Рассматриваются принцип действия бетатрона и основные положения теории устойчивости движения электронов в нем. Обсуждается предел энергий, достижимых в бетатіроне. .
полосового Назначение. Бетатрон является примером устройства, в котором вихревое индукционное электрическое поле действует на свободные электроны в вакууме. Он предназначен для ускорения электронов до больших энергий порядка нескольких сотен мегаэлектрон-вольт. Ускорению до более значительных энергий препятствуют потери энергии на тормозное излучение, возникающее вследствие движения электронов с ускорением по круговым орбитам. Используемый в бетатроне механизм ускорения не в состоянии компенсировать эти потери и цикл ускорения прекращается.
Принцип действия. Основная идея: подобрать такие условия, при которых электрон в нарастающем магнитном поле ускорялся бы вихревым элекгрическим полем и одновременно магнитным полем удерживался бы на круговой орбите постоянного радиуса.
Оказывается, что такое условие возможно. Оно называется бетатронным условием.
Бетатронное условие. Запишем уравнение движения электрона по окружности постоянного радиуса в растущем магнитном поле, считая, что такое движение возможно. Решение даст условия, при которых это движение может быть осуществлено.

Обозначим: $r_{0}$ – радиус орбиты; $p$ – импульс электрона, направленный все время по касательной к круговой орбите (рис. 238). Закон электромагнитной индукции для определения напряженности электрического поля на орбите дает уравнение
\[
2 \pi r_{0} E=-\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t .
\]

С другой стороны, уравнение движения имеет вид
\[
\mathrm{d} p / \mathrm{d} t=e E .
\]

Из (56.1) и (56.2) следует, что
\[
\mathrm{d} p / \mathrm{d} t=-\frac{e}{2 \pi r_{0}} \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t} .
\]

Поскольку $r_{0}=$ const, можно обе части уравнения проинтегрировать по $t$ от 0 до $t$ :
\[
p_{t}-p_{0}=-\left[e /\left(2 \pi r_{0}\right)\right]\left(\Phi_{t}-\Phi_{0}\right) \text {, }
\]

где индексами $t$ и 0 обозначено значение соответствующих величин в момент времени $t$ и в начальный момент $t=0$. Уравнение Ньютона для центростремительного ускорения запишем в виде
\[
m v^{2} / r_{0}=-e v B,
\]

где $m$ – релятивистская масса. Из (56.5) сле- 240
дует, что $p=m v=-e \mathrm{Br}_{0}$. Тогда [см. (56.4)] $\overline{\mathrm{K} \text { выводу условия радиальной }}$
$B_{t}-B_{0}=\frac{1}{2}\left(\frac{\Phi_{t}}{\pi r_{0}^{2}}-\frac{\Phi_{0}}{\pi r_{0}^{2}}\right)$. устойчивости электронов в бетатроне
Так как вектор индукции В направлен перпендикулярно плоскости орбиты и поток магнитной индукции равен
$\Phi=\int_{S} B \cdot \mathrm{d} S$
( $S=\pi r_{0}^{2}-$ площадь, ограниченная орбитой) то
241
$\Phi /\left(\pi r_{0}^{2}\right)=\langle B\rangle$ устой обеспечения вертикальной нов в бетатроне

– средняя индукция поля на площади $S$, охватываемой орбитой. Считая, что в начальный момент поле отсутствует ( $B_{0}=0, \Phi_{0}=0$ ), из (56.6) с учетом (56.8) находим
\[
B_{t}=1 / 2\left\langle B_{t}\right\rangle \text {. }
\]

Это есть бетатронное условие: магнитная индукция на орбите электрона равна половине величины средней магнитной индукиии, охватываемой орбитой. Следовательно, надо индукцию магнитного поля сделать уменьшающейся от центра к орбите по какому-либо закону, лишь бы выполнялось условие (56.9). Для этого необходимо соответствующим образом подобрать форму полюсов электромагнитов, создающих магнитное поле (рис. 239). Поскольку при заданной форме полюсов магнитов форма силовых линий не зависит от силы тока и индукции магнитного поля, условие (56.9) оказывается выполненным для любой силы тока в электромагните. А это означает, что нет необходимости заботиться о законе изменения силы тока. Единственный вопрос, вызывающий беспокойство,- устойчивость движения; если некоторые причины выведут электрон из режима движения строго по окружности радиусом $r_{0}$, то возникнут ли силы, стремяциеся удержать его в режиме ускорения вблизи окружности, или он выйдет из режима ускорения и будет потерян?

Имеются две возможности отклонения электрона от орбиты: либо по радиусу, либо по вертикали из плоскости его движения. Радиальная устойчивость. Индукцию магнитного поля в области орби-
ты принято представлять в виде
\[
B=\text { const } / r^{n}
\]

и характеризовать скорость ее изменения величиной $n$. Центростремительная сила $F_{\text {чс }}^{\text {неох }}$, необходимая для обеспечения движения электрона по окружности радиусом $r$, и фактически возникающая центростремительная сила $F_{\text {цс }}$ на том же расстоянии $r$ от центра равны:
\[
F_{\text {tсс }}^{\text {необх }}=m v^{2} / r=A_{1} / r, F_{\text {цс }}=e v B=A_{2} / r^{n},
\]

где $A_{1}$ и $A_{2}$ – постоянные ( $v=$ const). Графики этих величин при $n>1$ и $0<n<1$ показаны на рис. 240. При $r=r_{0}$ выполняется равенство (56.5) и осуществляется движение по окружности радиусом $r_{0}$. Если по каким-то причинам произойдет смещение электрона на радиус $r>r_{0}$, то при $n>1$ центростремительная сила $F_{\text {цс }}<F_{\text {цсс }}^{\text {неох }}$. Это означает, что возникают факторы, стремящиеся удалить электрон.от орбиты радиусом $r_{0}$. Поэтому при $n>1$ движение оказывается неустойчивым. При $n<1$ центростремительная сила $F_{\text {ис }}>F_{\text {ис }}^{\text {неох }}$ и возникают факторы, стремящиеся возвратить электрон на орбиту радиусом $r_{0}$, в результате чего достигается радиальная устойчивость. Рассмотрение случая $r<r_{0}$ приводит к тому же заключению. Следовательно, условие радиальной устойчивости движения имеет вид
\[
0<n<1 \text {. }
\]

