Обсуждаются физические причины, обусловливающие существование иума, и рассматриваются количественные характеристики шума в цепях с током.
Tеорема о равнораспределении энергии по степени свободы. В статистической физике важную роль играет положение о том, что в состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы системы приходится одна и та же энергия, равная $k T / 2$ ( $k-$ постоянная Больцмана, $T$ – термодинамическая температура). Наглядным проявлением справедливости этого утверждения является броуновское движение. Средняя кинетическая энергия поступательного движения $\left\langle\left(m v^{2} / 2\right)\right\rangle$ броуновской частицы удовлетворяет соотношению $\left\langle m v^{2} / 2\right\rangle=3 k T / 2$, поскольку имеется три степени поступательного движения.
Применение теоремы о равнораспределении энергии к свободному гальванометру. Если на упругой нити свободно подвешено зеркальце, то по теореме о равнораспределении оно пе может быть абсолютно неподвижным. В результате взаимодействия зеркальца с тепловым движением молекул воздуха возбуждаются его крутильные колебания и на каждую степень свободы при этом должна приходиться энергия $k T / 2$. Напомним, что теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы относится не только к кинетической, но и к потенциальной энергии осциллятора.
Обозначим $D$-модуль кручения нити, $\varphi$ – угол отклонения зеркальца от положения равновесия (рис. 265). Уравнение крутильных колебаний имеет вид
\[
J \ddot{\varphi}=-D \varphi \text {, }
\]
где $J$ – момент инерции зеркальца относительно оси кручения. Умножая обе части (67.1) на $\dot{\varphi}$ и интегрируя полученное выражение, находим закон сохранения энергии:
\[
1 / 2 J \dot{\varphi}^{2}+1 / 2 D \varphi^{2}=\text { const. }
\]
Поскольку на каждую степень свободы приходится энергия $k T / 2$, из (67.2) получаем
\[
\left\langle 1 / 2 J \dot{\varphi}^{2}\right\rangle=\left\langle 1 / 2 D \varphi^{2}\right\rangle=1 / 2 k T
\]
и, следовательно,
\[
\left\langle\varphi^{2}\right\rangle=k T / D \text {. }
\]
Это означает, что зеркальце не может находиться в положении равновесия, а колеблется около него со средним квадратом угла отклонения (67.4). Таким образом (67.4) характеризует отклонение угла
Флуктуации крутильных колебаний
Флуктуации в колебательном контуре
от средней величины, т.е. описывает флуктуации. Ясно, что если имеется некоторое крутильное колебание, то по принципу суперпозиции можно заключить, что (67.4) характеризует флуктуацию квадрата амплитуды.
Флуктуации в колебательном контуре. В колебательном контуре (рис. 266) происходят колебания с частотой $\omega=1 / \sqrt{L C}$, физическая сущность которых заключается во взаимопревращении энергии электрического поля в конденсаторе и энергии магнитного поля в индуктивности. Закон сохранения энергии имеет вид
\[
Q^{2} /(2 C)+L I^{2} / 2=\text { const, }
\]
где $Q$ – заряд на обкладках конденсатора, $I$ – сила тока в контуре.
Нельзя себе представить контур, в котором абсолютно отсутствуют токи, а на обкладках конденсатора не возникают заряды. Точнее говоря, такую ситуацию можно себе представить лишь при температуре 0 К. При температуре, отличной от 0 К, тепловое движение электронов приведет к возникновению зарядов на обкладках конденсатора и токов в контуре. По теореме о равнораспределении имеем
\[
\left\langle Q^{2} /(2 C)\right\rangle=\left\langle L I^{2} / 2\right\rangle=k T / 2 \text {. }
\]
Следовательно, средний квадрат заряда на обкладках конденсатора и средний квадрат силы тока равны
Исходя из принципа суперпозидии, можно сказать, что (67.7) представляет собой средние квадратичные флуктуации величин заряда и силы тока в колебательном контуре.
$\mathbf{P}$ аспределение флуктуаций по частотам. Формула (67.7) дает лишь полную среднюю квадратичную величину флуктуаций и ничего не говорит о том, как она распределяется по частотам. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо решить уравнение колебаний для контура, на который действуют случайные силы, представив их в виде ряда (интеграла) Фурье по частотам:
$U=\sum_{\omega} U_{\omega} \mathrm{e}^{i \omega t}$.
