Анализиругтся физические факторы, обусловливающие справедлвость теоремы Гаусса. Дается дифференциальная формулировка закона Кулона и обсуждаются ее следствия.

Теорема Гаусса. Электростатическая теорема Гаусса устанавливает математическую связь между потоком напряженности сквозь замкнутую поверхность и зарядом, находящимся в объеме, ограничиваемом этой поверхностью.

Пусть точечный заряд $q$ находится внутри объема $V$, ограниченного замкнутой поверхностью $S$ (рис. 32). Рассмотрим поток $N$ напряженности $\mathbf{E}$ сквозь эту поверхность:
$N=\oint_{S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$.
Напомним, что для замкнутых поверхностей в качестве положительного всегда выбирается направление в сторону внешней нормали. Это означает, что элемент площади поверхности dS в (13.1) направлен во внешнюю сторону от объема (рис. 32). По закону Кулона
\[
\mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r} .
\]

Следовательно, интеграл в (13.1) можно представить так:
\[
N=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oint_{S} \frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\mathbf{r}}{r} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}\right) .
\]

Учтем соотношение
\[
\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{r}} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\left|\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{r}}\right| \mathrm{d} S \cos (\widehat{\mathbf{r}, \mathrm{d} S})=\mathrm{d} S^{\prime},
\]

где $\mathrm{d} S^{\prime}$ – проекция площади элемента $\mathrm{dS}$ на плоскость, перпендикулярную радиус-вектору r. Из геометрии известно, что
\[
\mathrm{d} \Omega=\mathrm{d} S^{\prime} / \mathbf{r}^{2},
\]

где $\mathrm{d} \Omega$ – телесный угол, под которым элемент площади $\mathrm{d} S^{\prime}$ виден из начала отсчета радиус-векторов, в данном случае совпадающим с местонахождением точечного заряда $q$. С учетом (13.4) и (13.5) выражение (13.3) принимает вид
\[
N=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oint_{S} \mathrm{~d} \Omega .
\]

Полный телесный угол, под которым видна замкнутая поверхность из точек внутри ограничиваемого ею объема, равен $4 \pi$, т.е.

Вычисление потока вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность в случае нахождения точечного заряда внутри объема, ограничиваемого поверхностью
33
Вычисление потока вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность в случае нахождения точечного заряда вие объема, ограничиваемого поверхностью
Теорема Гаусса выражает связь между потоком напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядон в объеме, ограниченном этой поверхностью. Физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона или, иначе, теорема Гаусса является интеграпьной формулировкой закона Кулона.
\[
\oint \mathrm{d} \Omega=4 \pi,
\]
$s$
и поэтому из (13.6) получаем

Поток Е сквозь замкнутую поверхность, если точечный заряд находился вне объема, ограничиваемого поверхностью, вычисляется аналогично (рис. 33) и определяется формулой (13.3). Однако теперь подынтегральное выражеңие принимает как положительные, так и отрицательные значения: в тех точках положительно, а где больше – отрццательно. Это означает, что на поверхности $A D B$ подынтегральное выражение положительно, а на $A C B$ – отрицательно. Поэтому элементы телесного угла (13.5) на поверхности $A D B$ положительны, а на $A C B$ – отрицательны. Обозначим телесный угол при вершине конуса, образованного касательными из точки $O$ к рассматриваемой поверхности, $\Omega_{0}$ (рис. 33). Тогда
\[
\oint_{S} \frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\mathbf{r}}{r} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}\right)=\int_{A D B} \mathrm{~d} \Omega-\int_{A C B} d \Omega=
\]
$=\Omega_{0}-\Omega_{0}=0$,
поскольку поверхности $A C B$ и $A D B$ видны из точки $O$ под одним и тем же телесным углом $\Omega_{0}$, но входят в интеграл с разными знаками. Когда точечный заряд находится вне объема, поток напряженности $\mathbf{E}$ сквозь замкнутую поверхность равен нулю:
\[
N=0 \text {. }
\]

Объединяя результаты (13.8) и (13.10), можно для (13.1) окончательно написать:

Утверждение, содержащееся в (13.11), составляет содержание электростатической теоремы Гаусса для точечного заряда.

