Рассматриваются полевая трактовка взаимодействия токов и закон Био-Савара.
Взаимодействие элементов тока. Закон взаимодействия токов был открыт экспериментально задолго до создания теории относительности. Он значительно сложнее закона Кулона, описывающего взаимодействие неподвижных точечных зарядов. Этим и объясняется, что в его исследовании приняли участие многие ученые, а существенный вклад внесли Био (1774-1862), Савар (1791-1841), Ампер (1775-1836) и Лаплас (1749-1827).
В 1820 г. Х. К. Эрстед (1777-1851) открыл действие электрического тока на магнитную стрелку. В этом же году Био и Савар сформулировали закон для силы $\mathrm{d} F$, с которой элемент тока $I \mathrm{~d} l$ действует на магнитный полюс, удаленный на расстояние $r$ от элемента тока:
\[
\mathrm{d} F \sim I \mathrm{~d} l \varphi(\alpha) f(r),
\]
где $\alpha$-угол, характеризующий взаимную ориентацию элемента тока и магнитного полюса. Функция $\varphi(\alpha)$ вскоре была найдена экспериментально. Функция $f(r)$ теоретически была выведена Лапласом в виде $f(r) \sim 1 / r^{2}$.
Таким образом, усилиями Био, Савара и Лапласа была найдена формула, описывающая силу действия тока на магнитный полюс. В окончательном виде закон Био-Савара-Лапласа был сформулирован в 1826 г. в виде формулы для силы, действующей на магнитный полюс, поскольку понятия напряженности поля еще не существовало.
В 1820 г. Ампер открыл взаимодействие токов – притяжение или отталкивание параллельных токов. Им была доказана эквивалентность соленоида и постоянного магнита. Это позволило четко поставить задачу исследования: свести все магнитные взаимодействия к взаимодействию элементов тока и найти закон их взаимодействия как фундаментальный закон, играющий в магнетизме роль, аналогичную закону Кулона в электричестве. Ампер по своему образованию и склонностям был теоретиком и математиком. Тем не менее при исследовании взаимодействия элементов тока он выполнил очень скрупулезные экспериментальные работы, сконструировав ряд хитроумных устройств. Станок Ампера для демонстрации сил взаимодействия элементов тока и их зависимости от углов до сих пор используется на лекциях. В результате Ампер открыл закон взаимодействия элементов тока. К сожалению, ни в публикациях, ни в его бумагах не осталось описания пути, каким он пришел к открытию. Однако формула Ампера для силы отличается от (10.3) наличием в правой части полного дифференциала. Это отличие несущественно при вычислении силы взаимодействия замкнутых токов, поскольку интеграл от полного дифференциала по замкнутому контуру равен нулю. Учитывая, что в экспериментах измеряется не сила взаимодействия элементов тока, а сила взаимодействия замкнутых токов, можно с полным основанием считать Ампера автором закона магнитного взаимодействия токов. Используемая в настоящее время формула для взаимодействия элементов тока была получена в 1844 г. Грассманом (1809-1877) и имеет в современных обозначениях вид
где $d_{12}$ – сила, с которой элемент тока $I_{1} \mathrm{dl}_{1}$ действует на элемент тока $I_{2} \mathrm{~d} l_{2} ; \mathbf{r}_{12}$ – радиус-вектор, проведенный от элемента тока $I_{1} \mathrm{dI}_{1}$ к $I_{2} \mathrm{dl}_{2}$ (рис. 24); пунктиром обозначены замкнутые контуры, взаимодействие элементов тока в которых не рассматривается.
Сила $\mathrm{dF}_{21}$, с которой элемент тока $I_{2} \mathrm{dI}_{2}$ действует на $I_{1} \mathrm{dI}_{1}$, дается, конечно, той же формулой (10.3), но с заменой индекса 2 на 1 :
\[
\mathrm{dF}_{21}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I_{1} \mathrm{dl}_{1} \times\left(I_{2} \mathrm{dl}_{2} \times \mathbf{r}_{21}\right)}{r_{21}^{3}} .
\]
На рис. 24 единичными векторами $\mathbf{n}_{21}$ и $\mathbf{n}_{12}$ показано направление сил $\mathrm{dF}_{21}$ и $\mathrm{dF}_{12}$, перпендикулярных соответствующим элементам тока. Эти силы, вообще говоря, не коллинеарны друг другу. Следовательно, взаимодействие элементов тока не удовлетворяет третьему закону Ньютона:
3*
Сила, с которой ток $I_{1}$, текущий по замкнутому контуру. $L_{1}$, действует на замкнутый контур $L_{2}$ с током $I_{2}$, на основании (10.3) равна
\[
F_{12}=\frac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{4 \pi} \iint_{L_{1}} \frac{\mathrm{dl}_{2} \times\left(\mathrm{dl}_{1} \times \mathbf{r}_{12}\right)}{r_{12}^{3}} .
