
\mathbf{A}=\frac{\mu}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{j}^{\prime}}{r} \mathrm{~d} V^{\prime}
\]
где плотность тока и элемент объема отмечены штрихами, чтобы не путать их с теми же величинами в подынтегральном выражении (47,23): это разные элементы объема одного и того же тока, расстояние между которыми обозначено в (47.28) $r^{*}$ (см. рис. 183). Подставляя (47.28) в $(47.23)$, находим
\[
W=\frac{1}{2} \frac{\mu}{4 \pi} \iint_{V} \frac{\mathbf{j} \cdot \mathbf{j}^{\prime}}{r} \mathrm{~d} V \mathrm{~d} V^{\prime}=\frac{1}{2} I^{2}-\frac{\mu}{4 \pi} \frac{1}{I^{2}} \iint_{V} \frac{\mathbf{j} \cdot \mathbf{j}^{\prime}}{r} \mathrm{~d} V \mathrm{~d} V^{\prime},
\]
г.де в последнем равенстве числитель и знаменатель формулы умножены на $I^{2}$. Сравнивая (47.29) с (47.5), получаем
\[
L=\frac{\mu}{4 \pi} \frac{1}{I^{2}} \iint_{V} \frac{\mathbf{j} \cdot \mathbf{j}^{\prime}}{r} \mathrm{~d} V \mathrm{~d} V^{\prime} .
\]

Формулы (47.16a) для взаимной индуктивности при переходе к объемным токам ( $I \mathrm{~d} \rightarrow \mathbf{j} \mathrm{d} V$ ) принимают вид
\[
L_{i k}=\frac{\mu}{4 \pi} \frac{1}{I_{i} I_{k}} \int_{V_{I}} \int_{V_{k}} \frac{\mathrm{j}_{i} \mathbf{j}_{k}}{r_{i k}} \mathrm{~d} V_{i} \mathrm{~d} V_{k} .
\]

аналогичный (47,30). Однако формула (47.30) не можег быть выражена через линейные токи. Если это сдслать формально, то подынтегральное выражение в (47.30) принимает вид $I^{2} \mathrm{dl} \cdot \mathrm{d} / / r$ и обраццается в бесконечность при совпадении элементов интегрирования, когда $\mathrm{dl}=$ $=\mathrm{dl}^{\prime}$, поскольку при этом $r=0$. Поэтому интеграл расходится и формула для индуктивности теряет смысл. Эта ситуация аналогична ситуации при вычислении собственной энергии заряда, когда собственная энергия обращается в бесконечность для точечного заряда.
Поле соленоида. В качестве примера использования полученных в этом параг рафе формул рассмотрим поле соленоида. Как было показано, индукция поля вне соленоида равна нулю, а внутри соленоида определяется равенством (38.40), т. е.
\[
B=\mu n I \text {, }
\]

где $n$-число витков на 1 м длины соленоида. Поток индукции поля, охватываемый одним витком соленоида, равен
\[
\Phi_{1}=B S=\mu n I S,
\]

гце $S$ – площадь поперечюого сечения соленоида. Поток, охватываемый $N$ витками соленоида, которые занимают длину соленоида $l=N / n$, равен
\[
\Phi_{N}=\Phi_{1} N=\mu n I S N=\mu I S N^{2} / l .
\]

Следовательно, индуктивность $N$ витков соленоида равна
\[
L_{N}=\Phi_{N} / I=\mu S N^{2} / l \text {. }
\]

Энергия, сосредоточенная на длине $l$, равна
\[
W=\frac{1}{2} L_{N} I^{2}=\frac{1}{2} \frac{\mu N^{2} I^{2}}{l} S=\frac{1}{2} \mu n^{2} I^{2} S l=\frac{1}{2} H B V,
\]

где $\mu n^{2} I^{2}=H B, S l=V-$ объем участка соленоида, в котором вычисляется энергия поля. Формула (47.36) позволяет определять энергию поля как через ток и индуктивность, так и через плотность энергии поля.

