Рассматриваются влияние магнетика на магнитное поле и различные механизмы намагничивания. Выводипся соотномение между объемной и поверхностной плотностями молекулярных токов и намагниченностью. Обсуждаютсл явления на граниче между магнетиками и измерение индукуии магнитного поля в магнетике, Выясняется суцность магнитной экранировки.

Определение. Магнетиками называются вещества, которые при внеєении во внешнее поле изменяются так, что сами становятся источниками дополнительного магнитного поля. При этом полная индукция магнитного поля равна сумме индукций внешнего магнитного поля и магнитного поля, порождаемого магнетиком. Изменение состояния магнетика под влиянием внешнего магнитного поля, в результате чего сам магнетик становится источником магнитного поля, называется намагничиванием магнетика. Это явление для широкого класса веществ было открыто экспериментально Фарадеем в 1845 г. Им же было установлено существование диа- и парамагнитных тел, для которых он ввел эти термины.

Механизмы намагничивания. Существуют различные механизмы намагничивания. В соответствии с ними магнетики подразделяют на диа-, пара-, ферро- и ферримагнетики. Антиферромагнетики также отиосят к магнетикам, хотя они и пе создают магнитного поля в окружаючем их пространстве (см. гл. 7).

Количественно интенсивность намагничивания во всех случаях характеризуется одинаково, а именно, под действием магнитного поля все элементы объема приобретают магнитный момент. Это может быть обусловлено следующими механизмами:
1. При внесении во внешнее магнитное поле в молекулах и атомах движение электронов изменяется так, что образуется ‘определенным образом ориентированный суммарный круговой ток, который характеризуется магнитным моментом [см. (37.24)]. Можно сказать, что молекулы при внесении в магнитио поле приобретают индучированный магнинный момент. Благодаря этому они становятся источниками дополнительного поля, индукция которого определяется формулой (37.26), т. е. вещество намагничивается. Такие вещества называются диамагнетиками.
2. Движение электронов в молекулах может быть таково, что молекулы будут обладать магнитным моментом и при отсутствии магнитного поля, т.е. молекулы обладают постоянным магнитным моментом. Благодаря этому каждая молекула является источником магнитного поля. Если внешнего поля нет, то магнитные моменты различных молекул ориентированы совершенно беспорядочно, благодаря чему суммарная индукция поля, создаваемого ими, равна нулю, т. е. физически бесконечно малые элементы тела не являются источниками магнитного поля и тело не намагничено. При внесении такого магнетика во внешнее поле постояниые магнитные моменты отдельных молекул переориентируются в направлении индукции поля, в результате чего образуется преимуцественное направление ориентации магнитных моментов. При этом бесконечно малые физические объемы приобретают магнитный момент, равный сумме магнитных моментов молекул, заключенных в объеме, и становятся источниками магнитного поля – магнетик намагничивается. Такие вещества называются парамагиетиками.
3. Намагничивание ферромагнетиков и ферримагнетиков связано с тем, что электроны обладают магнитным моментом, находящимся в определенном соотношении с их механическим моментом – спином. Намагичиєание такого класса магнетиков связано $с$ определенной ориентировкой спинов и поэтому называется спиновым. Объяснение спинового магнетизма выходит за рамки классической теории электричества и магнетизма и возможно лишь в рамках квантовой теории. Поэтому в данной кииге описаны лишь наиболее важные свойства этого класса магнетиков без количественной теории. Вся излагаемая ниже теория магнитного поля в присутствии магнетиков относится лишь к диа- и парамагнетикам, если только не оговорено противное.
Намагниченность. Эта величина определяется отношением магнитного момента элементарного физического объема к объему:
\[
\mathbf{J}=\frac{1}{\Delta V} \sum_{\Delta V} \mathbf{p}_{\mathrm{m} i},
\]

где $\Delta V$ – элементариый объем; $\mathbf{p}_{\mathrm{m} i}$ – моменты молекул; суммирование распространяется на все молекулы в объеме $\Delta V$.

Другими словами, определение (38.1) для намагниченности может быть сформулировано так: намагнченность есть объемная плотность магнитного момента магнетика. Из (38.1) следует, что магнитный момент элемента объема $\mathrm{d} V$ равен
\[
\mathbf{d p}_{\mathrm{m}}=\mathbf{J} \mathrm{d} V \text {. }
\]

B екторный потенциал при наличии магнетиков. Он равен сумме потенциала $\mathbf{A}_{0}$, создаваемого токами проводимости, и потенциала $\mathbf{A}_{\text {м }}$, создаваемого магнетиком в результате намагничивания:
\[
\mathbf{A}=\mathbf{A}_{0}+\mathbf{A}_{\mathrm{M}} \text {, }
\]

причем на основании (37.11), (37.25) и (38.2) можно написать:
$\mathbf{A}_{0}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{j}}{r} \mathrm{~d} V$,
\[
\mathbf{A}_{\mathrm{M}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{J} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \mathrm{~d} V
\]

$\mathbf{O}^{\text {бъемная плотность молекулярных токов. Как было сказано, возник- }}$ новение магнитных моментов связано с наличием круговых токов. Токи в элементарных объемах, приводящие к возникновению магнитного момента требуемой величины, получили название молекулярных. Однако не следует придавать этому выражению слишком буквальный смысл. Молекулярные токи в строгом смысле слова могут течь только внутри молекул. При определении намагниченности и других величин подразумеваются усредненные величины, благодаря чему магнитные моменты молекул представляются как бы непрерывно размазанными по всему объему, а молекулярные токи – текучими по объему магнетика, как в непрерывной среде. Тем не менее за ними сохранилось название молекулярных.

