Рассматривается физическая причина возникновения дробового шума и анализируется его распределение по частотам. Даются основные характеристики иума тока.
Источник дробового шума. Электрический ток представляет собой движение дискретных элементарных зарядов, а не непрерывный поток заряда. Поэтому он дает последовательность импульсов тока, каждый из которых обусловлен прибытием в рассматриваемую точку отдельного электрона. Ток через некоторую площадку подобен потоку дробинок через нее, выброшенных из некоторого устройства и распределенных по времени хаотически. Ясно, что число дробинок, пересекающих поверхность в последовательные одинаковые малые промежутки времени, будет испытывать значительные флуктуации. Аналогично, из-за дискретного характера зарядов будет флуктуировать и сила тока. Эти флуктуации назызаются дробовым шумом.

$\mathbf{P}$ аспределение шума по частотам. Прибытие каждого электрона эквивалентно импульсу тока, продолжительность которого чрезвычайно мала. При точечном электроне ее следует считать нулевой, а импульс тока бесконечным, т.е. импульс представлять $\delta$-функцией. Поскольку заряд, содержащийся в импульсе тока, равен заряду электрона $e$, можно представить ток, обусловленный прибытием электрона в момент времени $t_{i}$, в виде
\[
i(t)=e \delta\left(t-t_{i}\right) \text {. }
\]

Пусть $T$-большой интервал времени, в течение которого прибывает в среднем $N$ электронов. Средняя сила тока, обусловленного прибытием одного электрона на этом интервале времени, равна $\langle i\rangle=e / T$, а средняя сила тока, обусловленного прибытием $N$ электронов, определяется выражением $\langle I\rangle=N\langle i\rangle=N e / T$. Однако электроны прибывают неравномерно, вследствие чего возникают флуктуации тока, порождающие шум. Для определения спектрального состава шума представим силу тока $i(t)$ в виде ряда Фурье на интервале ( $-T / 2, T / 2$ ):
\[
i(t)=a_{0} / 2+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \omega t+b_{n} \sin n \omega t\right) \quad(\omega=2 \pi / T),
\]

где
\[
\begin{array}{ll}
a_{n}=\frac{2}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} i(t) \cos n \omega t \mathrm{~d} t & (n=0,1,2, \ldots), \\
b_{n}=\frac{2}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} i(t) \sin n \omega t \mathrm{~d} t & (n=1,2, \ldots) .
\end{array}
\]

Учитывая правило интегрирования с $\delta$-функцией
\[
\int f(t) \delta\left(t-t_{i}\right) \mathrm{d} t=f\left(t_{i}\right),
\]

из (68.3а) и (68.3б) с учетмм (68.1) получаем
\[
a_{n}=\frac{2 e}{T} \cos n \omega t_{i}, b_{n}=\frac{2 e}{T} \sin n \omega t_{i} .
\]

Тогда [см. (68.2)]
\[
i(t)=\frac{e}{T}+\frac{2 e}{T} \sum_{n=1}^{\infty} \cos n \omega\left(t-t_{i}\right) .
\]

Среднее значение квадрата силы тока $n$-й компоненты равно
\[
\left\langle i_{n}^{2}\right\rangle=\frac{4 e^{2}}{T^{2}}\left\langle\cos ^{2} \frac{2 \pi n}{T} t\right\rangle=\frac{2 e^{2}}{T^{2}} .
\]

Поскольку отдельные электроны движутся беспорядочно и некоррелированно друг с другом, их вклады в разложение в ряд Фурье для силы тока будут отличаться фазами. При вычислении квадрата флуктуации силы тока усреднение по фазе обратит в нуль все члены с неравными частотами и в ряду останутся лишь члены с одинаковыми частотами. Поэтому для среднего квадрата флуктуаций $n$-й компоненты Фурье силы тока $N$ электронов, прибывающих в течение времени $T$, имеем
\[
\left\langle T_{n}^{2}\right\rangle=N\left\langle i_{n}^{2}\right\rangle=2 e^{2} N / T^{2}=2 e I_{0} / T,
\]

где $I_{0}=e N / T$ – средняя сила тока.
Число компонент ряда Фурье, частоты которых заключены между $v$ и $v+\mathrm{d} v$, равно $T \mathrm{~d} v$, поскольку эти компоненты отстоят друг от друга на равных расстояниях по частотам на $1 / T$. Интервал $T$ можно считать очень большим, а расстояние между соседними частотами $[(n+1) / T]-(n / T)=1 / T$ – очень малым.