Найдем вектор-потенциал бесконечно длинного соленоида. Целесообразно исходить из формулы (47.22). Вследствие аксиальной симметрии задачи будем вести расчет в цилиндрической системе координат с аксиальной осью, совпадающей с осью соленоида. Обозначим: $\varphi-$ аксиальный угол, а $r$-расстояние оr оси до точки, в которой вычисляется потенциал. В качестве контура $L$ в (47.22) выберем окружность радиусом $r$, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси соленоида, и с центром на оси. Тогда
\[
\Phi=\int_{S} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\oint_{L} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=\oint_{L} A_{\varphi} r \mathrm{~d} \varphi=2 \pi r A_{\varphi},
\]

где принято во внимание, что $A_{\varphi}=$ const при $r=$ const. Следовательно, вектор-потенциал равен
\[
A_{\varphi}(r)=\frac{1}{2 \pi r}-\int_{S} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S},
\]

где $S$ – площадь круга, ограничиваемого окружностью радиусом $r$. Отсюда
\[
A_{\varphi}=\left\{\begin{array}{ll}
\mu n I r / 2 & (0<r<a), \\
\mu n I a^{2} /(2 r) & (a<r<\infty) .
\end{array}\right.
\]
3 нергия магнетика во внешнем магнитном поле. Пусть имеется фиксированное распределение токов, которое в свободном пространстве создает магнитное поле, индукция которого $\mathbf{B}_{0}(x, y, z)=\mu_{0} \mathbf{H}(x, y, z)$, а энергия
\[
W_{0}=\frac{1}{2} \int \mathbf{H}_{0} \cdot \mathbf{B}_{0} \mathrm{~d} V .
\]

Предположим, что все пространство заполнено однородным магнетиком с магнитной проницаемостью $\mu=$ const, а поле создается тем же распределением токов. Как было показано [см. (38.22)], напряженность магнитного ноля в магнетике не изменится ( $\mathbf{H}=\mathbf{H}_{0}$ ), а индукция булет равна $\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$. Следовательно, при наличии магнетика энергия поля
\[
\boldsymbol{W}=\frac{1}{2} \int \mathbf{H}_{0} \cdot \mathbf{B} \mathrm{d} V \text {. }
\]

Это означает, что при заполнении всего пространства магнетиком энергия поля увеличивается. Источником этой энергии являются, в частности, сторонние электродвижущие силы, с помощью которых поддерживаются неизменными токи при заполнении пространства магнетиком. Поскольку после заполнения пространства магнетиком все источники, благодаря которым возникло дополнительное поле, идентичны тем, которые создавали поле до заполнения пространства, можно считать, что энергией магнетика во внешнем поле $\mathbf{H}_{0}$ является величина
\[
W_{\mathrm{M}}=W-W_{0}=\frac{1}{2} \int\left(\mathbf{H}_{0} \cdot \mathbf{B}-\mathbf{H}_{0} \cdot \mathbf{B}_{0}\right) \mathrm{d} V .
\]

Подынтегральное выражение можно преобразовать:
\[
\mathbf{H}_{0} \cdot \mathbf{B}-\mathbf{H}_{0} \cdot \mathbf{B}_{0}=\left(\mu-\mu_{0}\right) H_{0}^{2}=\frac{\mu-\mu_{0}}{\mu \mu_{0}} \mathbf{B} \cdot \mathbf{B}_{0}=\mathbf{J} \cdot \mathbf{B}_{0},
\]

где
\[
\mathbf{J}=\chi \mathbf{H}=\frac{\mu-\mu_{0}}{\mu_{0}} \frac{\mathbf{B}}{\mu}=\frac{\mu-\mu_{0}}{\mu \mu_{0}} \mathbf{B} .
\]

Следовательно, энергия магнетика в магнитном поле равна

Это выражение аналогично формуле (18.30) для эиергии диэлектрика во внешнем электрическом поле, но отличается знаком в правой части.

Формула (47.42) выведена для магнетика, заполняющего все пространство с $\mu=$ const. Однако она имеет вид интег рала от плотности энергии магнетика и поэтому следует ожидать ее справе тливости в произвольном случае. Соответствующие вычисления подтверждают этот вывод. Ввиду их громоздкости они здесь не приведены.

Теперь можно вычислить энергию магнетика с магнитной проницаемостью $\mu_{1}$, находящегося в среде с магнитной проницаемостью $\mu_{2}$. Будем опять рассматривать бесконечный магнетик и исходить из формулы (47.42) так же, как при выводе формулы (18.30), с той лишь разницей, что в электростатике данное распределение зарядов создает в различных средах одинаковое поле D, а в теории стационарного магнитного поля данное распределение токов создает в различных средах одинаковое поле Н. Тогда
\[
W_{\mathrm{M} 12}=W_{\mathrm{M} 1}-W_{\mathrm{M} 2}=\int\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) \mathbf{H}_{1} \cdot \mathbf{H}_{2} \mathrm{~d} V,
\]

