Выясняется физическое содержание прочессов, приводяцих к электризации тел при соприкосновении. Сообцаются некоторые сведения об энергетическом спектре электронов в твердых телах.
Термоэлектронная работа выхода. Силы, удерживающие нейтральные атомы в молекуле и нейтральные молекулы в твердом теле, рассматриваются в молекулярной физике. Сам факт суцествования твердых тел свидетельствует о наличии сил, удерживающих электроны внутри твердого тела. Для извлечения из него электрона необходимо затратить определенную работу против сил, удерживающих электроны внутри твердого тела. Представим себе, что твердое тело вместе с прилегающим к нему пространством заключено в адиабатическую оболочку и поддерживается при постоянной температуре Т. Вследствие теплового движения и распределения электронов по скоростям внутри тела найдутся электроны, кинетическая энергия которых достаточна для преодоления сил, удерживающих их внутри тела, и выхода за его пределы. Благодаря этому у поверхности тела образуется «газ» из электронов. Электроны этого «газа» при своем движении приближаются к поверхности твердого тела и захватываются внутрь него. Термодинамическое равновесие достигается тогда, когда число покидаючих объем тела электронов в среднем равно числу электронов, поступаюцих в объем тела из прилегающего к его поверхности слоя электронного «zаза». При этом концентрация электронов у поверхности тела имеет определенное значение $n_{0}$. Этот электронный газ не вырожден и его плотность может быть представлена в виде распределения Больцмана:
\[
n_{0}=A \exp [-\Phi /(k T)] \text {, }
\]

где $A$ зависит только от температуры $T, \Phi$ — термоэлектронная работа выхода.

По смыслу распределения Больцмана термоэлектронная работа выхода представляет собой разность энергий электрона вне твердого тела и внутри него. Однако внутри твердого тела электроны имеют различные энергии, и о какой энергии идет речь при определении $\Phi$, становится ясно лишь из анализа энергетического спектра электронов.
Энергетический спектр электронов. Законы движения микрочастиц даются квантовой механикой, которая позволяет рассчитать спектр энергий электронов, если известен закон изменения их потенциальной энергии. Эти расчеты усложняются тем, что необходимо принимать во внимание также и взаимодействие электронов между собой. Точное решение такого рода задач не по силам даже современным ЭВМ и вряд ли когда-либо будет возможно в будущем. Но в этом и нет необходимости, потому что удается разработать методы приближенного решения задачи, вполне удовлетворяюшие практические потребности. Важно констатировать, что спектр существует и является дискретным для электронов, заключенных в конечной области пространства. Он определяет различные свойства тела, изучая которые экспериментально можно сделать заключение об его особенностях. Следовательно, энергетический спектр может быть изучен как теоретически, так и экспериментально.

Энергетический спектр электронов в твердых телах исследован достаточно подробно и его основные особенности сводятся к следующему. В изолированном атоме энергетические уровни составляют дискретный набор энергий.

На рис. 3 изображена идеальная схема уровней водородоподобного атома. В аналитическом виде энергия электрона на $n$-м уровне дается формулой
\[
W_{n}=-A / n^{2} \text {, }
\]

где $A$ — положительная величина, выражаемая через элементарный заряд, массы ядра и электрона и постоянную Планка. Наименьшей энергией электроны обладают на уровне $n=1$. Расстояние между уровнями составляет несколько электрон-вольт, причем эти расстояния с увеличением $n$ уменьшаются.