Уравнение (50.10) для колебаний заряда конденсатора принимает вид $\ddot{L}+R \dot{Q}+Q / C=\sum_{\omega} U_{\omega} \mathrm{e}^{i \omega t}$,
откуда
\[
Q=\sum_{\omega} \frac{U_{\omega} \mathrm{e}^{i \omega t}}{-L \omega^{2}+i R \omega+1 / C},
\]
что проверяется дифференцированием. Для среднего квадрата амплитуды $\left\langle\left|Q Q^{*}\right|\right\rangle=\left\langle|Q|^{2}\right\rangle$, отсюда находим
\[
\left\langle|Q|^{2}\right\rangle=\left\langle Q Q^{*}\right\rangle=\left\langle\sum_{\omega, \omega^{\prime}} \frac{U_{\omega} U_{\omega^{\prime}}^{*} \mathrm{e}^{i \omega t} \mathrm{e}^{-i \omega^{\prime} t}}{\left(-L \omega^{2}+i R \omega+1 / C\right)\left(-L \omega^{2}-i R \omega+1 / C\right)}\right\rangle .
\]
Электродвижущие силы, возбуждающие колебания различных частот, являются независимыми и некоррелированными между собой. Поэтому при усреднении в (67.11) члены с $\omega
eq \omega^{\prime}$ пропадают и остается
\[
\left\langle Q^{2}\right\rangle=\left\langle|Q|^{2}\right\rangle=\sum_{\omega} \frac{\left\langle U_{\omega}^{2}\right\rangle}{\left(L \omega^{2}-1 / C\right)^{2}+R^{2} \omega^{2}},
\]
где $\left\langle Q^{2}\right\rangle$ и $\left\langle U_{\omega}^{2}\right\rangle$ – средние значения от действительных квадратов амплитуд соответствующих величин.
Теперь перейдем к непрерывному спектру частот, поскольку предшествующие вычисления проделаны для дискретного спектра лишь с целью упрощения вычислений. Фактический спектр является непрерывным. От средних квадратичных величин для частот дискретного спектра необходимо перейти к плотностям соответствующих величин.
Средний квадрат полного заряда составляется из вкладов отдельных частот. Поэтому
\[
\left\langle Q^{2}\right\rangle=\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}\left\langle Q_{\omega}^{2}\right\rangle}{\mathrm{d} \omega} \mathrm{d} \omega,
\]
где $\mathrm{d}\left\langle Q_{\omega}^{2}\right\rangle / \mathrm{d} \omega$ – плотность квадратов амплитуд колебаний заряда; $\mathrm{d}\left\langle Q_{\omega}^{2}\right\rangle$ – средний квадрат амплитуды колебаний заряда, приходящейся на интервал частот ( $\omega, \omega+d \omega)$. Под знаком суммы в (67.12) произведем замену:
\[
\left\langle U_{\omega}^{2}\right\rangle \rightarrow \frac{\mathrm{d}\left\langle U_{\omega}^{2}\right\rangle}{\mathrm{d} \omega} \mathrm{d} \omega,
\]
понимая под $\mathrm{d}\left\langle U_{\omega}^{2}\right\rangle / \mathrm{d} \omega$ – плотность распределения квадратов амплитуд напряжений по частотам. После такой замены можно в (67.12) перейти от суммы к интегралу. В результате получаем
\[
\left\langle Q^{2}\right\rangle=\int_{0}^{\infty} \frac{\left[\mathrm{d}\left\langle U_{\omega}^{2}\right\rangle / \mathrm{d} \omega\right] \mathrm{d} \omega}{\left(L \omega^{2}-1 / C\right)^{2}+R^{2} \omega^{2}}=\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}\left\langle Q_{\omega}^{2}\right\rangle}{\mathrm{d} \omega} \mathrm{d} \omega,
\]
откуда
$\mathrm{d}\left\langle Q_{\omega}^{2}\right\rangle=\frac{\mathrm{d}\left\langle U_{\omega}^{2}\right\rangle}{\left(L \omega^{2}-1 / C\right)^{2}+R^{2} \omega^{2}}$.
II ум сопротивления. Средняя энергия гармонических колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому плотность среднего квадрата амплитуды колебаний характеризует плотность их энергии. Дальнейший анализ основывается на предположении, что средняя плотность квадратов амплитуд $\left(\frac{\mathrm{d}\left\langle U_{\omega}^{2}\right\rangle}{\mathrm{d} \omega}=A\right)$ не зависит от частоты. Обоснование его справедливости основывается на случайном характере электродвижущих сил. Поэтому (67.14) можно записать в виде:
\[
\left\langle Q^{2}\right\rangle=A \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} \omega}{\left(L \omega^{2}-1 / C\right)^{2}+R^{2} \omega^{2}}, A=\frac{\mathrm{d}\left\langle U_{\omega}^{2}\right\rangle}{\mathrm{d} \omega} .