\]
Силы тоқов $I_{1}, I_{2}$ вынесены за знак интеграла, поскольку постоянны во всех точках соответствующих контуров $L_{1}$ и $L_{2}$ интегрирования. Аналогичный вид. имеет формула для силы $\mathbf{F}_{21}$, действующей на замкнутый контур с током $I_{1}$. Для сил взаимодействия замкнутых контуров с током третий закон Ньютона (см. § 39) выполняется:
25
Магнитная индукция прямолннейного участха тоха тонечной длины
Экспериментальное подтверждение форнул для магнитного поля, полученных с понощью релятивистских преобразований из формул для электрического поля, служит не только доказательством существования могнитного поля, но пи подтверждает его релятивистскую природу.
$\mathbf{O}^{6}$ экспериментальной проверке закона взаимодействия. Строго говоря, закон взаимодейтвия элементов тока (10.3) нельзя проверить экспериментально, потому что не существует изолированных элементов тока $I \mathrm{dl}$ силу взаимодействия между которыми можно было бы измерить. Каждый элемент тока – это часть замкнутого контура тока и поэтому экспериментально проверяется лишь закон взаимодействия замкнутых токов (10.6). Из справедливости (10.6) не следует, однако, справедливость (10.4), потому что к (10.4) можно добавить любую функцию, которая при интегрировании по замкнутым контурам после подстановки в (10.6) дает нуль.
Электрический ток обусловлен движением зарядов. Поэтому формула (10.4) выражает также закон магнитного взаимодействия движучихся зарлдов, который из нее нетрудно получить и проверить экспериментально, поскольку силу взаимодействия между движущимися зарядами можно измерить. Наиболее же полной экспериментальной проверкой этой формулы является согласие с опытом ее следствий, которые весьма многочисленны.
Полевая трактовка взаимодействия. В полной аналогии электростатикой взаимодействие элементов тока представляется двумя стадиями: элемент тока $I_{1} \mathrm{dl}_{1}$ в точке нахождения элемента тока $I_{2} \mathrm{dl}_{2}$ создает магнитное поле, взаимодействие с которым элемента $I_{2} \mathrm{dl}_{2}$ приводит х возникновению силы $\mathrm{dF}_{12}$. Действие магнитного поля с индукцией B на I dl описывается формулой (9.27). C ее учетом две стадии взаимодействия описываются так:
1) элемент тока $I_{1} \mathrm{dl}_{1}$ создает в точке нахождения элемента тока $I_{2} \mathrm{dI}_{2}$ магнитное поле с индукчией
2) на элемент тока $I_{2} \mathrm{dI}_{2}$, находяцийся в точке с магнитной индукцией $d \mathbf{B}_{12}$, действует сила
3 акон Био – Савара. Соотношение (10.8), описывающее порождение магнитного поля током, называется закоиом Био-Савара. Для замкнутого тока $I$
где $\mathbf{r}$ – радиус-вектор, проведенный от элемента тока $I$ dl к точке, в которой вычисляется индукция В магнитного поля. Интегрирование в (10.10) производится по замкнутому контуру тока. Ток предполагается линейным. Переход к объемным токам совершается в соответствии с правилом (9.26). Для объемных токов закон Био-Савара (10.10) принимает вид
Здесь интегрирование производится по всем областям пространства, где имеются объемные токи, характеризуемые плотностью тока $ј$
Сила взаимодействия прямолинейных токов. Элемент тока $I_{1} \mathrm{~d} x_{1}$ (рис. 22) в точке нахождения элемента $I_{2} \mathrm{~d} x_{2}$ создает поле с индукцией $\mathbf{d B}_{12}$, которая направлена перпендикулярно плоскости чертежа х нам, а по модулю равна
\[
\mathrm{d} B_{12}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I_{1} \mathrm{~d} x_{1} \sin \alpha}{r_{12}^{2}} .