Поскольку электроны подчиняются статистике Ферми-Дирака, в каждом квантовом состоянии может находиться лишь один электрон. Квантовое состояние характеризуется не только энергией. В водородоподобном атоме оно характеризуется также моментом импульса электрона при орбитальном движении в атоме, его ориентировкой в пространстве и ориентировкой спина электрона. Эти последиие характеристики также квантованы, т. е. имеют дискретный набор числовых значений. В результате получается, что на каждом энергетическом уровне имеется не один электрон, а несколько. Как показывают расчеты, на уровне $n=1$ могут находиться два электрона, отличающиеся ориентировкой спина (возможны только две ориентировки спина). Момент импульса на этом уровне может быть равным только нулю. На следующем уровне $n=2$ момент импульса электрона, кроме нулевого,
Схема образования энергетических $30 \mathrm{H}$
— $y$ диэлектриков работа выхода зависит от чистоты состава и состояния поверхности.
Прн контакте тел происходит переход электронов от тела с меньшей paботой выхода к телу с большей работой выхода. систе
может иметь также одно отличное от нуля значение. При нулевом значении момента импульса не имеет смысла говорить о его ориентировке в пространстве. При отличном от нуля значении момента импульса можно говорить об его ориентировке в пространстве. При $n=2$ имеем три возможные ориентировки. Таким образом, всего по абсолютному значению момента импульса и его ориентировкам в пространстве на уровне $n=2$ имеется четыре квантовых состояния. В каждом из них спин электрона может быть ориентирован двумя способами и, следовательно, всего на энергетическом уровне $n=2$ имеется восемь различных квантовых состояний. Это означает, что всего на этом уровне может быть восемь электронов. Оказывается, что на последующих уровнях могут находиться 18, 32, 50 и т. д. электронов. Так как устойчивому состоянию атома (основное состояние) соответствует состояние с наименышей энергией, то энергетические уровни должны заполняться начиная с уровня $n=1$, а переход к заполнению следуюшего уровня происходит после того, как предшествующий уровень оказывается полностью заполненным электронами. Совокупность электронов с определенным значением $n$ называется оболочкой атома. Оболочки принято обозначать буквами $K, L$, $M, N$ к. д. по следующей схеме:
\begin{tabular}{cccccc}
$n$ \\
Название & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
обо почки & $K$ & $L$ & $M$ & $N$ & $O$
\end{tabular}

Например, вместо «электрон на уровне $n=2$ » говорят «электрон $L$-оболочки» и т.д.

Если атомы составляют кристаллическую решетку твердого тела, то ситуация изменяется. Само существование кристаллической решетки свидетельствует о том, что между атомами имеется взаимодействие, которое и обусловливает возникновение решетки. Следовательно, атомы уже нельзя считать изолированными, надо всю кристаллическую решетку рассматривать как единую систему и говорить об энергетических уровнях этой системы. Оказывается, что энергетический спектр кристаллической решетки связан с энергетическим спектром изолированных атомов простым соотношением, а именно: в результате взаимодействия между атомами каждый из энергетических уровней $\mathbf{n}=1,2, \ldots$ расчепляется на большое число очень близко расположенных между собой подуровней, на которых в состоянии разместиться все электроны, находившиеся первоначально на соответствуючем уровне изолированных атомов. Например, $К$-оболочку изолированного атома занимают два электрона. Если атомы входят в кристаллическую решетку, состоящую из $N_{0}$ атомов, то уровень $n=1$ расщепляется на $N_{0}$ подуровней, на каждом из которых может находиться по два электрона с различной ориентировкой спинов, т. е. всего в кристаллической решетке образуется $2 N_{0}$ различных квантовых состояний, которые заняты $2 N_{0}$ электронами, ранее принадлежавшими $K$-оболочкам.

Совокупность близко расположенных энергетических уровней, образовавиихся в результате расиепления некоторого энергетического уровня изолированного атома, называется энергетической зоной или просто зоной. Говорят о $K$-зоне, $L$-зоне и т.д. по их соответствию оболочкам $K, L, \ldots$ изолированных атомов. Схема образования зон изображена на рис. 4. Как было сказано, внутри зон расстояние между различными уровнями чрезвычайно мало. Расстояние же между различными зонами остается значительным, по порядку величины равным расстоянию между энергетическими уровнями изолированных атомов. Промежутки между энергетическими зонами, которые не могут заниматься электронами, называются также зонами. Эти зоны называются запрешенными, поскольку в них электроны не могут находиться.

