Вводятся формулы для работы, совершаемой при прохождении тока, и развиваемой мощности. Дается дифференциальная формулировка закона Джоуля – Ленца. Описывается классическая электронная картина электропроводности и обсуждаются ее недостатки. Излагаются общие черты квантовой трактовки электропроводности.
Работа, совершаемая при прохождении тока. Мощность Если между точками с разностью потенциалов $U$ переносится заряд $\mathrm{d} Q$, то совершается работа
$\mathrm{d} A=\mathrm{d} Q U$.
Пусть по проводнику протекает ток $I$. Рассмотрим участок проводника, между концами которого имеется разность потенциалов $U$. В течение времени $\mathrm{d} t$ на участке перемецается заряд $\mathrm{d} Q=I \mathrm{~d} t$ и, следовательно, совершаемая работа равна
\[
\mathrm{d} \boldsymbol{A}=I U \mathrm{~d} t .
\]
Следовательно, мощность, развиваемая током на этом участке, определяется формулой
Форма выделяемой при этом энергии зависит от природы физических факторов, обусловливающих падение потенциала. Падение потенциала на омическом сопротивлении проводов сопровождается выделением теплоты, падение напряжения на клеммах двигателя постоянного тока обусловлено производством механической работы и т.д. Формула (27.3) дает полную мощность, развиваемую током на участке с падением потенциала $U$. Если все падение потенциала происходит на омическом сопротивлении проводника, то по закону Ома $U=I R$, где $\boldsymbol{R}$ – сопротивление участка В этом случае вся энергия выделяется в виде теплоты с мощностью
Формула (27.4) выражает закон Джоуля-Ленца. Он был открыт в 1841 г. Дж. Джоулем $(1818-1889)$ и в последующем подробно исследован Ленцем.
К выводу закона Джоуля – Ленца в дифференциальной форме
Дифференциальная форма закона Джоуля –
Ленца. Применив закон (27.4) к бесконечно малому цилиндру (рис. 116), ось которого совпадает с направлением тока, получим
$\Delta P=(j \Delta S)^{2} \frac{1}{\gamma} \frac{\Delta l}{\Delta S}$,
где $I=j \Delta S, j-$ плотность тока. Сопротивление бесконечно малого цилиндра равно $\Delta R=\Delta l /(\gamma \Delta S)$. Принимая во внимание, что $\Delta S \Delta l=\Delta V$ – объем цилиндра, из (27.5) находим
\[
P_{V}=\Delta P /(\Delta l \Delta S)=j^{2} / \gamma,
\]
где $P_{V}$ – объемная плотность тепловой мощности, выделяемой в проводнике, т.е. теплоты, образующейся в 1 м $^{3}$ проводника в 1 с. Формула (27.6) является дифференциальной формой закона Джоуля – Ленца, поскольку все величины относятся к одной и той же точке.
Пользуясь законом Ома в дифференциальной форме, преобразуем (27.6):
Работа, совершаемая при прохождении тока, не является результатон превращення кинетической энергни электронов в другие формы энергии. Носителен энергин, затрочиваемой на совершение работы, являются не электроны, а электромагнитное поле. Лншь : частном случае выделення джоупева тепла кииетическая энергия электронов является промежуточной формой энергии, посредством которой энергия электромагнитного поля превращается в теплоту. В других случаях кинетическая энергия электронов никакой ролн не играет. Какой смысп имеет время свободного пробега в классической теории электропроводности?
Какие основные трудности классической теории электропроводности?
Как они в общих чертах преодолеваются?
Любое из этих равенств, когда в левой части стоит $P_{V}$, является записью закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Хотя формула (27.6) и выведена для бесконечно малого цилиндрического участка проводника, ее справедливость не связана с формой бесконечно малого объема, поскольку входящие в нее величины зависят лишь от их значений в точке и не зависят от других факторов.
Источник энергии для работы электрического тока. Падение потенциала в цепи тока компенсируется соответствующим подъемом потенциала, возникающим в результате действия сторонних электродвижущих сил на заряды (см. 26). При прохождении тока производится работа и выделяется энергия, например в форме теплоты. Сторонние электродвижущие силы совершают работу над зарядами, сообщая им соответствующую энергию. Поэтому получается, что вся работа, совериаемая током, производится за счет энергии сторонних электродвижучцих сил.
B ывод закона Ома исходя из электронной картины электропроводности. Механизм прохождения тока по проводнику и его нагревание в рамках классических представлений выглядит так.
Свободный электрон ускоряется полем, которое имеется внутри проводника. Закон Ньютона для движения электрона имеет вид
$m a=e E$,
где $m, a, e$-соответственно масса, ускорение и заряд электрона. Действительное движение электрона очень сложно, поскольку электроны находятся в хаотическом тепловом движении. Под влиянием внешнего поля все они получают одинаковое ускорение и приобретают дополнительную скорость в одном и том же направлении. В результате образуется упорядоченное движение электронов, т. е. электрический ток. Нас интересует здесь только это упорядоченное движение электронов, которое накладывается на их хаотическое тепловое движение. При своем движении электроны взаимодействуют между собой и с атомами кристаллической решетки проводника. При взаимодействии с атомами кристаллической решетки электроны обмениваются с ними небольшой частью своей энергии, которая в среднем является энергией, приобретенной ими за счет электрического поля, потому что при отсутствии электрического поля свободные электроны и атомы находятся в тепловом равновесии. Эту сложную картину приобретения электронами энергии под влиянием электрического поля и последующую ее передачу атомам при взаимодействии можно представить в следующем виде. Допустим, что электрон в соответствии с уравнением (27.8) ускоряется в течение времени $\tau$, затем сталкивается с атомом и отдает ему всю приобретенную кинетическую энергию. Затем он снова начинает ускоряться, через время $\tau$ снова сталкивается с атомом и т.д., т.е. $\tau$ – время релаксации неравновесного распределения электронов к тепловому равновесию с кристаллической решеткой. В модели предполагается, что в течение этого времени средняя кинетическая энергия электронов возрастает под действием внешнего электрического поля выше их средней тепловой энергии, затем избыток над средней тепловой энергией передается кристаллической решетке и снова восстанавливается тепловое равновесие. В действительности, конечно, этот процесс происходит непрерывно и его ступенчатость введена лишь для упрощения математических расчетов. Время $\tau$ характеризует скорость возвращения к тепловому равновесию совокупностей электронов и кристаллической решетки проводника, если совокупность электронов какими-то причинами (не только внешним электрическим полем) выведена из этого равновесия.