Вертикальная устойчивость. Она обеспечивается всегда при спадании индукции магнитного поля к периферии ( $n>0$ ), поскольку в этом случае силовые линии выпуклы наружу (рис. 241) и при отклонении электрона от средней плоскости возникает составляюцая силы Лоренца, стремящаяся вернуть его к ней (рис. 241). Таким образом, при выполнении условия (56.12) обеспечивается также и вертикальная устойчивость движения, т. е. неравенство (56.12) является общим условием устойчивости движения электрона в бетатроне.
Бетатронные колебания. При небольших отклонениях от равновесной орбиты $\left(r=r_{0}\right.$ ) электроны совершают около нее небольшие гармонические колебания как в радиальном, так и в вертикальном направлениях. Эти колебания называются бетатронными. Их амплитудой определяется сечение кольцевой вакуумной камеры, в которой осуществляется движение электрона. Обычно линейные размеры поперечного сечения этой камеры составляют примерно $5 \%$ от радиуса орбиты. Предел энергий, достижимых в бетатроне. Как было уже сказано, этот предел обусловливается потерями энергии электронов на тормозное излучение (см. гл. 10). Практически в бетатронах можно получить максимальные знергии, не превышающие 300 МэВ.
Задачи
8.1. Вычислить индуктивность участка длиной $l$ двухпроводной линии, пренебрегая внутренней индуктивностью проводов, Радиусы проводов одинаковы и равны $r_{0}$, pacстояние между проводами равно $d$.
8.2. По прямому бесконечному круглому цилиндрическому проводнику течет ток плотностью ј. В проводнике имеется цилиндрическая полость круглого сечения. Оси цилиндра и полости параллельны (см. рис. 98). Найти индукцию магнитного поля внутри полости $\left(\mu=\mu_{0}\right)$.
Указание: См. задачу 2.9.
8.3. Имеется очень длинный соленоид с плотностью намотки $n$ витков на 1 м длины. Площадь поперечного сечения соленоида равна $S$. Через обмотку соленоида течет ток силой I. В соленоид с двух сторон вдвинуты очень длинные железные стержни с магнитной проницаемостью $\mu$. Стержни плот-
но прилегают к обмотке соленоида. Между стержнями внутри соленоида имеется очень маленький промежуток. Определить силу, с которой стержни притягиваются друг к другу.
8.4. Имеется электромагнит U-образной формы, обмотка которого состоит из $n$ витков. Площадь поперечного сечения, длина, магнитная проницаемость материала магнита и расстояние между полюсами равны соответственно $S$, $l$, $\mu$ и $d$. Сила тока, текущего через обмотку магнита, равна $I$. К полюсам магнита приложили полосу из того же материала и с тем же поперечным сечением, что и магнит. Определить силу, с которой полоса притягивается к магниту.
8.5. Горизонтальный металлический стержень врацается около вертикальной оси, проходящей на расстоянии $1 / k$ его длины от одного из концов, с частотой v. Длина стержня равна $l$. Определить разность потенциалов между концами стержня, если он вращается в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией $B$. Считать, что $k=3 ; l=1,2 \mathrm{M} ; v=6 \mathrm{c}^{-1}$; $B=10^{-2}$ Тл.
8.6. Между круглыми полюсами большого электромагнита, питаемого переменным током частотой $v=1$ кГц, образуется синусоидально изменяющееся со временем магнитное поле с амплитудой индукции $B_{0}=0,5$ Тл. Считая магнитное поле однородным, определить максимальную напряженность электрического поля в зазоре между магнитами на расстоянии $r=0,1$ м от центра.
8.7. Замкнутый на себя соленоид радиусом $b$ с $n$ витками вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг диаметра одного из витков в однородном магнитном поле с индукцией $B$. Ось вращения перпендикулярна вектору индукции. Сопротивление и индуктивность соленоида равны $R$ и $L$ соответственно. Определить силу тока, текущего через соленоид, как функцию времени.
8.8. Сверхпроводящее кольцо, которое может двигаться лишь в вертикальном направлении, лежит на столе над витком проводника. Через виток проводника начинает течь ток силой $I$. В результате этого сверхпроводящее кольцо поднимается. Взаимная индуктивность витка и кольца, поднятого на высоту $x$, равна $L_{12}(x)$. Индуктивность сверхпроводящего кольца равна $L_{11}$, масса кольца $m$, ускорение свободного падения $g$. Определить высоту $h$, на которую поднимается сверхпроводящее кольцо.
8.9. Через катушку $A_{1}$ пропускается ток силой $I_{0} \sin \omega t$. В катушке $A_{2}$ индуцируется соответствующая сила тока. Индуктивности и
взаимоиндуктивность равны $L_{1}$, $L_{2}, L_{12}$. Сопротивление катушки $A_{2}$ равно $R_{2}$. Пусть $\xi_{i}$ – некоторая обобщенная координата, характеризующая положение катушки $A_{2}$. Найти обобщенную среднюю силу $F_{i}$, которая связана с обобщенной координатой $\xi_{i}$.
8.10. В плоскости лежат бесконечно длинный прямолинейный проводник и проводник в виде окружности радиусом $a$ (рис. 242). Расстояние от центра кольцевого проводника до прямолинейного $d$. Найти взаимную индуктивность.
242
Взаимное расположенйе взаимодействующих прямого и кругового токов
8.11. По прямолинейному и кольцевому проводникам, описанным в задаче (8.10), протекают токи силой $I_{1}$ и $I_{2}$. Какая сила действует на кольцевой проводник?
8.12. Найти взаимную индуктивность обмотки тороида (рис. 195) и прямолинейного проводника бесконечной длины, совпадающего с аксиальной осью симметрии тороида.
8.13. Найти индуктивность обмотки тороида круглого сечения радиусом $r$ с $n$ витками. Большой радиус тороида равен $R$.
8.14. Коаксиальный кабель, жила и оболочка которого имеют бесконечную проводимость и радиусы $r_{1}$ и $r_{2}$, замкнут накоротко подвижной диафрагмой (рис. 243). Найти силу, которая действует на подвижную диафрагму, когда по кабелю протекает ток силой $I$.

