11. Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова

Вывод уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова

Вероятность перехода непрерывного марковского процесса удовлетворяет следующим уравнениям в частных производных:

Уравнение (1) называется уравнением Фоккера—Планка—Колмогорова или прямым уравнением (поскольку в нем фигурирует производная по конечному моменту времени ), а уравнение (2) называется уравнением Колмогорова или обратным уравнением (так как в него входит производная по начальному моменту времени ). Такое название оправдано тем, что уравнение (1) для процесса броуновского движения встречалось в работах Фоккера (1914 г.) и Планка (1917 г.). Строгое математическое обоснование (1) было дано А. Н. Колмогоровым; им же впервые было получено уравнение (2) [1].

Получим уравнения (1) и (2). При этом будем предполагать, что все условия, при которых правомерны приводимые ниже математические операции (дифференцирование, интегрирование, существование пределов и т.п.), выполняются.

Для получения прямого уравнения (1) нужно в уравнении Смолуховского (10.8) взять промежуточный момент времени близким к конечному моменту времени , а для получения обратного уравнения (2) — близким к начальному моменту времени . Поскольку все математические выкладки в обоих случаях идентичны, то приведем здесь вывод только уравнения (1).

Запишем уравнение Смолуховсиого (10.8) в следующем виде: (11.3)

где интервал времени предполагается малым.

Введем в рассмотрение условную характеристическую функцию случайного приращения за малое время при условии, что фиксировано. По определению характеристической функции имеем

Согласно обратному преобразованию Фурье можем написать

Путем разложения в ряд Тейлора условную характеристическую функцию можно представить в виде

где — условные моменты приращения за время

Если подставить (5) в (4), то получим

Подставив это выражение в уравнение Смолуховского (3) и выполнив интегрирование с дельта-функцией, получим

или

Поделив обе части этого равенства на и переходя затем к пределу при , найдем

где

Следует указать, что уравнение (7), при выводе которого была использована лишь формула полной вероятности (10.8), справедливо для любых случайных процессов, для которых существуют коэффициенты .

Рассмотрим далее один важный, но частный случай полученного уравнения (7), когда первые два «коэффициента» и отличны от нуля, а остальные «коэффициенты» при равны нулю:

Марковские процессы, удовлетворяющие этим условиям, называются диффузионными.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:

Как следует из (8), условие (9) характеризует быстроту уменьшения вероятности больших отклонений с уменьшением : допускаются весьма быстрые изменения процесса , но в противоположных направлениях.

Поэтому среднее приращение процесса за малое время имеет порядок (см. (10.23)). Конечные скачки процесса появляются с нулевой вероятностью, и все траектории процесса непрерывны с вероятностью единица в обычном смысле [35].

Следовательно, чтобы непрерывный случайный процесс был марковским диффузионным процессом, необходимо и достаточно, чтобы для него выполнялись условия (9).

Можно доказать следующее утверждение [36]. Для любого непрерывного процесса, если при всех и если при некотором четном , то для всех . Этот результат при существовании «коэффициентов» позволяет записать условие непрерывности процесса (9) иначе: например, .

Для диффузионных марковских процессов уравнение (7) упрощается и переходит в уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова (1):

(11.12)

По традиции, связанной с применением уравнения Фоккера— Планка—Колмогорова первоначально в основном для изучения поведения броуновских частиц, «коэффициенты» и часто называют соответственно коэффициентами сноса и диффузии или локальными характеристиками процесса (см. § 19).

Как следует из (10), коэффициент сноса характеризует среднее значение локальной скорости, а коэффициент диффузии — локальную скорость изменения дисперсии приращения марковского процесса. Коэффициент диффузии не может быть отрицательным: .

Линейное уравнение в частных производных (12) относится к параболическому типу и для отыскания его решения можно применять обычные методы решения уравнений этого типа [37]. Решение должно удовлетворять обязательным условиям (10.6) и (10.7), т. е. оно должно быть неотрицательным, нормированным к единице и должно удовлетворять начальному условию

(11.13)

Решение уравнения Фоккера—Планка (12) для неограниченного пространства при дельтообразном начальном условии (13) называется фундаментальным решением задачи Коши.

