Формулируются правила расчета линейных цепей.
Изолированная замкнутая цепь. Этот случай уже был рассмотрен в § 26 и результат представлен формулой (26.1): если в изолированной замкнутой цепи имеется один источник сторонних э.д. с., то сила тока в чепи должна быть такой, чтобы суммарное падение напряжения на внешнем сопротивлении и внутреннем сопротивлении источника было равно сторонней э. д. с. источника. Если имсется несколько источников сторонних э. д. с., то надо взять их сумму со знаками, приняв в качестве положительной э. д. с. некоторого направления.

Чтобы не ошибиться в знаках, удобно поступить следующим образом. Принимаем за положительное направление обхода цепи либо обход по часовой стрелке, либо против часовой. На рис. 117 за положительный выбран обход по часовой стрелке. Электродвижущие силы элементов обозначены $\mathscr{E}_{1}, \mathscr{E}_{2}, \mathscr{E}_{3}$. В каком направлении течет ток, заранее неизвестно. Позтому за направление тока выбираем любое, например на рис. 117 оно совпадает с положительным направлением обхода.

Теперь необходимо условиться о знаках. Знак э. д. с. берется положительным, если при движении по контуру в положительном направлении первым встречается отрицательный полюс источника. Если же первым встречается положительный полюс, то соответствующая э. д. с. будет с отрицательным знаком. Знак силы тока считается положительным, если направление тока совпадает с направлением обхода. В противном случае знак отрицателен. Таким образом, как з. д. с., так и сила тока являются алгебраическими величинами, принимающими как положительные, так и отрицательные значения. Теперь нетрудно обобщить уравнение (26.1) на произвольное число источников сторонних э. д. с. в изолированном замкнутом контуре: произведение алгебраического значения силы тока на сумму внешних и внутренних сопропивлений всех участков замкнутой цепи равно сумме алгебраических значений сторонних э.д.с. в замкнутом контуре:

где $\pm$ перед $I$ и $\mathscr{E}_{i}$ означает, что знак должен быть выбран в соответствии с приведенными выше правилами. Например, для случая, изображенного на рис. 117, уравнение (28.1) имеет вид
\[
I\left(R+r_{1}+r_{2}+r_{3}\right)=\mathscr{E}_{1}-\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{3},
\]

где $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ – внутренние сопротивления источников сторонних э. д. с., $R$ – полное сопротивление всех участков цепи вне источников. Если бы при том же направлении обхода, принятого за положительный, стрелка, изображающая ток $I$, была ориентирована противоположно, то вместо уравнения (28.2) получилось бы следующее:
\[
-I\left(R+r_{1}+r_{2}+r_{3}\right)=\mathscr{C}_{1}-\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{3} .
\]

Уравнения (28.3) надо решать относительно I. Если в конкретном случае $I$ положительно, то ток течет, как указывается стрелкой, если же отрицательно, то в противоположном направлении.
Разветвленные цепи. Во многих практически важных случаях электрические цепи являются более сложными, как, например, на рис. 118. Однако в цепь любой сложности входят элементы двух простейших видов:
1) узлов, в которых встречается более чем два проводника (рис. 119; точки $C$ и $D$ );
2) замкнутых контуров (рис. 119; контуры $A B D C A, C D F E C, A B F E A)$.
Правила Кирхгофа. Правила Кирхгофа служат для составления системы уравнений, из которой находятся силы тока для разветвленной цепи любой сложности. Они являются записью закона Ома (28.1) для каждого из замкнутых контуров и закона сохранения за- Изолированный замкнутый конряда в каждом узле. Правила знаков для сил тур тока и э. д. с. в каждом из замкнутых контуров такие же, как для изолированного контура [см. (28.1)]. Направление положительного обхода для всех контуров выбирается одинаковым, Закон сохранения заряда в узлах требует, чтобы сумма сил токов, входящих в узел, была равна сумме сил токов, выходяцих из него, иначе говоря, сумма алгебраических значений сил токов в узле должна быть равной нулю. При составлении суммы силы токов, изображаемых стрелками с направлением от узла, берутся, например, со знаком минус, а силы токов, изображаемых стрелками с направлением к узлу, со знаком плюс. Можно, конечно, брать обратные знаки, это не изменит соответствующих уравнений, важно лишь для всех узлов применять одно и то же правило.