\]
Следовательно, индукция магнитного поля, создаваемого прямолинейным током $I_{1}$, текущим по бесконечному проводнику в точке нахождения элемента тока $I_{2} \mathrm{~d} x_{2}$ [см. (10.10)], выражается формулой $B_{12}=\frac{\mu_{0} I_{1}}{4 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin \alpha \mathrm{d} x_{1}}{r_{12}^{2}}=\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{I_{1}}{r}$,
где для вычисления интеграла используется замена переменных, проведенная при получении формулы (8.5). Формула (10.13) совпадает с (9.28).
Формула Ампера приводит к заключению, что сила $\mathrm{d} F_{12}$ в магнитном поле с индукцией (10.13) действует на элемент тока $I_{2} \mathrm{~d} l_{2}$ перпендикулярно проводнику с током $I_{2}$ и направлена к току $I_{1}$, т.е. является силой притяжения:
\[
\mathrm{d} F_{12}=\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{I_{1} I_{2}}{r} \mathrm{~d} x_{2} .
\]
Формула (10.14) совпадает с (8.19).
Пример 10.1. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого конечным прямолинейным участком проводника длиной $l$, по которому течет ток $I$ (рис. 25).
Напряженность поля от хаждого элемента проводника направлена перпендикулярно плоскости чертежа и в соответствии с законом (10.10) равна
\[
\mathrm{dB}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I \frac{\mathrm{dl} \times \mathbf{r}}{r^{3}},
\]
поскольку $\mathrm{dl} \times \mathbf{r}$ перпендикулярно плоскости чертежа. Тогда
\[
|\mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{r}|=\mathrm{d} l r \sin (\mathrm{d} \hat{,}, \mathbf{r})=\mathrm{d} l r \sin \beta=\mathrm{d} y d,
\]
поэтому
\[
\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} I d}{4 \pi} \int_{-(l-a)}^{a} \frac{\mathrm{d} y}{\left(d^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi d}\left(\sin \alpha_{1}+\sin \alpha_{2}\right) .
\]
С помощью этой формулы можно вычислить индукцию поля любого контура с током, состоящего из прямолинейных отрезков.
Пример 10.2. Определить индукцию магнитного поля на оси кругового тока I радиусом $r_{0}$ (рис. 26).
Воспользуемся законом (10.11):
\[
\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \oint_{L} \frac{\mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{r}}{\mathbf{r}^{3}},
\]
где $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{0}+\mathbf{h}, \mathrm{dl} \times \mathbf{r}=\mathrm{dl} \times \mathbf{r}_{0}+\mathrm{dl} \times \mathbf{h}$. При интегрировании модуль $\mathbf{r}$ не изменяется, позтому
\[
\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r^{3}}\left(\oint_{\boldsymbol{L}} \mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{r}_{0}+\oint_{\boldsymbol{L}} \mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{h}\right) .
\]
Поскольку $\mathbf{h}$ – постоянный вектор, находим $\left.\oint_{L} \mathrm{~d} \mathbf{l} \times \mathbf{h}=\underset{L}{(\oint \mathrm{d})}\right) \times \mathbf{h}=0$,
так $\operatorname{xax} \oint \mathrm{d}=0$ Другой интеграл, входящий в (10 15), вычисляется следующим образом
\[
\underset{L}{\oint \mathrm{d} \mathbf{l}} \times \mathbf{r}_{0}=\oint_{L} \mathbf{n} r_{0} \mathrm{~d} l=\mathbf{n r}_{0} \oint_{L} \mathrm{~d} l=\mathbf{n} r_{0} 2 \pi r_{0},
\]
где $\mathbf{n}$ – единичный вектор, перпендикулярный плоскости, в которой протекает ток I
Тогда
\[
\mathbf{B}_{h}=\frac{\mu_{0} I}{2} \frac{\mathbf{r}_{0}^{2}}{\left(\mathbf{r}_{0}^{2}+\mathbf{h}^{2}\right)^{3 / 2}} \mathbf{n} .
\]
Пример 10.3. Кольцами Гельмгочьца называют два коаксиальных кольчевых проводника одинакового радиуса, расположенных в параллельных плоскостях, расстояние д между которыми равно радиусу колеч.
Доказать, что магнитное поле на оси колеч Гельмгольца на середине расстояния между ними однородно с высокой точностью.
Поместим начало декартовой системы координат в центр одного из колец и ось $Z$ направим вдоль оси колец (рис 27) Индукция поля на оси колец в точке с координатой $z$ в соответствии с (10.16) равна
\[
B_{z}=\frac{\mu_{0} I r_{0}^{2}}{2}\left[\frac{1}{\left(z^{2}+r_{0}^{2}\right)^{3 / 2}}+\frac{1}{\left[(z-d)^{2}+r_{0}^{2}\right]^{3 / 2}}\right] \text {, }
\]
где $I$ – сила тока в кольце.