Таким образом, энергетический спектр электронов твердого тела состоит из разрешенных и запрещенных зон. Расстояние между энергетическими уровнями внутри каждой из разрешенных зон чрезвычайно мало по сравнению с шириной запрещенных зон. Рассмотренная схема энергетических уровней изолированного атома является идеализированной. Если более полно учесть взаимодействие электронов, то окажется, что энергия электронов в оболочке не одинакова, а зависит, например, от момента импульса. При этом энергия электрона с более высоким значением $n$ может быть не больше, а меньше энергии электронов на предшествующем уровне. В результате изменяется последовательность заполнения электронами оболочек. Соответственно изменяется и структура знергетических зон кристалла и их заполнение электронами. Однако общий характер спектра твердого тела не изменяется.
Энергия Ферми. Основным состоянием твердого тела является состояние с наименьшей энергией. Поэтому при температуре $0 \mathrm{~K}$ должны быть заполнены последовательно без промежутков все квантовые состояния электронов начиная с уровня с наименьшей энергией. Ввиду конечного числа электронов имеется конечный заполненный уровень с наибольшей энергией, а последующие уровни свободны. Таким образом, при 0 К существует резкая гранича между заполненными и свободными уровнями.
При температуре, отличной от $0 \mathrm{~K}$, эта граница размывается, поскольку в результате теплового движения у некоторых электронов энергия оказывается больше граничной энергии при $T=0 \mathrm{~K}$, а у некоторых — меньше. Таким образом, некоторые уровни энергии, бывшие при $T=0$ К свободными, станут заполненными, а бывшие заполненными — свободными. ШШирина переходной области от практически полностью заполненных до практически полностью свободных энергетических уровней имеет порядок $k T$. Распределение электронов по энергиям при этом характеризуется функцией Ферми — Дирака:
\[
f(E, T)=\{1+\exp [(E-\mu) /(k T)]\}^{-1},
\]

где $E$ — энергия электрона; $\mu$ — энергия Ферми, зависящая от температуры. Энергия Ферми определяется как энергия, при которой функция Ферми — Дирака равна $1 / 2$.

Для металлов понятия об энергии Ферми очень наглядны. В зтом случае энергия Ферми является энергией электронов на уровне, который заполнен при $T=0$ К и выие которого уровни свободны. Это определение является точным при $T=0 \mathrm{~K}$ и достаточно точным діля всех температур, когда «размывание» распределения Ферми мало (для большинства металлов это утверждение справедливо вплоть до температур плавления и выше).

Для диэлектриков энергия Ферми приходится на середину запрещенной зоны (при $T=0 \mathrm{~K}$ ), лежащей выше последней, полностью заполненной зоны, а на этом уровне электрон не может находиться, т.е. энергия Ферми не соответствует энергии какого-либо реального электрона в диэлектрике. Но это, конечно, не уменьшает ее значения для описания статистических свойств электронов в диэлектриках в соответствии с формулой (2.2).

Как показывает теория, термозлектронная работа выхода $\Phi$, входящая в формулу (2.1), связана с энергией $\mu$ уровня Ферми соотношением
\[
\Phi=E_{0}-\mu \text {, }
\]

где $E_{0}$ — энергия покоящегося электрона вне проводника в вакууме. Таким образом, Ф равна работе перемещения электрона с уровня Ферми за пределы твердого тела. Для металлов это утверждение имеет буквальный смысл, для диэлектриков несколько условный, поскольку на уровне Ферми нет реальных электронов. Однако в обоих случаях это есть работа для извлечения электрона из твердого тела, произведенная против сил, удерживающих электроны в твердом теле. Существование работы выхода проявляется, например, в фотоэффекте, когда энергия поглощаемого в металле фотона полностью передается электрону. По длинноволновой границе фотоэффекта можно непосредственно определить работу выхода. Поэтому можно сказать, что электроны внутри твердого тела находятся в потенциальной яме глубиной Ф. Вид потенциальных ям для металлов (а) и диэлектриков (б) показан на рис. 5 (энергетические уровни, занятые электронами, заштрихованы). Промежуток между уровнями $E_{\mathrm{n}}$ и $E_{\mathrm{в}}$ является запрещенной зоной.
Потенциальная яма для электрона в металле (a) и диэлектрике (б). Термоэлектроиная работа выхода $\Phi$ является разностью между энергией $E_{0}$ погоящегося электроиа в вакууме н энергией $\mu$ ууровия Ферми