Ее обобщение на систему точечных зарядов производится с помощью принципа суперпозиции. Если имеются точечные заряды $q_{i}$, то напряженность $\mathbf{E}$ поля в каждой точке является суммой напряженностей $\mathbf{E}_{i}$ полей, создаваемых каждым из точечных зарядов:
\[
\mathbf{E}=\sum \mathbf{E}_{i} \text {. }
\]

Следовательно,
\[
\oint_{S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\sum_{i} \oint_{S} \mathbf{E}_{i} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} .
\]

При вычислении каждого из интегралов, стоящих под знаком суммы в правой части (13.13), надо принять во внимание (13.11): для точечного заряда внутри объема соответствующий интеграл равен $q_{t} / \varepsilon_{0}$, а для заряда вне объема – нулю. Поэтому (13.13) принимает вид
\[
\oint_{S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{dS}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \sum_{V} q_{t}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} Q,
\]

где $V$ у знака суммы означает, что в сумму входят только заряды, находящиеся внутри объема V. Полный заряд внутри объема $V$ обозначен в (13.14) $Q$ :
\[
\boldsymbol{Q}=\sum_{\boldsymbol{V}} q_{i} \text {. }
\]

Формула (13.14) с учетом определения (4.1) для объемной плотности $\rho$ при непрерывном распределении зарядов сразу переписывается в виде

где
\[
Q=\int_{V} \rho \mathrm{d} V
\]
– полный заряд, заключенный в объеме, ограниченном замкнутой поверхностью $S$. Утверждение, содержащееся в формуле (13.16), составляет содержание электростатической теоремы Гаусса для непрерывного распределения зарядов. Очевидно, что эта формула включает в себя также и выражения (13.14) и (13.11) как частные случаи.
$\boldsymbol{И}^{3 м е р е н и е ~ з а р я д а . ~ Т е о р е м а ~ Г а у с с а ~ п о з в о л я е т ~ о п р е д е л и т ь ~ п о л н ы и ̆ ~}$ заряд, заключенный внутри объема, посредством измерения потока напряженности сквозь поверхность, ограничивающую объем. Другие определения заряда не дают удовлетворительных результатов. Например, нельзя найти этот заряд, измерив силу, с которой он действует на находящийся вне этого объема пробный заряд, поскольку сила зависит не только от. общего заряда, но и от распределения его по объему, которое, вообще говоря, неизвестно. Можно определить заряд, измерив действующую на него силу в известном однородном внешнем электрическом поле. При этом важно обеспечить однородность поля. Ясно, что этот способ применим лишь тогда, когда внешнее однородное поле существенно не изменяет распределения зарядов внутри объема.
Физическая основа справедливости теоремы Гаусса. Из вывода теоремы Гаусса видно, что ее справедливость обусловливается возможностью сведения подынтегрального выражения (13.3) с помощью (13.4) и (13.5) к дифференциалу телесного угла $\mathrm{d} \Omega$. Это возможно только в том случае, когда $\mathbf{E}(r)$ убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от точечного заряда. При другой зависимости E ( $r$ ) в формуле (13.6) под-интегралом должна стоять кроме дифференциала телесного угла также и некоторая функция от $r$, не позволяющая выразить поток напряженности через поверхность в виде функции заряда, что означает несоблюдение теоремы Гаусса. Поэтому физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона или, иначе, теорема Гаусса являтет интегральной формулировкой закона Кулона.
Дифференциальная формулировка закона Кулона. Уравнение Максвелла для dive. Поток E сквозь замкнутую поверхность можно с помощью математической формулы Гаусса – Остроградского (5.21) преобразовать в интеграл по объему от $\operatorname{div} \mathbf{E}$ :
\[
\oint_{S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_{V} \operatorname{div} \mathbf{E} \mathrm{d} V,
\]

в результате чего формула (13.16) принимает вид
\[
\int_{V}\left(\operatorname{div} \mathbf{E}-\rho / \varepsilon_{0}\right) \mathrm{d} V=0 .
\]

Равенство нулю интеграла выполняется при произвольном объеме V. Следовательно, подынтегральное выражение тождественно равно нулю, т.е.