8.15. Полый цилиндр радиусом $r_{2}$ и коаксиальный с ним цилиндрический проводник радиусом $r_{1}$ очень большой проводимости опущены в проводящий жидкий магнетик с магнитной проницаемостью $\mu$ и плотностью массы $\rho$ (рис. 244). В цепи идет ток силой I. Найти высоту подьема жидкого магнетика в цилиндре.
244
Втягивание магнетика в пространство между коаксиальпыми проводниками с током
8.16. Диэлектрический цилиндр радиусом $a$ вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$, параллельно которой направлен вектор индукции В постоянного магнитного поля. Найти поляризованность цилиндра и поверхностную плотность связанного заряда. Диэлектрическая проницаемость вещества цилиндра равна $\varepsilon$.
8.17. Тонкий проводящий диск с проводимостью $\gamma$ расположен в пе-
ременном магнитном поле, индукция которого равна $\mathbf{B}=$ $=$ В $\cos (\omega t+\varphi)$ и направлена перпендикулярно плоскости диска. Найти плотность токов Фуко, индуцируемых в диске.
8.18. Найти индуктивность обмотки тороида из $n$ витков квадратного сечения со стороной $a$. Большой радиус тороида равен $R$.
8.19. Круглая петля радиусом $a$ вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью $\omega$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$. $\mathrm{Ee}$ омическое сопротивление равно $R$, а ось вращения перпендикулярна B. Найти силу тока $I(t)$, момент тормозяцих вращение рамки сил $M(t)$ и среднюю мощность $\langle P\rangle$, которая расходуется на поддержание постоянной угловой скорости вращения рамки. В качестве начала отсчета $t=0$ принять момент, когда плоскость петли перпендикулярна B.
8.20. Участок цепи состоит из двух цилиндрических коаксиальных трубок радиусами $a_{1}$ и $a_{2}\left(a_{2}>a_{1}\right)$ длиной $l$. На одном конце трубки соединены проводящей плоской пластиной. Найти индуктивность участка цепи.
8.21. Два плоских замкнутых круглых витка проволоки радиусами $a_{1}$ и $a_{2}$ лежат в одной плоскости на расстоянии $d$ друг от друга. Считая, что расстояние $d$ достаточно велико и можно воспользоваться дипольным приближением, найти взаимную индуктивность контуров.
8.22. Магнитная индукция $\mathbf{B}_{0}$ между плоскими параллельными полюсами электромагнита может считаться однородной и постоянной. В пространство между полюсами вдвигается пластина площадью $S$ из парамагнитного материала с парамагнитной восприимчивостью $\chi_{\pi}$. Ее поверхности параллельны поверхностям полюсов электромагнита. Найти действующую на пластину силу.
8.23. Найти радиальную силу, действующую на тороид, данные которого приведены в задаче 8.13, если по нему течет ток силой $I$.
8.24. Два идентичных контура с индуктивностями $L=L_{11}=L_{22}$ расположены так, что их взаимная индуктивность $L_{12}^{(0)}=0$. В контурах протекают сверхпроводящие токи силой $I_{0}$. После этого изменяется взаимное положение контуров, в результате чего их взаимная индуктивность стано-
вится равной $L_{12}$. Найти силу токов в конечном состоянии.
8.25. Электрический контур состоит из четырех узлов. Три узла совпадают с вершинами равностороннего треугольника, а четвертый – с его центром (точка пересечения медиан или биссектрис). Между вершинами треугольника емкости участков равны $C(R=0$, $L=0$ ), а между вершинами треугольника и его центром включены индуктивности $L(R=0$, $C=0$ ). Найти резонансную частоту системы.
Ответы