Следует отметить, что у диэлектриков работа выхода сильно зависит oт чистоты состава. Даже небольшие примеси могут существенно изменить работу выхода. Кроме того, работа выхода зависит от самых ничтожных загрязнений поверхности. У чистых металлов она имеет порядок нескольких электрон-вольт. Например, 4,53 эВ у вольфрама, 4,43 эВ у молибдена, 4,39 у меди и т. д.
Контактная разность потенциалов. Силы, удерживающие электроны
в твердом теле,-электрического происхождения. Они обусловливаются разностью потенциалов между точками вне тела и внутренними точками или, другими словами, на электронный газ вблизи поверхности действуют электрические силы, стремяциеся втянуть электроны внутрь тела. Эти силы тем значительнее, чем больше работа выхода Ф. Они действуют в очень тонком слое молекулярных размеров ( $d \approx 10^{-10} \mathrm{M}$ ). Поэтому эффективная напряженность электрического поля, обусловливающего возникновение этих сил, весьма велика:
\[
E_{\text {эф }} \sim \Phi /(|e| d) \sim 10^{10} \mathrm{~B} / \mathrm{M},
\]

где учтено, что работа выхода равна по порядку величины нескольким электрон-вольтам.

Сблизим поверхности двух тел настолько, чтобы в промежутке между ними произошло перекрытие слоев электронного газа, находящихся у поверхности тел. Благодаря этому тела начинают обмениваться электронами. Поскольку силы, увлекаючие электрон в тело, больше у тела, имеючего больиую работу выхода, после сближения поверхностей начнется переход электронов от тела с меньией работой выхода к телу с больией работой выхода, в результате чего первое тело будет заряжаться положительно, а второе отричательно. Возникающее вследствие этого электрическое поле между поверхностями тел препятствует движению электронов, в результате которого оно возникло. Напряженность этого поля достигает определенного значения, дальнейший переход электронов от одного тела $\boldsymbol{k}$ другому прекращается и устанавливается равновесное состояние. Поверхности оказываются заряженными противоположными по знаку, но равными по абсолютному значению зарядами. Между поверхностями, как между обкладками конденсатора, устанавливается некоторая разность потенциалов, называемая контактной.
Контактная разность потенциалов может быть найдена на основании следующих соображений. Поскольку между телами устанавливается электронное равновесие, энергии Ферми тел должны быть равными, в результате чего верхние точки потенциальных ям смещаются относительно друг друга. Следовательно, между ними, т. е. между поверхностями тел, возникают разность потенциалов и напряженность электрического поля.

На рис. 6 показаны схемы образования контактной разности потенциалов между двумя металлами (рис. 6,a), между металлом и диэлектриком (рис. 6,б), между диэлектриками (рис. 6, в). Отличие в образовании контактной разности потенциалов между металлами и между металлом и диэлектриком состоит в том, что электрическое поле не проникает внутрь металла, но проникает на небольшую глубину в диэлектрик (на рис. $6,6,6$ глубина проникновения обозначена $d_{1}$ и $d_{2}$ ). Поэтому у диэлектриков падение потенциала происходит не только между поверхностями, но и частично в тонком слое внутри диэлектрика вблизи его поверхности. Однако толщина этого слоя обычно мала по сравнению с расстоянием между поверхностями и с большой точностью это обстоятельство можно не принимать во внимание.

Как видно (см. рис. 6), разность между энергиями верхних точек потенциадьных ям равна $\Phi_{2}-\Phi_{1}$ и поэтому контактная разность потенциалов между поверхностями тел, находяцихся в электронном равновесии, задается формулой
\[
|\Delta \varphi|=\left|\Phi_{2}-\Phi_{1}\right| /|e| \text {. }
\]

Заметим, что потенциал уменьшается в направлении от положительно заряженных тел к отрицательно заряженным. Поэтому изменение потенциала противоположно изменению потенциальной энергии электрона, т. е. потенциал уменьшается от первого тела ко второму.

Электризация. Если плоские поверхности тел, между которыми образовалась контактная разность потенциалов, удалить друг от друга, сохраняя строгую параллельность между ними, то находящиеся на них заряды останутся на телах и тела окажутся разноименно заряженными. Однако развести строго параллельно поверхности практически невозможно, так как различные их участки удаляются с различной скоростью. Результат разведения поверхностей для проводников и диэлектриков принципиально различен.

При разведении плоских поверхностей проводников находящиеся на них заряды могут перемещаться вдоль поверхности. Если одни участки поверхности развести раньше других, то на них, так же как в конденсаторе, при той же разности потенциалов плотность заряда уменьшится. В результате между телами осуществится обмен зарядами для восстановления электронного равновесия, причем он происходит посредством обмена электронами через электронное облако на данном участке поверхности и вследствие движения зарядов вдоль поверхности на других участках. Те участки поверхности проводников, которые разведены достаточно далеко и потеряли при этом электронный контакт через приповерхностное электронное облако, оказываются практически лишенными зарядами. Заряд сохраняется лишь на тех участках поверхности, которые еце нах одятся в электронном контакте. Наконец наступает момент, когда электронный контакт сохраняется на ничтожно малой площади поверхности, содержащей очень малый заряд. Поэтому при окончательном разведении проводников на них не остается зарядов.

Результат разведения диэлектриков иной. У них заряды не могут перемещаться вдоль поверхности и сам потенциал вдоль поверхности может быть различен. При разведении участков поверхности разность потенциалов между ними не остается постоянной, а увеличивается точно так же, как увеличивается разность потенциалов между обкладками конденсатора, когда заряд обкладки постоянен, а расстояние между обкладками увеличивается. Плотность зарядов на поверхностях существенно не изменяется. После потери электронного контакта через приповерхностное электронное облако на участках поверхности сохраняются электрические заряды. B результате полного разведения поверхностей диэлектриков они оказываются носителями разноименных, равных по абсолютному значению зарядов. Этот процесс называется электризацией.

Для достижения более тесного сближения поверхностей диэлектриков и образования контактной разности потенциалов тела обычно трут одно о другое и говорят об
6
Образование контак пной разности потенциалов в промсжутке между поверхностями мстапл металл (a), металл — диэлектрик (б), диэ іектрик — диэлектрик (в)
Расстояние межау энергетическими уровнями внутри каждой из разрешенных зон чрезвычайно мало по сравнению с шириной запрещенных зои. В диэлектриках энергия Ферми не соответствует энергии кокого-ли6о реального злектрона в диэлектрике.
Термозлектронная работа выхода равна работе перемещения злектроиа с уровня Ферии за пределы твердого тела.
Каково соотношение между энергетическими уровнями изолированного атома и энергетическими зонами твердого тела? За счет каких факторов образуются энергетические зоны?
Какова наглядная интерпретация энергии Ферми в металлах?
Почему эта интерпретация не подходит для диэлектриков?
Как определить знаки заря. дов соприкасающихся тел? Почему нельзя произвести электризацию металлов соприкосновеиием?
электризации трением. Однако трение при этом никакого отношения к электризации не имеет. Более правильно было бы сказать об электризации посредством контакта тел. Терминология установилась раньше, чем была выяснена физическая природа явления.