Описываются принцип действия и свойства фильтров.
$\mathbf{O}$ пределение. Фильтром называется устройство, изменяющее амплитуду колебаний в зависимости от их частоты. Если фильтр осуществлен в виде четырехполюсника, то коэффициент передачи должен существенно изменяться с частотой.
Фильтр низких частот. Рассмотрим Т-образный четырехполюсник, изображенный на рис. 230. Из сравнения с рис. 227 видно, что в полученных формулах надо положить:
$Z=i \omega L, Y=i \omega C$.
Характеристическое сопротивление на основании (54.24) и (54.11) равно
$Z_{\mathbf{x}}=\sqrt{\frac{Z}{Y}} \sqrt{1+\frac{Z Y}{4}}=\sqrt{\frac{L}{C}} \sqrt{1-\frac{\omega^{2} L C}{4}}$.
Для коэффициента передачи $g$ [см (54.24)] с учетом (54.11) находим
Характеристика фильтра высоких частот
\[
\operatorname{chg}=1-\omega^{2} L C / 2 \text {. }
\]

Учитывая для $g$ его выражение (54.30), перепишем уравнение (55.3) в виде $\operatorname{ch}(\alpha+i \beta)=\operatorname{ch} \alpha \cos \beta+i \operatorname{sh} \alpha \sin \beta=$ $=1-\omega^{2} L C / 2$,
откуда
$\operatorname{ch} \alpha \cos \beta=1-\omega^{2} L C / 2$,
$\operatorname{sh} \alpha \sin \beta=0$.
Уравнение (55.6) имеет решения:
$\beta=\pi n \quad(n=0,1,2, \ldots)$,
при которых $\cos \beta= \pm 1$. Однако гиперболический косинус всегда больше или равен единице, т. е. $\operatorname{ch} \alpha \geqslant 1$. Поэтому из (55.5) следует, что $\cos \beta=-1$, и можно положить $\beta=\pi$. При этих условиях уравнение (55.5) принимает вид
$1+\operatorname{ch} \alpha=\omega^{2} L C / 2$.
Поскольку $\operatorname{ch} \alpha \geqslant 1$, (55.8) имеет решение лишь для достаточно больших частот
\[
\omega \geqslant \omega_{\text {г }} \text {, }
\]

где
$\omega_{1}=2 / \sqrt{L C}$
– граничная частота. С учетом (55.9) из (55.2) заключаем, что характеристическое сопротивление является чисто мнимым:
\[
Z_{\text {вых }}=i \sqrt{\frac{L}{C}} \sqrt{\frac{\omega^{2} L C}{4}-1}=i \sqrt{\frac{L}{C}} \sqrt{\frac{\omega^{2}}{\omega_{\mathrm{r}}^{2}}-1} .
\]

Действительная часть коэффициента передачи определяется из уравнения (55.8). Видно, что с увеличением частоты она очень быстро возрастает. А это на основании (54.26) и (54.27) означает, что амплитуды колебаний на выходе четырехполюсника при $\omega \geqslant \omega_{\text {г }}$ быстро уменьшаются с увеличением частоты.

Другое решение уравнения (55.6) имеет вид:
\[
\operatorname{sh} \alpha=0, \alpha=0 .
\]
Фильтр в виде цепочки Т-образных звеньев
Тогда уравнение (55.5) имеет вид
$\cos \beta=1-\omega^{2} L C / 2$.
Оно имеет решение лишь для $\cos \beta \geqslant-1$, т. е. при частотах $\omega \leqslant \omega_{\mathrm{r}}=2 / \sqrt{L C}$,
для которых первое решение не подходило. Характеристическое сопротивление в этом случае является действительным:
$Z_{\mathrm{x}}=\sqrt{\frac{L}{C}} \sqrt{1-\frac{\omega^{2}}{\omega_{\mathrm{r}}^{2}}}$.
Поскольку здесь $\alpha=0$, частоты $\omega \leqslant \omega_{\text {г }}$ пропускаются без затухания по амплитуде. Однако имеется зависящий от частоты сдвиг фаз, определяемый уравнением (55.13).

Зависимость амплитуды колебаний на выходе от амплитуды на входе приведена на рис. 231. Рассмотренный четырехполюсник является фильтром, пропускающим низкие частоты, меньшие некоторой граничной частоты $\omega_{\text {r }}$. Частоты выше граничной очень быстро затухают. Для частот, значительно больших граничной, этот фильтр действует как затвор. Область частот $\omega \leqslant \omega_{\text {г }}$ называется полосой пропускания.
Фильтр высоких частот. Четырехполюсник, показанный на рис. 232, рассчитывается аналогично предыдущему случаю и действует как фильтр высоких частот с частотной характеристикой, показанной на рис. 233.
Цепочка из фильтров. Если к выходным клеммам четырехполюсника, изображенного на рис. 230, подключить входные клеммы такого же четырехполюсника и продолжить этот процесс, то получится четырехполюсник, изображенный на рис. 234. К его рассмотрению могут быть применены те же методы. Однако и без детального расчета можно выяснить основные свойства этого четырехполюсника, поскольку последовательные ячейки, из которых он состоит, имеют одинаковые характеристические сопротивления и работают в режиме согласования на каждой данной частоте. Граничная частота у всех ячеек одинакова. Следовательно, у этого четырехполюсника будет та же полоса пропускания $\omega \leqslant \omega_{\mathrm{r}}$, а затухание частот $\omega \geqslant \omega_{\text {г }}$ будет значительно усилено. Частотная характеристика имеет вид, аналогичный рис. 231 , но с более крутым спаданием амплитуд при $\omega>\omega_{\text {г }}$ (рис. 235).
Полосовой фильтр. Полосовым называется фильтр, пропускающий лишь полосу частот между некоторой минимальной и максимальной частотами:
$\omega_{\text {г мин }} \leqslant \omega \leqslant \omega_{\text {г махс }}$
Полосовой фильтр
Объясните физические лроцессы, лежацие в основе действия фильтров высоких и низких частот.
Как устроен полосовой фильтр?
Его частотная характеристика показана на рис. 236.
В принцине, такой фильтр можно осуцествить в виде последовательности низкочастотного и высокочастотного фильтров. Высокочастотный фильтр должен отсеять все частоты, меньшие $\omega_{\text {г.мин }}$, и пропустить большие частоты, а низкочастотный фильтр должен пропустить все частоты, меньшие $\omega_{\text {г.макс }}$ и отсечь все частоты, большие $\omega_{\text {т.макс }}$. Однако на практике обычно используют более сложные схемы (см., например, рис. 237). Такой фильтр также является четырехполюсником и может быть рассмотрен аналогичными методами.