Анализ работы автогенератора при наличии шума

Для многих радиофизических задач представляет практический интерес вопрос о характере колебаний автогенератора с учетом собственных флуктуации (шумы сопротивлений потерь и шумы электронных, полупроводниковых и других приборов) и внешних случайных воздействий (колебания температуры окружающей среды, случайные колебания напряжения источников питании, вибрации и т. д.).

Рис. 21.2. Упрощенная схема автогенератора.

Флуктуации амплитуды и частоты, обусловленные только шумами автогенератора, принято называть флуктуациями. Эти флуктуации принципиально неустранимы и определяют тот предел повышении стабильности частоты и амплитуды автогенератора, который не может быть превзойден.

Флуктуации амплитуды и частоты, обусловленные внешними случайными воздействиями, называются техническими флуктуациями. Эти флуктуации можно устранить мерами параметрической стабилизации (термостатирование, гашение вибраций и т. д.) и стабилизации питающих напряжений.

Несмотря на то, что в реальных условиях технические нестабильности значительно превышают естественные, ограничимся здесь рассмотрением влияния собственных флуктуации (типа дробового и теплового шума) на работу автогенератора, поскольку они представляют принципиальный интерес.

В дальнейшем будут определены статистические характеристики амплитуды и фазы, а также найден энергетический спектр колебания.

Уравнение генератора. Рассмотрим простейшую схему лампового генератора гармонических колебаний с колебательным контуром в цепи сетки лампы (рис. 21.2). Нетрудно убедиться, что дифференциальное уравнение генератора для напряжения между сеткой и катодом лампы имеет вид

Здесь — параметры колебательного контура, — коэффициент взаимоиндукции анодной и сеточной катушек, — нелинейная функция зависимости анодного тока лампы от напряжения на сетке, — внешнее воздействие на генератор.

Для упрощения формул будем считать, что сеточные токи отсутствуют и можно пренебречь анодной реакцией. Тогда , причем характеристику лампы на некотором участке можно аппроксимировать кубическим полиномом

Тогда уравнение (28) примет вид

Здесь точка сверху обозначает производную по времени, — собственная частота колебательного контура, — величина, характеризующая затухание в регенерированной линейной системе, - амплитуда автономных колебаний генератора в отсутствие внешнего воздействия (см. ниже).

Рассмотрим здесь случай, когда под понимается приведенный к сетке эквивалентный собственный широкополосный флуктуационный шум элементов схемы генератора . В дальнейшем будем трактовать его как нормальный белый шум. На основании часто применяемой методики измерения собственных флуктуации радиоустройств (при помощи сравнения с дробовым шумом диода в режиме насыщения), функцию корреляциифлуктуационного шума целесообразно определить формулой

(21.29)

где — заряд электрона, — эквивалентный ток диода в режиме насыщения.

С учетом сказанного запишем уравнение генератора

(21.30)

Для изучения решения этого уравнения целесообразно перейти от одного уравнения второго порядка к двум уравнениям первого порядка, описывающим поведение амплитуды и фазы.

Определим амплитуду и фазу соотношениям

и

Отсюда получим

Дифференцируя эти выражения по времени, получим

Если в правые части написанных равенств подставить выражение из (30) и затем выразить и через и согласно (31), то придем к уравнениям

(21.34)

где

Для дальнейших упрощений примем во внимание следующие два обстоятельства. В контуре, настроенном на частоту и имеющем малое затухание, происходит эффективная фильтрация высших гармоник, и они не могут оказывать существенного влияния на процессы в генераторе. Предполагается, что собственный флуктуационный шум имеет малую интенсивность. Поэтому в уравнениях (34) в первом приближении можно опустить быстро осциллирующие члены и . Тогда получим

(21.35)

Из курса радиотехники известно, что влияние не учтенных нами высших гармоник сводится к некоторой поправке на частоту. Однако эта поправка является регулярной. Поэтому несмотря на то, что поправка на частоту, обусловленная высшими гармониками, превышаетфлуктуации частоты, следует признать, что сделанное упрощение в наших целях является оправданным.

Уравнения (35) принято называть укороченными уравнениями лампового генератора. Следует указать, что они могут быть получены из уравнений (34) не только путем отбрасывания членов с высшими частотами, но и путем усреднения правых частей по времени за период . При этом усреднению должны подвергаться лишь регулярные члены.

Из уравнений (35) легко находим стационарный режим работы генератора в отсутствие флуктуации. Так, полагая в первом уравнении , находим . Аналогично, при из второго уравнения получим , т. е. фаза сохраняет начальное значение. При этом никакому значению начальной фазы нельзя отдать предпочтение. Поэтому ее практически нужно считать случайной величиной, равномерно распределенной в интервале .