Если значение марковского процесса в начальный момент времени не фиксировано, а является случайным и имеет плотность вероятности , то в качестве начального условия указывается эта плотность вероятности

При этом одномерную плотность вероятности в произвольный момент времени можно вычислить двумя способами

1. По условию согласованности плотностей вероятностей из (10.9) имеем

Отсюда видно, что при заданном начальном распределении для определения нужно найти фундаментальное решение уравнения (12), определяющее плотность вероятности перехода .

2. Можно сразу искать решение уравнения Фоккера—Планка— Колмогорова для плотности вероятности с начальным условием (14).

Действительно, умножив (12) на и проинтегрировав по , с учетом (15) получим

Следовательно, одномерная плотность вероятности марковского диффузионного процесса удовлетворяет уравнению Фоккера—Планка—Колмогорова (16). При дельтоообразном начальном распределении плотность вероятности совпадает с плотностью вероятности перехода и соответственно становятся идентичными уравнения (12) и (16). Имея в виду эту некоторую общность уравнения (16), а также то, что для многих задач непосредственный практический интерес представляет именно плотность вероятности , в дальнейшем будем рассматривать в основном уравнение (16).

Уравнение (16) нужно решать при начальном условии (14). Решение должно быть неотрицательным и нормированным к единице

(11.17)

Если рассматриваемый диффузионный процесс однороден во времени, т. е. плотность вероятности перехода (10.10) зависит лишь от разности временных аргументов , то не зависят от и .

При этом прямое и обратное уравнения (1) и (2) можно записать в виде

Отметим, что если условия (9) не выполняются, т. е. марковский процесс не является диффузионным, то на основании (7), для одномерной плотности вероятности вместо уравнения (16) получим обобщенное уравнение

где «коэффициенты» определены формулой (8). Этим обобщенным уравнением можно пользоваться при анализе более широкого класса марковских процессов (см. § 24, 25).

Поскольку прямое и обратное уравнения (1) и (2) определяют одну и ту же плотность вероятности перехода марковского процесса , то они не независимы. В частности, дифференциальные выражения в правых частях прямого и обратного уравнений являются взаимно сопряженными [38]. Однако не следует трактовать прямое и обратное уравнения лишь только как взаимно сопряженные операторы.

При решении научно-прикладных задач, в зависимости от конкретной формулировки задачи, применяют прямое или обратное уравнение Колмогорова. Если нас интересует плотность вероятности непрерывного марковского процесса при заданной плотности вероятности начальной координаты , то естественно использовать прямое уравнение Колмогорова. Наоборот, если нужно вычислить распределение первого времени достижения фиксированного уровня как функцию начального состояния , то целесообразно пользоваться обратным уравнением Колмогорова.

В некоторых случаях, когда на поведение процесса наложены ограничения, может оказаться, что прямое уравнение в обычном виде неприменимо, в то время как обратное уравнение остается в силе. Пусть, например, рассматривается поведение марковского процесса в некотором ограниченном интервале его значений.

Допустим, что при достижении блуждающей частицей границы интервала, она остается на границе некоторое случайное время , имеющее экспоненциальное распределение. Затем частица мгновенно возвращается в некоторую внутреннюю точку интервала, имеющую известную плотность вероятности, после чего из точки продолжает обычное блуждание (см. пример 8 § 26).

Описанный процесс со скачкообразным уходом с границы будет марковским. Однако при попытке применения прямого уравнения Колмогорова мы встретимся с трудностью, обусловленной тем, что переходы из одного состояния в другое не являются локальными. В течение малого временного интервала значение может быть достигнуто не только из какой-либо близко расположенной точки, но также и из точки, расположенной на границе. Именно последнее обстоятельство нарушает непрерывный характер движения и делает неправомерным непосредственное использование прямого уравнения в обычном виде (1). Однако обратное уравнение Колмогорова не изменит своего вида [6].

Для описанного непрерывно-разрывного процесса целесообразно оперировать не с плотностью вероятности перехода , а с функцией распределения перехода

(11.21)

Интегрируя уравнение (2) по в пределах от до и вводя функцию распределения перехода (21), получим, что обратное уравнение сохраняет прежний вид и для функции распределения перехода

Однако аналогичное выражение несправедливо для прямого уравнения.