Неоднородность $B_{z}$ в первом приближении характеризуется первой производной
$\frac{26}{\text { Магнитная индукция на оси вит- }}$ ка с током
ка с током
Поскольку элементов тока в изолированном виде не существует, в каком смысле можно говорить о прямой өкспериментальной проверке формулы для взаимодейст* вия элементов тока?
Какой вывод можно ся елать из того факта, что силы взаимодействия элементов тока не удовлетворяют третьему закону Ньютона, а замкнутых токов – удовлетворяют?
Прамер 10.4. Имеется прямой круглый соленоид длиной $L$, состоячий из $n$ витков тонкого провода, прилегаючих плотно друг к другу. Найти индукцию на оси соленоида, если через его витки течет пок $I$.
Поскольку витки очень плотно прилегают друг к другу, можно с достаточной точностью считать, что каждый виток создает поле на оси соленоида в соответствии с формулой (10.16). Плотность намотки равна $n / L$. Можно принять, что на длине $\mathrm{d} z$ соленоида течет ток $(\ln / L) \mathrm{d} z$. Помещая начало системы координат в точку оси соленоида на половине его длины (рис. 28), находим с помощью формулы (10.16), что индукция на оси соленоида в точке $z$
\[
\begin{array}{l}
B_{z}=\frac{\mu_{0} n r_{0}^{2} I}{2 L} \int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{\mathrm{d} z^{\prime}}{\left[\left(z-z^{\prime}\right)^{2}+r_{0}^{2}\right]^{3 / 2}}= \\
=\frac{\mu_{0} n I}{2 L}\left\{\frac{-z+L / 2}{\left[(z-L / 2)^{2}+r_{0}^{2}\right]^{1 / 2}}+\cdot\right. \\
\left.+\frac{z+L / 2}{\left[(z+L / 2)^{2}+r_{0}^{2}\right]^{1 / 2}}\right\} \text {. } \\
\end{array}
\]
Для очень длинного соленоида $(L \rightarrow \infty$ ) в точках $z \ll L / 2$ из (10.20) получаем $\lim _{L \rightarrow \infty} B_{z}=\mu_{0} n I / L$.
Поле бесконечно длинного соленоида не только постоянно вдоль оси, но и однородно по его сечению [см. (8.38)].
§ 11. Преобразование волей
Исходя из инвариантности уравнения движения заряда в электромагнитном поле выводится закон преобразования полей.
Инвариантность выражения для силы в электромагнитном поле. Выражение (9.19) для силы Лоренца, действующей на точечный заряд в электромагнитном поле, получено из требования инвариантности релятивистского уравнения движения. Следовательно, эмо выражение также должно быть
релятивистски инвариантным, т.е. иметь одинаковый вид во всех системах координат. Таким образом, в системах координат $K$ и $K^{\prime}$ выражения для сил имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{u} \times \mathbf{B}), \\
\mathbf{F}^{\prime}=q\left(\mathbf{E}^{\prime}+\mathbf{u}^{\prime} \times \mathbf{B}^{\prime}\right) .
\end{array}
\]
Используя релятивистскую инвариантность выражения для силы, представленной формулами (11.1) и (11.2), и учитывая (9.9), (9.11) и (9.12), можно получить соотношения между векторами электрических и магнитных полей в различных системах координат.
Частный случай преобразования векторов полей уже был рассмотрен ранее, а именно: было показано, что если в системе координат $K^{\prime}$ имеется только электрическая напряженность, то в системе $K$ появляется также и магнитная индукция. Можно было бы аналогично показать, что если в некоторой системе координат имеется только магнитная индукция, то в другой появляется, вообще говоря, и напряженность электрического поля. Рассмотрим связь между электрическими и магнитными полями в общем случае.
Преобразование полей. Подставим в формулу (9.11) вместо $F_{y}$ и $F_{y}^{\prime}$ их выражения из (11.1) и (11.2):
\[
\boldsymbol{E}_{y}+\left(u_{z} B_{x}-u_{x} B_{z}\right)=\frac{1-v u_{x} / c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\left[E_{y}^{\prime}+\left(u_{z}^{\prime} B_{x}^{\prime}-u_{x}^{\prime} B_{z}^{\prime}\right)\right] .
