Рассматривается влияние проводников на электрическое поле. Описываются основные физические явления, обусловленные распределением зарядов на поверхности проводника (стекание зарядов с острия и т.д.). Обсуждаются количественные характеристики электрических свойств уединенных проводников и систем проводников. Излагается суть метода изображений.

Дифференциальная форма закона Ома. Проводниками называются материальные тела, в которых при наличии электрического поля возникает движение зарядов, т. е. электрический ток. Закон, связывающий силу тока, протекающего по проводнику, с разностью потенциалов, приложенной к его концам, был открыт экспериментально в 1827 г. Г. С. Омом ( $1787-1854)$ и имеет вид
\[
I=U / R \text {, }
\]

где $R$ – величина, называемая сопротивлением проводника. Закон Ома в дифференциальной форме получается в результате записи соотиошения (16.1) для плотности тока. Рассмотрим бесконечно малый элемент проводника (рис. $47 ; \Delta l$ – длина; $\Delta S$ – поперечное сечение проводника, к концам которого приложена разность потенциалов $\Delta \varphi$ ). Пусть $\gamma$ – удельная электрическая проводимость вещества, которая является величиной, обратной удельному электрическому сопротивлению. Электрическое сопротивление элемента проводника и сила тока, текущего по нему, равны
\[
R=\frac{1}{\gamma} \frac{\Delta l}{\Delta S},
\]
\[
I_{\tau}=j_{\tau} \Delta S,(6)
\]
где индекс $\tau$ означает, что берется составляющая плотности тока вдоль элемента проводника. Закон Ома для этого элемента проводника записывается так:
$\Delta \varphi=j_{\tau} \Delta S \frac{1}{\gamma} \frac{\Delta l}{\Delta S}$.
Принимая во внимание, что $(\Delta \varphi / \Delta l)=$ $=E_{\tau}$ – компонента напряженности электрического поля в направлении рассматриваемого элемента, из (16.3) получаем
\[
j_{\tau}=\gamma E_{\tau} \text {. }
\]

Это соотношение справедливо при любой ориентировке элемента проводника и позтому может быть записано в векторной форме:

Равенство (16.5) является дифференциальной формой закона Ома.
Классификация материалов по проводимости. Удельная электрическая проводимость $\gamma$ зависит от свойств материала. По ее значению материалы делят на три класса: диэлектрики, полупроводники и проводники. Резкой границы между ними нет. Принимается следующее деление этих материалов по проводимости:
a) диэлектрики – вещества с малой электрической проводимостью. Идеальный диэлектрик характеризуется отсутствием проводимости. Однако это может осуществиться лишь при 0 К. При температуре, отличной от $0 \mathrm{~K}$, все материалы обладают определенной проводимостью и, следовательно, идеальных диэлектриков нет; диэлектриком принято называть материал, удельная электрическая проводимость которого $\gamma<10^{-5} \mathrm{CM} / \mathrm{M}$;
б) полупроводники имеют удельную электрическую проводимость более $10^{-5} \mathrm{CM} / \mathrm{M}$, но менее $10^{3} \mathrm{CM} / \mathrm{M}$;
в) проводники характеризуются удельной электрической проводимостью, большей $10^{3} \mathrm{CM} / \mathrm{M}$. В основном – это металлы. Наи-
47
К выводу дифференциальной формы закона Ома
– В электростатике поля внутри проводника нет, а объемнье заряды отсутствуют. Вблизи поверхности проводника напряженность злектрического поля направлена по нормали к поверхности и пропорционапьна поверхностиой плотности заряда. На выпуклой поверхности проводника поверхностная ппотность зарядов и напрлженность поля увеличиваютея с увеличением кривнзны поверхности, т. е. с уменьшением радиуса кривизны. На вогнутой поверхности проводника поверхностная плотность заряда уменьшается.
Закон Ома в дифференцнальной форме справедлнв не только при постоянной электропроводимости, но и при изменяющейся, независимо от прнчин и характера ее нзменения.
Следствием какого свойства электростатического поля являето отсутствие тангенциальной составляющей напряженности поля вблизи поверхности проводника!
более хорошими проводниками среди них являются медь и серебро, у которых удельная электрическая проводимость имеет порядок $10^{7} \mathrm{Cm} / \mathrm{M}$. Отсутствие электрического поля внутри проводника. в электростатіке рассматривается случай неподвижных зарядов, когда $\mathbf{j}=\mathbf{0}$. Равенство (16.5) в этом случае дает
\[
\mathbf{E}=0 \text {, }
\]
т.е. внутри проводника при электростатическом равновесии электрическое поле отсутствует.
$\mathbf{O}^{\text {тсутствие в проводнике объемных зарядов. Из уравнения }}$
\[
\operatorname{div} \mathbf{E}=\rho / \varepsilon_{0}
\]

при $\mathbf{E}=0$ следует, что
\[
\rho=0 \text {, }
\]
т. е. внутри проводника отсутствуют объемные заряды. Это означает, что заряд проводника концентрируется на его поверхности в слое атомарной толщины. Конечно, внутри проводника имеются как положительные, так и отрицательные заряды, но они взаимно компенсируются и в целом внутренние области проводника нейтральны [см. (16.8)].

Установление нейтральности происходит чрезвычайно быстро. Предположим, что в некотором объеме внутри проводника в момент времени $t=0$ плотность свободных зарядов отлична от нуля ( $\rho(0)
eq 0$ ). Уравнение непрерывности (5.24) с учетом (16.5) принимает вид
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\gamma \mathbf{E})=\frac{\partial \rho}{\partial t}+\gamma \operatorname{div} \mathbf{E}=0,
\]

где $\gamma=$ const (для однородного проводника). С -учетом (16.7) отсюда получаем уравнение для изменения $\rho$ во времени:
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\frac{\gamma}{\varepsilon_{0}} \rho
\]

решение которого имеет вид
\[
\rho(t)=\rho(0) \mathrm{e}^{-\left(\gamma / \varepsilon_{0}\right) t},
\]
т.е. плотность уменьшается экспоненциально. По общему правилу можно считать, что образовавшийся объемный заряд \”рассасывается» в течение промежутка времени $\tau=\varepsilon_{0} / \gamma$, называемого временем релаксации. Для металлов оно чрезвычайно мало. Например, для меди $\left(\gamma=6 \cdot 10^{7} \mathrm{CM} / \mathrm{M}\right) \tau \approx 10^{-19}$ с. Такой промежуток времени чрезвычайно мал даже в масштабах внутриатомных процессов. Поэтому в нестационарных ситуациях, когда поля изменяются со временем, при не слишком больших частотах с большой точностью можно считать, что в проводнике свободные заряды распределены по поверхности, а объемные заряды отсутствуют. Данное заключение остается справедливым также
при учете зависимости проводимости $\gamma$ от частоты, хотя при этом получается увеличение времени релаксации на несколько порядков.
Установление нейтральности связано с токами, которые, однако, не создают заряда в тех областях, где они протекают. Чтобы это понять, рассмотрим простой пример. Имеется шар радиусом $a_{2}$, вещество которого характеризуется диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и удельной проводимостью $\gamma$. В начальный момент $t=0$ шаровая область радиусом $a_{1}<a_{2}$ заряжена равномерно с плотностью заряда $\rho_{0}$. Сферический слой между радиусами $a_{1}$ и $a_{2}$ нейтрален. Рассмотрим процесс нейтрализации заряда в объеме шара.

Изменение плотности заряда в различных точках шара дается формулой
\[
\rho(r, t)=\left\{\begin{array}{ll}
\rho_{0} \mathrm{e}^{-t / \tau} & \left(r<a_{1}\right), \\
0 & \left(r>a_{1}\right),
\end{array}\right.
\]

где $\tau=\varepsilon / \gamma$. Полный заряд шара $Q_{0}=4 / 3 \pi a_{1}^{3} \rho_{0}$ остается постоянным, но заряд шаровой области радиусом $a_{1}$ уменьшается по закону
\[
Q_{1}(t)=4 / 3 \pi a_{1}^{3} \rho_{0} \mathrm{e}^{-t / \tau}=Q_{0} \mathrm{e}^{-t / \tau} .
\]

Этот заряд током проводимости через сферический слой между радиусами $a_{1}$ и $a_{2}$ переносится к поверхности шара, где концентрируется в виде поверхностного заряда.

Распределение заряда в любой момент времени сферически симметрично и поэтому по теореме Гаусса получаем следующее выражение для напряженности электрического поля:
\[
E_{r}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{Q_{0} \mathrm{e}^{-t / \tau} r}{4 \pi \varepsilon a_{1}^{3}} & \left(0<r<a_{1}\right), \\
\frac{Q_{0} \mathrm{e}^{-t / \tau}}{4 \pi \varepsilon r^{2}} & \left(a_{1}<r<a_{2}\right), \\
\frac{Q_{0}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} & \left(r>a_{2}\right) .
\end{array}\right.
\]

Поверхностный заряд шара возрастает. Он может быть рассчитан по закону сохранения заряда или исходя из граничньх условий. В первом случае
\[
\sigma=\frac{1}{4 \pi a_{2}^{2}}\left[Q_{0}-Q_{1}(t)\right]=\frac{Q_{0}}{4 \pi a_{2}^{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-t / \tau}\right) .
\]

Во втором случае
\[
\begin{array}{l}
\left.\sigma\right|_{r=a_{2}}=\left.D_{r}\right|_{r=a_{2}+0}-\left.D_{r}\right|_{r=a_{2}-0}=\left.\varepsilon_{0} E_{r}\right|_{r=a_{2}+0}- \\
-\left.\varepsilon E_{r}\right|_{r=a_{2}-0}=\frac{Q_{0}}{4 \pi a_{2}^{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-t / \tau}\right),
\end{array}
\]

где значения функции с аргументами $r=a_{2}+0$ и $\boldsymbol{r}=a_{2}-0$ берутся соответственно с внешней и внутренней сторон поверхности шара.
Плотность тока проводимости равна
\[
j_{r}=\gamma E_{r}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\gamma Q_{0} \mathrm{e}^{-t / \tau} r}{4 \pi \varepsilon a_{1}^{3}} & \left(0<r<a_{1}\right), \\
\frac{\gamma Q_{0} \mathrm{e}^{-t / \tau}}{4 \pi \varepsilon r^{2}} & \left(a_{1}<r<a_{2}\right), \\
0 & \left(a_{2}<r<\infty\right) .
\end{array}\right.
\]