где
\[
W_{\mathrm{M} t}=\frac{1}{2} \int\left(\mathbf{B}_{i} \cdot \mathbf{H}_{t}-\mathbf{B}_{0} \cdot \mathbf{H}_{0}\right) \mathrm{d} V .
\]

Выражение (47.43) аналогично формуле (18.31) с измененным знаком перед интегралом. Хотя эта формула и выведена для бесконечного магнетика, она справедлива и для ограниченного магнетика. В этом случае интеграл распространяется по объему магнетика. Напряженность $\mathbf{H}_{2}$ является напряженностью поля, создаваемого в точках объема магнетика, если бы его проницаемость была равной магнитной проницаемости $\mu_{2}$ среды; $\mathbf{H}_{1}$ – фактическая напряженность в магнетике с магнитной проницаемостью $\mu_{1}$, погруженном в среду с магнитной проницаемостью $\mu_{2}$.

Предположим, что магнитная проницаемость среды изменяется на бесконечно малую величину $\delta \mu$. При этом энергия магнетика, находящегося в магнитном поле $\mathbf{H}$, изменяется на $\delta W_{\text {м }}$. Полагая в (47.43) $\delta \mu=\mu_{1}-\mu_{2}, \mathbf{H}_{2}=\mathbf{H}, \mathbf{H}_{1}=\mathbf{H}+\delta \mathbf{H}$ и отбрасывая $\delta \mu \delta \mathbf{H} \cdot \mathbf{H}$ как величину высшего порядка малости, получаем

где $\mu$ может быть функцией точки и других параметров. Эта формула отличается от аналогичной формулы (18.36) для диэлектриков лишь знаком.
В ычисление сил из выражения для энсрии. Рассмотрим систему контуров, по которым текут токи. При перемецении и деформации контуров за счет сторонних электродвижущих сил производится механическая работа. Энергия источника сторонних электродвижущих сил расходуется на создание магнитного поля и на совершение механической работы. Работа сторонних электродвижущих сил определяется формулой (47.2), а механическая работа при изменении параметра $\xi_{i}$, характеризующего конфигурацию системы, равна по определению $F \mid \mathrm{d} \xi_{i}$, где $F_{i}$ – обобщенная сила, отнесенная к параметру $\xi_{i}$. Закон сохранения энергии записывается в виде
\[
\sum_{j} I_{j} \mathrm{~d} \Phi_{j}=\mathrm{d} W+\sum_{j} F_{i} \mathrm{~d} \xi_{i} .
\]

Рассмотрим прежде всего виртуальные процессы, в которых сохраняются магнитные потоки, т. е. $\mathrm{d} \Phi_{j}=0$. Уравнение (47.46) принимает вид
\[
0=(\mathrm{d} W)_{\Phi}+\sum_{i} F_{i} \mathrm{~d} \xi_{i},
\]

откуда с учетом независимости $\mathrm{d} \xi_{\mathrm{i}}$ получаем

где индекс $Ф$ у частной производной в явном виде показывает, что она берется при постоянных зачениях потоков $\Phi_{j}$. Чтобы пользоваться формулой (47.48), необходимо энергию магнитного поля выразить в виде функции от $\Phi_{i}$ и $\xi_{i}$ как независимых параметров.

Для практических применений во многих случаях удобнее выразить обобщенную силу в виде производных от энергии по обобщенным параметрам при постоянных токах. Энергия магнитного поляя (47.18)
с учетом того, что [см. (47.6)]
$\Phi_{1}=\sum_{\imath} L_{\imath} I_{k}$,
выражается в виде
$W=\frac{1}{2} \sum \Phi_{i} I_{1}$.
При постоянных силах токов ( $I_{1}=$ const) из (47.50) следует, что
$(\mathrm{d} W)_{t}=\frac{1}{2} \sum_{i} I_{i} \mathrm{~d} \Phi_{i}$,
и поэтому формула (47.46) приводится к виду
$(\mathrm{d} W)_{I}=\sum_{i} F_{t} \mathrm{~d} \xi_{\mathrm{l}}$.
Отметим, что эта формула справедлива Јишь при постоянных токах. Принимая во внимание независимосгь $\xi_{\text {, }}$, находим выражение для обобщеніых сил:

где индекс $I$ у частной производной показывает, что она берется при постоянит токах. Для использования (47.53) $W$ должна быть выражена в виде функции от сил токов и параметров $\xi_{i}$.