Рассмотрим бесконечно малый замкнутый контур $L$, ограничивающий $\Delta S$ (рис. 145), и вычислим циркуляцию намагниченности по контуру:
\[
\int_{L} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=\int_{L} J_{\tau} \mathrm{d} l,
\]

где $J_{\tau}$ – тангенциальная составляюшая $\mathbf{J}$ вдоль контура интегрирования. Она создается за счет токов, текущих по замкнутым контурам вокруг линии, вдоль которой производится интегрирование (38.5) (рис. 145; $\delta S$ – площадь, обтекаемая током в плоскости, перпендикулярной линии интегрирования). Умножив числитель и знаменатель в (38.5) на $\delta S$, проведем следующие преобразования:
\[
\int_{L} J_{\tau} \mathrm{d} l=\int_{L} J_{\tau} \frac{\mathrm{d} l \delta S}{\delta S}=\int_{L} \frac{J_{\tau} \mathrm{d} V}{\delta S}=\int_{L} \frac{\mathrm{d} p_{\mathrm{m}}}{\delta S},
\]

где принята во внимание формула (38,2). По определению магнитного момента, имеем $\mathrm{d} p_{\mathrm{m}}=\delta I \delta S$ ( $\delta I$ – сила тока, обтекающего площадку $\delta S$ на длине $\mathrm{d} l$, причем $\delta I$ пересекает $\Delta S$ по нормали). Поэтому
\[
\int_{L} \frac{\mathrm{d} p_{\mathrm{m} \tau}}{\delta S}=\int_{L} \frac{\delta I \delta S}{\delta S}=\int_{L} \delta I=\Delta I_{n},
\]

где $\Delta I_{n}$ – нормальная составляющая силы тока, пересекающего площадку $\Delta S$. Таким образом, (38.5) с учетом (38.6) и (38.7) принимает вид
\[
\int_{L} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d} \mathbf{I}=\Delta I_{n} \text {. }
\]

Найдем составляющую rot $\mathbf{J}$ в направлении нормали к площадке $\Delta S$. Воспользовавшись определением (14.6) для ротора и равенством (38.8a), находим
\[
\operatorname{rot}_{n} \mathbf{J}=\lim _{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\int_{L} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d} \mathbf{I}}{\Delta S}=\lim _{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Delta I_{n}}{\Delta S}=j_{\mathrm{M} n} .
\]

Величина
\[
j_{\mathrm{M} n}=\lim _{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Delta I_{n}}{\Delta S}
\]

является, очевидно, нормальной составляющей плотности молекулярных токов, поскольку именно эти токи ответственны за возникновение намагниченности. Равенство (38.86) справедливо при произвольной ориентировке площадки $\Delta S$, т.е. для любых компонент $\operatorname{rot} \mathbf{J}$ и $\mathbf{j}_{\mathrm{M}}$. Поэтому имеет место векторное равенство
\[
\mathbf{j}_{\mathrm{M}}=\operatorname{rot} \mathbf{J} \text {. }
\]

Эта формула дает выражение объемной плотности молекуляриых токов, порождающих намагниченность $\mathbf{J}$.
Поверхностные молекулярные токи. Молекулярные токи могут течь также и по поверхности раздела между магнетиками или по поверхности раздела между магнетиком и вакуумом.

На рис. 146 обозначена поверхность раздела между магнетиками 1 и 2. Все величины, относящиеся к магнетику 1 , обозначим с индексом 1 , а к магнетику 2 с индексом 2. Проведем в плоскости, перпендикулярной поверхности раздела, контур $L$. Параллельные поверхности раздела части контура равны $l$, а перпендикулярные очень малы и стремятся к нулю. Этот контур ограничивает площадь поверхности $S$, перпендикулярной поверхности раздела магнетиков. Пусть dS – элемент этой площади, который при выбранном на рис. 146 направлении обхода контура направлен от нас. Умножая обе части (38.10) на dS и интегрируя по $S$, находим
\[
\int_{S} \operatorname{rot} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int \mathbf{j}_{\mathrm{M}} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} .
\]

Левую часть (38.11) можно преобразовать по теореме Стокса в интеграл по контуру $L$ и вычислить
\[
\int_{L} \operatorname{rot} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\int_{L} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=\left(J_{2 \tau}-J_{1 \tau}\right) l+\langle J\rangle_{\text {бок }} \Delta l_{\text {бок }},
\]

где $J_{1 \text { г }}$ и $J_{2 \tau}$ – тангенциальные к контуру интегрирования составляющие в первой и второй средах, причем знак минус у $J_{1 \text { г }}$
145
Нахождение выражения для объемной плотности молекулярных токов
146
К выводу формулы для поверхностной плотности токов
147
К выводу векторной запнсн для поверхностной плотностн молекулярных токов
148
Поверхностные молекулярные токи по однородно намагниченному цилиндру появился из-за изменения направления интегрирования на обратное во второй среде. Величина $\langle J\rangle_{\text {бок }} \Delta l_{\text {бок }}$ учитывает интегралы по вертикальным участкам пути. Нет необходимости их более подробно выписывать, поскольку они обращаются в нуль при стягивании горизонтальных участков интегрирования к поверхности. Правая часть (38.11) дает проекцию тока по направлению нормали к поверхюости $S$. Это направление также тангенциально поверхности раздела магнетиков, поэтому
\[
\int \mathbf{j}_{\mathrm{M}} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=\Delta I_{\mathrm{M}, \text { noB }}
\]

