Рассматриваются энерсия взаимодействия
и собственная энергия зарядов и ее связь
с плотностью энергии электрического поля.
Выводятся формулы для энергии заряжен-
ных проводников и энергии диэлектрического
тела во внешнем поле.
3 нергия взаимодействия дискретных зарядов. Допустим, что имеются заряженные шары очень малого диаметра, который меньше расстояния между центрами шаров. Распределение заряда в шарах сферически симметрично. Физический смысл формулы (14.32) позволяет заключить, что величина
\[
W^{\prime}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{1} Q_{2}}{r}
\]
равна работе, которая совершается при разведении зарядов $Q_{1}$ и $Q_{2}$ от расстояния $r$ между ними до бесконечного. Эта работа положительна, когда заряды одноименны и между ними действуют силы отталкивания. Между разноименными зарядами действуют силы притяжения и работа отрицательна. В последнем случае необходимо совершить работу за счет внешних источников энергии. Поэтому в соответствии с общим определением (18.1) есть энергия взаимодействия заряженных шаров. Поскольку оба заряда входят в формулу (18.1) симметрично, ее целесообразно записать в виде
\[
W^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{2}}{r} Q_{1}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{1}}{r} Q_{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\varphi_{1}^{\prime} Q_{1}+\varphi_{2}^{\prime} Q_{2}\right),
\]

где $\varphi_{1}^{\prime}$ – потенциал, созданный вторым зарядом в центре первого шара; $\varphi_{2}^{\prime}$ – потенциал, созданный первым зарядом в центре второго шара.

Формула (18.2) легко обобщается на случай нескольких заряженных шаров с зарядами $Q_{i}$ :
\[
W^{\prime}=\frac{1}{2} \sum_{i
eq j} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{i} Q_{j}}{r_{i j}}=\frac{1}{2} \sum_{i} \varphi_{i}^{\prime} Q_{i} .
\]

Она дает энергию взаимодействия системы зарядов.
нергия взаимодействия при непрерывном распределении зарядов. Пусть в элементе объема $\mathrm{d} V$ находится заряд $\mathrm{d} Q=\rho \mathrm{d} V$. Для определения энергии взаимодействия элементов заряда $\mathrm{d} Q$ можно применить формулу (18.3), перейдя в ней от суммы к интегралу:

где $\varphi$ – потенциал в точке элемента объема $\mathrm{d} V$.
Собственная энергия. На первый взгляд формула (18.4) кажется аналогичной (18.3). Однако между ними существует принципиальное различие. Формула (18.3) учитывает лишь энергию взаимодействия между заряженными шарами, но не учитывает энергии взаимодействия элементов заряда каждого шара между собой. Формула (18.4) учитывает как энергию взаимодействия между шарами, так и энергию взаимодействия элементов заряда каждого шара между собой, называемую собственной энергией заряженного шара. При расчете энергии взаимодействия заряженных шаров (18.4) сводится к интегралам по объемам $V_{i}$ шаров:
\[
W=\frac{1}{2} \int_{V} \varphi \rho \mathrm{d} V=\sum_{t} \frac{1}{2} \int_{V_{t}} \varphi_{t} \rho \mathrm{d} V .
\]

В любой точке объема $i$-го шара потенциал $\varphi_{2}$ слагается из двух частей: $\varphi_{1}^{(1)}$, созданной зарядами других шаров, и $\varphi_{i}^{(\text {(об) }}$, созданной зарядами $i$-го шара:
\[
\varphi_{i}=\varphi^{(1)}+\varphi_{i}^{(\text {соб })} \text {. }
\]

Тогда [см. (18.5)]
\[
W=\sum_{i} \frac{1}{2} \int_{V_{i}} \varphi_{i}^{(1)} \rho \mathrm{d} V+\sum_{i} \frac{1}{2} \int_{V_{i}} \varphi_{i}^{(\mathrm{co6})} \rho \mathrm{d} V .
\]

