§ 8. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА. ФОРМУЛА МАКЛОРЕНА

1. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши и Пеано.

Выше мы установили формулу Тейлора с остаточным членом в общей форме. Здесь мы установим другие возможные представления для остаточного члена. Два из них могут быть получены в качестве частных случаев из общей формы.

Прежде всего несколько преобразуем формулу для остаточного члена (6.34). Поскольку точка лежит между точками а и х, найдется такое число 0 из интервала что При этом Таким образом, формула (6.34) может быть переписана в виде

Рассмотрим теперь два важных частных случая формулы (6.45): (напомним, что в формулах (6.34) и (6.45) в качестве может быть взято любое положительное число). Первый из этих частных случаев приводит нас к остаточному члену в форме Лагранжа:

Эта форма остаточного члена наиболее употребительна в приложениях. Остаточный член в форме Лагранжа напоминает следующий, очередной член формулы Тейлора, лишь только производная функции вычисляется не в точке а, а в некоторой промежуточной между а и х точке

Второй из указанных выше частных случаев приводит нас к остаточному члену в форме Коши:

Так как формы Лагранжа и Коши отвечают разным значениям зависит от , то значения 0 в формулах (6.46) и (6.47) являются, вообще говоря, различными. Для оценки некоторых функций форма Коши является более предпочтительной, чем форма Лагранжа. Обе формы остаточного члена (Лагранжа и

Коши) обычно используются в тех случаях, когда требуется при тех или иных фиксированных значениях х, отличных от а, приближенно вычислить функцию

Естественно приближенно заменить многочленом и численно оценить сделанную при этом ошибку. Наряду с этим встречаются задачи, в которых нас интересует не численная величина указанной ошибки, а лишь порядок ее относительно малой величины Для этой цели удобна другая форма записи остаточного члена (так называемая форма Пеано, к установлению которой мы и переходим.

Предположим, что функция имеет производную порядка в некоторой окрестности точки а и производную порядка в самой точке а

При этих предположениях мы можем рассмотреть многочлен , определяемый соотношением (6.35). Разность между и этим многочленом, как и при доказательстве теоремы 6.10, обозначим символом т. е. положим

Докажем, что при сделанных нами предположениях для остаточного члена справедливо следующее представление

Представление (6.48) принято называть остаточным членом в форме Пеано.

Используя установленное в конце предыдущего параграфа свойство многочлена , выражающееся соотношениями (6.44), мы получим следующие равенства:

Нам остается доказать, что из равенств (6.49) вытекает представление (6.48). Доказательство того, что из равенств (6.49) вытекает представление (6.48), проведем методом математической индукции.

Сначала убедимся в том, что равенства (6.49) влекут представление (6.48) при

При превращаются в два равенства:

из которых сразу же вытекает, что

а это и означает, что т. е. при представление (6.48) вытекает из (6.49).

Теперь для завершения индукции предположим, что представление (6.48) вытекает из (6.49) для некоторого номера и убедимся, что в таком случае представление (6.48) вытекает из (6.49) и для следующего номера Для номера равенства (6.49) имеют вид

Поскольку мы предположили, что для номера равенства вида (6.49) влекут представление вида (6.48), то, отбросив первое из равенств (6.49, мы можем утверждать, что остальные равенства

влекут представление

С другой стороны, применяя к функции по сегменту теорему 6.4 Лагранжа и учитывая первое равенство (6.49, мы получаем, что между а и х найдется точка такая, что

Сопоставляя соотношения (6.50) и (6.51) и учитывая, что (в силу того, что заключено между а и мы окончательно получим, что а это совпадает с представлением (6.48), взятым для номера

Тем самым индукция проведена и вывод представления (6.48) остаточного члена в форме Пеано завершен.

В заключение запишем полностью формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано: