Постановка задачи. Электрический ток может существовать не только в проводах. Например, почва (особенно сырая) является проводником электрического тока. Спрашивается, какое сопротивление электрическому току окажет почва, если в нее на некотором расстоянии друг от друга погружены концы двух проводников, соединенных с полюсами источника э. д. с.? Или каково сопротивление очень массивной металлической плиты, к которой припаяны два проводника от полюсов источника э. д. с.? Под сопротивлением массивной пластины или среды электрическому току понимается отношение разности потенциалов между подводящими ток электродами к силе тока. Хотя удельная проводимость среды известна, вычисление сопротивления не является простой задачей. Измерение же этого сопротивления легко провести стандартными методами, найдя разность потенциалов и силу тока.
В ывод формулы. Рассмотрим однородную сплошіную среду с погруженными в нее электродами, между которыми протекает электрический ток. Линии плотности тока совпадают с линиями напряженности электрического поля в среде, поскольку
\[
\mathbf{j}=\gamma \mathbf{E} \text {. }
\]

Сила тока сквозь замкнутую поверхность $S$, окружающую один из электродов, равна
\[
I=\oint_{S} \mathbf{j} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\gamma \oint_{S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} .
\]

Теперь представим себе, что проводящая среда удалена, а электроды рассматриваются как обкладки конденсатора. По определению емкости С конденсатора имеем
\[
Q=C U \text {, }
\]

где $Q$ – заряд электрода, $U$ – разность потенциалов между электродами. По теореме Гаусса получаем
\[
\oint_{S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=Q / \varepsilon_{0},
\]

где $\mathbf{E}$ – напряженность поля конденсатора, $S$ – та же поверхность, что и в (29.2). Однако вследствие единственности решения задач электростатики заданная разность потенциалов между заданными электродами однозначно определяет напряженность поля. Следовательно, напряженность поля в проводящей среде, по которой протекает ток [см. (29.2)], совпадает с напряженностью поля, создаваемого в вакууме между теми же электродами при той же разности потенциалов [см. (29.4)]. Поэтому из (29.2) и (29.4) с учетом (29.3) заключаем, что
\[
I=\gamma Q / \mathscr{E}_{0}=\gamma C U / \varepsilon_{0} .
\]

К вычисленню сопротивления среды между коаксиальиыми электродами
– Наиболее важным свойством заземления линий передач является незовиснмость сопротивлення от расстояния между электродамн. Главный вклод – сопротивление дают участки среды, непосредственно граничащие с электродами.
Формула, выражающая сопротнвление среды через емкость конденсатора, обкладками которого являются злектроды, справедлива лишь при условин, что при налични тока потенцнал во всех точках каждой из обкладок с достаточно большой точностью постоянен и в среде не возникают объемные зоряды.
Для этого удельная электропроводимость материала электродов должна быть много больше удельной электропроводимости среды, а среда должна быть электрически однородной.
В чем состоит усповие применимости формулы для сопротивления среды между электродами через емкость конденсатора, образуемого эпектродами?
Тогда сопротивление однородной среды току дается формулой
\[
R=U / I=\varepsilon_{0} /(\gamma C) \text {. }
\]

Отметим, что все эти рассуждения неприменимь для неоднородной среды, поскольку в ней при прохождении тока образуются объемные заряды, которые являются источниками электрического поля. В этом случае электрическое поле в среде при прохождении постоянного тока не совпадает с полем в вакууме, хотя электроды и поддерживаются при той же разности потенциалов.
Условия применимости (29.6). Формула (29.6) позволяет вычислить сопротивление среды току, если известна емкость конденсатора, обкладками которого являются электроды. Результаты получаются тем точнее, чем лучше соблюдается постоянство потенциала электрода при прохождении через него тока. Если последнее требование не удовлетворяется достаточно хорошо и потенциалы разных точек электрода при прохождении по нему тока существенно различаются, то расчет сопротивления нельзя свести к расчету емкости конденсатора, поскольку у конденсатора потенциал всех точек обкладки одинаков. Поэтому, в частности, необходимо, потребовать малости удельного сопротивления электродов по сравнению с удельным сопротивлением среды. Если электроды достаточно малы по размерам, то это требование отпадает.
Коаксиальные электроды. Рассмотрим в качестве примера два коаксиальных электрода. Между ними находится проводящая среда (рис. 120), сопротивление которой необходимо вычислить. Для применения формулы (29.6) удельную проводимость материала жилы и оболочки надо считать много большей удельной проводимости среды. Ток в среде протекает во всем объеме среды по радиусам между центральной жилой и оболочкой. Поскольку емкость цилиндрического конденсатора $C=2 \pi l \varepsilon_{0} / \ln \left(r_{2} / r_{1}\right)$, сопротивление среды равно
\[
R=\ln \left(r_{2} / r_{1}\right) /(2 \pi l \gamma) .
\]

Неоднородная среда. Если удельная проводимость не постоянна, то задача значительно усложняется, поскольку возникают объемные заряды и необходимо принимать во внимание порождаемое ими электрическое поле.