Сила тока проводимости, протекающего через сферическую поверхность радиусом $r$, определяется формулой
\[
I_{r}=j_{r} 4 \pi r^{2}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\gamma Q_{0} \mathrm{e}^{-t / \tau}}{\varepsilon} \frac{r^{3}}{a_{1}^{3}} & \left(0<r<a_{1}\right), \\
\frac{\gamma Q_{0} \mathrm{e}^{-t / \tau}}{\varepsilon} & \left(a_{1}<r<a_{2}\right), \\
0 & \left(a_{2}<r<\infty\right) .
\end{array}\right.
\]

Таким образом, полный ток в области $0<r<a_{1}$ возрастает с увеличением радиуса. Это обусловлено тем, что каждая точка этого объема является источником тока проводимости. В. области $a_{1}<r<a_{2}$ источников тока проводимости нет и поэтому полный ток, проходящий через сферическую поверхность, не зависит от радиуса.
$Э$ лектрическая индукция. Если нейтральный проводник помещается во внешнее электрическое поле, то поверхностные заряды на проводнике перераспределяются так, что создаваемое ими внутри проводника поле полностью компенсирует внешнее поле, в результате чего суммарная напряженность по.т внутри проводника равна нулю. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике при его помецении во внешнее электрическое поле называется электрической индукцией. Если проводник заряжен, то под влиянием внешнего поля происходит также перераспределение и заряда проводника.
Поле вблизи поверхности проводника. Выделим на поверхности проводника элемент поверхности $\Delta S$ и построим прямой цилиндр высотой $h$, пересекающий поверхность (рис. 48). Применим к этому цилиндру теорему Гаусса:
\[
\int_{S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=Q / \varepsilon_{0}
\]

где $S$ – поверхность цилиндра, $Q$ – заряд в объеме цилиндра.
Внутри цилиндра заряд имеется только на поверхности проводника и характеризуется поверхностной плотностью $\sigma$ и, следовательно, $Q=\sigma S$. Внутри проводника поле равно нулю и поэтому поток $\mathbf{E}$ через часть поверхности цилиндра, находящуюся в объеме проводника, равен нулю. Поток через часть поверхности цилиндра, находящуюся вне проводника, слагается из потоков через основание цилиндра и его боковую поверхность. В пределе высоту $h$ цилиндра возьмем сколь угодно малой $(h \rightarrow 0)$, следовательно, и площадь боковой поверхности цилиндра и поток $\mathbf{E}$ через боковую поверхность будут сколь угодно малыми. Поэтому в пределе $h \rightarrow 0$ останется лишь поток через основание цилиндра:
\[
\int_{\Delta S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=E_{n} \Delta S,
\]

где $E_{n}$ – нормальная компонента E. Напомним, что положительным направлением нормали в теореме Гаусса считается внешняя нормаль к замкнутой поверхности. В рассматриваемом случае это означает, что положительная нормаль направлена во внешнюю сторону от поверхности проводника. При $h \rightarrow 0$ с учетом (16.10) равенство (16.9) принимает вид
\[
E_{n} \Delta S=\sigma \Delta S / \varepsilon_{0},
\]

откуда
\[
E_{n}=\sigma / \varepsilon_{0} \text {. }
\]

Таким образом, нормальная компонента напряженности поля у поверхности проводника однозначно определяется поверхностной плотностью зарядов.

Теперь возникает вопрос о тангенциальной компоненте напряженности поля. Покажем, что она должна быть равна нулю исходя из невозможности существования вечного двигателя. Рассмотрим замкнутый контур $L$, пересекающий поверхность проводника, верхняя часть которого идет параллельно поверхности вне проводника, а внутренняя часть – внутри проводника (рис. 49). Внутри проводника напряженность $\mathbf{E}$ поля равна нулю, а следовательно, отсутствует и тангенциальная компонента поля. Допустим, что вне проводника тангенциальная компонента поля не равна нулю. Возьмем положительный заряд и будем перемещать его по замкнутому контуру в направлении, указанном на рис. 49 стрелками. На участке $A B$ поле совершает положительную работу. Участок $B C$ в пределе может быть сделан сколь угодно малым, поскольку участки $A B$ и $C D$ расположены сколь угодно близко к поверхности проводника. Следовательно,
48
К выводу формулы для нормальной составляющей напряхенности электрического поля вблн зи поверхности проводниха
49
К доказательству отсутствия тангенциальной составляющей напряженности электрического поля вне проводника
50
Механизм образования поля вблизи поверхностн проводника
перемещение на участке $B C$ связано с работой, которая может быть сделана сколь угодно малой. Для перемещения заряда на участке $C D$ никакой работы не затрачивается, поскольку поле внутри проводника отсутствует. Работа, связанная с перемещением заряда на участке $D A$, так же, как и на участке $B C$, может быть сделана сколь угодно малой. Таким образом, в результате перемещения заряда по замкнутому контуру электрическое поле произведет положительную работу и больше в системе никаких изменений не произойдет. Можно повторить этот цикл и получить еще раз такую же работу и т. д. Таким образом, осуществлен вечный двигатель первого рода, что невозможно. Этот вечный двигатель совершает работу за счет тангенциальной компоненты напряженности электрического поля вблизи поверхности проводника. Следовательно, эта компонента должна быть равна нулю. Другими словами, равенство нулю тангенциальной компоненты электрического поля у поверхности проводника является следствием потенциальности электростатического поля и отсутствия поля внутри проводника.
Равенство
\[
E_{\mathrm{q}}=0
\]

означает, что напряженность электрического поля вблизи поверхности проводника направлена по перпендикуляру к поверхности и равна $\sigma / \varepsilon_{0}$ [см. (16.12)].
Механизм образования поля вблизи поверхности проводника. Единственными источниками электрического поля в электростатике являются заряды. Поэтому поле вблизи поверхности проводника создается всеми поверхностными зарядами данного проводника и всеми зарядами, находящимися вне проводника. Выделим бесконечно малый элемент $\Delta S$ поверхности проводника (рис. 50). Напряженность Е поля вблизи поверхности проводника состоит из двух частей: напряженности $\mathbf{E}_{1}$ поля, создаваемого зарядами, находящимися на элементе $\Delta S$, напряженности $\mathbf{E}_{2}$ поля, создаваемого всеми остальными зарядами вне элемента $\Delta S$. Ясно,’что заряды элемента поверхности $\Delta S$ создают поле с обеих сторон элемента. Поскольку обе стороны элемента $\Delta S$ эквивалентны, можно заключить, что векторы $\mathbf{E}_{1}$ и $\mathbf{E}_{1}^{\prime}$ противоположно иаправлены и равны по модулю $\left|\mathbf{E}_{1}\right|=\left|\mathbf{E}_{1}^{\prime}\right|$. Поле $\mathbf{E}_{2}$ создается всеми зарядами, находящимися вне элемента $\Delta S$. Ясно, что эти заряды создают не только напряженность $\mathbf{E}_{2}$ вне проводника, но и напряженность $\mathbf{E}_{2}^{\prime}$ внутри проводника. Поскольку это есть электрическое поле в пространстве вне зарядов, которые его создают, оно должно быть непрерывным, и, следовательно, $\mathbf{E}_{2}=\mathbf{E}_{2}^{\prime}$. Напряженность полного поля внутри проводника равна нулю, т.е. $\mathbf{E}^{\prime}=\mathbf{E}_{1}^{\prime}+\mathbf{E}_{2}^{\prime}=0$. Отсюда следует, что $\mathbf{E}_{1}^{\prime}=-\mathbf{E}_{2}^{\prime}$. Учитывая также равенство $\left|\mathbf{E}_{1}\right|=\left|\mathbf{E}_{1}^{\prime}\right|$, заключаем, что $\left|\mathbf{E}_{1}\right|=\left|\mathbf{E}_{2}\right|$.
Отсюда следует
\[
\mathbf{E}_{1}=\mathbf{E}_{2}=1 / 2 \mathrm{E} \text {, }
\]
т. е. напряженность поля вблизи поверхности проводника состоит из двух равных частей: одна часть создается поверхностными зарядами прилегаючего элемента поверхности, а другая – всеми остальными зарядами, лежацими вне этого элемента поверхности. 3 ависимость поверхностной плотности зарядов от кривизны поверхности. Заряд по поверхности проводника распределяется неравномерно, поверхностная плотность заряда зависит от кривизны поверхности. Чтобы в этом убедиться, проанализируем распределение напряженности поля вблизи некоторого элемента поверхности (рис. 51). В случае малой кривизны поверхности (рис. 51,a) находящиеся вне $\mathrm{d} S$ заряды создают вблизи этого элемента малую нормальную составляющую напряженности $\mathbf{E}_{2}^{\prime}$. Следовательно, для ее компенсации заряды, находящиеся на элементе поверхности, должны создать сравнительно малую напряженность поля $\mathbf{E}_{1}^{\prime}=-\mathbf{E}_{2}^{\prime}$. В соответствии с формулами (16.14) и (16.12) заключаем, что на этом элементе поверхностная плотность заряда должна быть сравнительно малой, равной $\sigma=2 \varepsilon_{0} E_{1}^{\prime}$. Если же кривизна поверхности вблизи рассматриваемого элемента велика, то напряженность $\mathbf{E}_{2}^{\prime}$, создаваемая зарядами, находящимися вне элемента $\Delta S$ поверхности, велика и соответственно должна быть значительно больше напряженность, создаваемая зарядами, лежацими на элементе поверхности. А это означает, что поверхностная плотность зарядов на этом элементе должна быть больше. Таким образом, можно заключить, что поверхностная плотность зарядов увеличивается с ростом кривизны поверхности, т. е. увеличивается с уменьшением радиуса кривизны.

C помощью аналогичных рассуждений можно убедиться, что на вогнутой внутрь проводника поверхности плотность заряда уменьшается.