\]
Исключая из (11.3) величины $u_{x}^{\prime}$ и $u_{z}^{\prime}$ с помощью формул сложения схоростей
\[
u_{x}^{\prime}=\frac{u_{x}-v}{1-v u_{x} / c^{2}}, u_{z}^{\prime}=\frac{u_{z} \sqrt{1-\beta^{2}}}{1-v u_{x} / c^{2}}
\]
и группируя все члены в левой части (11.3), находим
\[
\begin{array}{l}
\left(E_{y}-\frac{E_{y}^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}-\frac{v B_{2}^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right)+\left(-B_{z}+\frac{v E_{y}^{\prime}}{c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}}+\frac{B_{z}^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right) u_{x}+ \\
+\left(B_{x}-B_{x}^{\prime}\right) u_{z}=0 .
\end{array}
\]
Это равенство справедливо при произвольных значениях $u_{x}$ и $u_{z}$. Следовательно, выражения, стоящие в скобках (11.5), по отдельности равны нулю. Приравнивая их нулю, получаем формулы преобразования для векторов поля:
\[
E_{y}=\frac{E_{y}^{\prime}+v B_{z}^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
\]
\[
B_{x}=B_{x}^{\prime},(11.7) \quad B_{z}=\frac{B_{z}^{\prime}+\left(v / c^{2}\right) E_{y}^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]
Аналогично, исходя из (9.12), получаем формулы преобразования для других компонент:
\[
E_{z}=\frac{E_{z}^{\prime}-v B_{y}^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
\]
\[
B_{x}=B_{x}^{\prime},(11.10) \quad B_{y}=\frac{B_{y}^{\prime}-\left(v / c^{2}\right) E_{z}^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]
Вывод преобразования $x$-проекции силы удобно обосновать на формуле (9.4), записанной в виде
\[
F_{x}=\frac{1}{1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}}\left[F_{x}^{\prime}+\frac{v}{c^{2}}\left(\mathbf{F}^{\prime} \cdot \mathbf{u}^{\prime}\right)\right] \text {. }
\]
Поступая так же, как и в предыдущих случаях, приводим равенство(11.12) к форме
\[
\left(1+\frac{v u_{x}^{\prime}}{c^{2}}\right)\left[E_{x}+\left(u_{y} B_{z}-u_{z} B_{y}\right)\right]-\left[E_{x}^{\prime}+\left(u_{y}^{\prime} B_{z}^{\prime}-u_{z}^{\prime} B_{y}^{\prime}\right)\right]=\frac{v}{c^{2}}\left(E^{\prime} \cdot \mathbf{u}^{\prime}\right),
\]
где $\boldsymbol{F}^{\prime} \cdot \mathbf{u}^{\prime}=q \boldsymbol{E}^{\prime} \cdot \mathbf{u}^{\prime}$. Воспользовавшись формулами (11.8) и (11.11), находим, что
\[
E_{x}=E_{x}^{\prime} \text {. }
\]
Таким образом, формулы преобразования для векторов электромагнитного поля имеют вид:
Обратные формулы преобразования векторов поля по принципу относительности получают из формул (11.15) заменой $v \rightarrow-v$, величин со штрихом на величины без штриха и наоборот.
Применения формул (11.15). Формулы (11.15) позволяют найти векторы электромагнитного поля в любой инерциальной системе координат, если только они известны в какой-либо одной из них.
В качестве примера изучим поле заряженной бесконечной нити. Нить неподвижна и расположена в системе координат $K^{\prime}$ вдоль оси $X^{\prime}$. Следовательно, в этой системе координат имеется только электрическое поле, напряженность которого дается формулами (8.5) с учетом определения напряженности. Поэтому вместо (8.5) для напряженности электрического поля получаем выражения:
\[
E_{x}^{\prime}=0, E_{y}^{\prime}=\rho^{\prime} S_{0} /\left(2 \pi \varepsilon_{0} y_{0}^{\prime}\right), E_{z}^{\prime}=0 .
\]
Ось $Y$ может иметь любое направление, перпендикулярное нити. Из формулы (11.16) заключаем, что напряженность электрического поля заряженной бесконечной нити направлена по перпендикулярам к нити и убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от нее. Магнитное поле в системе координат $K^{\prime}$ отсутствует, поскольку заряды неподвижны.
В системе координат $K$ нить движется вдоль своей длины в направлении положительных значений оси $X$ со скоростью $v$. Напряженность электрического поля на основании (11.15) равна
\[
E_{x}=0, E_{y}=E_{y}^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}}=\rho^{\prime} S_{0}^{\prime} /\left(2 \pi \varepsilon_{0} y_{0}^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}}\right), E_{z}=0,
\]
что эквивалентно (8.8), поскольку напряженность равна отношению силы к заряду.
