Дается формулировка уравнений Максвелла для частного случая стационарного магнитного поля и обсуждаются типы решаемых задач.
Уравнение для div B. Вычислим div B, исходя из формулы Био-Савара (10.11):
$\operatorname{div} \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{V} \operatorname{div}\left(\mathbf{j} \times \frac{\mathbf{r}}{r^{3}}\right) \mathrm{d} V$,
где операция div введена под знак интеграла на том основании, что пределы интегрирования (объем $V$ ) не зависят от переменных, по которым производится дифференцирование при вычислении div. Для дальнейших преобразований формул целесообразно выписать в явном виде переменные в уравнении (36.1). Пусть В-индукция поля в точке $(x, y, z)$, т. е. $\mathbf{B}=\mathbf{B}(x, y, z)$. Вычисление $\operatorname{div}$ сводится к дифференцированиям по $x, y, z$. Текущие координаты точек интегрирования в подынтегральном выражении (36.1) обозначим $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{j}=\mathbf{j}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right), \mathbf{r}=\mathbf{i}_{x}\left(x^{\prime}-x\right)+\mathbf{i}_{y}\left(y^{\prime}-y\right)+\mathbf{i}_{z}\left(z^{\prime}-z\right), \\
r=\sqrt{\left(x^{\prime}-x\right)^{2}+\left(y^{\prime}-y\right)^{2}+\left(z^{\prime}-z\right)^{2}}, \mathrm{~d} \boldsymbol{V}=\mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime} .
\end{array}
\]
По формуле (П.15) имеем
\[
\operatorname{div}\left(\mathbf{j} \times \frac{\mathbf{r}}{r^{3}}\right)=\frac{\mathbf{r}}{r^{3}} \cdot \operatorname{rot} \mathbf{j}-\mathbf{j} \cdot \operatorname{rot} \frac{\mathbf{r}}{r^{3}}=0,
\]
поскольку первый член в правой части равен нулю из-за независимости j от координат $(x, y, z)$, по которым выполняется дифференцирование при вычислении rot. Равенство второго члена нулю доказывается прямым вычислением $\operatorname{rot}\left(\mathbf{r} / r^{3}\right)=0$. Равенство нулю $\operatorname{rot}\left(\mathbf{r} / r^{3}\right)$ является следствием центральной симметрии поля вектора $\mathbf{r} / r^{3}$. Нетрудно показать, что любое центрально-симметричное поле потенциально. Рекомендуется это проделать в качестве упражнения.
Таким образом, подынтегральное выражение в (36.1) тождественно равно нулю и. следовательно,
Из равенства (36.4) заключаем (см. § 13), что линии В не имеют источников. Это означает, что нет магнитных зарядов, копорые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле. Линии В не имеют ни начала, ни конца. Они являются либо замкнутыми линиями, либо уходят на бесконечность. Отсутствие начал и концов у таких линий очевидно. Однако могут су-
При нррацнональном отношенни длииы окружности тора к шагу спирали силовая линия ие замкнута
Уравнение div $B=0$ показывает, что пинии вектора ме имеют ни начала, ни конца : они либо замкпуты, либо уходят в бесконечность, либо сосредоточены в конечной области простраиства, но начала и конца не ммеют. Это означает, что нет магнитных зарядов, которые создают магнитное поле так, как электрически заряды создают электрическое поле. Для определемия трех проекций вектора магнитной мндукции имеются четыре скалмрных уравнения (36.5) и (36.6). Однако это не делает систему уравнений переполненной (cm. § 58).
Можете ли вы привести пример линии, которая вся находится в конечной области пространства, но не имеет ни начала ни конца?
ществовать незамкнутые линии, заключенные в конечной области пространства и тем не менее не имеющие ни начала, ни конца. Рассмотрим, например тор (рис. 141), на поверхность которого наматывается спираль. Если отношение длины большой окружности тора к шагу спирали является иррациональным числом, то линия никогда не замкнется и будет бесконечное число раз обвивать тор. Такая линия является примером незамкнутой линии без начала и конца, заключенной в конечной области пространства. Линии В такого типа нетрудно реализовать на опыте. Для этого перпендикулярно плоскости тора по его оси необходимо пропустить ток $I_{1}$, а по большой окружности, совпадающей с осью спирали тора, ток $I_{2}$. При определенных соотношениях между $I_{1}$ и $I_{2}$ будут реализованы указанные выше условия незамкнутости линии в.
Уравнения Максвелла. Уравнения (35.14) и (36.4) составляют систему уравнений Максвелла для магнитного поля, порожденного постоянными токами в вакууме:
$\operatorname{rot} \mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{j}$
$\operatorname{div} \mathbf{B}=0$.
Решение этих уравнений позволяет найти В, если известна ј. Число неизвестных скалярных величин в этих уравнениях равно трем ( $\left.B_{x}, B_{y}, B_{z}\right)$, а общее число скалярных уравнений для их определения равно четырем [три скалярных уравнения, получающихся из первого векторного уравнения и еще одно скалярное уравнение (36.6)]. Таким образом, число уравнений больше, чем число неизвестных, однако это не делает систему переполненной (см. § 58).
Тип решаемых задач. С помощью уравнений (36.5) и (36.6) можно решить две задачи:
1. Зная индукцию магнитного поля, найти объемную плотность токов.
Для этого надо вычислить $\operatorname{rot} \mathbf{B}$ по уравнению (36.5).
2. Зная плотность токов, найти индукцию магнитного поля, которое они порождают. Для этого надо решить эти уравнения при неизвестных j. Методы решения уравнения будут рассмотрены позднее, а сейчас заметим, что для случая, когда все токи сосредоточены в конечной области пространства, решение дается формулой Био – Савара (10.11): $\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{j} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \mathrm{~d} V$.
Из-за сложной структуры подынтегрального выражения и его векторного характера вычисления получаются довольно громоздкими. Для их упрощения целесообразно ввести векторный потенциал.