Увеличение поверхностной плотности заряда на вышуклых поверхностях особенно иаглядно проявляется в стекании заряда с Электрическое сегнерово колесо острия.
51
Зависимость поверхностной плотности заряда от кривизны поверхности
52
Стекание зарядов с острия
Стекание зарядов с острия
текание заря’ха с острия. Рассмотрим, что происходит вблизи острия заряженного проводника (рис. 52). Напряженность Е вблизи острия очень велика. В окружающем воздухе имеются заряды (ионы, электроны), на которые в поле с напряженностью $\mathbf{E}$ действует сила. В соответствии с третьим законом Ньютона равная, но противоположно направленная сила действует на заряды острия. Поэтому в результате взаимодействия заряды в воздухе вблизи острия и острие получают равные, но противоположно направленные импульсы. Заряды в воздухе, которые под влиянием действующей на них силы движутся к острию, при попадании на острие передают ему свой импульс и заряд. Этот импульс равен по модулю импульсу, полученному острием в результате взаимодействия с соответствующим зарядом, но имеет противоположное направление. Следовательно, в результате попадания зарядов на острие эти импульсы взаимно компенсируются и итоговый результат взаимодействия равен нулю.

Таким образом, взаимодействие зарядов острия с разноименными зарядами окружаючего воздуха не приводит к возникновению какой-либо силы, действующей на острие.

По-другому обстоит дело для одноименных зарядов: сила, действующая на заряды острия, все время направлена в сторону проводника (на рис. 41 эта сила обозначена $-\mathbf{F}_{+}$). Если острие заряжено положительно, то отрицательные заряды, попадающие на острие, как это изображено на рис. 41, нейтрализуют соответствующие положительные заряды. Это выглядит так, как будто бы положительные заряды покидают острие, или, как говорят, стекают с острия. Сила – $\mathbf{F}_{+}$, действующая при этом на острие, эквивалентна реактивной силе отдачи, возникающей в результате стекания зарядов с острия. Если острие заряжено отрицательно, то электроны покидают его фактически, т.е. фактически стекают с острия. Механизм возникновения «реактивной силы» в этом случае совершенно аналогичен описанному выше.

Это означает, что «реактивная сила» возникает не только в момент «старта» электронов с поверхности проводника, но и во все последующие моменты времени, когда электрон ускоряется полем зарядов, оставшихся на острие.

Эффектной демонстрацией наличия «реактивной силы» вследствие стекания заряда с острия является вращение электрического сегнерова колеса (рис. 53). Пунктирными стрелками показано направление стекания зарядов, в результате чего возникает «реактивная сила» и горизонтальный отрезок проводника приходит в быстрое вращение вокруг вертикальной оси.
Электроскопы и электрометры. Наиболее простым прибором для обнаружения электрических зарядов является вертикальный металлический стержень или пластинка, к которому одним концом прикреплена легкая проводящая фольга или стрелка (рис. 54). При отсутствии заряда на металлическом стержне и фольге (стрелке) последняя висит вертикально, параллельно стержню. При наличии заряда силы отталкивания между одноименными зарядами на стержне и фольге (стрелке) отклоняют фольгу от вертикального положения на некоторый угол. Таким образом, прибор может служить индикатором наличия заряда – электроскопом. Угол отклонения стрелки от вертикали тем больше, чем больше заряд стержня. Это позволяет проградуировать электроскоп и по углу отклонения определять количество электричества на нем. Такой приспособленный для количественных измерений электроскоп называется электрометром. Заряд зависит от потенциала стержня и стрелки. Поэтому с помощью электрометра можно измерять разности потенциалов. Электрометр заключен в корпус (рис. 54).

Зависимость поверхностной плотности заряда от кривизны поверхности проводника демонстрируется с помощью электрометра следующим образом. Небольшим проводящим шариком, закрепленным на непроводящей ручке, касаются соответствующего участка поверхности проводника (рис. 55). При этом на шарике образуется тем больший заряд, чем больше поверхностная плотность заряда на той части поверхности проводника, в соприкосновении с которой находится шарик. После этого шарик отделяется от поверхности проводника и приводится в соприкосновение со стержнем электрометра. На электрометр при этом переходит тем больше заряда, чем его было больше на шарике. Поэтому по отклонению стрелки можно судить о поверхностной плотности заряда того участка поверхности проводника, с ко́торой взят заряд, перенесенный на электрометр. По соотношению углов отклонения стрелки можно судить о соотношении поверхностных плотностей заряда на соответствующих участках поверхности проводника. В зависимости от кривизны поверхности поверхностная плотность заряда изменяется весьма значительно. Металлический экран. Механизм уничтожения поля внутри проводника распределением зарядов на его поверхности пока-
54
Схема электроскопа и электрометра
55
Демонстрацня зависимости плотностн поверхностного заряда на проводнике в зависимости от хривизны поверхности с помощью электрометра
Заряд, охруженный замкиугой проводящей оболочкой
58
Заземленная замкнутая оболочка экранирует внешнее пространство от зарядов внутри объ ема
зывает, что внутренние части проводника к нему не имеют никакого отношения и их можно удалить. В результате этого остается проводящая замкнутая оболочка (рис. 56). В пространстве, окруженном оболочкой, электрическое поле равно нулю. Замкнутал оболочка называется экраиом. Она экранирует внутреннее пространство от внешнего электрического поля. Экраны используются для защиты технических устройств от влияния внешних электрических полей. Обычно их изготовляют не из сплошного проводящего материала, а из сетки с мелкими ячейками. Как показывают опыт и расчет, экранирующая способность такой сетки чуть меньше сплошного экрана, но значительно меньше затраты материала и проще устройство экрана.
Экранирует ли замкнутая проводящая оболочка внешнее пространство от зарядов, находящихся внутри полости? Иначе говоря, проникает ли ноле зарядов, имеющихся в объеме, окруженном замкнутой проводящей оболочкой, во внешнее пространство? Да, проникает. Чтобы в этом убедиться, необходимо подробнее проанализировать ситуацию.
Пусть в объеме $V$ внутри полости распределен заряд
\[
Q=\int_{V} \rho \mathrm{d} V .
\]

По закону электростатической индукции на внутренней поверхности оболочки образуется заряд противоположного знака (рис. 57). Чтобы найти его значение, воспользуемся теоремой Гаусса, примененной к объему внутри замкнутой оболочки:
\[
\int_{S_{\text {внут }}} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho \mathrm{d} V,
\]

где $S_{\text {внут }}$ – внутренняя поверхность оболочки. Обозначая $\sigma$ – плотность поверхностного заряда на внутренней поверхности, для напряженности $\mathbf{E}$ поля вблизи поверхности [см. (16.12)] получаем

\[
\mathbf{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} \mathbf{n},
\]

где $\mathbf{n}$ – нормаль к внутренней поверхности оболочки, направленная внутрь объема, ограниченного оболочкой. Учтем, что dS в (16.16) направлен по внешней нормали к объему $V$, т. е. противоположно п, и, следовательно,
\[
\mathbf{n} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\mathrm{d} \boldsymbol{S} \cos (\widehat{\mathbf{n}, \mathrm{d} \mathbf{S}})=\mathrm{d} S \cos \pi=-\mathrm{d} S .
\]

Интеграл в левой части (16.16) с учетом (16.17) и (16.18) равен
\[
\int_{s_{\text {внут }}} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=-\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{S_{\text {внут }}} \sigma \mathrm{d} S .
\]

Тогда теорема Гаусса (16.16) принимает вид
\[
-\int_{S_{\text {внут }}} \sigma \mathrm{d} S=\int_{V} \rho \mathrm{d} V=Q \text {. }
\]

Следовательно, на внутренней поверхности оболочки образуется заряд, равный по абсолютному значению заряду внутри полости и противоположный ему по знаку.

Внутри оболочки напряженность поля равна нулю, поскольку оболочка является проводником. На внешней поверхности оболочки расположен заряд, знак которого противоположен знаку заряда на внутренней оболочке, а абсолютное значение по закону сохранения заряда равно абсолютному значению заряда на внутренней поверхности.

Для доказательства существования электрического поля во внешнем пространстве воспользуемся теоремой Гаусса. На рис. 57 пунктирной хривой изображена замкнутая поверхность, окружающая оболочку. Полный заряд в объеме, ограниченном этой замкнутой поверхностъю, равен заряду внутри полости, ограниченной оболочкой, поскольку заряд оболочки равен нулю. Следовательно, теорема Гаусса имеет вид
\[
\int_{\boldsymbol{S}} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho \mathrm{d} V=Q / \varepsilon_{0}
eq 0,
\]
т. е. напряженность $\mathbf{E}$ поля в окружающем оболочку внешнем пространстве не равна нулю.
«Заземлим» оболочку, т. е. соединим ее проводником с очень большим удаленным проводящим телом. Обычно таким телом является Земля (рис. 58). Для упрощения анализа представим это тело в виде бесконечной проводящей среды, заполняющей все пространство вне оболочки и соприкасающейся с оболочкой. Все заряды с внешней поверхности оболочки уйдут на бесконечность и останется лишь заряд внутри полости и заряд на внутренней поверхности оболочки. Напряженность поля внутри проводящей среды, окружающей оболочку, равна нулю. При этом роль среды сводится лишь к тому, чтобы обеспечить удаление заряда с внешней поверхности оболочки на бесконечность. Поэтому роль областей среды на конечном расстоянии от оболочки может выполнить тонкий проволочный проводник, который обеспечивает возможность обмена зарядом между оболочкой и достаточно удаленными областями среды. Ясно, что после удаления проводящей среды из области, окружающей оболочку, напряженность поля в точка: области по-прежнему равна нулю. Таким образом, заземленная замкнутая оболочка экранирует внешнее пространство от зарядов, находяцихся в объеме, окруженном этой оболочкой. Незаземленная оболочка такой экранировки не создает.
Потенциал проводника. Из равенства нулю напряженности $\mathbf{E}$ поля внутри проводника следует, что во всех точках проводника потенциал имеет одно и то же значение, т. е. разность потенциалов между точками 1 и 2 проводника [см. (14.28)] равна
\[
\varphi(2)-\varphi(1)=\int_{(1)}^{(2)} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=0 .
\]

Одинаковое во всех точках проводника значение потенциала называется потенциалом проводника.

Пусть имеется изолированный заряженный проводник. В окружающем проводник пространстве имеется электрическое поле, создаваемое зарядом проводника. Будем нормировать потенциал на нуль в бесконечности. Тогда [см. (14.29)] потенциал проводника может быть выражен формулой
\[
\varphi=\int_{\left(\begin{array}{c}
\text { поверхность } \\
\text { проводннха }
\end{array}\right)}^{\infty} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} .
\]

В формуле (16.23) путь интегрирования начинается в любой точке проводника и заканчивается на бесконечности.
Емкость уединенного проводника. От чего зависит потенциал уединенного проводника? Из формулы (16.23) видно, что по принципу суперпозиции потенциал должен быть прямо пропорционален заряду, поскольку Е в подынтегральном выражении (16.23) прямо пропорциональна заряду. Далее очевидно, что потенциал зависит от размеров и формы проводника, которые учитываются его емкостью.

Емкостью проводника называется отношение заряда $Q$ уединенного проводника к его потенциалу $\varphi$ :
Емкость проводника выражается в фарадах (Ф). И3 (16.24) находим:
\[
1 \Phi=1 \mathrm{Kл} / \mathrm{B} \text {. }
\]

В системе СГС емкость выражается в сантиметрах, а формула для емкости совпадает с (16.24). Поскольку 1 В $=(1 / 300)$ СГС, 1 Кл= $=3 \cdot 10^{9}$ ед. СГС, из (16.24) следует, что
$1 \Phi=9 \cdot 10^{11} \mathrm{~cm}$.

Фарад является очень большой единицей. Вычислим, например, емкость шара, радиус которого $R$, а заряд $Q$. Поскольку напряженность поля такого шара в окружающем его пространсгве равна
\[
\mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r},
\]

то потенциал и емкость выражаются формулами:
$\varphi=\int_{R}^{\infty} E \mathrm{~d} r=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{R}$,
$C=Q / \varphi=4 \pi \varepsilon_{0} R$.
При радиусе шара 1 см находим

C $=10^{-2} /\left(9 \cdot 10^{9}\right) \approx 10^{-12} \Phi$.
Поэтому емкость обычно выражают в дольных единицах.

Система проводников. Если имеется несколько проводников, то потенциал каждого из них зависит не только от заряда проводника, но и от напряженностей полей, создаваемых другими проводниками, или, другими словами, от зарядов других проводников, причем по принципу суперпозиции он прямо пропорционален этим зарядам.

Рассмотрим для определенности два проводника (рис. 59). На основании сказанного можно написать
$\varphi_{1}=\alpha_{11} Q_{1}+\alpha_{12} Q_{2}, \varphi_{2}=\alpha_{21} Q_{1}+\alpha_{22} Q_{2}$,
где $\alpha_{i}$, потенциальные коэффициенты, зависящие от формы и размеров проводников и от их взаимного расположения. Теоретическое вычисление этих коэффициентов является сложной математической задачей. Обычно они определяются опытным путем.

Потенциальные коэффициенты не являются независимыми друг от друга. В этом можно убедиться следующим образом. Пусть: $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ – поверхностные плотности зарядов; $r_{11}$ – расстояние от элемента интегрирования $d S_{1}$ на поверхности первого проводника до некоторой фиксированной точки внутри него; $r_{12}$ – расстояние от элемента поверхности $\mathrm{dS}_{2}$ второго проводника до той же точки. Тогда потенциалы первого и второго проводников равны (смысл $r_{22}$ и $r_{21}$ аналогичен $r_{11}$ и $r_{12}$ ):
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S_{1}} \frac{\sigma_{1} \mathrm{~d} S_{1}}{r_{11}}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S_{2}} \frac{\sigma_{2} \mathrm{~d} S_{2}}{r_{12}}, \\
\varphi_{2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S_{2}} \frac{\sigma_{2} \mathrm{~d} S_{2}}{r_{22}}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S_{1}} \frac{\sigma_{1} \mathrm{~d} S_{1}}{r_{21}},
\end{array}
\]

Заряды проводников равны:
\[
Q_{1}=\int_{S_{1}} \sigma_{1} \mathrm{~d} S_{1}, Q_{2}=\int_{S_{2}} \sigma_{2} \mathrm{~d} S_{2} .
\]

Предположим, что заряды проводников изменились:
\[
Q_{1}^{\prime}=\int_{S_{1}} \sigma_{1}^{\prime} \mathrm{d} S_{1}, Q_{2}^{\prime}=\int_{S_{2}} \sigma_{2}^{\prime} \mathrm{d} S_{2} .
\]

Умножим обе части (16.32) на $Q_{1}^{\prime}$, а (16.33) на $Q_{2}^{\prime}$ и сложим почленно полученные равенства:
\[
\begin{array}{l}
Q_{1}^{\prime} \varphi_{1}+Q_{2}^{\prime} \varphi_{2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S_{1}} \sigma_{1}^{\prime} \mathrm{d} S_{1} \int_{S_{1}} \frac{\sigma_{1} \mathrm{~d} S_{1}}{r_{11}}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S_{1}} \sigma_{1}^{\prime} \mathrm{d} S_{1} \int_{S_{2}} \frac{\sigma_{2} \mathrm{~d} S_{2}}{r_{12}}+ \\
+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S_{2}} \sigma_{2}^{\prime} \mathrm{d} S_{2} \int \frac{\sigma_{1} \mathrm{~d} S_{2}}{r_{22}}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S_{2}} \sigma_{2}^{\prime} \mathrm{d} S_{2} \int_{S_{1}} \frac{\sigma_{1} \mathrm{~d} S_{1}}{r_{21}}= \\
=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S_{1}} \sigma_{1} \mathrm{~d} S_{1} \int_{S_{1}} \frac{\sigma_{1}^{\prime} \mathrm{d} S_{1}}{r_{11}}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S_{2}} \sigma_{2} \mathrm{~d} S_{2} \int_{S_{1}} \frac{\sigma_{1}^{\prime} \mathrm{d} S_{1}}{r_{12}}+ \\
+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S_{2}} \sigma_{2} \mathrm{~d} S_{2} \int_{S_{2}} \frac{\sigma_{2}^{\prime} \mathrm{d} S_{2}}{r_{22}}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S_{1}} \sigma_{1} \mathrm{~d} S_{1} \int_{S_{2}} \frac{\sigma_{2}^{\prime} \mathrm{d} S_{2}}{r_{21}}=Q_{1} \varphi_{1}^{\prime}+Q_{2} \varphi_{2}^{\prime},
\end{array}
\]

где порядок интегрирования изменен, поскольку интегрирование проводится по разным независимым переменным. Величины $\varphi_{1}^{\prime}$ и $\varphi_{2}^{\prime}$ являются потенциалами проводников, когда заряды их равны $Q_{1}^{\prime}$ и $Q_{2}^{\prime}$. Полученное в (16.36) соотношение

называется теоремой взанмности. Из нее получается условие, которому удовлетворяют потенциальные коэффициенты $\alpha_{i j}$.

Если заряд второго проводника равен нулю $\left(Q_{2}=0, Q_{1}
eq 0\right)$, то [см. (16.31)]
\[
\varphi_{1}=\alpha_{11} Q_{1}, \varphi_{2}=\alpha_{21} Q_{1} \text {. }
\]

Если заряд первого проводника равен нулю $\left(Q_{1}^{\prime}=0, Q_{2}^{\prime}
eq 0\right)$, то [cM. (16.31)]
\[
\varphi_{1}^{\prime}=\alpha_{12} Q_{2}^{\prime}, \varphi_{2}^{\prime}=\alpha_{22} Q_{2}^{\prime} \text {. }
\]

Теорема взаимности (16.37) для этих двух случаев принимает вид $Q_{2}^{\prime} \varphi_{2}=Q_{1} \varphi_{1}^{\prime}$.

Подставляя в (16.40) выражения $\varphi_{2}$ и $\varphi_{1}^{\prime}$ [см. (16.38) и (16.39)] и сокращая обе части полученного равенства на общий множитель $Q_{2}^{\prime} Q_{1}$, находим
\[
\alpha_{12}=\alpha_{21} \text {, }
\]
т. е. потенциальные коэффициенты симметричны относительно своих индексов.
Все вычисления нетрудно провести для любого числа проводников, записав исходные соотношения (16.31) для $n$ проводников в виде
\[
\varphi_{i}=\sum_{j=1}^{n} \alpha_{i j} Q_{j} .
\]

Все дальнейшие вычисления аналогичны вычислениям от (16.32) до (16.37) и вместо (16.37) приводят к следующей формуле, выражающей теорему взаимности в общем случае:
\[
\sum_{i=1}^{n} Q_{i}^{\prime} \varphi_{i}=\sum_{i=1}^{n} Q_{i} \varphi_{i}^{\prime}
\]

Из (16.43) вместо (16.41) получается общее условие симметрии потенциальных коэффициентов:
\[
\alpha_{i j}=\alpha_{j i} \text {. }
\]

Система уравнений (16.42) может быть решена относительно $Q_{1}$ :
\[
Q_{i}=\sum_{j=1}^{n} C_{i j} \varphi_{j} \text {. }
\]

Здесь $C_{i j}=A_{i j} / D$, где $D$ – детерминант из коэффициентов системы уравнений (16.42), $A_{i j}$ – дополнение элемента $\alpha_{i j}$ в этом детерминанте. На основании (16.44) заключаем, что коэффициенты $C_{i j}$ удовлетворяют условию
\[
C_{i j}=C_{j i},
\]

где $C_{i j}$ – емкостные коэффициенты, $C_{i i}$ – емкостной коэффициент $i$-го проводника, а $C_{i j}$ – емкостной коэффициент между $i$-м и $j$-м проводниками. Емкостной коэффициент уединенного проводника называется просто емкостью проводника.