Формулы (11.15) показывают, что наряду с электрическим полем движущаяся заряженная нить создает в окружающем ее пространстве также и магнитное поле, индукция которого
\[
B_{x}=0, B_{y}=0, B_{z}=\frac{\left(v / c^{2}\right) E_{y}^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{v \rho^{\prime} S_{0}^{\prime}}{2 \pi \varepsilon_{0} c^{2} y_{0}^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}}},
\]
нто эквивалентно формуле (8.15) с учетом (8.9), если только от силы $f_{y}$ перейти к индукции магнитного поля в соответствии с формулами (9.18) и (9.16), т. е. разделить $f_{y}$ в (8.15) на $q v$. Очевидно, что магнитные силовые линии являются концентрическими окружностями, лежащими в перпендикулярных нити плоскостях (рис. 29); центр окружностей лежит на нити.
При решении конкретных задач необходимо выбрать такую систему координат, в которой электромагнитное поле было бы наиболее простым, что упрощает решение задачи. Не следует думать, что всегда существует такая система координат, где поле сведется либо к электрическому, либо к магнитному. Существуют такие конфигурации электромагнитного поля, когда в любой системе координат существуют одновременно и электрическое и магнитное поля. Общее рассмотрение данного вопроса производится с помощыо анализа инвариантов электромагнитного поля относительно преобразования Лоренца (см. § 62).
Поле точечного заряда, движущегося равномерно и прямолинейно. Совместим начало декартовой системы координат $K^{\prime}$ с точечным зарядом $q$. В этой системе напряженность электрического поля описывается законом Кулона, а маг нитное поле отсутствует:
\[
\mathbf{E}^{\prime}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{r}^{\prime}}{r^{\prime 3}}, \mathbf{B}^{\prime}=0,
\]
где $r^{\prime 2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}$. В системе координат $K$ заряд $q$ движется со скоростью $v$ в направлении положительных значений оси $X$. Оси координат системы $K^{\prime}$ ориентированы таким образом, что в момент времени $t^{\prime}=t=0$ ои совпадают с соответствующими осями системы K. Подставляя (11.19) в (11.15) и используя преобразования Лоренца, получаем
\[
E_{x}=E_{x}^{\prime}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{x^{\prime}}{r^{\prime 3}}=\frac{q \gamma(x-v t)}{4 \pi \varepsilon_{0}\left[\gamma^{2}(x-v t)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{3 / 2}},
\]
Силовше линин магвитного поля двнжущейся вдоль своей длнны заряжеиной нити
Если в некоторой систене коордннат имеетси только электрическое поле, то в другой появляется также и магннтное, и наоборот. Подходящим выбором систены отсчета можно постараться добиться наи6олее простой конфигурации электрического и магкитного полей или устронить одно из них. Однако не всегда существует такая система отсчета, где поле сводито ли60 $\kappa$ электрическону, либо к магнитному.
Какими способами можно, исходя из формул преобразования величин от системы $K^{\prime}$ к системе $K$, получить формулы преобразовання тех же величин от системы $K$ к системе $K^{\prime}$ ? На примере формул (11.15) проверьте, что оба способа приводят к одинаковому результату. Является ли поле быстро движущегося точечного заряда центральным? центрально-симметричным?
где
\[
\gamma=\frac{1}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}} .
\]
Обозначая $x_{q}$ координату заряда $q$ в системе $K$ в момент $t$, когда определяется напряженность поля в точке $(x, y, z)$, перепишем (11.20) в виде
\[
E_{x}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\gamma\left(x-x_{q}\right)}{\left[\gamma^{2}\left(x-x_{q}\right)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{3 / 2}},
\]
поскольку $x_{q}=v t-$ закон движения заряда в системе $K$.