Так как заряды на шарах распределены сферически симметрично, то
\[
\int_{V_{i}} \varphi^{(1)} \rho \mathrm{d} V=\varphi_{i}^{\prime} Q_{i}
\]

где $\varphi_{i}^{\prime}$ – потенциал в центре шара, $Q_{i}=\int_{V_{i}} \rho \mathrm{d} V$ – полный заряд шара. Доказательство (18.8) в принципе аналогично доказательству эквивалентности электрического поля, порождаемого сферически симметричиым распределением заряда в шаре и соответствующим точечным зарядом, расположенным в центре шара (для области вне шара). Теперь (18.7) можно записать в виде
\[
W=\frac{1}{2} \sum_{i} \varphi_{i}^{\prime} Q_{i}+\frac{1}{2} \sum_{i} \int_{V_{i}} \varphi_{i}^{(\mathrm{cob})} \rho \mathrm{d} V=W^{\prime}+\sum_{i} W_{i}^{(\mathrm{cob})},
\]

где $W_{i}^{\prime}$ дается формулой (18.3).
Собственные энергии $W^{\text {(соб) }}$ шаров зависят от законов распределения заряда в шарах и значений зарядов. Пусть, например, по поверхности шара равномерно распределен заряд $Q$. Потенциал в этом случае определяется формулой (16.28) и, следовательно
\[
W^{(006)}=\frac{1}{8 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{R} .
\]

При $R \rightarrow 0$ величина $W^{(\text {соб) }} \rightarrow \infty$. Это означает, что собственная энергия точечного заряда равна бесконечности. Это приводит к серьезным трудностям при использовании понятия точечных зарядов.

Таким образом, формулу (18.3) можно применять для анализа взаимодействия точечных зарядов, поскольку она не содержит их бесконечных собственных энергий. Формула (18.4) для непрерывного распределения заряда учитывает всю энергию взаимодействия, а формула (18.3) – лишь часть. Поэтому (18.4) является более полной и содержательной формулой по сравнению с (18.3).
Плотность энергии поля. Воспользовавшись уравнением
\[
\operatorname{div} \mathbf{D}=\rho,
\]

запишем (18.4) в виде
$W=\frac{1}{2} \int_{V} \varphi \operatorname{div} \mathbf{D} \mathrm{d} V$.

Принимая во внимание формулу векторного анализа
$\varphi \operatorname{div} \mathbf{D}=-\mathbf{D} \operatorname{grad} \varphi+\operatorname{div}(\varphi \mathbf{D})$,
представим (18.12) в виде суммы двух интегралов:
$\boldsymbol{W}=\frac{1}{2} \int_{V} \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} \mathrm{d} V+\frac{1}{2} \int_{V} \operatorname{div}(\varphi \mathbf{D}) \mathrm{d} V$,
где $\mathbf{E}=-\operatorname{grad} \varphi$. Второй интеграл в (18.14) по теореме ГауссаОстроградского равен
\[
\int_{\boldsymbol{V}} \operatorname{div}(\varphi \mathbf{D}) \mathrm{d} V=\int_{S} \varphi \mathbf{D} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S},
\]

где $S$-замкнутая поверхность, охватывающая объем $V$. Предполагается, что все заряды расположены в конечной области пространства. На далеких расстояниях $r$ от зарядов $\varphi \sim 1 / r, D \sim 1 / r^{2}$, т. е. $\varphi D \sim 1 / r^{3}$. Площадь $S$ поверхности растет прямо пропорционально $r^{2}$. Следовательно, интеграл (18.15) имеет порядок $\varphi D S \sim 1 / r$ и при удалении поверхности интегрирования на бесконечность стремится к нулю. Поэтому для всего пространства формула (18.14) принимает вид

Энергии $W$, вычисленные по формулам (18.16) и (18.4), равны, но физическое содержание этих формул совершенно различно. Представим себе, что заряды находятся в тонких поверхностных слоях шаров. В этом случае интеграл (18.4) сводится к сумме интегралов по поверхностным слоям шаров, а в пространстве между шарами он равен нулю. Интеграл же (18.16) сводится к интегралу по пространству между шарами, где имеется поле Е. Следовательно, в (18.4) носителем энергии выступают заряды и энергия представляется локализованной на зарядах. В (18.16) носителем энергии считается электрическое поле и энергия представляется локализованной во всем пространстве, где имеется электрическое поле. Плотность электрической энергии [см. (18.16)] равна

Таким образом, плотность энергии в (18.17) положительна, поскольку $\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}=\varepsilon E^{2}>0$. Следовательно, и полная энергия в (18.16) и (18.4) положительна. Однако энергия взаимодействия (18.3) между дискретными зарядами может быть и положительной, и отрицательной. Причина этого видна из равенства (18.9), которое целесообразно представить в виде
\[
W^{\prime}=W-\sum_{i} W_{i}^{(006)} \text {. }
\]

Таким образом, энергия взаимодействия между дискретными зарядами положительна тогда, когда их собственная энергия (всегда положительная) меньше полной энергии поля, и отриательна – когда их собственная энергия больие полной энергии поля.

Допустим, что все заряды, за исключением одного, зафиксированы на своих местах. Тогда энергия взаимодействия выделенного заряда с другими зарядами называется его потенциальной энергией. На основании сказанного, это есть просто часть энергии электрического поля. Изменение потенциальной энергии связано с изменением энергии поля. Закон сохранения энергии для частицы в потенциальном поле, утверждаючий постоянство суммы ее кинетической и потенциальной энергии, означает, что уменьшение кинетической энергии частицы сопровождается соответствующим увеличением энергии поля, и наоборот.

Выражение (18.17) сформулировано в локальном виде и определяет плотность энергии как функцию напряженности электрического поля и свойств среды в данной точке, учитываемых смещением D. Ясно, что справедливость этой формулы не может зависеть от того, каким способом создано электрическое поле в данной точке. Поэтому выражение (18.17) справедливо не только для постоянных полей, но и для переменных. Другими словами, эта формула выражает плотность энергии электрического поля, а не только электростатического.
$Э^{\text {нергия поля поверхностных зарядов. Поскольку формула (18.17) }}$ не зависит от того, какие заряды являются источниками поля, она справедлива также и при наличии поверхностных зарядов. Формула (18.16) также дает полную энергию поля независимо от того, какими зарядами это поле порождено. Следовательно, формула (18.16) правильно учитывает не только объемные, но и поверхностные заряды.

Формула (18.4) при наличии поверхностных зарядов несколько изменяется. Однако это изменение самоочевидно. Подынтегральное выражение в (18.4) равно $\varphi \rho \mathrm{d} V=\varphi \mathrm{d} q$ и имеет смысл потенциальной энергии, которой обладает элемент заряда $\mathrm{d} q$, находясь в точке с потенциалом $\varphi$. Эта потенциальная энергия не зависит от того, является ли $\mathrm{d} q$ элементом объемного или поверхностного заряда. Поэтому выражение (18.4) применимо и к поверхностным зарядам, но при этом $\mathrm{d} q=\sigma \mathrm{d} S$ и интегрировать надо по всем поверхностям $S$, на которых имеются заряды. Следовательно, с учетом поверхностных зарядов формула (18.4) принимает вид

Все, что было сказано об энергии взаимодействия и собственной энергии, справедливо также и относительно поверхностных зарядов. Надо лишь учесть их вклад как в полную энергию, так и в собственную. Это обстоятельство уже было использовано при выводе собственной энергии [см. (18.10)].