Таким образом, в стационарном режиме напряжение на контуре определяется формулой

(21.36)

Видно, что введенная ранее в рассмотрение величина , действительно, представляет собой установившееся значение амплитуды напряжения на контуре.

Дальнейшее упрощение уравнений (35) позволяет перейти к системе уравнений, в которые собственные флуктуации входят без комбинации с гармоническими сомножителями. С этой целью нужно повторить те же рассуждения и вычисления, которые позволили перейти от дифференциальных уравнений (11) и (12) к уравнениям (23). В результате получим

(21.37)

где и — взаимонезависимые нормальные случайные процессы с нулевыми средними значениями и дельта-функциями корреляции:

Перейдем теперь к решению уравнений (37).

Решение уравнений. Первое стохастическое дифференциальное уравнение (37) не содержит случайной фазы и его можно решать самостоятельно. Найдем стационарную плотность вероятности амплитуды колебаний. Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова в данном случае имеет вид

Рис. 21.3. Стационарные плотности вероятностей нормированной амплитуды автоколебаний генератора при наличии флуктуационного шума.

Стационарная плотность вероятности определяется уравнением

и равна

Постоянные определяются из условия нормировки .

Если в (40) перейти к безразмерной амплитуде , то получим

Графики этой плотности вероятности для нескольких значений параметра приведены на рис. 21.3. Наивероятнейшее значение безразмерной амплитуды равно

Параметр характеризует статистический разброс амплитуды колебаний. При увеличении (уменьшении интенсивности шума ) плотности вероятностей все больше концентрируются около значения , которое в свою очередь стремится к единице. В пределе при плотность вероятности переходит в дельта-функцию . Следовательно, при выполнении неравенства

(21.42)

флуктуации амплитуды колебаний будут малы, т. е.

(21.43)

Применительно к рассматриваемой задаче, когда определяется собственными флуктуациямн генератора, условие (42) обычно выполняется.

Перейдем к рассмотрению второго уравнения системы (37). Решение этого уравнения в общем виде затруднено из-за наличия в знаменателе правой части случайной амплитуды . Однако при выполнении условия (42), т. е. при малой интенсивности шума, можно согласно (43) заменить на . Тогда второе уравнение (37) примет вид

(21.44)

где — нормальный белый шум с нулевым средним значением и корреляционной функцией (38). Это уравнение с точностью до постоянного коэффициента совпадает со стохастическим дифференциальным уравнением (14.2), определяющим винеровский процесс. Поэтому все результаты § 14 для винеровского процесса распространяются на случайную фазу . В частности, есть процесс с независимыми и нормально распределенными приращениями. Приращение фазы за интервал времени

имеет нулевое среднее значение и дисперсию, равную

Плотность вероятности приращения фазы является нормальной и имеет вид

Если значение фазы в начальный момент времени равно , то полная фаза

имеет среднее значение и дисперсию

(21.49)

Рис. 21.4. Характер изменения полной фазы по времени (а) и соответствующая реализация фазы , приведенной к интервалу (б).

Плотность вероятности полной фазы равна

(21.50)

Полная фаза является нестационарным случайным процессом, так как плотность вероятности (50) явно зависит от времени. В начальный момент времени плотность вероятности имеет вид дельта-функции , а затем с ростом неограниченно расплывается по бесконечной прямой . Если рассматривать множество идентичных генераторов, образующих некоторый ансамбль, и допустить, что при все генераторы ансамбля имеют одинаковую начальную фазу , то с ростом фазы отдельных генераторов будут все более разбросанными. Следовательно, длительная «привязка» текущей фазы к начальной из-за наличия флуктуации невозможна.

Из (46) и (49) видно, что дисперсия приращения фазы растет пропорционально времени. Следовательно, приращение фазы является нестационарным процессом и мгновенные значения приращения фазы могут превышать значения и т. д. Примерный характер изменения фазы во времени изображен на рис. 21.4, а.

Обычно наблюдается не сама фаза, а некоторая нелинейная функция от нее, в частности, . На рис. 21.5 изображена многозначная функция и показан характер изменения плотности вероятности (50) во времени.

Флуктуации фазы вызывают случайный разброс частоты относительно ее номинального значения, причем практически нельзя предложить какие-либо меры для устранения этого эффекта без существенного изменения принципа работы самого генератора (например, переход от ламповых генераторов к молекулярным). Позже будет указана количественная мера естественной нестабильности частоты колебаний генератора.

Рис 21.3 Функция и плотность вероятности полной фазы.

Таким образом, колебание автогенератора при учете собственных флуктуационных шумов, в отличие от (36), имеет вид

где и - случайные амплитуда и фаза, одномерные плотности вероятности которых даются формулами (40) и (50).