С учетом (38.12) и (38.13) равенство (38.11) после деления на $l$ принимает вид
\[
J_{1 \tau}-J_{2 \tau}+\langle J\rangle_{\text {бок }} \Delta l_{\text {бок }} / l=\Delta I_{\text {М. пов }} / l=i_{\text {М. пов }},
\]

где
\[
i_{\text {м. пов }}=\Delta I_{\text {м. пов }} / l
\]
– проекция поверхностной плотности тока на направление, перпендикулярное поверхности $S$. Сжимая в (38.14) контур к поверхности $\left(\Delta l_{\text {бок }} \rightarrow 0\right)$, получаем
\[
J_{2 \tau}-J_{1 \mathrm{\tau}}=i_{\text {м. пов }} \text {. }
\]

Такая формула справедлива при произвольной ориентировке контура относительно различных направлений вдоль поверхности раздела. Поэтому более удобно записать ее в векторном виде. Обозначим $\mathbf{n}$ единичный вектор нормали к поверхности раздела, направленный во вторую среду (рис. 147). Из построения на рис. 147 и смысла входящих в предшествующие формулы величин видно, что формула (38.16) в векторном виде записывается следующим образом:
\[
\mathbf{i}_{\mathrm{M}}=\mathbf{n} \times\left(\mathbf{J}_{2}-\mathbf{J}_{1}\right) \text {. }
\]
$\mathbf{O}$ днородно намагниченный цилиндр. В качестве примера вычисления по формуле (38.17) найдем поверхностную плотность молекулярного тока однородно намагниченного цилиндра (рис. 148), который может быть реализован в виде постоянного магнита. Хотя природа ферромагнетизма, обусловливающего существование постоянных магнитов, не может быть понята в рамках классической теории магнетизма, создаваемое намагниченными ферромагнетиками в пространстве поле может быть описано классической теорией. При этом предполагаемая известной намагниченность ферромагнетика рассматривается как источник магнитного поля в том же смысле, в каком является источником магнитного поля намагниченность диа- и парамагнетиков. Намагниченность диа- и парамагнетиков существует лишь при наличии внешнего поля. Намагиченность ферромагиетиков сохраляется при отсутствии внешнего поля, а порождаемое этой намагниченностью поле существует самостоятельно. Задача состоит в том, чтобы это поле описать.
Однородный намагниченный цилиндр можно себе представить также в виде диа- или парамагнетика, помещенного во внешнее поле, которое с достаточной точностью обеспечивает постоянную намагниченность. В этом случае в пространстве вне цилиндра определяется индукция не полного поля, а лишь его части, обусловленная намагниченностью.

Намагниченность $\boldsymbol{J}_{1}$ цилиндра показана на рис. 148 стрелкой, в вакууме $J_{2}=0$, а нормаль $\mathbf{n}-\kappa$ поверхности раздела является внешней нормалью к цилиндру. По формуле (38.17) плотиость поверхностного молекулярного тока, текущего по цилиндру, равна
\[
\mathbf{i}_{\mathrm{M}}=-\mathbf{n} \times \mathbf{J}_{1}=\mathbf{J}_{1} \times \mathbf{n} \text {. }
\]

Одна из линий этого тока псказана на рис. 148 окружностью со стрелками. Очевидно, что намагниченность $\mathbf{J}_{1}$ с текущим по поверхности цилинда током составляет правовинтовую систему. Формула (38.10) показывает, что молекулярные объемные токи внутри цилиндра отсутствуют, поскольку $\operatorname{rot} \mathbf{J}_{1}=0$. Следовательно, все поле вне цилиндра создается поверхностными токами, текущими по окружностям. Тем самым доказана эквивалентность полей постоянного цилиндрического магнита и круговых токов (поля соленоида). Это утверждение справедливо для любых магнетиков, включая ферромагнетики.
Напряженность магнитного поля. При отсутствии магнетиков выполняется соотношение
\[
\operatorname{rot} \mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{j},
\]

описывающее порождение магнитного поля токами проводимости. При наличии магнетиков наряду с токами проводимости $\mathbf{j}$ поле порождается также и молекулярными токами $\mathrm{j}_{\mathrm{M}}$ [см. (38.10)]. Следовательно, (38.18) при наличии магнетиков должно быть записано в виде
\[
\operatorname{rot} \mathbf{B}=\mu_{0}\left(\mathbf{j}+\mathbf{j}_{\mathrm{M}}\right)=\mu_{0}(\mathbf{j}+\operatorname{rot} \mathbf{J}) \text {. }
\]

Разделим обе части (38.19) на $\mu_{0}$ и перенесем $\operatorname{rot} \mathbf{J}$ в левую часть:
$\operatorname{rot}\left(\mathbf{B} / \mu_{0}-\mathbf{J}\right)=\mathbf{j}$,
где
\[
\mathbf{H}=\mathbf{B} / \mu_{0}-\mathbf{J}
\]
– напряженность магнитного поля. Она не является чисто полевой величиной, поскольку включает в себя вектор $\mathbf{J}$, характеризующий намагниченность среды. Поэтому по своему значению вектор $\mathbf{H}$ играет 6 теории магнитного поля такую же роль, как вектор $\mathbf{D}$ в теории электрического поля, и его не следовало бы называть напряженностью. Тем не менее такое название закрепилось за ним исторически.
Уравнение для напряженности. С учетом (38.21) уравнение принимает вид
$\operatorname{rot} \mathbf{H}=\mathbf{j}$.
Это уравнение очень удобно для вычисления напряженности поля при наличии магнетиков.
Закон полного тока при наличии магнетиков выводится так же, как он был получен при отсутствии магнетиков, исходя из (35.14), с последующим переходом к (35.15):
\[
\int_{L} \mathbf{H} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=I \text {. }
\]
3 ависимость намагниченности от напряженности. По тем же причинам, по которым вектор $\mathbf{H}$ был назван напряженностью магнитного поля, было принято считать, что источником намагничивания является не В, a Н. Поэтому зависимость $\mathbf{J}$ от $\mathbf{H}$ представляем в виде
\[
\mathbf{J}=\chi \mathbf{H} \text {, }
\]