Энергия заряженных проводников. Поскольку на проводниках имеются лишь поверхностные заряды и потенциал в разных точках проводника имеет одно и то же постоянное значение, формула (18.18) принимает вид
\[
W=\frac{1}{2} \int_{S} \varphi \sigma \mathrm{d} S=\frac{1}{2} \sum_{i} \int_{S_{i}} \varphi_{i} \sigma_{i} \mathrm{~d} S_{i}=\frac{1}{2} \sum_{i} \varphi_{i} \int_{S_{i}} \sigma_{i} \mathrm{~d} S_{i}=\frac{1}{2} \sum_{i} \varphi_{i} Q_{i} .
\]

Подставляя в эту формулу выражение (16.42), получаем соотношение
\[
W=\frac{1}{2} \sum_{i, j} \alpha_{i j} Q_{i} Q_{j} .
\]

С помощью (16.45) преобразуем (18.20a) к виду
$W=\frac{1}{2} \sum_{i, j} C_{i j} \varphi_{i} \varphi_{j}$.
Из (18.20a) имеем
\[
W=\frac{1}{2} Q\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)=\frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C},
\]

где $C=Q /\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)$ – емкость конденсатора, $Q$ – заряд на одной из обкладок.
нергия диполя во внешнем поле. Эта энергия равна сумме энергий зарядов диполя (см. рис. 77):
\[
W=q[\varphi(\mathbf{r}+\mathbf{l})-\varphi(\mathbf{r})] .
\]

Разложим $\varphi(\mathbf{r}+\mathbf{l})$ в ряд по $\mathbf{I}$ :
\[
\begin{array}{l}
\varphi(\mathbf{r}+\mathbf{l})=\varphi(\mathbf{r})+l_{x} \frac{\partial \varphi}{\partial x}+l_{y} \frac{\partial \varphi}{\partial y}+l_{z} \frac{\partial \varphi}{\partial z}+\ldots= \\
=\varphi(\mathbf{r})-\left(l_{x} E_{x}+l_{y} E_{y}+l_{z} E_{z}\right)=\varphi(\mathbf{r})-\mathbf{l} \cdot \mathbf{E},
\end{array}
\]

где вследствие чрезвычайной малости $l$ сохранены лишь члены первого порядка по $l$. Формула (18.21) принимает вид

Э нергия диэлектрического тела во внешнем поле. Дипольный момент элемента объема $\mathrm{d} \boldsymbol{V}$ тела равен $\mathrm{d} \mathbf{p}=\mathbf{P} \mathrm{d} V$. Энергия этого элемента во внешнем поле с напряженностью Е равна [см. (18.23)] $\mathrm{d} W=-\mathbf{P} \cdot \mathbf{E} \mathrm{d} V$. Кажется, что энергия диэлектрического тела равна интегралу от $\mathrm{d} W$ по объему тела. Однако это неправильно. Дело в том, что каждый поляризованный элемент объема $\mathrm{d} V$ диэлектрического тела становится источником электрического поля, благодаря чему в расчет энергии входит дважды: один раз как дипольный момент, находящийся во внешнем поле, а другой раз как источник поля, в котором находятся другие дипольные моменты.

Поэтому для определения его энергии удобно исходить из полной энергии поля. Кроме того, предположим, что диэлектрик является однородным и заполняет все пространство, что значительно упрощает математические расчеты.

Пусть электростатическое поле создается некоторым распределением зарядов в свободном пространстве. Как обычно, заряды считаются расположенными в конечной области пространства. Обозначим: $\mathbf{E}_{0}$ и $\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}_{0}$ – векторы поля, создаваемого распределением заряда в свободном пространстве. Полная энергия поля [см. (18.16)] равна
\[
W_{0}=\frac{1}{2} \int \mathbf{E}_{0} \cdot \mathbf{D}_{0} \mathrm{~d} V,
\]

где интеграл распространен на все пространство. Теперь предположим, что все пространство заполняется диэлектрической средой, заряды же при этом как источники поля остаются неизменными. Поле во всем пространстве изменяется. Обозначим: $\varepsilon, \mathbf{E}, \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}$ – диэлектрическая проницаемость и векторы поля в среде. Полная энергия после заполнения пространства диэлектриком равна
\[
W=\frac{1}{2} \int \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} V .
\]