Поскольку положительный заряд на уединенном проводнике создает положительный потенциал, можно заключить, что все емкостные коэффициенты с одинаковыми индексами ( $C_{11}, C_{22}, \ldots$ ) положительны. Чтобы в этом убедиться, заземлим все проводники, за исключением $i$-го, а на $i$-м проводнике оставим положительный заряд, т.е. будем считать, что $Q_{i}>0$. Тогда, очевидно, $\varphi_{i}>0$ и $\varphi_{j}=0$ при $j
eq i$. Следовательно, уравнение (16.45) для $Q$ принимает вид
\[
\boldsymbol{Q}_{\boldsymbol{i}}=C_{i i} \varphi_{i} \text {. }
\]

Так как $\varphi_{i}>0$ и $Q_{i}>0$, то $C_{i t}>0$, что и требовалось доказать.
Аналогично можно доказать, что емкостные коэффициенты с различными индексами не могут быть положительными – они либо отричательны, либо равны нулю. Рассмотрим, например, два проводника, из которых один заземлен, а другой изолирован и заряжен положительно. Этот положительный заряд вследствие явления электростатической индукции наведет на заземленном проводнике отрицательный заряд. Формула (16.45) для заряда на втором проводнике принимает вид
\[
Q_{2}=C_{21} \varphi_{1} .
\]

К нахождению емхостных хоэффициентов в случае двух сфер
К вычислению емкостных коэффициентов двух проводящих шаpoв
Енкость уединенного проводника зависит только от его форны и разнеров. Потенциальные и емкостные козффициенты зависят только от геометрических характ еристик проводников и их взаинного расположения.
Енкостные козффициенты с одинаковыми индексами всегда положительны, а с разпичными – либо равны нулю, либо отрицательны.
Так как $Q_{2}<0, \varphi_{1}>0$, то $C_{21}<0$. Такой вывод не исключает возможности, что коэффициент может быть равным нулю, но этот коэффициент безусловно не может быть положительным.
Рассмотрим три проводящие сферы (рис. 60). Их потенциалы и заряды обозначим соответственно $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}$ и $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$. Для определения $C_{i j}$ имеем уравнения (16.45), которые в данном случае принимают вид:
\[
\begin{array}{l}
Q_{1}=C_{11} \varphi_{1}+C_{12} \varphi_{2}+C_{13} \varphi_{3}, \\
Q_{2}=C_{21} \varphi_{1}+C_{22} \varphi_{2}+C_{23} \varphi_{3}, \\
Q_{3}=C_{31} \varphi_{1}+C_{32} \varphi_{2}+C_{33} \varphi_{3} .
\end{array}
\]

Чтобы определить коэффициенты $C_{i j}$, необходимо иметь достаточное число уравнений (16.49) с известными $Q_{i}$ и $\varphi_{i}$, из которых вычисляются $C_{i j}$.

Предположим, что $Q_{3}=0$ и вторая сфера заземлена. При этом $\varphi_{3}=\varphi_{2}=0$ и уравнения (16.49) принимают вид:
\[
Q_{1}=C_{11} \varphi_{1}, Q_{2}=C_{21} \varphi_{1}, 0=C_{31} \varphi_{1} .
\]

Тогда $\quad C_{31}=C_{13}=0$, т. е. емкостной коэффициент между заэкраннрованными проводниками равен нулю.

Предположим, что первая и вторая сферы заземлены, т. е. $\varphi_{1}=0, \varphi_{2}=0$, но заряд $Q_{3}
eq 0$. Уравнения (16.49) в этом случае принимают вид:
$Q_{1}=0, Q_{2}=C_{23} \varphi_{3}, Q_{3}=C_{33} \varphi_{3}$.
Как было показано, на внутренней поверхности заземленной проводящей оболочки индуцируется заряд, равный по абсолютному значению заряду в полости ограничиваемой оболочкой, но противоположный ему по знаку, т. е. $Q_{2}=-Q_{3}$. Из уравнений (16.51) получаем
$C_{23}=-C_{33}$.
Таким образом, емкостной коэффициент между двумя проводниками, один из которых полностью окружает другой, равен взятому с обратным знаком емкостному коэффициенту внутреннего проводника, что играет важную роль для конденсаторов.
Предположим, что имеются два шара, расположенных на большом по сравнению с их радиусами $a$ расстоянии $r$ друг от друга (рис. 61). Обозначим: $a$ – радиусы шаров и $r$-расстояние между их центрами. Поскольку $a \ll r$, можно для расчета напряженности поля вдали от шаров пренебречь перераспределением зарядов на шарах из-за их взаимной электростатической индукции. Тогда формулы для потенциалов шаров принимают вид:
$\varphi_{1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{Q_{1}}{a}+\frac{Q_{2}}{r}\right), \varphi_{2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{Q_{1}}{r}+\frac{Q_{2}}{a}\right)$,
где $Q_{1}$ и $Q_{2}$ – заряды первого и второго шаров. Уравнения можно решить относительно $Q_{1}$ и $Q_{2}$ :
$Q_{1}=4 \pi \varepsilon_{0} \frac{a r^{2}}{r^{2}-a^{2}} \varphi_{1}-4 \pi \varepsilon_{0} \frac{a^{2} r}{r^{2}-a^{2}} \varphi_{2}$,
\[
\boldsymbol{Q}_{2}=-4 \pi \varepsilon_{0} \frac{r a^{2}}{r^{2}-a^{2}} \varphi_{1}+4 \pi \varepsilon_{0} \frac{r^{2} a}{r^{2}-a^{2}} \varphi_{2} .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{C}_{11}=C_{22}=4 \pi \varepsilon_{0} \frac{a r^{2}}{r^{2}-a^{2}}=C>0, \\
\boldsymbol{C}_{12}=C_{21}=-4 \pi \varepsilon_{0} \frac{r a^{2}}{r^{2}-a^{2}}=\gamma<0 .
\end{array}
\]

Представим (16.54) с учетом (16.55) и (16.56) в виде:
\[
\boldsymbol{Q}_{1}=C \varphi_{1}+\gamma \varphi_{2}, Q_{2}=\gamma \varphi_{1}+C \varphi_{2} \text {. }
\]

При $r \rightarrow \infty$ получаем $C_{11}=C_{22}=4 \pi \varepsilon_{0} a, C_{12}=C_{21}=0$, т. е. электрическая связь между шарами прекращается и каждый из них ведет себя как изолированный проводник, а коэффициент емкости каждого из шаров становится просто емкостью изолированного шара.
Рассмотрим теперь типичную задачу.
Напомним, что емкостные коэффициенты при неизменной конфигурации проводников и их взаимного положения постоянны, независимо от изменения их зарядов и потенциалов. Поэтому надо рассмотреть столько различных ситуаций, сколько имеется неизвестных емкостных коэффициентов, и решить систему уравнений.

Пусть шарам сообщаются некоторые заряды, в результате чего их потенциалы будут равны $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$. После этого второй шар заземляется. Чему равны заряды и потенциалы шаров после заземления?

До заземления заряды и потенциалы шаров связаны уравнениями (16.57). Поскольку потенциалы известны, заряды могут быть вычислены по этим формулам. После заземления второго шара его потенциал равен нулю ( $\varphi_{2}^{\prime}=0$ ), а заряд $Q_{2}^{\prime}$ неизвестен; заряд первого шара по-прежнему равен $Q_{1}^{\prime}=Q_{1}$, поскольку он изолирован. Потенциал $\varphi_{1}^{\prime}$ неизвестен. Запишем уравнения (16.57) для случая, когда второй шар заземлен:
\[
Q_{1}^{\prime}=C \varphi_{1}^{\prime}, Q_{2}^{\prime}=\gamma \varphi_{1}^{\prime}, Q_{1}^{\prime}=Q_{1} .
\]

Решение этих уравнений:
\[
\varphi_{1}^{\prime}=\frac{Q_{1}}{C}=\frac{C \varphi_{1}+\gamma \varphi_{2}}{C}=\varphi_{1}+\frac{\gamma}{C} \varphi_{2}, Q_{2}^{\prime}=\gamma \frac{Q_{1}}{C} .
\]

Из (16.55) и (16.56) следует, что
\[
\gamma / C=-a / r,
\]

поэтому выражения (16.59) принимают вид
\[
\varphi_{1}^{\prime}=\varphi_{1}-(a / r) \varphi_{2}, Q_{2}^{\prime}=-(a / r) Q_{1},
\]
т. е. после заземления второго шара потенциал первого шара изменяется на долю $a / r$ от потенциала второго шара, а на втором шаре остается индущированный заряд, равный доле $a / r$ от заряда первого шара и имеющий знак, противоположный знаку заряда первого шара.

Прервем заземление второго шара, заземлим после этого первый шар и определим потенциал второго шара и заряд первого.

Очевидно, что после заземления первого шара его потенциал будет равен нулю $\left(\varphi_{1}^{\prime \prime}=0\right)$, а заряд $Q_{1}^{\prime \prime}$ неизвестен. Поскольку второй шар изолирован, его заряд не изменяется при заземлении первого шара $\left(Q_{2}^{\prime \prime}=Q_{2}^{\prime}\right)$. Уравнения (16.57) после заземления первого шара имеют вид:
\[
Q_{1}^{\prime \prime}=\gamma \varphi_{2}^{\prime \prime}, Q_{2}^{\prime \prime}=C \varphi_{2}^{\prime \prime}, Q_{2}^{\prime \prime}=Q_{2}^{\prime},
\]

откуда
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{2}^{\prime \prime}=\frac{Q_{1}^{\prime}}{C}=-\frac{a}{r C} Q_{1}=-\frac{a}{r} \varphi_{1}+\left(\frac{a}{r}\right)^{2} \varphi_{2}, \\
Q_{1}^{\prime \prime}=\frac{\gamma}{C} Q_{2}^{\prime}=-\left(\frac{a}{r}\right)^{2} Q_{1} .
\end{array}
\]

Эти примеры иллюстрируют методы расчета емкостных коэффищиентов, зарядов и потенциалов при наличии нескольких проводников в электростатическом поле.