где $\chi$-магнитная восприимчивость. Зависимость В от $\mathbf{H}$ принято записывать в виде
\[
\mathbf{B}=\mu \mathbf{H},
\]

где $\mu$-магнитная проницаемость среды. Эти величины для диаи парамагнетиков не зависят от В и Н. Чтобы найти соотношение между ними, подставим (38.23) и (38.24) в (38.21) и сократим обе части полученного равенства на $\mathbf{H}$ :
\[
1=\mu / \mu_{0}-\chi,
\]

или
\[
\chi=\left(\mu-\mu_{0}\right) / \mu_{0}=\mu_{r}-1,
\]

где $\mu_{r}=\mu / \mu_{0}$ – относительная магнитная проницаемость среды. Заметим, что в системе единиц Гаусса магнитная восприимчивость выражается числом, в $4 \pi$ раз меньшим, чем в СИ.

Различные механизмы намагничивания приводят к разным зависимостям $\mathbf{J}$ от $\mathbf{H}$ (см. гл. 7). Сейчас лишь отметим, что у диамагнетиков памагииченость направлена против Н. У диамагнетиков $\chi<0$ [см. (38.23)] и, следовательно, в соответствий с (38.26) магнитная проницаемость $\mu<\mu_{0}\left(\mu_{r}<1\right.$ ). Это означает, что порождаемое диаманетиком поле направлено против первоначального, т.е. диамагнетик ослабляет внешнее поле. Модуль их восприимчивости $|\chi|$ очень мал и имеет порядок $\sim 10^{-5}$. Восприимчивость не зависит от температуры. Диамагнетизм имеется у всех веществ.

У парамагнетиков $\mathbf{J}$ совпадает по направлению $с \mathbf{H}$. Для них $\chi>0$, $\mu>\mu_{0}, \mu_{r}>1$. Дополнительное поле у парамагнетиков совпадает по направлению с первоначальным. Следовательно, парамагнетик усиливает поле. Восприимчивость $\chi$ парамагнетиков зависит от температуры. При комнатной температуре парамагнитная воспримчивость веществ в твердом состоянии имеет порядок $\sim 10^{-3}$, т. е. примерно на два порядка больше диамагнитной восприимчивости. Поэтому у парамагнитных веществ роль диамагнитной восприимчивости относительно мала и ею можно пренебречь.
У ферромагнетиков $\mathbf{J}$ совпадает по направлению с $\mathbf{H}$ и является очень большой. Для них $\chi \gg 1, \mu \gg \mu_{0}$. Характерно, что $\chi$ и $\mu$ зависят от поля и от предыстории намагничивания. Благодаря этому у них имеется остаточная намагниченность, т.е. намагниченность образца в уелом сохраняется и после того, как внешнее поле стало равным нулю. По своим формальным свойствам ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23).
Поле в магнетике. В вакууме $\mathbf{J}=0$, и формула (38.21) позволяет определить напряженность поля в вакууме равенством $\mathbf{H}_{0}=B / \mu_{0}$. В безграничном однородном магнетике токи проводимости порождают поле Н [см. (38.22)]. В вакууме те же самые токи проводимости порождают поле $\mathbf{H}_{0}$ [см. (35.14)]. Уравнение (35.14) можно переписать в виде
$\operatorname{rot} \mathbf{H}_{0}=\mathbf{j}$.
Сравнивая (38.22) с (38.27), заключаем, что одинаковые токи проводимости возбуждают одинаковые напряженности магнитного поля в вакууме и однородном безграничном магнетике:
\[
\mathbf{H}=\mathbf{H}_{0} \text {. }
\]

Следовательно, индукции в магнетике и вакууме В и $\mathbf{B}_{0}$ находятся в таком соотношении:
\[
\mathbf{B}=\mu \mathbf{B}_{0} / \mu_{0}=\mu_{r} \mathbf{B}_{0} .
\]

Это равенство показывает, что в диамагнетиках ( $\mu_{r}<1$ ) индукция поля уменьшается по сравнению с индукцией в вакууме, а у парамагнетиков ( $\mu_{r}>1$ ) – увеличивается.

Если все магнетики и токи проводимости расположены в конечной области пространства и известны как токи проводимости, так и намагниченность всех магнетиков как функция точки $[\mathbf{J}=\mathbf{J}(x, y, z)]$, то индукция магнитного поля в принципе всегда может быть просто найдена. Векторный потенциал представляется в виде формул (38.3), (38.4а) и (38.4б), которые целесообразно записать по-другому. Можно сказать, что векторный потенциал $\mathbf{A}$ является суммой потенциалов, созданных токами проводимости (38.4а), молекулярными токами (38.10) и поверхностными молекулярными токами (38.17), причем все токи создают потенциал по одному и тому же закону (38.4a). Поэтому формула для потенциала имеет вид
\[
\mathbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\int_{V} \frac{\mathbf{j}}{r} \mathrm{~d} V+\int_{V} \frac{\operatorname{rot} \mathbf{J}}{r} \mathrm{~d} V+\int_{S} \frac{\mathbf{n} \times\left(\mathbf{J}_{1}-\mathbf{J}_{2}\right)}{r} \mathrm{~d} S\right),
\]

где последний интеграл учитывает поверхиостыы молекулярные токи, a $S$ означает совокупность поверхностей раздела между магнетиками.

