Плотность восстановления

Рассмотрим плотность восстановления , определенную формулой (29.16). Вероятность того, что восстановление произойдет в малом интервале времени , равна . Величина при совпадает с вероятностью восстановления в интервале безотносительно номера восстановления (первого, второго и т. д.). Поэтому

(31.35)

Здесь последнее равенство справа записано на основании выражений (19) и (25).

Воспользовавшись этой формулой и учитывая соотношение (29), находим, что для стационарного процесса восстановления плотность восстановления равна

(31.36)

Согласно (26) и (35) для простого процесса восстановления можем написать

(31.37)

как

Отсюда путем обращения получаем

(31.38)

Для общего процесса восстановления вместо формул (37) и (38) получим

Интегральные уравнения (38) и (40) относительно функций часто называют интегральными уравнениями теории восстановления. Укажем, что уравнение (38) можно получить на основании вероятностных рассуждений. Вероятность восстановления в интервале равна сумме: 1) вероятности , что первое восстановление произойдет в интервале и сумме по всем и вероятностей того, что восстановление произойдет вблизи точки , причем предшествующая длительность безотказной работы была равна . Аналогичное обоснование применимо и к уравнению (40).

Общее предельное значение для простого процесса восстановления формально находится с использованием формулы (32):

(31.41)

Путем предельного перехода в формуле (39) при можно показать, что этот асимптотический результат остается справедливым и для общего процесса восстановления.

Таким образом, для всех трех видов процессов восстановления справедлив асимптотическая формула

(31.42)

Выражения для плотностей восстановления и легко получаются и частном случае, когда интервалы времени между соседними восстановлениями имеют экспоненциальное распределение

В этом случае уравнение восстановления (40) принимает вид

Решение этого уравнения дается выражением

(31.45)

Действительно, пусть . Из уравнения (44) следует, что функция должна удовлетворять интегральному уравнению

Путем дифференцирования отсюда получаем соответствующее дифференциальпое уравнение

решение которого имеет вид

Из этого решения непосредственно следует результат (45).

Применительно к простому процессу восстановления по формуле (45) получим

При вычислении плогиостн восстановления для малых значений обычно получаются хорошие результаты, если пользоваться формулой (35) и учитывать лишь несколько первых членов ряда.