Конденсаторы. Конденсатором называется совокупность двух любых проводников с одинаковыми по абсолютному значению, но противоположными по знаку зарядами. Проводники называются обкладками конденсатора. Полагая в (16.31) $Q_{1}=Q, Q_{2}=-Q$, получаем $\varphi_{1}=Q\left(\alpha_{11}-\right.$ $\left.-\alpha_{12}\right), \varphi_{2}=Q\left(\alpha_{21}-\alpha_{22}\right)$. Тогда разность потенциалов между проводниками
\[
\Delta \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}=Q\left(\alpha_{11}+\alpha_{22}-\alpha_{12}-\alpha_{21}\right) .
\]

Это означает, что разность потенциалов между обкладками конденсатора пропорциональна заряду на обкладке и, следовательно, конденсатор характеризуется одним параметром, называемым емкостью. Емкость конденсатора определяется соотношением

Конденсаторы: общий случай (a), сферический (б), цнлиндрнческий (в), плоский (z) причем, по определению, емкость считается положительной величиной, т. е. в (16.64) как $Q$, так и $\Delta \varphi$ должны иметь одинаковый знак. Сравнение (16.64б) с (16.64a) показывает, что емкость конденсатора выражается через потенциальные коэффициенты формулой
\[
C=\left(\alpha_{11}+\alpha_{22}-2 \alpha_{12}\right)^{-1} \text {, }
\]

где $\alpha_{12}=\alpha_{21}$. Поскольку $\alpha_{12}$ и $\alpha_{21}$ отрицательны, емкость $C$ в (16.64в) всегда положительна [см. (16.64б)]. Принимая во внимание смысл потенциальных коэффициентов из (16.64в), заключаем, что емкость конденсатора зависит только от геометрических характеристик обкладок конденсатора и их взаимного расположения.

Исходя из (16.45) и пользуясь определением (16.64б), получаем выражение емкости конденсатора через емкостные коэффициенты:
\[
\mathrm{C}=\frac{C_{11} C_{22}-C_{12}^{2}}{C_{11}+C_{22}+2 C_{12}} .
\]

в большинстве случаев форма обкладок конденсатора и их взаимное расположение подбирают таким образом, чтобы внешние поля не влияли существенно на электрическое поле между ними, и силовые линии, начинающиеся на одной из обкладок, обязательно заканчивались на другой. Благодаря этому всегда обеспечивается равенство абсолютных значений зарядов на обкладках.

Конденсатор может быть представлен в виде проводника, помещенного в полости, окруженной замкнутой оболочкой (рис. 62,a). Если внутренний проводник является шаром или сферой, а замкнутая оболочка – концентрическая ему сфера, то конденсатор называется сферическим (рис. 62,б). Если внутренний проводник – прямой сплошной цилиндр, а оболочка – полый прямой цилиндр, коаксиальный внутреннему, то конденсатор называется цилиндрическим (рис. 62,s). Совокупность двух параллельных плоских проводящих пластин является плоским конденсатором (рис. 62, 2).
К вычислению напряженности поля сдвииутых друг относительно друга шаров
Вычисление емкости конденсатора сводится к определению разности потенциалов между обкладками конденсатора при известном заряде на обкладках. Например, если на внутренней обкладке сферического конденсатора имеется заряд $Q$, то напряженность поля между внутренней и внешней обкладками равна $E=Q /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}\right)$ и направлена по радиусу. Поэтому разность потенциалов между обкладками
$\varphi_{2}-\varphi_{1}=\int_{r_{1}}^{r_{2}} E \mathrm{~d} r=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{\mathrm{d} r}{r^{2}}=$
\[
=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right) \text {. }
\]

Отсюда по формуле (16.646) получаем, что емкость сферического конденсатора равна
\[
C=4 \pi \varepsilon_{0} r_{1} r_{2} /\left(r_{2}-r_{1}\right) \text {. }
\]

Аналогично находим емкости цилиндрического и плоского конденсаторов:
\[
C=2 \pi \varepsilon_{0} l / \ln \left(r_{2} / r_{1}\right), C=\varepsilon_{0} S / d .
\]

Определим емкость плоского конденсатора, площадь обкладок которого $1 \mathrm{~cm}^{2}=$ $=10^{-4} \mathrm{~m}^{2}$, а расстояние между обкладками $d=1 \mathrm{MM}=10^{-3} \mathrm{M}:$
$C=\frac{1}{4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{9}} \frac{10^{-4}}{10^{-3}} \Phi \approx 10^{-12} \Phi=1 \mathrm{n} \Phi$.
Конденсаторы можно соединять последовательно (рис. 63, a) и параллельно (рис. 63, б). При последовательном соединении складываются разности потенциалов, а при параллельном – заряды на обкладках.
При последовательном соединении
\[
\begin{array}{l}
U=U_{1}+U_{2}, U=Q / C, U_{1}=Q / C_{1}, \\
U_{2}=Q / C_{2},
\end{array}
\]

где $U$ – разность потенциалов между крайними обкладками конденсаторов; $U_{1}$ и $U_{2}$ разности потенциалов между обкладками каждого из конденсаторов; $Q$ – модуль заряда на каждой обкладке конденсаторов (модули заряда на всех обкладках конденсаторов равны); $C$ – емкость двух конденсаторов; $C_{1}$ и $C_{2}$ – емкости каждого из конденсаторов. Из (16.68) следует, что

Таким образом, при последовательном соединении складываются обратные значения емкостей.
При параллельном соединении
\[
Q=Q_{1}+Q_{2}, Q=U C, Q_{1}=U C_{1}, Q_{2}=U C_{2} .
\]

Тогда
т. е. при параллельном соединении складываются емкости конденсаторов.
Проводящий шар в однородном поле Напряженность поля, которое возникает в результате внесения проводящего шара во внешнее однородное электрическое поле, может быть найдена элементарными методами.

Прежде всего определим напряженность внутри однородно заряженного шара радиусом $R$ (рис. 64), который, конечно, не является проводником. Пусть объемная плотность заряда внутри шара равна $\rho$. Тогда в сферическом объеме радиусом $r<R$ находится заряд $Q_{r}=4 / 3 \pi r^{3} \rho$. Применяя к сферическому объему теорему Гаусса, получаем ( $\varepsilon_{0}-$ диэлектрическая проницаемость материала шара)
\[
E(r) 4 \pi r^{2}=Q_{r} / E_{0}=4 \pi r^{3} \rho /\left(3 \varepsilon_{0}\right)
\]

и, следовательно, напряженность поля внутри однородно заряженного шара в точке, характеризуемой радиус-вектором $\mathbf{r}$, равна
\[
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\left[\left(\rho /\left(3 \varepsilon_{0}\right)\right] \mathbf{r},\right.
\]

причем началом отсчета радиус-вектора является центр шара.
Теперь представим, что имеются два шара одинакового радиуса с одинаковой объемной плотностью заряда разных знаков (рис. 65). Допустим, что отрицательно заряженный шар сдвинут влево. Вектор, проведенный из его центра в центр другого шара, обозначим I. Найдем напряженность поля во внутренних точках шаров. Напряженности, создаваемые зарядом каждого из шаров, равны:
\[
\mathbf{E}_{(+)}=\left[|\rho| /\left(3 \varepsilon_{0}\right)\right] \mathbf{r}_{(+)}, \mathbf{E}_{(-)}=-\left[|\rho| /\left(3 \varepsilon_{0}\right)\right] \mathbf{r}_{(-)},
\]

где $\mathbf{E}_{\left.q_{+}\right)}$и $\mathbf{E}_{(-)}$- напряженности, создаваемые зарядами шаров соответствующего знака; $\mathbf{r}_{(+)}$и $\mathbf{r}_{(-)}$- радиус-векторы, проведенные в рассматриваемую точку из центров шаров с зарядами соответствующего знака. Суммарная напряженность равна
\[
\left.\mathbf{E}=\mathbf{E}_{(+)}+\mathbf{E}_{(-)}=\left[|\rho| /\left(3 \varepsilon_{0}\right)\right]\left(\mathbf{r}_{(+)}-\mathbf{r}_{(-)}\right)=-\left[|\rho| / 3 \varepsilon_{0}\right)\right] \mathbf{I},
\]

где
\[
\mathbf{r}_{(-)}=\mathbf{l}+\mathbf{r}_{(+)}
\]
(см. рис. 65). Таким образом, внутри шаров напряженность поля постоянна и направлена вдоль линии, соединяющей их центры.

В точках пересечения объемов шаров плотность заряда равна нулю, поскольку положительная и отрицательная плотности заряда взаимно компенсируют друг друга. Заряженными являются лишь непересекающиеся части шаров серповидной формы (см. рис. 65). Максимальная ширина этих серповидных областей, равная $l$, может быть сколь угодно малой.

Теперь представим, что проводящий шар помещен во внешнее однородное поле с напряженностью $\mathbf{E}_{0}$. Электростатическая индукция приведет к возникновению поверхностиых зарядов. Знаки этих зарядов и направление напряженности внешнего поля показаны на рис. 66. Внутри шара поле должно быть равным нулю, т. е. распределение поверхностных зарядов будет такое же, как на рис. 65 , а возникающее при этом поле внутри шаров компенсирует внешнее поле. Тогда [см. (16.75)]
\[
\left(|\rho| / 3 \varepsilon_{0}\right) \mathbf{I}=\mathbf{E}_{0} .
\]

Таким образом, центры воображаемых заряженных шаров сдвинуты друг относительно друга по линии напряженности внешнего поля. Поскольку I в (16.77) совпадает по направлению с $\mathbf{E}_{0}$, для скалярных величин можно написать
\[
|\rho| l=3 \varepsilon_{0} E_{0} \text {. }
\]

Очевидно, что сдвиг $l$ центров шаров может быть сколь угодно малым, если $|\rho|$ достаточно велико. Поэтому возникающие здесь заряды можно действительно считать поверхностными с изменяющейся поверхностной плотностью.

Найдем распределение поверхностной плотности заряда в зависимости от угла $\theta$. Расстояние между поверхностями шаров в направлении угла $\theta$ равно $\delta=l \cos \theta$ (рис. 65). Если объемный заряд между поверхностями шаров трактовать как поверхностный и обозначить его поверхностную плотность $\sigma$, то
\[
\sigma \Delta S=\rho \Delta S \delta,
\]

где слева стоит выражение для заряда, приходящегося на элемент поверхности $\Delta S$, через поверхностную плотность, а справа – через объемную. Следовательно [см. (16.78)],
\[
\sigma=\rho \delta=\rho l \cos \theta=3 \varepsilon_{0} E_{0} \cos \theta,
\]

где $\delta=l \cos \theta$.
Теперь можно найти напряженность поля у поверхности проводящего шара:
\[
E_{n}=\sigma / \varepsilon_{0}=3 E_{0} \cos \theta,
\]

откуда видно, что она изменяется от нуля до утроенного значения напряженности однородного поля. Конечно, во всех точках поверхности шара напряженность направлена по нормали к поверхности.