Однако простота нахождения потеңциала с помощью (38.30a) только кажущаяся, потому что так его можно найти только в том случае, если известна J. Однако во многих случаях эта величина неизвестна и ее определение является трудной задачей.
Постоянные магниты. Они являются либо ферро-, либо ферримагнетиками и к ним излагаемая теория непосредственно неприменима. Тем не менее по полученным выше формулам можно формально вычислить потенциал поля, порождаемого постоянными магнитами в окружающем их пространстве. Магнитные свойства постоянных магнитов, как и магнетиков, характеризуются их намагниченностью $\mathbf{J}_{n}$, порождающей поле точно так же, как если бы она была намагниченностью диа- или парамагнетика. Позтому, используя (38.30a), можно для векторного потенциала, порождаемого постоянными магнитами, написать формулу
\[
A_{\Pi}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{V} \frac{\operatorname{rot} \mathbf{J}_{\Pi}}{r} \mathrm{~d} V+\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{S} \frac{\mathbf{J}_{\Pi} \times \mathbf{n}}{r} \mathrm{~d} S .
\]

В частности, если намагниченность постоянного магнита одинакова по всему объему, первый член в (38.30б) обращается в нуль и все магнитное поле как бы создается токами, текущими по поверхности магнита в соответствии со вторым интегралом (38.30б). Однако никаких реальных токов, текущих по поверхности постоянного магнита, нет, они в данном случае являются лишь вспомогательной величипой для вычисления напряженности поля. Физический смысл вспомогательного характера этой величины можно понять из следующего примера. Представим себе постоянный магнит в виде длинного цилиндра, создающий некоторое поле в окружающем его пространстве. Если взять цилиндрический соленоид такого же диаметра и длины с достаточно плотной намоткой и сердечником из пара- или диамагнетика, то подбором силы тока можно добиться, что индукция поля в окружающем соленоид пространстве будет практически совпадать с ипдукцией поля постоянного магнита. Ток, текущий в соленоиде по тонким проводам, может рассматриваться как поверхностный ток, эквивалентный фиктивному току, текущему по поверхности постоянного цилиндрического магнита. В этом и состоит математичсский смысл, наличия второго слагаемого в правой части (38.30б). Фиктивность тока обнаруживается тогда, когда возникает вопрос о поле внутри магиетика и внутри соленоида. Эти поля различны.

При учете постоянных магнитов уравнение для индукции остается без изменения ( $\operatorname{div} \mathbf{B}=0$ ), но уравнение, выражающее связь индукции с напряженностью магнитного поля, несколько изменяется. Дополнительным источником магнитного поля является постоянный магнит и поэтому вместо (38.21) надо написать уравнение
\[
\mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{H}+\mu_{0} \mathbf{J}+\mu_{0} \mathbf{J}_{m},
\]

где $\mathbf{J}_{\pi}$ – намагниченность постоянного магнита. Учитывая, что $\mu_{0} \mathbf{H}+$ $+\mu_{0} \mathbf{J}=\mu \mathbf{H}$, получаем
\[
\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}+\mu_{0} \mathbf{J}_{\mathbf{u}} .
\]

Заметим, что в этой формуле $\mu$ является лишь диа- и парамагнитной восприимчивостью вещества, а не ферромагнитной восприимчивостью, которая учтена уже членом $\mu_{0} \mathbf{J}_{\pi}$. Поэтому если под $\mathbf{J}_{\text {поли }}$ понимать полную намагниченность ( $\boldsymbol{J}_{\text {полн }}=\mathbf{J}+\mathbf{J}_{\text {п }}$ ), то формулу (38.31a) лучше представить в виде
\[
\mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{H}+\mu_{0} \mathbf{J}_{\text {полн }} .
\]

Рассмотрим для примера постоянный магнит в виде плоской пластины конечной толщины и бесконечной площади (рис. 149). Постоянная намагниченность $\boldsymbol{J}_{n}$ направлена перпендикулярно поверхности постоянного магнита. Диа- и парамагнитные свойства постоянного магнита не учитываем.

Пусть вне постоянного магнита имеется магнитное поле с напряженностью $\mathbf{H}_{0}$, направленной перпендикулярно его поверхности. Индукция поля одинакова как вне магнита, так и внутри него и равна $\boldsymbol{B}=\mu_{0} H_{0}$. Тогда [см. (38.31в)] $\mu_{0} H_{0}=\mu_{0} H+\mu_{0} J_{\text {п. }}$. Отсюда напряженность поля внутри постоянного магнита равна (см. рис. 149):
\[
H=H_{0}-J_{\text {ur }}
\]

Граничные условия для векторов поля. На границе между магнетиками с различными $\mu$ векторы В и Н испытывают скачкообразные изменения, характеризующиеся граничными условиями. Для их вывода исходим из уравнений (36.4) и (38.22), которые справедливы как для вакуума, так и для среды, заполненной магнетиком. Методически вывод граничных условий проводится точно так же, как и в случае электрического поля [см. § 17; (17.21) и (17.30)].
Граничное условие для нормальной составляющей вектора В. Оно выводится аналогично (17.21), исходя из (17.17), только теперь вместо (17.17) надо использовать уравнение
\[
\operatorname{div} \mathbf{B}=0 .
\]