Рассмотрим в качестве примера два взаимодействующих контура с токами, энергия магнитного поля которых определяется формулой (47.17). Рассчитаем по (47.53), например, $x$-ю компоненту силы, которая действует со стороны первого контура на второй. В качестве обобщенной координаты возьмем значение координаты $x$ некоторой точки второго колтура, считая первый контур неподвижным. В качестве виртуального перемещения, связанного с этой координатой, необходимо взять смещение второго контура вдоль оси $X$ без деформаций и вращений и выразить энергию магнитного поля через эту координату и друіс независимые параметры, которые нас сейчас не интересуют. Вся зависимость энергии магнитного поля от $x$ содержится во взаимной индуктивности $L_{12}=L_{21}$, поскольку индуктивности $L_{11}$ и $L_{22}$ не зависят от изменения взаимного расположения контуров. Обобщеная сила, связанная с декартовой координатой $x$, есгь проекция обычной силы $F_{x}$. Поэтому (47.53) принимает вид
\[
F_{x}=I_{1} I_{2} \frac{\partial L_{12}}{\hat{C} x} .
\]

Аналогично определяются и другие компоненгы силы. Индуктивносıь $L_{12}$ является геометрической величиной и ее зависимость от $x$ можно найти с помощью формулы (47,19).

Ясно, что значение силы не зависит от того, по какой формуле ее вычислять. Поэтому к значению силы (47.54) мы придем также, если ее выччислять по формуле (47.48). Проведем это вычисление. В (47.48) в качестве выражения для $W$ нельзя взять (47.17), поскольку в него входят в явном виде силы тока. Исключим их с помощью формул (47.10), из которых следует:
\[
I_{1}=\frac{L_{22} \Phi_{1}-L_{12} \Phi_{2}}{L_{11} L_{22}-L_{12}^{2}}, I_{2}=\frac{L_{11} \Phi_{2}-L_{21} \Phi_{1}}{L_{11} L_{22}-L_{12}^{2}} .
\]

Подставляя (47.55) в (47.17), находим
\[
W=\frac{1}{L_{11} L_{22}-L_{12}^{2}}\left[\frac{L_{11} \Phi_{2}^{2}}{2}-L_{12} \Phi_{1} \Phi_{2}+\frac{L_{22} \Phi_{1}^{2}}{2}\right] .
\]

Теперь энергия магнитного поля выражена в явном виде через потоки и можно применить форму.ту (47.48) при $\Phi_{t}=$ const. Единственной величиной, зависящей в (47.56) от $x$, является $L_{12}$, поэтому
\[
\begin{array}{l}
F_{x}=-\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)_{\Phi}=\frac{1}{\left(L_{11} L_{22}-L_{12}^{2}\right)^{2}}\left[L_{12} L_{22} \Phi_{1}^{2}-\right. \\
\left.-\left(L_{11} L_{22}+L_{12}^{2}\right) \Phi_{1} \Phi_{2}+L_{12} L_{11} \Phi_{2}^{2}\right] \frac{\partial L_{12}}{\partial x}=I_{1} I_{2} \frac{\partial L_{12}}{\partial x},
\end{array}
\]

где учтены равенства (47.55). Как и ожидалось, (47.57) совпадает с (47.54). Формулами (47.48) и (47.53) следует пользоваться в зависимости от обстоятельств и выбирать ту из них, которая приводит к более простым выкладкам.
Объемные силы, действующие на сжимаемые магнетики. Имея’ выражение (47.45) для энергии магнетика в магнитном поле, можно, пользуясь соотношением между силами и энергией, получить выражение для сил точно так же, как это было сделано для диэлектриков в § 19. Исходим из выражения (47.45) и рассуждаем так же, как при переходе от (18.36) к формуле (19.41). Все вычисления также аналогичны, надо лишь учесть, что для диэлектриков сила находится при постоянных зарядах, т.е. по формуле (19.46), а для магнетиков – при постоянных токах, т. е. по формуле (47.53). Это означает, что при вычислении производных энергию надо брать с различными знаками. В результате вместо формулы (19.41) получается следующая формула:

Напомним, что все рассмотрение проводится для изотермических процессов и, следовательно, производная $\partial \mu / \partial \rho_{m}$ в (47.58) должна вычисляться при $T=$ const.
Формулу (47.58) целесообразно переписать по-другому:
\[
\mathbf{f}=\frac{1}{2} B^{2} \operatorname{grad}\left(\frac{1}{\mu}\right)-\frac{1}{2} \operatorname{grad}\left[B^{2} \rho_{m} \frac{\partial}{\partial \rho_{m}}\left(\frac{1}{\mu}\right)\right],
\]
где учтено, что $H^{2}=B^{2} / \mu^{2}$ и $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\mu}\right)=-\frac{1}{\mu^{2}} \frac{\partial \mu}{\partial x} \quad$ и т. д. В этом виде (47.59) является более близким аналогом формулы (19.41), поскольку роль полевого вектора в магнетизме играет B, а аналогом $\varepsilon$ выступает $1 / \mu$.
Запишем формулу (47.41) в виде
\[
\frac{1}{\mu_{0}}-\frac{1}{\mu}=\frac{J}{B} \text {. }
\]