Следовательно, энергия диэпектрика, помещенного во внешнее поле с напряженностью $\mathbf{E}_{0}$, равна
\[
W_{\text {д }}=W-W_{0}=\frac{1}{2} \int\left(\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}-\mathbf{E}_{0} \cdot \mathbf{D}_{0}\right) \mathrm{d} \boldsymbol{V} .
\]

При заполнении всего пространства однородным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$ напряженность во всех точках поля уменьшается в $\varepsilon / \varepsilon_{0}$ раз. Следовательно,
\[
\mathbf{E}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}_{0} / \varepsilon \text {. }
\]

Поэтому подынтегральное выражение в (18.26) можно преобразовать:
\[
\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}-\mathbf{E}_{0} \cdot \mathbf{D}_{0}=\varepsilon E^{2}-\varepsilon_{0} E_{0}^{2}=-\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) \frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon} E_{0}^{2}=-\mathbf{P} \cdot \mathbf{E}_{0},
\]

где
\[
\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) \frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon} \mathbf{E}_{0}=\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) \mathbf{E}=\mathbf{P} .
\]

Тогда [см. (18.26)]
\[
W_{\text {д }}=-\frac{1}{2} \int \mathbf{P} \cdot \mathbf{E}_{0} \mathrm{~d} V .
\]

Можно показать, что формула (18.30) справедлива также и для энергии диэлектрика конечных размеров во внешнем поле $\mathbf{E}_{0}$.

Из (18.30) можно получить энергию диэлектрического тела с проницаемостью $\varepsilon_{2}$, находящегося в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_{1}$. Запишем формулу (18.30) для энергии диэлектрического тела с проницаемостью $\varepsilon_{1}$ :
\[
W_{\text {дI }}=-\frac{1}{2} \int\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{0}\right) \mathbf{E}_{1} \cdot \mathbf{E}_{0} \mathrm{~d} V,
\]
rде $\mathbf{E}_{1}$ – напряженность поля в теле. Для упрощения расчетов попрежнему считаем, что диэлектрик заполняет все пространство. Энергия диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon_{2}$ аналогично выражению (18.31) равна
\[
\boldsymbol{W}_{\text {д2 }}=-\frac{1}{2} \int\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{0}\right) \mathbf{E}_{2} \cdot \mathbf{E}_{0} \mathrm{~d} V .
\]

Отсюда следует, что разность энергий диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon_{2}$ и диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon_{1}$ равна
\[
W_{\text {д21 }}=W_{\text {д } 2}-W_{\text {д1 }}=-\frac{1}{2} \int\left[\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{0}\right) \mathbf{E}_{2} \cdot \mathbf{E}_{0}-\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{0}\right) \mathbf{E}_{1} \cdot \mathbf{E}_{0}\right] \mathrm{d} V .
\]

Преобразуя подынтегральное выражение с помощью формул
\[
\mathbf{E}_{2}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}_{0} / \varepsilon_{2}, \mathbf{E}_{1}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}_{0} / \varepsilon_{1},
\]

находим
\[
\begin{array}{l}
\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{0}\right) \mathbf{E}_{2} \cdot \mathbf{E}_{0}-\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{0}\right) \mathbf{E}_{1} \cdot \mathbf{E}_{0}=\left[\frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon_{2}}\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{0}\right)-\frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon_{1}}\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{0}\right)\right] \mathbf{E}_{0}^{2}= \\
=\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}\right) \frac{\varepsilon_{0}^{2}}{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}} E_{0}^{2}=\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}\right) \mathbf{E}_{2} \cdot \mathbf{E}_{1} .
\end{array}
\]

Тогда (18.32) принимает вид

где $W_{\text {д21 }}$ – энергия диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_{2}$, помещенного в среду с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_{1}$, поле в которой $\mathbf{E}_{1}$ создается фиксированными свободными зарядами в среде. Можно показать, что эта формула справедлива и для конечного диэлектрика, если в (18.35) понимать интегрирование по объему диэлектрика. В этом случае: $\mathbf{E}_{1}$ – напряженность поля, которая существовала бы в объеме диэлектрика, если его диэлектрическая проницаемость была бы равна диэлектрической проницаемости $\varepsilon_{1}$ окружающей среды; $\mathbf{E}_{2}$ – напряженность поля в объеме диэлектрика после внесения его в поле при фиксированных зарядах, создающих поле. Формула (18.35) важна для понимания сил, действующих на диэлектрики.