\]
Интеграл вычисляется элементарными методами и приводит к равенству
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{d \omega}{\left(L \omega^{2}-1 / C\right)^{2}+R^{2} \omega^{2}}=\frac{\pi C}{2 R} .
\]
Из (67.7) с учетом (67.16) и (67.17) находим $\mathrm{d}\left\langle U_{\omega}^{2}\right\rangle=(2 / \pi) k R T \mathrm{~d} \omega$.
Отсюда на основании (67.15) следует, что
\[
\mathrm{d}\left\langle Q_{\omega}^{2}\right\rangle=\frac{(2 / \pi) k T R \mathrm{~d} \omega}{\left(L \omega^{2}-1 / C\right)^{2}+R^{2} \omega^{2}} .
\]
Необходимо обратить внимание на то, что $\frac{\mathrm{d}\left\langle U_{\omega}^{2}\right\rangle}{\mathrm{d} \omega}$ определяет плотность среднего квадрата амплитуды, отнесенную к интервалу круговых частот $\omega$. Очень часто пользуются плотностью среднего квадрата амплитуды, отнесенной не к круговой частоте $\omega=2 \pi / T$, а просто к частоте $v=1 / T$, т.е. величиной $\frac{\mathrm{d}\left\langle U_{v}^{2}\right\rangle}{\mathrm{dv}}$. Учитывая, что $\omega=2 \pi v, \mathrm{~d} \omega=2 \pi \mathrm{d} v$, находим
$\frac{\mathrm{d}\left\langle U_{\omega}^{2}\right\rangle}{\mathrm{d} \omega}=\frac{1}{2 \pi} \frac{\mathrm{d}\left\langle U_{\mathrm{v}}^{2}\right\rangle}{\mathrm{dv}}$.
Тогда [см. (67.18)]
$\mathrm{d}\left\langle U_{\mathrm{v}}^{2}\right\rangle=4 k T R \mathrm{dv}$,
– формула Найквиста: средний квадрат амплитуды напряжения флуктуаиий пропорионален интервалу частот и зависит только от сопротивления в контуре и температуры. Экспериментально существование таких флуктуаций было обнаружено Джонсоном. Эти флуктуации называют шумом сопротивлений или шумом Джонсона.
7 квивалентный генератор шума. Флуктуации, обусловленные сопротивлением $R$, средний квадрат напряжения которых определяется формулой (67.21), могут быть представлены как результат действия генератора э. д. с. $U_{\mathrm{v}}$ и внутреннего сопротивления $R$. Эквивалентный генератор тока шунтирован сопротивлением $R$ и характеризуется (в соответствии с законом Ома) средним квадратом силы тока:
$\mathrm{d}\left\langle I_{\mathrm{v}}^{2}\right\rangle=4 k T \mathrm{dv} / R$.
$\mathbf{M}$ ощность шума генератора. Антенна, с помощью которой принимаются радиосигналы, направляющиеся затем в приемник, по своей роли в цепи эквивалентна генератору с соответствующим внутренним импедансом. Ее согласование с приемником состоит в том, чтобы сделать сумму реактивных составляющих импедансов антенны и приемника равной нулю, а их активные сопротивления равными между собой (см. § 49). При этом максимальная мощность, которую генератор (антенна) может отдать в приемник [см. (49.35)], равна
\[
P_{\text {н. макc }}=\left\langle U^{2}\right\rangle /(4 R) \text {, }
\]
где $\left\langle U^{2}\right\rangle$ – средний квадрат э. д. с. антенны; $R$ – ее внутреннее сопротивление, равное сопротивлению нагрузки.
Пусть нагрузочное сопротивление $R$ само по себе не производит шума и является, например, омическим сопротивлением, поддерживаемым вблизи температуры 0 К. Можно также представить себе в качестве нагрузки идеальный приемник, который сам по себе не обладает никаким внутренним шумом. Тем не менее, в принимаемом с антенны сигнале будет содержаться шум, мощность которого в соответствии с (67.23) и (67.21) равна
\[
\mathrm{d} P_{\mathrm{u}}=\frac{\mathrm{d}\left\langle U_{\mathrm{v}}^{2}\right\rangle}{4 R}=k T \mathrm{dv} .