Пусть намагниченность $J$ линейно зависит от плотности $\rho_{m}$, т. е. $J \sim \rho_{m}$. Тогда из (47.60) следует, что
\[
\rho_{m} \frac{\partial}{\partial \rho_{m}}\left(\frac{1}{\mu}\right)=\frac{1}{\mu}-\frac{1}{\mu_{0}} \text {. }
\]

При этих условиях формула (47.59) принимает вид

что совпадает с (39.13). Таким образом, формула (39.13) справедлива не только для жестких, но и для сжимаемых магнетиков, у которых намагниченность линейно зависит от плотности массы. Это соблюдается у газов и у некоторых жидкостей.
Зергия магнитного момента во внешнем поле. Так как работа, необходимая для увеличения потока магнитной индукции сквозь поверхность, натянутую на контур с током $I$, равна $I \mathrm{~d} \Phi$ (dФ – поток магнитной индукции, создаваемый не током $I$, протекающим по контуру, а другими источниками магиитного поля), то энергия, затрачивасмая для создания потока $\Phi$ сквозь поверхность, ограничиваемую контуром тока $I$, равна $І \Phi$. В случае бесконечно малого контура $\Phi=\mathbf{B} \cdot \mathrm{S}, I \Phi=\mathbf{p}_{\mathrm{m}} \cdot \mathbf{B}$, где $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}=I \mathrm{~S}-$ магнитный момент тока. Следовательно, энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле

Минимального значения эта величина достигает при совпадении направлений $\mathbf{P}_{m}$ и В. Это означает, что внешнее магнитное поле стремится повернуть магнитный момент до совпадения с вектором индукчии [см. (39.8)].

Пример 47.1. Вычислить силу, с которой один соленоид втягивается или выталкивается из другого (рис. 184). Плотности намотки и сила токов в них равны $n_{1}, I_{1}$ и $n_{2}, I_{2}$ соответственно, а плцади поперечных сечений одинаковы. Соленоиды достаточно длинные, а намотка достаточно плотная, поэтому поле вдали от их концов можно описывать формулами для бесконечно длинного соленоида. Значение $x$ велико, вследствие чего можно пренебречь краевыми эффектами.
К расчету силы взаимодействия соленоида и магнита
Найдем взаимную индуктивность, пользуясь формулами (47.48)-(47.49). Первый соленоид создает через каждый виток второго соленоила поток $\mu_{0} n_{1} I_{3} S$, а весь, ноток через $n_{2} x$ витков второго соленоида в области пересечения равен $\Phi_{21}=\mu_{0} n_{1} I_{1} S n_{2} x$, откуда получасм взаимную индукгивность
\[
L_{21}=\Phi_{21} / I_{1}=\mu_{0} n_{1} n_{2} S x \quad\left(L_{12}=L_{21}\right) .
\]

Тогда сила равна
\[
F_{x}=I_{1} I_{2} \frac{\partial L_{12}}{\lambda^{x}}=\mu_{0} n_{1} I_{1} n_{2} I_{2} .
\]

Ести токи имеют одинаковое направление, то $I_{1} I_{2}>0, F_{x}>0$ и, следовательно, соленоиды отталкиваются. При различных направлениях токов $I_{1} I_{2}<0, F_{x}<0$, что означает притяжение соленоидов.

Пример 47.2. В соненоид, п.нщадь кругового сечения копорого $S$, дина $l$, именцего $п$ витков «а 1 м длины, вдвинут магпетик с магнитной проницаемостью $\mu$ (рис. 185). Найти силу, действующую на магнетик, нренебрегая краевьни эффектами, есаи по соленоиду течет ток силой $I$.