Выполнимость (13.20), так же как и теоремы Гаусса, обусловлена справедливостью закона Кулона. Следовательно, (13.20) является дифференциальной формулировкой закона Кулона. Линейность уравнения (13.20) отражает справедливость принципа суперпозиции для напряженности поля. Оно выведено здесь для неподвижных зарядов. Принимается, что оно справедливо для произвольного движения зарядов.
Силовые линии, Силовой линией электрического поля называется
линия, касательная к которой 6 каждой точке совпадает с напряженностью Е. С помощью силовых линий удобно графически изображать поле. Условились напряженность поля характеризовать числом силовых линий, пересекающих $1 \mathrm{~m}^{2}$ площади поверхности, перпендикулярной направлению силовых линий в соответствующей точке: чем больше плотность линий, тем больше напряженность поля. На рис. 34 изображено электрическое поле, напряженность когорого возрастает слева направо.
Источники и стоки вектора Е. Как видно из уравнения (13.20), силовые линии начинаются там, где $\operatorname{div} \mathbf{E}>0$, и оканциваются там, где $\operatorname{div} \mathbf{E}<0$, т. е. начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. Говорят, что положительные заряды являются источниками вектора E, а отрицательные – стоками. Конечно тахое различие между зарядами чисто условно, оно исходит из определения направления напряженности поля. По их роли в образовании электрического поля положительные и отрицательные заряды совершенно эквивалентны. На рис. 35 изображены силовые линии двух разноименных зарядов.
$\boldsymbol{Z}$ нвариантность заряда. Найдем поток $\mathbf{E}$ сквозь замкнутую поверхность, окружающую движущийся равномерно и прямолинейно точечный заряд $q$. Напряженность лоля этого заряда определяется формулой (11.26). Поток напряженности равен
\[
N=\oint \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\oint E r^{2} \mathrm{~d} \Omega=\oint E r^{2} \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi,
\]

где в качестве поверхности интегрирования взята сфера с центром в точке нахождения движущегося заряда в некоторый момент времени и учтено, что $\mathbf{E}$ и $\mathrm{d} \mathbf{S}$ коллинеарны радиус-вектору $\mathbf{r} ; \theta$ и $\varphi$-соответственно полярный и аксиальный угол сферической системы координат, полярная ось которой совпадает с осью $X$ неподвижной системы координат. Подставляя (11.26) в (13.21), находим
\[
N=\frac{q\left(1-\beta^{2}\right)}{2 \varepsilon_{0}} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \theta \mathrm{d} \theta}{\left(1-\beta^{2} \sin ^{2} \theta\right)^{3 / 2}},
\]

где произведено интегрирование по углу $\mathrm{d} \varphi$, от которого подынтегральное выражение в (1321) не зависит. Так как $\sin ^{2} \theta=1-\cos ^{2} \theta$, $\sin \theta \mathrm{d} \theta=-\mathrm{d} \cos \theta$, то $\int_{0}^{\pi} \frac{\sin \theta \mathrm{d} \theta}{\left(1-\beta^{2} \sin ^{2} \theta\right)^{3 / 2}} \Rightarrow$
34
Силовые линии поля, напряженность хоторого возрастает справа иалево
35
Силовые линии двух разиоименных зарядов
– Силовой линией электрического поля называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с напряженностью электрического поля. Положительные заряды являютея источннками напряженности электрического поля, а отрицательные-стоками. Однако зто различие между зарядами чисто условно. Их роль в образовании электрического поля абсолютно одинакова.

$=2 \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1-\beta^{2}+\beta^{2} x^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{2}{\beta^{3}}\left[\frac{x}{a^{2} \sqrt{a^{2}+x^{2}}}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{1-\beta^{2}}$, где $a^{2}=(1-$
$\left.-\beta^{2}\right) / \beta^{2}$. Тогда соотношение (13.22) принимает вид
$N=q / \varepsilon_{0}$,
совпадающий с (13.8). Это доказывает, что теорема Гаусса справедлива также и для точечного заряда, движущегося равномерно и прямолинейно. Если заряд в объеме определить посредством потока $\mathbf{E}$ сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую объем, то равенство (13.23) выражает инвариантность заряда.