\]
Этот шум в наушниках при достаточном усилении будет слышен и никакими усовершенствованиями приемника от него избавиться нельзя. Его можно также увидеть на экране осциллографа. Увеличение коэффициента усиления приемника пропорционально увеличит на выходе из приемника как полезный сигнал, так и шум (67.24), поданный на его вход, не изменив соотношения между ними.
Максимальная чувствительность. Сигнал можно детектировать, если его мощность будет больше мощности шума. Поэтому из (67.24) для минимальной мощности детектируемого сигнала получается выражение
\[
\mathrm{d} P_{0}=k T \mathrm{~d} v,
\]
справедливое для идеального приемника. Эта мощность представляет порог чувствительности приемника.
Единственной возможностью повышения чувствительности (при фиксированной температуре) является уменьшение ширины полосы используемых частот $\mathrm{d} v$. Однако при этом уменьшается количество информации, которую несет с собой сигнал, и в каждом случае имеется нижний предел, до которого можно сужать полосу. Например, для передачи речи по радио с помощью амплитудной модуляции без очень большого искажения необходимо иметь полосу порядка $\mathrm{d} v=10$ кГц. При комнатной температуре ( $T=290 \mathrm{~K}$ ) это для минимальной детектируемой мощности дает
\[
\mathrm{d} P_{0}=1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 290 \cdot 10^{4} \mathrm{BT}=4 \cdot 10^{-17} \text { Вт. }
\]
Для передачи телевизионных изображений минимальная ширина полосы должна быть порядка 4 МГц, поскольку объем информации для восстановления изображения значительно больше, чем для восстановления речи. При этих условиях минимальная мощность сигнала, подаваемого на идеальный приемник, составляет $1,6 \cdot 10^{-14}$ Вт.
3 квивалентная шумовая температура приемника. Фактически приемник сам является источником дополнительных шумов, которые накладываются на шумы антенны. Поэтому мощность $\mathrm{d} P_{1}$ минимального сигнала, который может быть детектирован, больше, чем $\mathrm{d} P_{0}$, на мощность $\mathrm{d} P_{\text {пр }}$ внутреннего шума приемника:
\[
\mathrm{d} P_{1}=\mathrm{d} P_{0}+\mathrm{d} P_{\text {пр }} \text {. }
\]
Мощность $\mathrm{d} P_{\text {пр }}$ внутреннего шума приемника принято выражать по формуле (67.25) посредством эквивалентной шумовой температуры $T_{3}$ в виде
\[
\mathrm{d} P_{\text {пр }}=k T_{3} \mathrm{~d} v .
\]
У идеального приемника $T_{3}=0 \mathrm{~K}$. Однако очень близко подходить к этому пределу в практике нет необходимости. Достаточно эквивалентную температуру сделать примерно раз в десять меньше соответствующей температуры генератора (антенны), чтобы дополнительный шум приемника был практически несуществен.
Коэффициент шума приемника. При комнатной температуре на интервал частот $d v=1$ в соответствии с (67.26) приходится мощность $\mathrm{d} P_{01}=4 \cdot 10^{-21}$ Вт. Шумовая характеристика приемника описывается коэффициентом шума
\[
F=\frac{\mathrm{d} P_{1}}{\mathrm{~d} P_{01}} .
\]
Обычно он выражается в децибелах.
$\mathbf{O}^{\text {тношение сигнал – шум. Сигнал детектируется тем надежнее, чем }}$ больше он превышает уровень шума, что особенно важно, например, для качественной передачи и воспроизведения музыкальных произведений. Эта характеристика приемных и воспроизводящих устройств определяется отношением амплитуды напряжения сигнала к
К вычисленио шума на сетке вакуумного триода
О При полном согласовании нагрузки с генератором отношение сигнал-шум не является самым пучшим. При рассогласовании нагрузки с генератором посредством увеличения сопротивления нагрузки $R_{2}$ можно үлүчшить это отношение примерно в два раза. К такому же заключению можно прийти и через оценку чувствительности – при рассогласовании нагрузки с генератором посредством увеличения сопротивления нагрузки $R_{2}$ чувствительность увеличивается.