Поскольку магнитная восприимчивость магнетика $\chi \ll 1$, в первом прнближении напрженность везде можно считать равной $H_{x}^{(0)}=H_{x}=$ $=n I$. С»едовательно, энергия магнитного поля системы равна
\[
W=\left[H_{x} B_{x} / 2+H_{x}^{(0)} B_{x}^{(0)}(l-x) / 2\right] S,
\]

где $B_{x}$ и $B_{x}^{(0)}$ – индукция соответственно в магнетике и вакууме. Учитывая, что $B_{x}=\mu H_{x}, B_{x}^{(0)}=$ $=\mu_{0} H_{x}^{(0)}$, получаем
$W=\left(n^{2} I^{2} / 2\right)\left[\mu x+\mu_{0}(l-x)\right] S$
и, следовательно, сила равна
\[
F_{x}=\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)_{1}=\frac{1}{2}\left(\mu-\mu_{0}\right) n^{2} I^{2} S=\left(w-w_{0}\right) S,(47.66)
\]

где
$w=\mu n^{2} I^{2} / 2=H_{x} B_{x} / 2, w_{0}=\mu_{0} n^{2} I^{2} / 2=H_{x}^{(0)} B_{x}^{(0)} / 2$
– плотности энергии магнитного поля по разные стороны границы, на которую действуст сила. Таким образом, поверхностная плотность силы $f_{x}=F_{x} / S$ является суммой двух сил, леиствующих с разных сторон на границу раздела. Поверхностная нлотность каждой из сил равца плотности энергии магнитного поля.
Пример 47.3. Вычислить индуктивность коаксиального кабеля длиой $l$, чентральная жила которого имеет радиус $r_{1}$, а оболочка радиусы $r_{2}$ (внутренний) и $r_{3}$ (внешний) (см. рис. 140). Магнитная проницаемость проводников равна $\mu$, а прострапство между жилой и оболочкой заполнено диэлектриком.

Прежде вссго пайдем индукцию магнитного поля, Ясно, что поле аксиально-симметрично и силовые линии индукции являются окружностями с центром на оси кабеля. Из закона полного тока имеем (см. пример 35.1):
\[
B_{\varphi}(r)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\mu}{2 \pi} I \frac{r}{r_{l}^{2}} & \left(0<r<r_{1}\right), \\
\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{I}{r} & \left(r_{1}<r<r_{2}\right), \\
\frac{\mu}{2 \pi} \frac{I}{r} \frac{r_{3}^{2}-r^{2}}{r_{3}^{2}-r_{2}^{2}} & \left(r_{2}<r<r_{3}\right), \\
0 & \left(r_{3}<r<\infty\right) .
\end{array}\right.
\]

Для вычисления самоиндукции участка кабеля воспользуемся соотношением $W=L I^{2} / 2$. Так как $W=\frac{1}{2} \int \mathbf{H} \cdot \mathbf{B} \mathrm{d} V$, то $[$ см. (47.67)]
$W=\frac{l}{2} \frac{\mu I^{2}}{(2 \pi)^{2}} \int_{0}^{r_{1}} \frac{r^{2}}{r_{1}^{4}} 2 \pi r \mathrm{~d} r+\frac{l}{2} \frac{\mu_{0} I^{2}}{(2 \pi)^{2}} \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{1}{r^{2}} \cdot 2 \pi r \mathrm{~d} r+$
$+\frac{1}{2} \frac{\mu I^{2}}{(2 \pi)^{2}} \int_{r_{2}}^{r_{3}} \frac{1}{r^{2}}\left(\frac{r_{3}^{2}-r^{2}}{r_{3}^{2}-r_{2}^{2}}\right)^{2} 2 \pi r \mathrm{~d} r=$
$=\frac{l}{2} \frac{\mu I^{2}}{8 \pi}+\frac{1}{2} \frac{\mu_{0} I^{2}}{2 \pi} \ln \frac{r_{2}}{r_{1}}+\frac{l}{2} \frac{\mu I^{2}}{2 \pi}\left[\frac{r_{3}^{4}}{\left(r_{3}^{2}-r_{2}^{2}\right)^{2}} \ln \frac{r_{3}}{r_{2}}-\frac{1}{4} \frac{3 r_{3}^{2}-r_{2}^{2}}{r_{3}^{2}-r_{2}^{2}}\right]$,
откуда
$L=\frac{2 W}{I^{2}}=\frac{1}{2 \pi}\left[\mu_{0} \ln \frac{r_{2}}{r_{1}}+\frac{\mu r_{3}^{4}}{\left(r_{3}^{2}-r_{2}^{2}\right)^{2}} \ln \frac{r_{3}}{r_{2}}-\frac{\mu r_{3}^{2}}{2\left(r_{3}^{2}-r_{2}^{2}\right)}\right]$.