В практических задачах приходится рассматривать воздействие сигнала (51) на различные устройства (амплитудный, фазовый или частотный детекторы, фазовая или частотная автоподстройка частоты, счетчик числа нулей, коррелометр и др.). При этом нас будут интересовать разные статистические характеристики сигнала. Хотя возможно большое разнообразие практических случаев [73], отметим здесь следующие два.

В некоторых задачах является существенным, имеет ли приращение фазы сигнала значение или , где . Примером может служить использование автогенератора в качестве эталона времени, когда не безразлично, изменилась ли фаза на или . В таких задачах нужно рассматривать полную фазу

Наоборот, иногда (например, при амплитудном детектировании сигнала) безразлично, имеет ли приращение фазы сигнала значение или . В подобных задачах, когда не имеет значения изменение фазы на , часто оперируют с фазой приведенной к интервалу . При этом считают, что возможные значения приращения фазы заключены лишь в интервале и реальная реализация случайной фазы , приведенная на рис. 21.4, а, заменяется разрывную кривую, изображенную на рис. 21.4, б.

Очевидно, что такая замена не скажется на повелении периодической функции с периодом , например, на поведении .

Рис. 21.6. Представление полной фазы в виде суммы двух разрывных процессов: приведенной фаэы и случайной последовательности биполярных прямоугольных импульсов .

Следовательно, полную фазу можно представить в виде суммы двух разрывных процессов (рис. 21.6):

(21.52)

где — случайная последовательность биполярных прямоугольных импульсов, высота которых принимает только целочисленные значения.

Положительные импульсы появляются в моменты времени, когда случайная фаза пересекает снизу вверх уровни , где , а моменты появления отрицательных импульсов соответствуют пересечениям уровней сверху вниз.

Всякий раз, когда случайная фаза , возрастая, пересекает уровень , часто говорят, что имеет место «перескок» фазы за соответствующий уровень. Когда же фаза в результате убывания принимает значение , говорит о перескоке фазы за этот уровень.

Рис. 21.7. К вычислению плотности вероятности приведенной фазы.

При использовании приведенной фазы колебание генератора записывается в виде

Из сравнения (51) и (53) видно, что при записи (53) отбрасывается целое число периодов .

В соответствии с описанным способом замены полной фазы на приведенную , можно найти плотность вероятности для приведенной фазы . Для этого нужно свернуть плотность вероятности (50) на интервал следующим образом (рис. 21.7). К части плотности вероятности, расположенной в интервале , прибавим ее крылья, расположенные соответственно в интервалах и . Воспользовавшись формулой (50), получим

(21.54)

Рассмотрим предельный случай при . Так как при дисперсия , то два соседних члена суммы, соответствующие значениями и , будут отличаться очень мало и суммирование можно заменить интегрированием.

В результате предельного перехода получим

(21.55)

В результате приведения нормального нестационарного закона распределения (50) полной фазы к интервалу в пределе получается равномерная стационарная плотность вероятности (55). Именно это упрощение используется при оперировании с приведенной фазой особенно в тех случаях, когда интересуются одномерными статистическими характеристиками.

Формула (54) оказывается неудобной для последующих вычислений. Получим плотность вероятности приведенной фазы из решения уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова. Запишем уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова для плотности вероятности перехода применительно к стохастическому дифференциальному уравнению (44)

Найдем решение этого уравнения при начальном условии

граничном условии

и условии нормировки

(21.59)

Граничное условие (58) соответствует описанному ранее методу преобразования полной фазы в приведенную фазу.

Будем искать решение уравнения (56) методом разделении переменных, т. е. в виде

Применяя обычную методику (см. § 12), получим

Граничное условие (58) будет удовлетворено, если , где — целое число, т. е. . Поэтому

При должно выполняться начальное условие (57), т. е.

Воспользовавшись известным разложением дельта-функции в ряд Фурье в некотором интервале [37]

находим, что при .

Записываем окончательное решение уравнения (5) с указанными ранее условиями [74]

(21.60)

Отсюда при получаем стационарную плотность вероятности (55). По формуле (10.14) находим двумерную плотность вероятности приведенной фазы в стационарном состоянии

где

(21.61)

Укажем, что формулу (60) можно было записать сразу на основании (54), если учесть известное соотношение [4]

получающееся как результат «наматывания» прямой, вдоль которой расположена нормальная плотность вероятности, на окружность.

Необходимо специально оговорить, что приведенные здесь формулы относятся только к фазе колебаний генератора, описываемой стохастическим дифференциальным уравнением (44). Их нельзя распространять на фазу узкополосного случайного процесса, о котором речь шла в п. 1.

Корреляционная функция и спектр колебания. Вычислим корреляционную функцию и спектр колебаний (51) и (53). Предварительно отметим, что случайная амплитуда , заданная первым стохастическим уравнением системы (37), и случайная фаза , описываемая уравнением (44), статистически независимы, так как случайные воздействия и , как указывалось ранее, взаимонезависимые белые шумы.

