Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции и обсуждаются свойства векторного и скалярного потенциалов переменного электромагнитного поля.

Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (45.1)] в виде
\[
\oint_{L} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{S} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S},
\]

где $L$ – контур, $S$ – поверхность, натянутая на контур $L$. В (46.1) учтены определения:
\[
\varepsilon^{\text {инд }}=\int_{L} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}, \Phi=\int_{S} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \text {. }
\]

Заметим, что между направлением обхода контура $L$ и вектором $\mathrm{d} \mathbf{S}$ соблюдается правовинтовое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Ф [см. (46.2)] поверхность $S$, сквозь которую вычисляется поток, является произвольной, натянутой на контур $L$ поверхностью. Такое определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром $L$ или, как говорят, натянута на контур $L$. Докажем это. Выберем две какие-либо поверхности $S_{1}$ и $S_{2}$, натянутые на контур $L$. Их совокупность составляет замкнутую поверхность $S=S_{1}+S_{2}$, ограничивающую некоторый объем $V$ между ними. Поток вектора В сквозь замкнутую поверхность $S$ равен нулю, поскольку по теореме Гаусса-Остроградского он равен интегралу по объему $V$, ограниченному поверхностью $S$, от $\operatorname{div} \mathbf{B}=0$. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через $S_{1}$ и $S_{2}$ (знаки потоков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
Преобразуем левую часть (46.1) по формуле Стокса:
\[
\int_{L} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=\int_{S} \operatorname{rot} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \text {. }
\]

В результате получаем
\[
\int_{L} \operatorname{rot} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=-\int_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S},
\]

причем производная по $t$ внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как $S$ произвольна, то из (46.4) следует, что

Уравнешие (46.5) является дифференциальной записью закона электромагиитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некоторой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле Е часто называют индукционным.
Непотенциальность индукционного электрического поля. В переменном магнитном поле $\partial \mathbf{B} / \partial t
eq 0$ и, следовательно, в соответствии с (46.5) $\operatorname{rot} \mathbf{E}
eq 0$.

Это означает, что индукциониое электрическое поле в отличие от электростатического, порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемецения заряда $q$ в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
\[
A=q \mathscr{\mathscr { ~ }}^{\text {инд }}=q \int_{L} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}
eq 0 .
\]

Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде градиента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от (14.27) представление.

В екторный и скалярный потенциалы в переменном электромагнитном поле. Поскольку закон электромагнитной индукции не затрагивает законов порождения магнитного поля, уравнение (36.4) для дивергенции магнитного поля остается без изменения, т. е. $\operatorname{div} \mathbf{B}=0$. Следовательно, без изменения остается и формула (37.2), связывающая векторный потенциал с индукцией магнитного поля:
\[
\mathbf{B}=\operatorname{rot} \mathbf{A} .
\]

Связь скалярного потенциала с напряженностью электрического
поля изменяется. Выражая В в (46.5) с помощью (46.8), получаем $\operatorname{rot} \mathbf{E}=-\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{rot} \mathbf{A}=-\operatorname{rot} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$,
где последовательность дифференцирований по времени и координатам изменена вследствие их независимости. Уравнение (46.9), переписанное в виде
\[
\operatorname{rot}\left(\mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)=0 \text {, }
\]

показывает, что вектор $\mathbf{E}+\partial \mathbf{A} / \partial t$ является потенциальным и, следовательно, может быть прелставлен в вице градиента некоторой функции $\mathbf{E}+\partial \mathbf{A} / \partial t=-\operatorname{grad} \varphi$,
где $\varphi$-скалярный потенциал. Таким образом, в случае переменных полей напряженность электрического поля выражается не только через скалярный, но и через векторный потениал формулой

Первое слагаемое в правой части (46.12) учитывает порождение электрического поля электрическими зарядами, а второе – порождение по.ıя по закону э.лектромагитной индукции Фарадея.
Неоднозначность потенциалов, калибровочное преобразование. Так же как и в стационарном случае, скалярный и векторный нотенциалы являются неоднозначными, т.е. одно и то же электромагнитное поле может быть описано многими скалярными и векторными потенциалами.

Пусть поле Е, В описывается потенциалами $\mathbf{A}, \varphi$ по формулам (46.8) и (46.12) и имеется некоторая произвольная функция $\chi(x, y, z, t)$. Утверждается, что потенциалы
\[
\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}+\operatorname{grad} \chi, \varphi^{\prime}=\varphi-\partial \varphi / \partial t
\]

характеризуют то же самое поле Е, В, что и потенциалы $\mathbf{A}, \varphi$. Для доказательства найдем $\mathbf{E}^{\prime}, \mathbf{B}^{\prime}$, описываемые потенциалами $\mathbf{A}^{\prime}, \varphi^{\prime}$ по формулам (46.8) и (46.12):
\[
\mathbf{B}^{\prime}=\operatorname{rot} \mathbf{A}^{\prime}=\operatorname{rot} \mathbf{A}+\operatorname{rot} \operatorname{grad} \chi=\mathbf{B},
\]

где учтено, что rot grad $=0$ и принята во внимание формула (46.8). Для поля $E^{\prime}$ получаем
$E^{\prime}=-\operatorname{grad} \varphi^{\prime}-\hat{A^{\prime}} / \partial t=-\operatorname{grad} \varphi-\operatorname{grad}(\hat{c} \chi / \hat{c} t)-$
$-\hat{C A} / \hat{c} t-\hat{\partial}(\operatorname{grad} \chi) / \hat{c} t=-\operatorname{grad} \varphi-\hat{\mathbf{A}} / \hat{\partial} t=\mathbf{E}$.
Таким образом, действительно потенциалы (46.13) описывают то же самое поле, что и потенциалы $\mathbf{A}$, 甲. Преобразования (46.13) называют калибровочными. Они позволяют «калибровать» потенциалы, т. е. наложить на них неколорое условие, пользуясь их неоднозначностью (см. § 14, 37, 63).