Другие отклонения от теоремы Дуба

Укажем некоторые возможности применения аппарата марковских процессов к нелинейным системам, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями, отличными от (19.1).

В некоторых случаях уравнение реальной системы удается привести к виду (19.1) при помощи замены переменных. При этом следует иметь в виду, что марковские свойства случайного процесса сохраняются при невырожденных нелинейных безынерционных преобразованиях. Если марковский процесс подвергается преобразованию

(20.29)

где — невырожденная однозначная функция, то случайный процесс будет также марковским. Этот факт является очевидным и следует из основного определения марковских процессов. Отметим, кстати, что если на вход типового квантователя по уровню воздействует непрерывный марковский процесс, то проквантованный процесс на выходе квантователя не будет марковским, так как характеристика квантователя есть вырожденная функция. Если не удается свести уравнение системы к виду (19.1), то иногда на основании физических соображений можно применять приближенные приемы решения.

На примере линейного дифференциального уравнения (1) было показано, что конечное (не равное нулю) время корреляции случайного воздействия не исключает возможность применения аппарата марковских процессов для изучения поведения процесса . Последнее правомерно при выполнении условий (14). Нелинейный характер исходного стохастического дифференциального уравнения системы также не является принципиальным препятствием для изучения процесса с помощью теории марковских процессов.

Эти факты дают основание надеяться, что при условиях типа (14) процесс , заданный, например, дифференциальным уравнением

(20.30)

где — стационарный нормальный процесс, будет приближенно марковским.

На основании физических соображений можно считать, что процесс является приближенно марковским для временных интервалов , если величина удовлетворяет почти для всех и для всех по-разному определенных времен корреляции процесса неравенством

(20.31)

Здесь — минимальное значение характерной постоянной времени системы (30). Физический смысл левого неравенства (31) заключается в том, что рассматриваемая система должна быть сравнительно инерционной: координата за время изменяется незначительно и, следовательно, мгновенная скорость при всех возможных относительно мала.

При этом приращение процесса за «малый» интервал времени будет малым, что характерно для непрерывных марковских процессов. Правая часть неравенства (31) говорит о том, что приращения процесса на неперекрывающихся интервалах сравнительно "большой" длительности будут практически независимы.

Разумеется, что выполнимость условий (31) необходимо проверять применительно к каждой конкретной задаче, причем такая проверка не является тривиальной.

Если условия (31) выполняются и процесс приближенно является марковским, то коэффициенты сноса и диффузии следует находить по формулам [2,67]:

Здесь — среднее статистическое значение правой части уравнения (30) при фиксированном значении ; - фуктуационная составляющая правой части уравнения (30)

— функция взаимной корреляции между производной от флуктуационной составляющей по и самой флуктуационной составляющей в разные моменты времени

(20.35)

Для функции при стационарном процессе всегда выполняется условие симметрии во времени

(20.36)

При этом

в выражение для коэффициента сноса несколько упрощается

Если вычисленные коэффициенты (32) и (33) подставить в (19.47), то дифференциальному уравнению (30) будет поставлено в соответствие уравнение (19.47). Оба уравнения будут иметь одинаковое уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова и, следовательно, одинаковые одномерные плотности вероятности и плотности вероятности перехода. В этом смысле уравнения (30) и (19.47) можно назвать статистически эквивалентными. Процедура замены уравнения случайного процесса на статистически эквивалентное уравнение вида (19.1) оказывается полезной при решении конкретных задач.

Все результаты и качественные соображения, указанные выше для одномерных марковских процессов, за исключением симметрии во времени (36), с очевидными видоизменениями обобщаются на многомерные марковские процессы.

Так, например, пусть по аналогии с (30) задано нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

(20.37)

где — стационарный нормальный случайный процесс с малым временем корреляции, точками сверху обозначены производные по времени.

Обозначим . Тогда дифференциальное уравнение второго порядка (37) можно записать в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка

При некоторых условиях, подобных (31), двухкомпонентный процесс будет марковским, и соответствующее ему уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова имеет вид [2]

(20.38)

Здесь через обозначены корреляционные функции, аналогичные фигурирующим в (32) и (33).

В частности, применительно к стохастическому уравнению

(20.39)

где и — постоянные коэффициенты, а и — заданные функции, стационарное решение уравнения (38) имеет вид [2]

(20.40)

где С — постоянная, определяемая из условия нормировки

Формула (40) показывает, что координата и производная , образующие в один и тот же момет времени двух компонентный марковский процесс, заданный стохастическим уравнением (37), в стационарном состоянии статистически независимы, причем производная распределена по нормальному закону.

Разумеется, что приведенные формулы справедливы и для случая, когда есть белый шум. Так, применительно к стохастическому дифференциальному уравнению

(20.43)

где — белый шум (19.2), формула (40) принимает вид [68]

(20.44)

Пример 1. Приведем конкретные результаты, получаемые по формуле (44), для трех частных видов функции [69].

1) Пусть . Тогда

2) При , получим

При фиксированных других параметрах плотность вероятности переходит в равномерную при и в нормальную при ;

3) Для , получим

При плотность вероятности стремится к нормальной.

Пример 2. Рассмотрим следующий частный вид дифференциального уравнения (37):

(20.45)

где — нормальный стационарный широкополосный случайный процесс с нулевым средним значением, — малый параметр.

Перейдем от одного дифференциального уравнения второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка. С этой целью введем новую переменную (энергию)

Дифференцируя первое выражение (46) по времени и подставив затем в правую часть из (45), получим

Это дифференциальное уравнение совместно с (46) определяет двумерный марковский процесс :

(20.47)

Системе дифференциальных уравнений (47) соответствует следующее уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова

где

(20.49)

Если мало, то из второго уравнения системы (47) видно, что энергия медленно изменяется во времени. При этом время пребывания процесса в малой окрестности точки будет обратно пропорционально скорости . Поэтому при фиксированной энергии (даже в нестационарном состоянии) условное распределение будет иметь вид [2]:

С учетом условия нормировки совместная плотность вероятности равна

где

(20.52)

Здесь интегрирование ведется по области , а второе выражение написано с учетом того, что на границе области подынтегральная функция обращается в нуль.

Подставив (51) в (48), получим

Обозначим

(20.54)

Проинтегрировав (53) по во всей области , получим

(20.55)

Полагая здесь , находим стационарную плотность вероятности

Если ввести функцию , определив ее равенством

то совместная плотность вероятности (51) будет равна

Возвращаясь от переменной к первоначальной координате согласно выражению (46) и учитывая, что якобиан преобразования равен , получаем окончательное выражение стационарной плотности вероятности для :

где

При и дифференциальное уравнение (46) переходит в (43). При этом формула (59) должна совпадать с (44). Это действительно так, поскольку в данном случае

Подставив это выражение функции в формулу (59), приходим к (44).