Аналогично находим и две другие компоненты напряженности электрического поЈя:
\[
\begin{array}{l}
E_{y}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\gamma y}{\left[\gamma^{2}\left(x-x_{q}\right)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{3 / 2}} \\
E_{z}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\gamma z}{\left[\gamma^{2}\left(x-x_{q}\right)^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{3 / 2}}
\end{array}
\]
Индукция магнитного поля определяется с помощью формул (11.15). Результат удобнее записать в векторной форме:
$B=\left(1 / c^{2}\right) v \times E$,
где $\mathbf{E}$ определяется формулами (11.22)(11.24). Видно, что линии В образуют концентрические окружности с центром на оси $X$, вдоль которой движется заряд $q$. Конфигурация поля заряда, движущегося равномерно и прямолинейно, с течением времени не изменяется, а меняется лишь положение этой конфигурации относительно неподвижной системы координат $K$, т. е. неизменная конфигурация поля движется вместе с зарядом. Изучим ее в тот момент, когда заряд находится в начале системы координат $K$, т. е. при $x_{q}=0$. В этом случае [см. (11.22)-(11.24)]
$\mathbf{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\gamma \mathbf{r}}{\left(\gamma x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}$,
где $\mathbf{r}$ – радиус-вектор, проведенный от точки нахождения заряда $q$ в точку, где определяется Е. Таким образом, напряженность направлена вдоль радиус-вектора, однако ее значение зависит от направления радиус-вектора. Обозначим $\theta$ – угол между направлениями скорости у заряда и радиус-вектора. Тогда $x=r \cos \theta, y^{2}+z^{2}=r^{2} \sin ^{2} \theta, \gamma x^{2}+$ $+y^{2}+z^{2}=r^{2} \gamma^{2}\left(1-\beta^{2} \sin ^{2} \theta\right), \beta=v / c$ и формула (11.26) принимает вид $\mathbf{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{r}}{r^{3}} \frac{1-\beta^{2}}{\left(1-\beta^{2} \sin ^{2} \theta\right)^{3 / 2}}$.
Отличие электрического поля движущегося заряда от поля неподвижного заряда сводится к сильной зависимости напряженности поля движущегося заряда от направления. По линии движения заряда $(\theta=0 ; \theta=\pi)$ и перпендикулярно ей $(\theta= \pm \pi / 2)$ напряженность соответственно равна:
\[
E_{\mathrm{II}}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}\left(1-\beta^{2}\right),
\]
\[
E_{\perp}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]
При релятивистских скоростях ( $\beta \approx 1$ ) напряженность поля движуцегося заряда на заданном от него расстоянии мала по лини движения заряда и велика в перпендикулярном направлении, т. е. поле как бы концентрируется вблизи плоскости, проведенной через заряд перпендикулярно его скорости.
Задачи
1.1. Вычислить div $\mathbf{r}$.
1.2. Вычислить $\operatorname{grad}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{A})$, где $\mathbf{A}-$ постоянный вектор.
1.3. Вычислить $\operatorname{div}(\omega \times \mathbf{r})$, где $\omega-$ постоянный вектор.
1.4. Вычислить $\operatorname{div}(\mathbf{r} / r)$.
1.5. Вычислить $\operatorname{div}[\mathbf{A} \times(\mathbf{r} \times \mathbf{B})]$, где А и В – постоянные векторы.
1.6. Чему равна индукция магнитного поля в центре квадратного контура со стороной $a$, по которому протекает ток $I$ ?
1.7. Проводиик намотан по спирали на цилиндрический изолятор радиусом $a$ и образует $n$ полных витков. Угол подъема спирали равен $\alpha$. Определить магнитную индукцию в центре цилиндрического изолятора, если по обмотке течет ток $I$.
1.8. Два точечных заряда $q$ и $-q$ расположены соответственно в точках $(a, 0,0),(-a, 0,0)$ Найти напряженность электрического поля в точке $(x, y, z)$.
1.9. Заряд распределен с линейной плотностью $\tau$ на длине $L$ вдоль радиус-вектора, начинающегося в точке нахождения точечного заряда $q$ Расстояние от $q$ до ближайшей к нему точки линейного заряда равно $R$. Найти силу, действующую на линейный заряд
1.10. Два заряда распределены с одинаковой линейной плотностью $\tau$ на длине $L$ параллельно и находятся на расстоянии $l$ друг от друга (рис. 30). Найти силу взаимодействия между ними.
30
Два участка проводника конечной длины
1.11. Диск имеет поверхностиый заряд с плотностью $\sigma=\alpha r^{2}$, где $r$ расстояние от центра диска. Рaдиус диска равен $r_{0}$. Найти напряженность поля на перпендикуляре x плоскости диска, проведенном через его центр на высоте $h$.
1.12. Две равномерно заряженные поверхности параллельны плоскости $X, Y$ и пересекают ось $Z$ в точках $z_{1}=a_{1}$ и $z_{2}=a_{2}>a_{1}$. Поверхностные плотности зарядов одинаковы, но противоположны по знаку ( $\sigma_{1}=-\sigma_{2}$ ). Найти напряженность электрического поля во всех точках пространства.