В результате получаем

Граничное условие для тангенциальной составляющей вектора Н. Оно выводится аналогично (17.30) исходя из (17.29), только теперь вместо (17.29) надо использовать уравнение
\[
\int_{A B C D A} \mathbf{H} \cdot \mathrm{d} \mathbf{I}=\int_{S} \mathbf{j} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S},
\]

которое получается из (38.22), если его части умножить на $\mathrm{d} \mathbf{S}$ и проинтегрировать по плоцади, ограниченной контуром $A B C D A$ (см. рис. 83), преобразовав левую часть по теореме Стокса. В результате получаем

Какая величина в теории электрического поля соответствует магнитной проницаемости $\mu$ в теории магнитного поля?
Почему молекулярные токи нельзя представлять текущими лишь в объеме молекул? $A B C D A$
где $i_{\text {пов }}$ – поверхностная плотность тока в направлении, перпендикулярном тому, в котором выбираются тангенциальные составляющие напряженности магнитного поля. Необходимо также иметь в виду, что это поверхностные токи проводимости, а не поверхностные молекулярные токи $\mathbf{i}_{\mathrm{M}}$ [см. (38.16)].
Преломление магнитных силовых линий.
На границе между магнетиками силовые линии испытывают преломление, которое определяется с помощью граничных условий апалогично тому, как это было сделано при анализе формулы (17.31).
【зерсние индукции магнитного поля Наиболее простой и наглядный метод измерения индукции основан на использовании закона электромагнитной индукции Фарадея. Если проводник в виде маленькой петли (рис. 150), замкнутый на гальванометр, ориентировать в плоскости, перпендикулярной В, а затем повернуть на $90^{\circ}$ вокруг оси, лежащей в этой плоскости, то через гальванометр пройдет импульс тока, по которому можно определить В в области петли (см, гл. 8). Таким методом измеряется средняя индукция поля на площади, ограниченной петлей. Вместо поворота рамки можно выключить поле.
Поля бескоиечного соленоида и однородно намагниченного бесконечно дииною цилиндра. Пусть поле создается током, текущим по обмотке бесконечного соленоида (рис. 151). Число витков провода на 1 м длины, силу тока и магнитную проницаемость сердечника обозначим соответственно $n, I$ и $\mu$. Магнитное поле аксиально симметрично и может иметь лишь компоненту, параллельную оси соленоида (витки намотаны очень плотно).
Для нахождения напряженности поля воспользуемся (38.22a) и, произведя интегрирование по контуру $A B C D A$, получаем
\[
\int \mathbf{H} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=0,
\]

поскольку по противоположным сторонам соленоида токи текут в противоположных направлениях, и, следовательно, суммарная сила тока через поверхность, натянутую на контур $A B C D A$, равна нулю. Вклад в интеграл от участков интегрирования $B C$ и $D A$ равен нулю, поскольку вектор $\mathbf{H}$ может быть направлен только перпендикулярно $B C$ и $D A$. Поэтому остается лишь вклад от участков $A B$ и $C D$ :
\[
H_{B C} l-H_{A D} l=0 \text {, }
\]

где $H_{B C}$ и $H_{A D}$ – напряженности поля на участках $B C$ и $A D ; l$ – длина этих участков. Знак минус появился из-за того, что направления интегрирования на участках противоположны. Растягивая контур вдоль $A B$ и $C D$, например удаляя $A D$ от цилиндра, замечаем, что для тождественной справедливости (38.37) необходимо, чтобы $H$ не зависело от расстояния, т.е. $H$ вне соленоида должна быть постоянной величиной. На бесконечно большом расстоянии от соленоида поля не будет, следовательно, оно отсутствует во всем пространстве вне соленоида.

Для определения напряженности поля внутри соленоида применим закон (38.22a) к контуру $A B_{1} C_{1} D A$ (рис. 151). Интеграл не равен нулю только на участке $B_{1} C_{1}$ и позтому
\[
H_{B_{1} c_{1}} l=n l I \text {, }
\]

поскольку поверхность, ограниченную коптуром $A B_{1} C_{1} D A$, пересекают $n l$ витков с током I. Из (38.38) видно, что поле внутри соленоида однородно и его напряженность равна
\[
H=n I \text {. }
\]

Эта формула позволяет измерять напряженность магнитного поля в ампер-витках, что часто используется в технике. Из (38.39) видно, что напряженность магнитного поля внутри соленоида не зависит от его материала и при прочих равных условиях одинакова для всех материалов. Индукция же поля внутри соленоида с учетом (38.24) и (38.39) равна
\[
B=\mu H=\mu n I
\]

и зависит от материала сердечника. Для диамагнетиков она меньше, чем индукция в полом соленоиде, а для парамагнетиков – больше.

