31. Процессы восстановления

Определение и классификация процессов восстановления

В пуассоновском процессе интервалы между последовательными событиями были независимы и одинаково экспоненциально распределены. Очевидное и важное обобщение получается в предположении, что интервалы между последовательными событиями взаимонезависимы и одинаково распределены с некоторой общей плотностью вероятности .

Получающаяся серия точечных событии на оси времени называется процессом восстановления.

Прежде чем классифицировать процессы восстановления, приведем частный поясняющий пример. Рассмотрим элементы, подверженные отказам. Допустим, что имеется совокупность элемеитои и что длительность безотказной работы элемента является неотрицательной непрерывной случайной величиной с плотностью вероятности . Предположим, что немедленно после отказа каждый элемент заменяется таким же, но новым. Тогда возможны следующий три случая. Если работа с новым элементом начинается при , то все интервалы времени между последовательными отказами, включая и первый, будут иметь одно и то же распределение. Однако, если элемент уже использовался при и поэтому не является новым, то время до первого отказа будет характеризовать остаточный срок его службы и будет отличаться от времени безотказной работы нового элемента. Возможен также случай, когда начало отсчета времени взято через большой промежуток времени после начала процесса, имеющего большую продолжительность.

Итак, допустим, что первое событие процесса происходит в момент времени второе — в момент времени , событие — в момент времени

где — независимые неотрицательные непрерывные случайные величины, причем имеют одинаковую общую плотность вероятности может иметь другую плотность вероятности .

Допуская возможность различного выбора начала отсчета времени, можем получить три частных вида процесса восстановления.

1. Простой процесс восстановления, когда , т. е. когда все случайные величины . имеют одинаковую плотность вероятности .

2. Общин (или модифицированный) процесс восстановления, когда плотности вероятности и не обязательно одинаковы. В данном случае выполнены все условия простого процесса восстановления, за исключением того, что длительность от начала до первого отказа имеет распределение, отличное от распределения для всех других длительностей безотказной работы.

3. Стационарный процесс восстановления, когда имеет специальный вид,

где — среднее время безотказной работы и — функция распределения, соответствующая плотности вероятности

определяет вероятность того, что элемент отказал до момента . Физически такое название объясняется следующим. Допустим, что простой процесс восстановления начался в отдаленном прошлом .

Рис. 31.1. Иллюстрация работы электронного счетчика зарегистрированные частицы, время блокировки).

Если наблюдение процесса начинается в момент , то длительность до первого отказа будет иметь плотность вероятности (2). Поэтому стационарный процесс восстановления можно рассматривать как простой процесс восстановления, при котором система начала функционировать задолго до того, как она впервые наблюдалась (см. также (52)).

Необходимо специально оговорить, что терминам элемент и длительность безотказной работы можно придавать различный физический смысл и интерпретировать их по-разному в зависимости от конкретной задачи (см. приведенный ниже пример со счетчиками).

Можно привести много других, более сложных процессов восстановления, когда имеются интервалы двух, трех и т. д. типов [127]. Приведем один из таких примеров, относящийся к теории обслуживания. Рассмотрим эмиссию потока частиц, допустим, от радиоактивного источника, описываемую законом Пуассона с параметром интенсивности . Предположим, что частицы регистрируются электронным счетчиком, который работает в соответствии со следующим правилом. Вначале счетчик свободен. После случайного времени , экспоненциально распределенного с параметром , происходит эмиссия и она регистрируется счетчиком. Затем счетчик блокируется на время в течение которого эмиссия не регистрируется. После этого счетчик становится свободным и очередная эмиссия, появившаяся после времени , регистрируется. Далее цикл повторяется (рис. 31.1).

При разных предположениях о статистических характеристиках двух последовательностей случайных величин и мы получим разные процессы восстановления.

При принятом предположении о пуассоновском характере эмиссии случайные величины независимы и одинаково экспоненциально распределены с параметром v. Допустим, что времена блокировки также независимы и одинаково распределены с плотностью вероятности , причем обе последовательности случайных величин и взаимонезависимы. Пусть нас интересует точечный процесс — зарегистрированные частицы. При оговоренных выше допущениях этот точечный процесс образует общий процесс восстановления, в котором время первого события экспоненциально распределено с параметром , а времена последующих событий и т. д. имеют одинаковые плотности вероятности в виде свертки с упомянутым выше экспоненциальным распределением.

Рис. 31.2. Альтернирующий процесс восстановления.

Если изменить начальное условие, а именно, считать, что период блокировки начинается при , то описанный выше точечный процесс будет простым процессом восстановления. Если в дополнение к этому отождествить время блокировки электронного счетчика с его мертвым временем и считать его постоянным , то интервалы между зарегистрированными частицами будут иметь смещенное показательное распределение .

Отметим, кстати, что основной задачей в теории счетчиков является установление количественной зависимости среднего значения и дисперсии числа зарегистрированных частиц от параметра интенсивности v и параметров распределения времени блокировки [135, 136].

Приведенный пример допускает следующее естественное обобщение. Пусть имеется две взаимонезависимых последовательности неотрицательных непрерывных случайных величин и . Допустим, что случайные величины каждой из этих последовательностей также независимы между собой и все имеют одинаковые плотности вероятности и соответственно. Образуем точечный процесс, беря поочередно случайные величины из двух последовательностей (рис. 31.2). Процесс начинается с интервала -го типа, в конце которого имеет место событие -го типа. За ним следует интервал -го типа, заканчивающийся событием -го типа в момент времени и т. д.; событие -го типа происходит в момент времени

а событие есть событие 2-го типа, осуществляющееся в момент времени

Получающийся случайный точечный процесс с поочередными интервалами двух типов называется альтернирующим процессом восстановления. Если обе плотности вероятности являются экспоненциальными, допустим, с параметрами и , то такой процесс называется альтернирующим процессом Пуассона.

При теоретическом рассмотрении альтернирующих процессов восстановления обычно полагают, что смена состояний (типов интервалов) описывается цепью Маркова с двумя состояниями с известной матрицей вероятностей перехода. По существу такие процессы были изучены в § 8. В дальнейшем мы рассмотрим основные статистические характеристики простейших процессов восстановления.