31
Обозначения углов в выбрапной снстеме координат
1.13. Найти напряженность электрического поля в точке $P$, созданного заряженной нитью длиной $L$ (рис. 31). Линейная плотность заряда $\tau$. Точка $P$ лежит в плоскости $Z, Y$, что, однако, не ограничивает общности решения, поскольку поле аксиально симметрично.
1.14. Бесконечно длинный цилиндр кругового сечения заряжен равномерно с поверхностной плотностью $\sigma$. На оси цилиндра расположена бесконечно длинная нить, равномерно заряжениая с линейной плотностью $\tau$. При каком условии напряженность электрического поля вне цилиндра равна нулю?
1.15. Внутри шара радиусом а распределен заряд с объемной плотностью $\rho=\alpha \sqrt{r}$. Найти напряженность электрического поля.
1.16. Пучок круглого сечения радиусом 1 мм, состоящий из протонов, ускорен разностью потенциалов 10 кВ. Предполагая, что плотность протонов по сечению пучка постоянна, найти объемную плотность электрического заряда в пучке при токе $5 \cdot 10^{-6} \mathrm{~A}$.
Ответы 1.7. $\frac{\mu_{0} I n}{2 a} \frac{1}{\sqrt{1+\pi^{2} n^{2} \operatorname{tg}^{2} \alpha}}$. 1.8. $\mathbf{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left\{\frac{(x-a) \mathbf{i}_{x}+y \mathbf{i}_{y}}{\left[(x-a)^{2}+y^{2}\right]^{3 / 2}}-\frac{(x+a) \mathbf{i}_{x}+y i_{y}}{\left[(x+a)^{2}+y^{2}\right]^{3 / 2}}\right\}$. 1.9. $F=\frac{q \tau L}{4 \pi \varepsilon_{0} R(R+L)}$. 1.10. $F=\frac{\tau^{2}}{2 \pi \varepsilon_{0}}\left[\left(1+\frac{L^{2}}{l^{2}}\right)^{1 / 2}-1\right]$.
1.11. $E_{h}=\frac{\alpha h}{2 \varepsilon_{0}} \times$ $\times\left[\frac{r_{0}^{2}+2 h^{2}}{\left(r_{0}^{2}+h^{2}\right)^{1 / 2}}-2 h\right]$. 1.12. $E_{z}=0$ при $z<a_{1}$ и $z>a_{2} ; E_{z} \approx \sigma_{1} / \varepsilon_{0}$ при $a_{1}<z<a_{2}$.
1.13. $\mathbf{E}=\frac{\tau}{4 \pi \varepsilon_{0} r}\left[\left(\sin \alpha_{1}+\sin \alpha_{2}\right) \mathbf{i}_{y}-\left(\cos \alpha_{1}-\cos \alpha_{2}\right) \mathbf{i}_{z}\right]$.
1.14. $\tau=-2 \pi r \sigma$.
1.15. $\mathbf{E}=\frac{2 \alpha}{7 \varepsilon_{0}} \sqrt{r} \mathbf{r}, 0<r<a ; \mathbf{E}=\frac{2 \alpha a^{7 / 2}}{7 \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{r}}{r^{3}} \quad$ при $\quad r>a . \quad$ 1.16. $\quad \rho=1,15 \times$ $\times 10^{-6} \mathrm{Kл/ \textrm {m } ^ { 3 }}$.
$\S 12$
Постоянное электрическое поле
ร 13
Дифференциальная формулнровка закона Кулона
$\S 14$
Потенциальность электростатического поля
Электростатнческое § 15 в вакууме
$\S 17$
Электростатичеокое поле при налични диэлектриков
$\S 18$
Энергия электростатического повя
$\S 19$
Силы в эдектрнческом поле
Постоянное электрическое поле
Постоянные электрические поля не существуют в природе, поскольку нет неподвижных элементарных зарядов. Однако если в бесконечно малом физическом объеме сумма элементарных зарядов каждого знака примерно постоянна, а средняя скорость близка к нулю, то порождаемое ими поле на достаточно большом расстоянии от объема почти постоянно. Оно называется постоянным электрическим полем. Моделью заряда, порождающего такое поле, является неподвижный точечный заряд. Совокупность точечных зарядов может образовывать объемный, поверхностный и линейный заряды. При переходе к модели непрерывного распределения заряда эти совокупности характеризуются объемной, поверхностной и линейной плотностями заряда.