В этой картине результат многих актов передачи энергии от электрона к атомам заменяется одним актом и поэтому $\tau$ имеет смысл среднего промежутка времени между столкновениями. Если $l$ – средняя длина пробега между столкновениями, а $v$ – средняя скорость электрона, обусловленная его тепловым движением, то по определению
$\tau=l / v$.
Путь, проходимый электроном из состояния покоя при ускорении электрическим полем, равен
$s=\frac{a \tau^{2}}{2}=\frac{1}{2} \frac{e E}{m_{e}} \tau^{2}$.
Это путь, на который в среднем электрон смещается в направлении действия электрического поля за время $\tau$ между соударениями. Упорядоченное смещение обусловливает дрейф электронов со скоростью
\[
v_{\mathrm{\alpha}}=s / \tau=e E l /\left(2 m_{e} v\right) \text {. }
\]
Скорость дрейфа обратно пропорциональна частоте $v / l$ соударений и, следовательно, уменышается при росте температуры.
Если $n$-концентрация электронов, то
\[
j=e n v_{\text {д }}=e^{2} \ln E /\left(2 m_{e} v\right) \text {. }
\]
Сравнивая (27.12) с законом Ома $j=\gamma E$, находим следующее выражение для удельной электрической проводимости:
\[
\gamma=\frac{1}{2} \frac{e^{2} \ln }{m_{e} v} .
\]
Таким образом, получена правильная зависимость плотности тока от напряженности электрического поля и выражение удельной электрической проводимости через характеристики движения свободных электронов.
Вывод закона Джоуля – Ленца исходя из электронной теории электропроводиости. Скорость, которая теряется электроном при столкновении, равна
$v_{t}=a \tau=\frac{e E}{m_{e}} \frac{l}{v}$.
Поэтому при каждом столкновении атомам проводника передается приобретенная между столкновениями кинетическая энергия
\[
W_{\mathrm{k}}=\frac{m_{e} v_{\mathrm{k}}^{2}}{2}=\frac{1}{2} \frac{e^{2} E^{2} l^{2}}{m_{e} v^{2}} .
\]
Частота столкновений каждого электрона с атомами равна $v / l$, а частота столкновений $n$ электронов с атомами – nv/l. Поэтому объемная плотность мощности выделения теплоты дается выражением
\[
P_{V}=W_{\mathrm{x}} \frac{n v}{l}=\frac{1}{2} \frac{e^{2} n l}{m_{e} v} E^{2}=\gamma E^{2},
\]
где учтены равенства (27.13) и (27.15). Тем самым, исходя из электронной теории электропроводимости, получено правильное выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Недостатки классической теории электропроводности. Классическая теория электропроводности весьма наглядна и дает правильную зависимость плотности тока и количества выделяемой теплоты от напряженности поля. Однако оні не приводит к правильным количественным результатам. Главные расхождения теории с экспериментом состоят в следующем:
1) для того чтобы по формуле (27.13) получить правильные значения $\gamma$, надо $l$ принять очень большим ( $l$ в тысячи раз превосходит межатомные расстояния в проводнике). Понять возможность таких больших свободных пробегов затруднительно в рамках классических представлений;
2) эксперимент для зависимости удельной проводимости $\gamma$ от температуры приводит к закону $\gamma \sim 1 / T$. Объяснить это формулой (27.13) невозможно, поскольку кинетическая теория газов дает $v \sim \sqrt{T}$, допустить же зависимость $l \sim 1 / \sqrt{T}$ невозможно в классической картине взаимодействия;
3) по теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы следует ожидать от свободных электронов очень большого вклада в теплоемкость проводников, которая в эксперименте не наблюдается.
$\boldsymbol{O}^{\text {сновные черты квантовой трактовки электропроводности, Лишь }}$ квантовая теория позволила преодолеть указанные только что трудности классических представлений. Квантовая теория учитывает волновые свойства микрочастии. Важнейшей характеристикой волнового движения является способность волн огибать препятствия благодаря дифракции. В результате этого при своем движении электроны как бы огибают атомы без столкновений, и длины их свободного пробега могут быть весьма большими. Из-за того что электроны подчиняются статистике Ферми – Дирака, в образовании электронной теплоемкости может принимать участие лишь незначительная часть электронов вблизи уровня Ферми. Поэтому электронная теплоемкость проводников совершенно незначительна. Решение квантово-механической задачи о движении электрона в металлическом проводнике приводит $к$ зависимости $\gamma \sim 1 / T$, как это и наблюдается действительно. Таким образом, непротиворечивая количественная теория электропроводности была построена лишь в рамках квантовой механики.