Из (18.35) следует важное утверждение: увеличение диэлектрической проницаемости среды ведет к уменьшению полной энергии поля. Дока-

Двухслойный цилиндрический или сферический конденсатор
– Собственная энергия заряда – это знергия взаинодействия различных элементов заряда нежду собой. Собственная энергия точечного заряда бесконечна.
Энергия взаимодействия дискретных зарядов – это полная знергия погя за вычетом собственной энергии зарядов. Она положительна, когда их со6ственная энергия (всегда положительная) неньще полной энергии поли, и отрицательна – когда больше полной.
Закон сохранения знергии для частицы в потенциальнон поле, утверждающий постоянство сунны ее кннетической и потенциальной энергий, означает, что уненьшение кинетической знергии частицы сопровождается соответствующим увеличениен энергии поля, и наоборот. Увеличение дизлектрической проницаености среды ведет к уненьшению полной энергии поля.
Чем обусловлено различие множителей в формулах для энергии диполя [см. (18.23)] и энергии диэлектрического тела [см. (18.30)]?
зательство проводится следующим образом. Пусть напряженность исходного поля $\mathbf{E}_{1}=\mathbf{E}$, а диэлектрическая проницаемость среды $\varepsilon_{1}$. При увеличении диэлектрической проницаемости среды на $\delta \varepsilon=\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}$ напряженность равна $\mathbf{E}_{2}=\mathbf{E}+\delta \mathbf{E}$ и, следовательно, изменение энергии дается формулой
\[
\delta W=-\frac{1}{2} \int \delta \varepsilon E^{2} \mathrm{~d} V
\]
(член $\delta \varepsilon \delta \mathbf{E} \cdot \mathbf{E}$ высшего порядка малости отброшен). Формула (18.36) доказывает высказанное утверждение.

Пример 18.1. Найти энергию, накопленную в чилиндрическом двухслойном конденсаторе на длине l. Данные о конденсаторе приведены на puc. 90.

Считая, что на внутренней обкладке конденсатора на длине $l$ находится заряд $Q$, и применяя к цилиндрической поверхности радиусом $r$, коаксиальной с осью конденсатора, теорему Гаусса, находим для радиальной составляющей напряженности поля выражение
\[
E_{r}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{2 \pi l \varepsilon_{1}} \frac{Q}{r} & \text { при } r_{1}<r<a, \\
\frac{1}{2 \pi l \varepsilon_{2}} \frac{Q}{r} & \gg a<r<r_{2}, \\
0 & \gg r_{2}<r<\infty .
\end{array}\right.
\]

Энергию поля находим по формуле
\[
W=\frac{1}{2} \int \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} \mathrm{d},
\]

принимающей в данном случае вид
$W=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \mathrm{~d} l \int_{r_{1}}^{a}\left(\frac{Q}{2 \pi l}\right)^{2} \frac{1}{\varepsilon_{1}} \frac{1}{r^{2}} 2 \pi r \mathrm{~d} r+$
$+\frac{1}{2} \int_{0}^{l} \mathrm{~d} l \int_{a}^{r_{2}}\left(\frac{Q}{2 \pi l}\right)^{2} \frac{1}{\varepsilon_{2}} \frac{1}{r^{2}} 2 \pi r \mathrm{~d} r=$
$=\frac{Q^{2}}{4 \pi l}\left(\frac{1}{\varepsilon_{1}} \ln \frac{a}{r_{1}}+\frac{1}{\varepsilon_{2}} \ln \frac{r_{2}}{a}\right)$.