Вне шара на конечном расстоянии от его поверхности она равна сумме напряженностей внешнего поля и полей, создаваемых сдвинутыми друг относительно друга эаряженными шарами или, что то же самое, соответствующими поверхностными зарядами. Поле вне равномерно заряженного шара таково же, как если бы весь его заряд был сосредоточен в центре. Таким образом, необходимо найти напряженность поля двух разноименных точечных зарядов с одинаковым абсолютным значением, находящихся на небольшом расстоянии один от другого. Такая совокупность зарядов называется диполем (рис. 67). Вектор 1, проведенный от отрицательного заряда к положительному, называется плечом диполя. Вектор
\[
\mathbf{p}=q \mathbf{l}
\]

называется моментом диполя. В формуле (16.81) $q$-абсолютное значение каждого из зарядов диполя. Для определения напряженности поля вне проводящего шара необходимо найти напряженность поля диполя, заряды которого сосредоточены в центрах сдвинутых шаров. Из (16.77) следует, что момент диполя равен
\[
\mathbf{p}=4 / 3 \pi R^{3} \mathrm{\rho l}=4 \pi \varepsilon_{0} R^{3} \mathbf{E}_{0},
\]

где $R$ – радиус шара.
Поле диполя. Напряженность поля диполя слагается из напряженностей составляющих диполь зарядов. Плечо диполя сколь угодно мало и поэтому его можно считать много меньшим расстояния до точек, в которых вычисляется напряженность. Найдем потенциал диполя. В точке $P$ (рис. 68) потенциал, очевидно, выражается формулой
\[
\varphi(P)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r_{(+)}}-\frac{1}{r_{(-)}}\right)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{r_{(-)}-r_{(+)}}{r_{(+)} r_{(-)}}\right) .
\]

Так как $l \ll r$, то можно считать $r_{(-)}-$ $-r_{(+)} \approx l \cos \theta, \quad r_{(-)} r_{(+)} \approx r^{2}$ и характеризовать местоположение точки $P$ радиус-векто- $\overline{\mathrm{K} \text { вычислению поля диполя }}$

—————————————————————-
0048_fiz_ob_matveev_03_no_photo_page-0128.jpg.txt

128
2. Постоянное электрическое поле
ром r с началом в любой точке диполя, поскольку диполь имеет сколь угодно малые геометрические размеры.
Тогда [см. (16.83)]

где $q l \cos \theta=(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}) / r$, откуда
\[
\mathbf{E}=-\operatorname{grad} \varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{3(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^{5}}-\frac{\mathbf{p}}{r^{3}}\right] .
\]

Напряженность поля диполя убывает обратно пропорционально третьей степени расстояния, т. е. быстрее, чем напряженность кулоновского поля заряда. Силовые линии поля диполя изображены на рис. 69.

Формула (16.85) позволяет построить линии напряженности поля, когда проводящий шар помещен во внешнее однородное поле. В каждой точке напряженность равна сумме напряженности $\mathbf{E}_{0}$ однородного внешнего поля и напряженности $\mathbf{E}$, создаваемой индуцированными на поверхности проводящего шара зарядами. Линии напряженности этого поля изображены на рис. 66.

Метод изображений. При решении задачи о проводящем шаре во внешнем однородном поле было сделано одно предположение, справедливость которого не доказывалась, а именно: было построено некоторое поле, удовлетворяющее всем условиям задачи, и считалось, что другого поля, удовлетворяющего тем же условиям задачи, не существует, т. е. предполагалось, что решение задачи является единственным. Если бы это было не так, то найденное конкретиое решение не обязательно было бы тем решением, которое фактически реализуется. В теории электричества и магнетизма доказано, что решение задач, удовлетворяющее всем необходимым условиям, является единственным. Позднее будет рассмотрено, о каких всех условиях идет речь и как в общих чертах проводится доказательство этого утверждения, здесь же пока примем его справедливость без доказательства. Это позволяет найти решение задачи с помощью некоторых догадок или построений и на основании теоремы об единственности заключить, что найденное таким способом поле дает решение задачи. Примером удачной догадки является рассмотренное выше решение о проводящем шаре во внешнем однородном электрическом поле.

Существует наглядный метод построения поля, удовлетворяющего условиям задачи, называемый методом изображений. Его суть состоит в следующем. Поле точечного заряда хорошо известно. Стараются подобрать такую систему точечных зарядов, суммарное поле которых удовлетворяет всем усповиям задачи. Из теоремы об единственности решения заключаем, что это поле дает искомое решение. Математически задача сводится к нахождению потенциала, удовлетворяющего условиям задачи. Напряженность $\mathbf{E}$ направлена перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям и вычисляется как взятый с обратным знаком градиент от потенциала. Получить форму эквипотенциальных поверхностей системы точечных зарядов в принципе легко. Рассмотрим, например, поле двух положительных точечных зарядов $q$, расположенных на расстоянии $2 d$ друг от друга (рис. 70). Так как потенциал точечного заряда на расстоянии $r$ от него равен $\varphi=q /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r\right)$, то потенциал системы двух одинаковых точечных зарядов (см. рис. 70) в точке $(x, y, z)$ определяется выражением $\varphi(x, y, z)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{(x-d)^{2}+y^{2}+z^{2}}}+\right.$ $\left.+\frac{1}{\sqrt{\left(x+d^{2}\right)+y^{2}+z^{2}}}\right)$.

Из (16.86) получаем уравнение эквипотенциальных поверхностей:
$\frac{1}{\sqrt{(x-d)^{2}+y^{2}+z^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}+z^{2}}}=$ $=$ const.

Каждая из них характеризуется соответствующим потенциалом $\varphi_{1}=$ const, $\varphi_{2}=$ const.

На рис. 70 изображены линии пересечения плоскости $X Y$ с эквипотенциальными поверхностями. Сами эквипотенциальные поверхности получаются в результате вращения хартины, изображенной на рис. 70 , вокруг оси $X$.

Пусть проводящая изолированная поверхность совпадает с одной из эквипотенциальных поверхностей, потенциал которой $\varphi_{0}$. Если принять, что на этой поверхности находится заряд $2 q$, а ее потенциал равен $\varphi_{0}$, то система эквипотенциальных поверхностей и соответствующее ей поле полностью удовлетворяют условиям задачи о поле заряженной поверхности. Потенциал во всех внешних относительно поверхности точках определяется формулой (16.86). Таким образом, нахождение характеристик поля, созданного заряженным проводником, сзелось к
69
Силовые линии вблизи диполя
70
Эквипотенциальные поверхности двух одинаковых точечных зарядов
К нахождению эквипотенциальных поверхностей двух точечных зарядов разлнчной величины
73
К определению поля конденсатора с непараллеліьнымн пластинами
определению характеристик поля, двух одноименных равных точечных зарядов. В этом и состоит суть метода изображений. Происхождение названия метода станет очевидным из рассматриваемых ниже примеров.
Потенциал двух разноименных точечных зарядов определяется аналогично (16.86):
\[
\varphi=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{(x-d)^{2}+y^{2}+z^{2}}}-\right.
\]
\[
\left.-\frac{1}{\sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right) .
\]

Форма эквипотенциальных поверхностей в этом случае показана на рис. 71. Потенциал вдоль оси $Y$ равен нулю и, следовательно, он равен нулю в плоскости $X=0$.

Представим себе, что все бесконечное полупространство $X<0$ заполнено проводником, границей которого является плоскость $Y X$, и имеется заряд $+q$ там, где он изображен на рис. 71. Ясно, что этот заряд посредством электростатической индукции наведет на поверхности проводника заряд $-q$. Потенциал проводника при этом должен быть равен $\varphi=0$, а силовые линии в каждой точке поверхности должны быть нормальны к ней. Ясно, что картина силовых линий в полупространстве $X>0$, изображенная на рис. 71 , полностью удовлетворяет этим условиям. Следовательно, задача определения характеристик поля точечного заряда $+q$, находящегося на расстоянии $d$ от плоской поверхности проводника, заполняющего полупространство $X<0$, свелась к нахождению характеристик полей двух точечных зарядов $q$ и $-q$. Заряд $-q$ расположен в точке, которая является изображением местоположения точечного заряда $q$, если бы плоскость $X=0$ являлась зеркалом. Отсюда и произошло название метода изображений. Вместо проводящего тела, занимающего полупространство $X<0$, можно взять заземленную проводящую пластину, параллельную плоскости $X=0$. Метод расчета и поле остаются без изменения. Если пластина не заземлена, то на стороне пластины обращенной в сторону отрицательных значений оси $X$, индуцируются поверхностные положительные заряды, которые полностью изменяют характер поля: поле при этом не является суперпозицией полей заряда $\boldsymbol{q}$ и его изображения.

Определим напряженность поля заряда $q$, расположенного в точке $x=d$ при наличии заземленной проводящей плоскости $X=0$. Потенциал поля во всех точках $x>0$ дается формулой (16.88). Напряженность электрического поля в плоскости $Z=0$ равна
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{E}_{x}=-\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left\{\frac{x-d}{\left[(x-d)^{2}+y^{2}\right]^{3 / 2}}-\frac{x+d}{\left[(x+d)^{2}+y^{2}\right]^{3 / 2}}\right\}, \\
\boldsymbol{E}_{y}=-\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left\{\frac{y}{\left[(x-d)^{2}+y^{2}\right]^{3 / 2}}-\frac{y}{\left[(x+d)^{2}+y^{2}\right]^{3 / 2}}\right\} .
\end{array}
\]

В плоскости $X=0$ компонента $E_{y}$ исчезает, а
\[
E_{x}=-\frac{q}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{d}{\left(z^{2}+y^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}} .
\]

Поверхностная плотность заряда на плоскости $X=0$ [см. (16.12)] равна
\[
\boldsymbol{\sigma}=-\frac{q}{2 \pi} \frac{d}{\left(z^{2}+y^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}} .
\]

Полный поверхностный заряд на плоскости $X=0$ дается формулой
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty} \sigma \mathrm{d} z \mathrm{~d} y=-\frac{q d}{2 \pi} \iint_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d} z \mathrm{~d} y}{\left(z^{2}+y^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}=-q,
\]
т. е. индуцированный на проводнике заряд равен индуцирующему заряду с обратным знаком [см. (16.20)].