Суммируя вклады от этих компонент в интервале частот $\mathrm{dv}$ получим на основе формулы (68.7) для средней квадратичной флуктуации силы тока следующее выражение:
$\mathrm{d}\left\langle I^{2}\right\rangle=\left\langle I_{n}^{2}\right\rangle T \mathrm{~d} v=2 e I_{0} \mathrm{~d} v$.
Эта формула описывает дробовой шум.
Соотношение (68.8) называется формулой Шоттки. Заметим, что если в спектральный интервал частот $v$ включить их отрицательные значения, то множитель 2 в формуле (68.8) пропадает. Так обычно поступают при использовании экспоненциальной формы рядов или интегралов Фурье.
II ${ }^{\text {ум тока. На очень малых частотах возникают шумы, обусловленные }}$ различными неоднородностями сопротивлений. Средний квадрат амплитуд напряжений этого шума убывает обратно пропорционально частоте.

Экспериментальное изучение этого шума, называемого шумом тока, приводит к формуле
\[
\left\langle(\Delta U)^{2}\right\rangle=\alpha I_{0}^{2} / v,
\]

где $\alpha$-эмпирическая постоянная, зависящая от геометрии сопротивления и его материала. В массивных металлических проводниках шум практически отсутствует. В различного рода композиционных сопротивлениях он очень велик.

Природа этого шума в настоящее время еще до конца не выяснена. Однако с увеличением частоты его роль во всех случаях становится пренебрежимо малой. форму полезного сигнала и их желательно уменьшить. Количественно соотношение между сигналом и шумом характеризуется отношением сигнал – шум. Задача состоит в том, чтобы увеличить это отношение.

Усиление сигнала для этой цели не подходит, поскольку усилитель в одинаковое число раз изменяет как сигнал, так и шум, подаваемые

Иллюстрация процесса выделения сигнала на фоне сильного шума
на его вход, а, кроме того, в процессе прохождения сигнала добавляет к нему свой внутренний шум. Поэтому усиление уменьшает отношение сигнал – шум, т. е. ухудшает этот показатель и не может служить методом уменьшения шумовых помех.

Шум сопротивления может быть уменьшен за счет уменьшения температуры, при которой работают соответствующие устройства. Этот метод широко применяется, однако он имеет свои пределы. Во-первых, он значительно усложняет работу и, во-вторых, при сильных охлаждениях элементы устройств изменяют свои электрические характеристики, причем иногда необратимо.

Дробовой шум и шум тока ослабляются при уменьшении силы тока, а шум тока уменьшается еще и при увеличении частоты сигнала. Увеличение частоты ситнала ограничено высокочастотными характеристиками контуров и элементов цепи.

Все виды шумов уменьшаются при уменьшении полосы пропускания. Однако ширина полосы пропускания ограничена свойствами сигнала, поскольку любой сигнал имеет конечную ширину и уменьшение полосы пропускания ниже этой ширины существенно искажает сигнал, т. е. вводит новый шум.

Таким образом, улучшение технических характеристик устройств для приема сигналов позволяет улучшить отношение сигнал – шум, но наталкивается на ограничения принципиального порядка. Поэтому разработаны методы приема сигналов, позволяющие преодолевать эти ограничения. Один из распространенных методов состоит в следующем.

Пусть имеется некоторый периодически повторяющийся сигнал, очень сильно искаженный шумовым фоном (рис. 268,a). Период сигналов может быть определен с достаточной точностью, поскольку шум не искажает периода. После этого можно синхронизировать момент измерения сигнала с периодичностью его изменения, т. е. производить измерение значения сигнала много раз в одной и той же точке его периода, например, точке $a$ на рис. 268 , $a$. Каждое измерение из-за наложения шума дает различное значение, но среднее значение большого числа измерений приводит с соответствующей точностью к величине сигнала в этой точке периода. В принципе, эта точность может быть беспредельно повышена, если только соответствующим образом увеличить число измерений. Проделав такие измерения для различных точек периода, получим форму сигнала на одном периоде без шумовых искажений (рис. 268,6 ).