Вычислим сначала корреляционную функцию амплитудных флуктуации. Для этого нужно знать одномерную и двумерную плотности вероятности случайной амплитуды . Выше сравнительно легко была найдена лишь одномерная стационарная плотность вероятности амплитуды (40). Найти одномерную и двумерную плотности вероятности в общем случае затруднительно. При вычислении корреляционной функции воспользуемся методом линеаризации стохастического уравнения (37) в окрестности значения . Метод линеаризации применим при малом уровне шума, когда выполняется неравенство (42). При выполнении этого неравенства флуктуации амплитуды

(21.62)

малы (43). Подставив в первое уравнение (37), имеем

Удержим в правой части лишь те члены, малость которых относительно а не превосходит первого порядка. Тогда вместо (37) получим линейное стохастическое уравнение

(21.63)

При этом было учтено, что среднеквадратичное значение флуктуации амплитуды имеет малый порядок (см. ).

Из уравнения (63) следует, что математическое ожидание амплитудных флуктуации равно нулю , а корреляционная функция согласно (15.34) определяется выражением

(21.64)

Здесь —дисперсия флуктуации амплитуды в стационарном состоянии, .

Из (64) при получаем корреляционную функцию амплитудных флуктуации стационарном состоянии

(21.65)

Вычислим теперь корреляционную функцию фазовых флуктуации колебании :

Воспользовавшись формулой (50), получим

Известно, что

Пусть , т.е. . Считая в формуле (47) , найдем, что

На основании (48) сумма

есть нормальный нестационарный процесс со средним значением и дисперсией, равной . Поэтому

Выписанные соотношения позволяют получить корреляционную функцию фазовых флуктуации колебаний генератора

Отсюда при имеем

(21.68)

Можно отметить, что хотя полная фаза есть нестационарный процесс, однако корреляционная функция колебания при зависит только от разности временных аргументов, т. е. имеет такой же вид, как и для стационарного в широком смысле случайного процесса.

Нетрудно убедиться, что корреляционная функция колебания , в котором фигурирует приведенная фаза, также определяется формулой (68). Действительно, для приведенной фазы остается справедливым выражение (65), только теперь в нем нужно заменить на . На основании (55) имеем

Воспользовавшись формулой (61), можем написать

Заесь в правой части будет отличным от нуля только одно слагаемое, соответствующее . Выполнив затем интегрирование, придем к формуле (68).

Следовательно, корреляционные функции колебаний совпадают и определяются формулой (68).

Корреляционная функция колебания генератора (53) с учетом (62) имеет вид

(21.69)

Для стационарного состояния согласно формулам (65) и (68) получим

(21.70)

Зная корреляционную функцию, находим односторонний энергетический спектр колебания автогенератора

(21.71)

где

Здесь было учтено, что величины и много меньше .

Рис. 21.8. Составляющие энергетического спектра колебаний автогенератора.

Рассмотрим более подробно характер спектра. Если флуктуационный шум отсутствует , то и . Полагая в (72) и (73) и воспользовавшись формулой (III-26), получим . В данном случае генератор генерирует гармоническое колебание (36), энергетический спектр которого представляется в виде дискретной линии высотой , расположенной на частоте .

Энергетический спектр квазигармонического колебания, получающегося при наличии флуктуационного шума, симметричен относительно частоты , где он имеет максимум. Спектр состоит из двух слагаемых, первое из которых обусловлено только флуктуациями фазы, а второе — флуктуациями амплитуды и фазы. Так как практически всегда , т. е. в (73) можно пренебречь по сравнению с , то можно сказать, что второе слагаемое обусловлено в основном амплитудными .

Из формулы (70) видно, что дисперсия или полная мощность, содержащаяся в первом слагаемом, равна по-прежнему и значительно превосходит мощность , заключенную во втором слагаемом. Максимальная высота первого слагаемого равна и значительно превышает высоту второго слагаемого, равную . Полная ширина первого слагаемого (на уровне 0,5 от максимального значения) равна . Она значительно меньше ширины второго слагаемого (рис. 21.8).

При рассмотрении характера энергетического спектра квазигармонического колебания второе слагаемое в формуле (71), как содержащее незначительную мощность и более «широкополосное», часто не учитывают. При этом для спектра автоколебаний получим простую формулу

(21.74)

Итак, энергетический спектр колебания автогенератора из-за наличия собственных флуктуационных шумов превращается из дискретной линии в сплошной спектр, имеющий очень малую ширину .

Естественную нестабильность частоты генератора можно количественно характеризовать относительной шириной энергетического спектра

(21.75)

Обычно эта величина имеет порядок . Различные методы экспериментального определения естественной нестабильности частоты автоколебаний описаны в работе 175).