Сила взаимодействия точечного заряда $q$ с зарядом на поверхности $\boldsymbol{x}=0$ равна силе взаимодействия $q$ с его изображением:
\[
F=-q^{2} /\left(16 \pi \varepsilon_{0} d^{2}\right) \text {. }
\]

Знак минус указывает, что точечный заряд притягивается к проводящей заземленной поверхности.

Метод изображений, конечно, не сводится во всех случаях в буквальном смысле к нахождению зеркального изображения зарядов. Рассмотрим картину эквипотенциальных поверхностей, создаваемых двумя различными по модулю зарядами. Для удобства введем полярную систему координат с началом в точке $O$ (рис. 72). Полярная ось проходит через местоположение точечных зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$. Полярные координаты $q_{1}$ и $q_{2}$ равны $\theta_{1}=0, r_{1}=d_{1}$ и $\theta_{2}=0, r_{2}=d_{2}$ соответственно. Потенциал в точке $P$ выражается формулой
\[
\varphi(r, \theta)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q_{1}}{\sqrt{r^{2}+d_{1}^{2}-2 r d_{1} \cos \theta}}+\frac{q_{2}}{\sqrt{r^{2}+d_{2}^{2}-2 r d_{2} \cos \theta}}\right) .
\]
5*
Если $d_{1}=a^{2} / d_{2}\left(a<d_{2}\right)$ и $q_{2}=-a q_{2} / d_{2}$, то $\varphi(a, \theta)=0$, т. е. потенциал на сфере радиусом $a$ равен нулю. Следовательно, эта сфера является эквипотенциальной поверхностью с нулевым значением потенциала. Если на ее место поместить реальную проводящую заземленную сферу, то поле не изменится. Таким образом, если имеется проводящая заземленная сфера радиусом $a$ и точечный заряд $q_{2}$ вне ее на расстоянии $d_{2}$ от центра сферы, то поле вне сферы таково же, как и поле, создаваемое зарядом $q_{2}$ и его «изображением» – зарядом $q_{1}=-a q_{2} / d_{2}$, помещенным в точку с координатами $d_{1}=a^{2} / d_{2}, \theta=0$ внутри сферы. Сила взаимодействия между зарядом $q_{2}$ и сферой равна
\[
F=\frac{q_{1} q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(d_{2}-d_{1}\right)^{2}}=-\frac{d_{2} a q_{2}^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(d_{2}^{2}-a^{2}\right)^{2}} .
\]

Пример 16.1. Найти силу взаимодействия между проводяцей сферой радиусом а и точечным зарядом $q_{2}$, находящимся на расстоянии $d_{2}$ от чентра сферы, если на сфере распределен заряд $Q$.

Схема расположения сферы и заряда изображена на рис. 72. Заряд $q_{2}$ индуцирует в проводящей сфере свое изображение в виде заряда $q_{1}=-q_{2} a / d_{2}$ на расстоянии $d_{1}=a^{2} / d_{2}$ от центра сферы. Однако теперь взаимодействие не сводится к силе притяжения между зарядом $q_{2}$ и его изображением, потому что по условию сфера имеет заряд $Q$, а не $q_{1}$. Следовательно, для описания взаимодействия необходимо добавить еще одно «изображеиие» заряда, которое создает на сфере постоянный потенциал и в сумме с $q_{1}$ составляет $Q$. Поэтому надо в цеитр сферы поместить заряд $Q-q_{1}=Q+q_{2} a / d_{2}$. Взаимодействие точечного заряда $q_{2}$ со сферой, имеющей заряд $Q$, слагается из взаимодействия $q_{2}$ с \”изображениями» $q_{1}$ и $Q+q_{2} a / d_{2}$. Таким образом, сила взаимодействия равна
\[
F=\frac{q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{Q+q_{2} a / d_{2}}{d_{2}^{2}}-\frac{q_{2} a}{d_{2}\left(d_{2}-d_{1}\right)^{2}}\right] .
\]

Пример 16.2. Найти силу взсимодействия между проводящей сферой радиусом а, поддерживаемой при постоянном потенциале $\varphi_{0}$, и точечным зарядом $q_{2}$, находяцимся на расстоянии $d_{2}$ от чентра сферы.

Схема расположения сферы и заряда изображена на рис. 72. Заряд $q_{2}$ и его изображение $q_{1}$ создают нулевой потенциал сферы. Чтобы он стал равным $\varphi_{0}$, необходимо в центр оферы поместить «изображение» $Q=4 \pi \varepsilon_{0} a \varphi_{0}$. Сила взаимодействия между точечным зарядом $q_{2}$ и сферой, поддерживаемой при потенциале $\varphi_{0}$, равна
\[
F=\frac{q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{Q}{d_{2}^{2}}-\frac{q_{2} a}{d_{2}\left(d_{2}-d_{1}\right)^{2}}\right] .
\]

Пример 16.3. Две проводяцие плоские пластины образуют угол $\alpha_{0}$ (рис. 73). Длина пластин, перпендикулярных плоскости рисунка, бесконечна. Между пластинами поддерживается постоянная разность потенциалов $U_{0}$. Найти напряженность поля между пластинами и емкость, приходячуюся на длину І. Ширина пластины $b-a$. Принимается, что пластины не соприкасаются в точке $O$, но сходятся достаточно близко, и поэтому можно пренебречь краевыми эффектами.
Поле аксиально симметрично. Поэтому удобно пользоваться цилиндрической системой координат, ось $Z$ которой направлена перпендикулярно плоскости рисунка. Обозначим: $\alpha$-аксиальный угол, $r$-расстояние от оси. Тогда уравнение Лапласа имеет вид
\[
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial \alpha^{2}}=0,
\]

где учтено, что $\partial^{2} \varphi / \partial z^{2}=0$ из-за цилиндрической симметрии поля. Решение ищем в форме
$\varphi(r, \alpha)=R(r) \Phi(\alpha)$.
Подставляя (16.100) в (16.99), находим $\frac{\Phi}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} r}\right)+\frac{R}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}^{2} \Phi}{\mathrm{d} \alpha^{2}}=0$. Умножая обе части этого уравнения на $r^{2} / R \Phi$, получаем
\[
\frac{r}{R} \frac{d}{\mathrm{~d} r}\left(r \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} r}\right)=-\frac{1}{\Phi} \frac{\mathrm{d}^{2} \Phi}{\mathrm{d} \alpha^{2}} .
\]

Левая и правая части (16.101) зависят от разных независимых переменных. Следовательно, равенство может быть удовлетворено лишь в том случае, когда его левая и правая части равны по отдельности одной и той же постоянной. Поэтому полагаем:
\[
\frac{r}{R} \frac{d}{\mathrm{~d} r}\left(r \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} r}\right)=n^{2}, \frac{1}{\Phi} \frac{\mathrm{d}^{2} \Phi}{\mathrm{d} \alpha^{2}}=-n^{2},
\]

где $n^{2}$ – постоянная. Решение уравнения для $\Phi$ очевидно:
$\Phi=\left\{\begin{array}{ll}B_{1} \alpha+B_{2} & \text { при } n=0, \\ A_{1} \sin n \alpha+A_{2} \cos n \alpha & \text { \” } n
eq 0 .\end{array}\right.$
Решение уравнения для $R$ ищем в виде $R=A r^{\beta}(\beta
eq 0)$.
Подставляя это выражение в первое из уравнений (16.102), получаем равенство
$\beta^{2}=n^{2}$,
из которого следует, что $\beta= \pm n$. При $n=0$ первое из уравнений
упрощается:
$r \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} r}=$ const
и может быть удовлетворено функцией
$R=D_{1} \ln r+D_{2}$.
Следовательно, окончательно решение уравнения (16.102) может быть представлено в виде
\[
R=\left\{\begin{array}{l}
D_{1} \ln r+D_{2} \text { при } n=0, \\
C_{1} r^{n}+C_{2} r^{-n} \gg n
eq 0 .
\end{array}\right.
\]

Попытаемся найти решение задачи, не зависящее от $r$, т. е. при $n=0$, $D_{1}=0$, тогда [см. (16.103)] $\varphi(\alpha)=B_{1} \alpha+B_{2}$. Граничные условия для $\varphi$ имеют вид: $\varphi(0)=0, \varphi\left(\alpha_{0}\right)=U_{0}$, т. е. $0=B_{2}, U_{0}=B_{1} \alpha_{0}$. Следовательно, $\varphi(\alpha)=U_{0} \alpha / \alpha_{0}$.
Напряженность электрического поля равна
\[
E_{\alpha}=-\frac{1}{r} \frac{\partial \varphi}{\partial \alpha}=-U_{0} /\left(r \alpha_{0}\right) \text {. }
\]

Поверхностная плотность зарядов на пластинах
\[
\sigma_{1}=\varepsilon E_{\alpha}(\alpha=0)=-\varepsilon U_{0} /\left(r \alpha_{0}\right), \sigma_{2}=-\varepsilon E_{c}\left(\alpha=\alpha_{0}\right)=\varepsilon U_{0} /\left(r \alpha_{0}\right) .
\]

Заряд каждой из пластин (по модулю) на длине $l$ выражается формулой
\[
Q=l \int_{a}^{b} \sigma \mathrm{d} r=\left(l \varepsilon_{0} U_{0} / \alpha_{0}\right) \ln (b / a) \text {. }
\]

Емкость, приходящаяся на длину $l$, равна
\[
C=\frac{Q}{U_{0}}=\frac{l \varepsilon_{0} \ln (b / a)}{\alpha_{0}}
\]