Таким образом, правила Кирхгофа гласят:
1) сумма произедений алебраических значений сил токов на сопротивление соответствующих участков каждого из замкнутых контуров равна сумме алгебраических значений сторонних э. д. с. в каждом замкнутом контуре:
118
Электрическая цепь
2) сумма алгебраических значений сил тоК определению замкнутых контуров и узлов разветвленной цепи

ков в каждом узле, равна нулю:
О Как выбираются знаки в лравилах Кирхгофа? Какини соображениями надо руководствоваться. чтобы не вылисывать лишних уравнений Кирхгофа?

Можно показать, что получающаяся при этом система уравнений для любой разветвленной цепи является полной и позволяет определить все токи.

Эти законы вывел Г. Кирхгоф ( $1824-1887$ ). Он дал общее решение задачи о разветвленных цепях постоянного тока в 1847 г., хотя сами правила сформулировал в 1845 г.
Применим правила Кирхгофа к цепи, изображенной на рис. 119.
1. По первому правилу Кирхгофа:
а) $I_{1} r_{1}+I_{1} R_{1}-I_{2} R_{2}-I_{2} r_{2}=\mathscr{E}_{1}+\mathscr{E}_{2}$ (контур $A B D C A$ ).
б) $I_{2} R_{2}+I_{2} r_{2}-I_{3} R_{3}-I_{3} r_{3}=-\mathscr{E}_{2}-\mathscr{E}_{3}$ (контур CDFEC).
в) $I_{1} r_{1}+I_{1} R_{1}-I_{3} R_{3}-I_{3} r_{3}=\mathscr{L}_{1}-\mathscr{L}_{3}$ (контур $A B F E A$ ).
2. По второму правилу Кирхгофа:
a) $-I_{1}-I_{2}-I_{3}=0$ (узел $C$ );
б) $I_{1}+I_{2}+I_{3}=0$ (узел $D$ ).
Здесь $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ – внутренние сопротивления источников сторонних э. д. с. Уравнения для узлов совпадают друг с другом, а из трех уравнений по контурам независимыми являются лишь два. Например, если сложить почленно первых два уравнения, то получается третье. Таким образом, имеется система трех уравнений для трех неизвестных сил тока $I_{1}, I_{2}, I_{3}$. Решив эту систему, найдем силы тока и их истинные направления. Но даже не решая ее, можно сказать: на рис. 119 мы наверняка ошиблись в выборе направлений тока, потому что в узлах при выбранных направлениях тока закон сохранения заряда заведомо не может выполняться – в узле $C$ должен накапливаться отрицательный заряд, а в узле $D$ – положительный. Но это нас не должно беспокоить, потому что решение автоматически подскажет, какими должны быть направления токов.

Таким образом, пример показывает, что если выписать правила Кирхгофа для всех контуров и всех узлов, то получится больше уравнений, чем необходимо, поскольку не все уравнения независимы. Чтобы не усложнять работы, желательно не выписывать лишних уравнений Для этого можно руководствоваться такими правилами. Выписывая очередное уравнение для замкнутых контуров, необходимо следить, чтобы оно содержало хотя бы одну величину, не вошедшую в предшествующие уравнения; если все величины уже встречались в предшествующих уравнениях, то это уравнение лишнее. Аналогично поступаем и при выписывании уравнений для узлов. Например, выше в уравнениях по первому правилу Кирхгофу не следовало выписывать уравнение в), поскольку все входящие в него величины уже содержатся в уравнениях а) и б). В уравнениях по второму правилу Кирхгофа не следовало выписывать уравнение б), поскольку все входящие в него величины уже вошли в уравнение а). Дальнейший контроль правильности выписанной системы уравнений состоит в проверке ее полноты число уравнений должно быть равным числу неизвестных.