амплитуде напряжения шума. Поскольку это отношение в обычных условиях составляет очень большое число, его выражают в децибелах по формуле
\[
N=20 \log \frac{U_{\mathrm{c}}}{U_{\mathrm{mb}}}=10 \log \frac{U_{\mathrm{c}}^{2}}{U_{\mathrm{mu}}^{2}},
\]
где $U_{\text {с }}$ и $U_{\text {ш }}$ – соответственно амплитуды напряжения сигнала и шума.
Рассмотрим для примера отношение сигнал – шум у вакуумного триода (рис. 267). Сигнал подается на вход в цепь между сеткой и катодом. Источник сигнала характеризуется электродвижущей силой $U_{\text {г }}$ и внутренним сопротивлением $\boldsymbol{R}_{\mathbf{1}}$. Мощность шума сопротивления генератора на основании (67.21) равна
$4 k T \mathrm{~d} v=U_{u 1}^{2} / R_{1}$,
где $U_{\mathrm{t} 1}$ – э. д. с. эквивалентного генератора шума, который включен в цепь последовательно с $R_{1}$. и генератором $U_{\mathrm{r}}$.
Другим источником шума является сопротивление $R$, с которого снимается напряжение. Мощность шума этого источника равна
$4 k T \mathrm{~d} v=U_{\mathrm{m} 2}^{2} / R$,
где $U_{\mathrm{m} 2}$ – э. д. с. эквивалентного генератора шума.
Для вычисления мощности шума на сетке примем во внимание, что нагрузкой для генератора шума $U_{\mathrm{z} 1}$ является сопротивление $R_{2}$, а для генератора шума $U_{\mathrm{mn} 2}-$ сопротивление $R_{1}$. Ясно, что генераторы шума действуют независимо и поэтому средний квадрат напряжения полного шума равен сумме средних квадратов напряжений шумов, создаваемых каждым из генераторов. Поэтому для среднего квадрата шумового напряжения на сетке получаем $U_{\mathrm{ww}}^{2}=\left(\frac{U_{\mathrm{m} 1}}{R_{1}+R_{2}} R_{2}\right)^{2}+\left(\frac{U_{\mathrm{m} 2}}{R_{1}+R_{2}} R_{1}\right)^{2}=$ $=4 k T \mathrm{~d} v\left[\frac{R_{1} R_{2}^{2}}{\left(R_{1}+R_{2}\right)^{2}}+\frac{R_{2} R_{1}^{2}}{\left(R_{1}+R_{2}\right)^{2}}\right]=$ $=4 k T \mathrm{~d} v \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$.
Примем во внимание, что средний квадрат амплитуды сигнала на сетке равен
\[
U_{\mathrm{c}}^{2}=\left(\frac{U_{\mathrm{r}}}{R_{1}+R_{2}} R_{2}\right)^{2} .
\]
Из (67.33) и (67.34) получаем отношение среднего квадрата напряжения сигнала к среднему квадрату напряжения шума на сетке:
\[
\frac{U_{\mathrm{c}}^{2}}{U_{\mathrm{ut}}^{2}}=\frac{U_{\mathrm{r}}^{2}}{4 k T \mathrm{~d} v} \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \frac{1}{R_{1}}=\frac{P}{k T \mathrm{~d} v} \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}},
\]
где $P=U_{\mathrm{r}}^{2} /\left(4 R_{1}\right)$ – максимальная мощность сигнала, отдаваемого генератором во внешнюю цепь [см. (67.23)]. Из формулы (67.35) видно, что при полном согласовании нагрузи с генератором $\left(R_{2}=R_{1}\right.$ ) отношение сигнал-шум не является самым яучиим. Наоборот, при рассогласовании путем увеличения сопротивления нагрузки $R_{2}$ можно улучиить это отношение примерно в два раза.
К такому заключению можно прийти и через оценку чувствительности. Минимальная мощность сигнала генератора, который на сетке еще можно отличить от шума, получается из (67.35), если $U_{\mathrm{c}}^{2} / U_{\mathrm{u}}^{2}=1$ :
$P_{1}=k T \mathrm{~d} v \frac{R_{1}+R_{2}}{R_{2}}$.
Очевидно, что минимальная детектируемая мощность при согласовании нагрузки с генератором $\left(R_{2}=R_{1}\right.$ ) равна $2 k T \mathrm{~d} v$, а при рассогласовании $\left(R_{2} \gg R_{1}\right)-k T \mathrm{dv}$, т. е. при рассог ласовании наэрузки с генератором чувствительность увеличивается.
Если генератором в рассматриваемой схеме является антенна, то все эти заключения применимы к системе антенна – приемник.