Индукция поля бесконечно длинного однородно намагниченного цилиндра находится аналогично с той лишь разницей, что поверхностные токи отсутствуют. Соотношение (38.37) не изменяется и напряженность поля вне цилиндра, так же как и в случае бесконечно длинного соленоида, равна нулю. Вместо формулы (38.38) получаем $H l=0$ или $H=0$. Это означает, что напряженность поля внутри бесконечно длинного однородно намагниченного цилиндра равна нулю, в то время как в соленоиде она не равна нулю. Однако индукция внутри цилиндра не равна нулю $\left(B=\mu_{0} \mathbf{J}\right)$. Если длина цилиндра
О Почему диамагнетизм парамагнетиков мал по сравнению с парамагнетизмом? Дайте количественные оценки.
Каким образом можно измерить индукцию и напряженность магиитного поля внутри магнетика?
конечна, напряженность магнитного поля отлична от нуля как внутри, так и вне цилиндра.
【змерение магнитной проницаемости, индукции и напряженности поля внутри магнетика. Представим себе бесконечный соленоид, в сердечнике которого параллельно оси соленоида сделан бесконечно узкий канал (рис. 152). Поле внутри соленоида создается током в обмотке. В канал вводится измерительная катушка, соединенная с гальванометром. Граничное условие (38.35) показывает, что напряженность в канале равна напряженности в магнетике. Индукция в канале равна $\mathbf{B}_{\|}=\mu_{0}$ Н. Ее можно измерить, повернув петлю на $90^{\circ}$ или включив поле. Напряженность поля внутри магнетика вычисляется по формуле
\[
\mathbf{H}=\mathbf{B}_{\|} / \mu_{0} \text {. }
\]

Для пзмерения индукции внутри магнетика сделаем небольшой поперечный разрез в бесконечном соленоиде (рис. 153), Граничное условие (38.33) показывает, что в этом разрезе индукция $\mathbf{B}_{\perp}$ равна индукции B внутри магнетика. Поэтому достаточно измерить индукцию в поперечном разрезе.

Зная индукцию и напряженность поля в магнетике, можно определить магнитную проницаемость:
\[
\mu=B / H=\mu_{0} B_{\perp} / B_{\eta} \text {. }
\]

【ар из магнетика в однородном\” поле. Допустим, что шар радиусом $R$ из магнетика с магнитной проницаемостью $\mu_{1}$ помещен в бесконечную среду с магнитной проницаемостью $\mu_{2}$, в которои́ создано однородное магнитное поле с напряженностью $\mathbf{H}_{0}$ (рис. 154, а, б). Требуется определить напряженность магнитного поля как внутри шара, так и вне его. Предполагается, что токи проводимости отсутствуют.

Уравнение (38.22) в этом случае имеет вид rot $\mathbf{H}=0$,
т. е. магнитостатичсское поле в пространстве, в котором отсутствуют токи проводимости, является потепциальным. Токи проводимости отсутствуют как внутри шара, так и вне его, и, следовательно, поле потенциально во всем пространстве. Обозначим $\varphi_{m}$ – потенциал этого поля. Тогда
$\mathbf{H}=-\operatorname{grad} \varphi_{m}$.
Для однородной среды ( $\mu=$ const) уравнение $\operatorname{div} \mathbf{B}=0$ эквивалентно уравнению
$\operatorname{div} \mathbf{H}=0$.
Подставляя (38.44) в (38.45), получаем для всех точек вне шара ( $\mu_{2}=$ const) и для всех точек внутри шара ( $\mu_{1}=$ const) уравнение $
abla^{2} \varphi_{i m}=0$.

Таким образом, потенциал магнитного поля удовлетворяет уравнению Лапласа.

Отметим, что если магнитная восприимчивость не является постоянной, то вместо (38.46) получается другое уравнение. Для его вывода примем во внимание равенство (38.21), которое можно записать в виде
$\mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{H}+\mu_{0} \mathbf{J}$.
Взяв от обеих частей этого равенства дивергенцию, получим
$\operatorname{div} \mathbf{B}=\mu_{0} \operatorname{div} \mathbf{H}+\mu_{0} \operatorname{div} \mathbf{J}=$
$=-\mu_{0} \operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi_{\mathrm{m}}+\mu_{0} \operatorname{div} \mathbf{J}=0$,
где учтено соотношение (38.44) и уравнение $\operatorname{div} \mathbf{B}=0$. Следовательно, уравнение для $\varphi_{\mathrm{m}}$ имеет вид
$
abla^{2} \varphi_{\mathrm{m}}=\operatorname{div} \mathbf{J}$,
что значительно усложняет решение задачи Магнитная экранировка для магнетика с изменяющейся магнитной восприимчивостью.

Поместим начало координат в центр шара и направим полярную ось сферической системы координат в направлении вектора $\mathbf{H}_{0}$. Вследствие аксиальной симметрии уравнение Лапласа (38.46) принимает вид (17.42). Это уравнение надо решить при граничных условиях (38.33) и (38.25) на поверхности шара, полностью совпадающих с граничными условиями для $D_{n}$ и $E_{\tau}$ [см. (17.42)].
Перечислите обстоятельства, благодаря которым $\mathrm{H}$ играет в теории магнитного поля такую же роль, как D в теории электрического поля.
Поскольку поверхностные токи проводимости отсутствуют, в (38.35) можно положить $i_{\text {пов }}=0$. Поэтому решение этой задачи аналогично решению задачи о диэлектрическом шаре в однородном электрическом поле. Надо лишь в решении уравнения (17.42) заменить $\varphi \rightarrow \varphi_{\mathrm{m}}, \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{H}$, $\mathbf{D} \rightarrow \mathbf{B}, \varepsilon \rightarrow \mu$.