8.1. $L=\frac{\mu_{0}}{\pi} l \ln \frac{d}{r_{0}}$.8.2. $B=\left(\mu_{0} / 2\right) \mathbf{j} \times$ r. 8.3. $F=\frac{S}{2} \frac{\left(\mu-\mu_{0}\right) \mu}{\mu_{0}} n^{2} I^{2}$. 8.4. $F=\frac{S}{(l+d)^{2}} \times$ $\times \frac{\mu^{2}}{\mu_{0}} n^{2} l^{2}$. 8.5. $U=\pi v l^{2} \frac{k-2}{k} B=9,1$ B. 8.6. $E=B_{0} \omega r / 2=156$ B/M. 8.7. $I=\pi b^{2} n B \omega \times$ $\times\left(R^{2}+\omega^{2} L^{2}\right)^{-1 / 2} \sin \left(\omega t+\varphi_{0}\right)$. 8.8. $h=\frac{1}{2} \frac{I^{2}}{m g} \frac{1}{L_{11}}\left\{\left[L_{12}(0)\right]^{2}-\left[L_{12}(h)\right]^{2}\right\}$. 8.9. $F_{i}=$ $=-\frac{1}{2} \frac{I_{0}^{2} \omega^{2} L_{2} L_{12}}{R^{2}+\omega^{2} L_{2}^{2}} \frac{\partial L_{12}}{\partial \xi_{1}}$. 8.10. $L_{12}=\mu_{0}\left(d-\sqrt{d^{2}-a^{2}}\right)$. 8.11. $F_{x}=-\mu_{0} I_{1} I_{2} \times$ $\times\left(\frac{d}{\sqrt{d^{2}-a^{2}}}-1\right)$ 8.12. $L_{12}=\frac{\mu_{0} n d}{2 \pi} \ln \left(r_{2} / r_{1}\right)$. 8.13. $L=\mu_{0} n^{2}\left(R-\sqrt{R^{2}-r^{2}}\right)$ 8.14. $F=$ $=\frac{\mu_{0} I^{2}}{4 \pi} \ln \left(r_{2} / r_{1}\right)$ 8.15. $h=\frac{\left(\mu-\mu_{0}\right) I^{2} \ln \left(r_{2} / r_{1}\right)}{4 \pi^{2} \rho g\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right)}$. 8.16. $\mathbf{P}=\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) B \omega \mathrm{r}, \sigma_{\text {свхз }}=(\varepsilon-$ $\left.-\varepsilon_{0}\right) B \omega a$. 8.17. $\mathbf{j}=(1 / 2) \gamma \omega B_{0} \times \mathbf{r} \sin (\omega t+\varphi)$ 8.18. $L=\frac{\mu_{0} n^{2} a}{2 \pi} \ln \left(\frac{2 R+a}{2 R-a}\right)$. 8.19. $I(t)=\frac{\pi a^{2} \omega B}{\sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}} \sin (\omega t-\varphi), \operatorname{tg} \varphi=\omega L / R ; M(t)=-\frac{\pi^{2} a^{4} B^{2} \omega}{\sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}} \sin \omega t \times$ $\times \sin (\omega t-\varphi) ; \quad\langle P\rangle=\frac{1}{2} I_{0}^{2} R=\frac{1}{2} \frac{\left(\pi a^{2} \omega B\right)^{2}}{R^{2}+\omega L^{2}} R$.
8.20. $L=\left[\mu_{0} l /(2 \pi)\right] \ln \left(a_{2} / a_{1}\right)$.
8.21. $L_{12}=\mu_{0} \pi a_{1}^{2} a_{2}^{2} /\left(4 d^{3}\right)$. 8.22. $F=\chi_{n} S B_{0}^{2} /\left[2 \mu_{0}\left(1+\chi_{0}\right)\right]$ 8.23. $F=-\mu_{0} I^{2} n^{2} \times$ $\times\left(R / \sqrt{R^{2}-r^{2}}-1\right)$ 8.24. $I=I_{0} L /\left(L+L_{12}\right)$ 8.25. $\omega_{0}=(3 L C)^{-1 / 2}$.

Ток смещения
$\S 58$
Система
уравнений Максвелла
§ 59
Закон
сохранения энергии
элекгромагнитного поля.
Поток энергии
$\S 60$
Движение
электромагиитной энергни
вдоль линнй передач
§ 61
Излучение
электромагиитных волн
$\S 62$
Распространение электромагнитных волн
в днэлектриках
$\S 63$
Распространение
электромагннтных волн
в проводяцих средах
$\S 64$
Инвариантность
плоской волны
$\S 65$
Давление
электромагнитных волн.
Импульс фотона
$\S 66$
Волноводы и резонаторы
Электромагнитные волны
Изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле, которое, в свою очередь, порождает изменяющееся магнитное поле, которое, в свою очередь, порождает изменяющееся электрическое поле, и т. д. В результате образуются сцепленные между собой электрическое и магнитное поля, составляющие электромагнитную волну. Она «отрывается» от зарядов и токов, которые ее породили. Способ существования электромагнитной волны делает невозможным ее неподвижность в пространстве и постоянство напряженностей ее полей во времени.
13*