Один поглощающий и один упругий жесткий экраны

Пусть движение частицы происходит на отрезке , ограниченном в точке поглощающим, а в точке упругим жестким экранами. Наличие экранов означает, что если частица попадает в точку , то на этом движение заканчивается, а если она попадает в точку , то в следующий момент времени частица с вероятностью попадает в точку , либо с вероятностью останется в точке .

Обозначим через вероятность того, что частица, первоначально (при ) занимающая положение , в момент впервые попадает в положение , после чего движение прекратится. Таким образом,

При имеем очевидное равенство

Рис. 4.2. Дискретные случайные блуждания при наличии упругого жесткого и поглощающего экранов.

Оно означает, что частица, находящаяся в положении , поглощается в момент времени с вероятностью единица.

Пусть означает событие "поглощение произошло в точке в момент ". Тогда . Если на первом шаге частица изменила положение на , то для осуществления события необходимо, чтобы произошло событие при начальном условии .

Поэтому вероятность того, что произошел скачок на и что произошло событие равна

Так как на первом шаге частица может изменить положение на , то

В обозначениях (10) это означает, что вероятность поглощения удовлетворяет разностному уравнению

Кроме того, очевидно, должны выполняться начальные и граничные условия

По определению производящая функция вероятностей поглощения за шагов равна

Умножив обе части уравнения (12) на и суммируя по всем , для получим разностное уравнение

Из (13) находим граничные условия для уравнения (15)

Введение производящей функции (14) позволяет свести разностное уравнение (12) от двух переменных к разностному уравнению (15) только от одной переменной .

Общий метод решения однородного линейного разностного уравнения типа (15) состоит в подстановке , откуда следует

или

Решения квадратного уравнения (17) даются выражением

(4.18)

Величина s предполагается действительной и положительной, так чтобы подкоренное выражение в (18) было положительным, т. е.

или

Учитывая сказанное, далее в (18) берется арифметическое значение корней.

Таким образом, находим общее решение разностного уравнения (15)

Для определения постоянных А и В, которые могут зависеть от s, из граничных условий (15) следует система уравнений

Проделав соответствующие выкладки, для производящей функции вероятностей поглощения получим выражение

Нетрудно убедиться, что

Равенство (20) выражает очевидный факт, что поглощение за сколь угодно большое время обязательно произойдет.

Производящая функция (19) представляет собой рациональную дробь

где и являются многочленами степени . Если знаменатель степени имеет различные корни , то (21) можно разложить на простые дроби

Постоянные разложения (22) определеяются равенством

Раскладывая (22) в ряд по степеням , получаем

Согласно (14) можем написать

Для определения корней многочлена иногда бывает удобно воспользоваться заменой переменных

В этом случае и (19) принимает вид

Проделав соответствующие выкладки, из (23), (24) и (26) для вероятностей поглощения на шаге получим следующее выражение:

Здесь приняты обозначения:

Значения корней определяются уравнением

При наличии у многочлена кратных корней, вероятности поглощения могут быть найдены в каждом конкретном случае аналогичными методами.

Математическое ожидание и дисперсия времени до поглощения могут быть найдены с использованием свойств производящей функции вероятностей поглощения

Например, для среднего времени до поглощения в точке из первоначального состояния из (19) при имеем

При помощи (31) из (19) можно получить выражение для дисперсии среднего времени до поглощения, которое здесь не приводится из-за его громоздкости.