Напряженность магнитного поля внутри шара постоянна и аналогично (17.51) равна
\[
H_{1 z}=\frac{3 \mu_{2}}{\mu_{1}+2 \mu_{2}} H_{0} \text {. }
\]

Она является суммой напряженностей внешнего поля $H_{0}$ и поля, созданного шаром в результате его намагничивания. Поле, созданное внутри шара за счет его намагничивания, называется «размагничивающим полем $\mathbf{H}_{\text {разм }}$ \”. Это название условно, поскольку никакого «размагничивания» нет, а есть просто намагничивание магнетика во внешнем поле и создание этим намагниченным магнетиком дополнительного поля, складывающегося с первоначальным. Но поскольку название поля $H_{\text {разм }}$ установилось, приходится им пользоваться. Тогда
\[
H_{\text {разм }}=H_{1 z}-H_{0}=\frac{\mu_{2}-\mu_{1}}{\mu_{1}+2 \mu_{2}} H_{0} .
\]

Это выражение можно записать в ином виде. На основании (38.26) с учетом (38.26) имеем
\[
J_{1}=\left(\mu_{1} / \mu_{0}-1\right) H_{1 z}, J_{2}=\left(\mu_{2} / \mu_{0}-1\right) H_{0},
\]

откуда
\[
J_{2}-J_{1}=\frac{\left(\mu_{2}-\mu_{1}\right)\left(\mu_{0}+2 \mu_{2}\right)}{\mu_{0}\left(\mu_{1}+2 \mu_{2}\right)} H_{0} .
\]

Следовательно, формула (38.50) может быть представлена в виде
\[
H_{\text {разм }}=\left[\mu_{0} /\left(\mu_{0}+2 \mu_{2}\right)\right]\left(J_{2}-J_{1}\right) \text {. }
\]

В частности, если шар находится в вакууме, то $\mu_{2}=\mu_{0}$ и $j_{2}=0$, поэтому
$H_{\text {разм }}=-J_{1} / 3$.
Магнитная экранировка. Из (38.50) видно, что при $\mu_{1}>\mu_{2}$ магнитное поле внутри шара ослабляется, т.е. шар как бы экранирует свою внутренню часть от внешнего магнитного поля. Если рассчитать индукцию поля внутри полости, окруженной оболочкой из магнетика с достаточно большой проницаемостью $\mu_{1}$, то получается, что магнитные линии концентрируются в основном в оболочке (рис. 155), не проникая внутрь полости. Это означает, что оболочка из магнетика с большим $\mu$ действует как экран, не допускающий проникновения магнитного поля в пространство, ограничиваемое оболочкой.

Пример 38.1. Вдоль оси бесконечного прямого круглого чилиндра радиусом а течет линейный ток силой I. Магнитная проницаемость вещества чилиндра $\mu$. Вне чилиндра-свободное пространство. Найти папряженность магнитного поля, индукцию и намагниченность во всех точках пространства.

Направим ось $Z$ декартовой системы координат вдоль оси цилиндра в направлении тока $I$ (рис. 156). Выберем в качестве контура интегрирования $L$ окружность радиусом $r$, концентрическую с током и лежашую в плоскости, перпендикулярной току. Тогда напряженность магнитного поля во всех точках определяется из закона полного тока:
\[
\int \mathbf{H} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}=H_{\varphi} 2 \pi r=I,
\]
$L$
откуда
\[
H_{\varphi}=I /(2 \pi r)
\]
– напряженность магнитного поля, направленная по касательной к окружности. Линиями напряженности являются окружности, концептрические с током.
Индукция равна
$B_{\varphi}=\left\{\begin{array}{ll}\mu H_{\varphi}=\frac{\mu l}{2 \pi r} & (0<r<a), \\ \mu_{0} H_{\varphi}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} & (a<r) .\end{array}\right.$
Намагниченность удобно найти из соотношения (38.21):
\[
J_{\varphi}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\mu-\mu_{0}}{\mu_{0}} H_{\varphi}=\frac{\mu-\mu_{0}}{\mu_{0}} \frac{I}{2 \pi r} & (0<r<a), \\
0 & (a<r) .
\end{array}\right.
\]

Объемиую плотность молекулярных токов найдем с помощью (38.10). Принимая во внимание, что намагниченность дана в (38.56) в цилиндрических координатах, удобно вычисление ротора в (38.10) также проводить в цилиндрических координатах. Имеем
\[
\mathbf{j}_{\mathrm{M}}=\operatorname{rot} \mathbf{J}=-\mathbf{i}_{r} \frac{\partial J_{\varphi}}{\partial z}+\mathbf{i}_{z} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r J_{\varphi}\right)=0 .
\]

Таким образом, объемные молекулярные токи отсутствуют. Однако имеется поверхностный молекулярный ток, плотность которого на основе (38.17) с учетом (38.56) равна
\[
i_{\mathrm{M} z}=-\frac{\left(\mu-\mu_{0}\right) I}{\mu_{0} 2 \pi a} \text {. }
\]
156
К определению поля тока, текушего по цилиндру кругового сечения
(4) Молекулярные токи в буквальном смысле могут течь только внутри молекул. Однако в модели непрерывной среды речь идет об усредненных по бесконечно малым объемам величинах и позтому молекулярные токи представляютс текущими по объему магнетика, как в непрерывной среде.
По своему значению напряженность магнитного поля играет такую же роль в теории магнитного поля, как смещение в теории электрического поля. У диамагнетиков намагни. ченность направлена против напряженности магнитного поля, а индукция внешнего поля уменьшается.
$y$ парамагнетиков намагниченность направлена по напряженностн магнитного поля, а индукция внешнего поля усиливается. Классическая теория не может объяснить ферро. магнетизм, но она в состоянии описать магнитное поле вне ферроматнетиков, если считать намагниченность ферромаг. нетика известной.