Глава 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ ОТ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

9.1. Производная случайного процесса

1. Как известно, для определения производной случайного процесса необходимо привлекать предельные операции над случайными функциями. Это, в свою очередь, требует рассмотрения сходимости последовательности случайных величин или функций, т. е. введения так называемой стохастической сходимости.

В математической литературе встречаются различные виды стохастической сходимости (см., например, [38, 54]. Так, говорят, что сходится в среднеквадратичном к при , если для всех

(9.1.1)

где — случайная функция времени, а — некоторый параметр.

Говорят, что сходится по вероятности к при , если для всех и для любого

(9.1.2)

Из сходимости в среднеквадратичном следует сходимость по вероятности (но не обратно).

Для целей прикладного анализа случайных процессов нет необходимости вдаваться в сравнение различных видов сходимости, а достаточно оперировать с общим понятием стохастической сходимости. Так, вместо (9.1.1), (9.1.2) будем записывать

и называть стохастическим пределом функции при . При этом главное требование к выбору стохастической сходимости заключается в том, чтобы операция стохастического предела была перестановочна со статистическим усреднением, т. е. чтобы выполнялось условие

(9.1.3)

Как известно (см., например, [54]), этому требованию удовлетворяет, в частности, сходимость в среднеквадратичном.

2. Будем говорить, что есть производная случайного процесса , если

Другими словами, производной случайного процесса называется стохастический предел

(9.1.4)

Очевидно, что различным видам сходимости соответствуют различные определения производной.