Рассмотрим в качестве примера электрические токи в атмосфере. Как показывает эксперимент, вблизи поверхности Земли имеется электрическое поле с напряженностью $E_{r}^{(0)} \approx-100 \mathrm{~B} / \mathrm{M}$, направленной по радиусу к центру Земли. Она является достаточно хорошим проводником, и поэтому можно считать, что на ней присутствует поверхностный заряд
\[
\sigma_{0}=\varepsilon_{0} E_{r}^{(0)}=-8,85 \cdot 10^{-10} \mathrm{Kл} / \mathrm{M}^{2} .
\]

Измерения показывают, что удельная проводимость земной атмосферы возрастает с высотой. Главная причина этого состоит в действии космического излучения, вызывающего ионизацию. На больших высотах главным источником ионизации становится солнечное излучение. На высоте около 50 км атмосферу можно считать практически идеальным проводником. Как показывают измерения, зависимость удельной проводимости от высоты может быть- с достаточной точностью представлена в виде
\[
\gamma(r)=\gamma_{0}+A\left(r-r_{0}\right)^{2} .
\]

Здесь $r_{0}-$ радиус Земли, $r$ – расстояние от центра Земли до рассматриваемой точки, $\gamma_{0}=\gamma\left(r_{0}\right)$ – удельная проводимость у поверхности Земли, $A$ – постоянная, причем
\[
\begin{array}{l}
\gamma_{0}=3 \cdot 10^{-14} \mathrm{CM} / \mathrm{M}, \\
A=0,5 \cdot 10^{-20} \mathrm{Cm} / \mathrm{M}^{3} .
\end{array}
\]

Поле в атмосфере Земли в среднем стационарно и сферически симметрично. Поэтому уравнение непрерывности для плотности тока принимает вид
\[
\operatorname{div} \mathbf{j}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} j_{r}\right)=0 \text {, }
\]

откуда
\[
j_{r}(r)=j_{0} r_{0}^{2} / r^{2},
\]

где $j_{0}$ – плотность тока у поверхности Земли ( $r=r_{0}$ ), равная
\[
j_{0}=\gamma_{0} E_{r}^{(0)}=-3 \cdot 10^{-12} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} \text {. }
\]

Поскольку радиус Земли $r_{0} \approx 6 \cdot 10^{6}$ м, сила тока из атмосферы в Землю равна $I=\left|j_{0}\right| 4 \pi r_{0}^{2} \approx 1400$ А. Напряженность электрического поля в атмосфере на расстоянии $r$ от центра Земли равна
\[
E_{r}=\frac{j_{r}(r)}{\gamma(r)}
\]

—————————————————————-
0048_fiz_ob_matveev_03_no_photo_page-0220.jpg.txt

220
4. Постоянный электрический ток
и поэтому разность потенциалов $U$ между поверхностью Земли и верхней атмосферой, удельная проводимость которой практически бесконечна, определяется формулой
\[
U=-\int_{r_{0}}^{\infty} E_{r} \mathrm{~d} r=-j_{0} r_{0}^{2} \int_{r_{0}}^{\infty} \frac{\mathrm{d} r}{r^{2} \gamma(r)} .
\]

Здесь область интегрирования расширена до бесконечности, поскольку $\gamma(r)$ на высотах, больших примерно $50 \mathrm{~km}$, практически обращается в бесконечность, а подынтегральное выражение в нуль. Однако достаточную точность при вычислении можно получить также, взяв для $\gamma$ выражение (29.9). В этом случае вклад в интеграл от области интегрирования для $r>r_{0}+50$ км очень мал по сравнению с вкладом от области интегрирования от $r_{0}$ до $r_{0}+50$ км и им можно пренебречь. Поэтому вместо (29.16) получаем
\[
U=-j_{0} r_{0}^{2} \int_{r_{0}}^{\infty} \frac{\mathrm{d} r}{r^{2}\left[\gamma_{0}+A\left(r-r_{0}\right)^{2}\right]} .
\]

Этот интеграл легко вычисляется в элементарных функциях, однако результат получается довольно громоздким и здесь не приводится. С достаточной точностью до величины порядка $\left[\gamma_{0} /\left(r_{0}^{2} A\right)\right] \ll 1$ он может быть представлен в виде
\[
U=-\frac{j_{0}}{A r_{0}}\left[1+\ln \frac{\gamma_{0}}{A r_{0}^{2}}+\frac{\pi r_{0}}{2} \sqrt{\frac{A}{\gamma_{0}}}\right] \text {. }
\]

Подставляя в (29.18) значения $j_{0}, \gamma_{0}, A$ из (29.14), (29.10) и (29.11), находим $U \approx 400$ кВ.

Благодаря постоянно протекающему через атмосферу току силой около 1400 А эта разность потенциалов должна уменьшаться, а поверхностный заряд земли – нейтрализоваться. Время релаксации для этого процесса имеет порядок $\tau=\varepsilon_{0} / \gamma_{0} \approx 300$ с. Однако как сила тока, так и разность потенциалов в среднем стационарны. Поэтому существуют причины, поддерживающие эту стационарность. Ими являются главным образом нестациопарные процессы в атмосфере, такие, как бури, грозы и др.