18. Многомерные пормальные марковские процессы

Пусть векторный случайный процесс с компонентами задан системой линейных стохастических дифференциальных уравнений

Здесь — постоянные коэффициенты, не зависящие от времени и — нормальные белые шумы с нулевыми средними значениями и дельтообразными корреляционными функциями

Предполагается, что коэффициенты и не зависят от времени.

Требуется найти совместную плотность вероятности при начальном условии

Запишем систему уравнений (1) и начальное условие (3) в матричной форме

где

Поставленную задачу можно решать несколькими способами [45, 52, 55]. Они базируются на следующих двух фактах.

1. Так как система стохастических дифференциальных уравнении (1) является линейной с постоянными коэффициентами и белые шумы нормальные, то интересующая нас совместная плотность вероятности будет также нормальной. Для ее фактического определения нужно лишь с учетом начального условия вычислить математическое ожидание и матрицу дисперсий (значения всех компонент берутся в один и тот же момент времени )

где верхний индекс означает транспонирование. Это можно сделать путем непосредственного вычисления математического ожидания и дисперсии по виду уравнения (4). Действительно, усредняя правую и левую части уравнения (4), получаем

Аналогично можно получить уравнение для матрицы дисперсий

где

Зная матрицу дисперсий, можно найти матрицу корреляционных функций , воспользовавшись соотношениями [55]

(18.10)

Здесь — фундаментальная матрица решений (см. Приложение I).

После того, как найдены матрицы , можно определить -мерную плотность вероятности перехода

где — матрица, обратная матрице дисперсий.

Методика решения матричных уравнений известна [56], хотя практическое выполнение соответствующих выкладок может оказаться весьма громоздким (см. Приложение I).

2. Можно воспользоваться тем обстоятельством, что на основании теоремы Дуба (см. § 19) случайный нормальный векторный процесс с компонентами , значения которых рассматриваются в один и тот же момент времени , является марковским. Его плотность вероятности удовлетворяет уравнению Фоккера—Планка—Колмогорова с коэффициентами

Подставив в это уравнение многомерную нормальную плотность вероятности (11), можно получить уравнения для математических ожиданий и дисперсий.

Для нашей системы (1) уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова имеет вид

Учтем следующие равенства:

(18.13)

Тогда уравнение (13) преобразуется к следующему виду:

Запишем логарифм многомерной нормальной плотности вероятности

где — элементы матрицы , обратной матрице дисперсий,

(18.16)

Подставив (15) в и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим

(18.18)

Отметим, что в рассматриваемом случае нормальная плотность вероятности (15) удовлетворяет уравнению (14) точно.

Уравнения (17) и (18) можно записать в матричной форме

(18.20)

Учитывая, что

из (20) получаем уравнение для матрицы дисперсий

Решение матричных уравнений (19) и (21) дается формулами [56]

(18.22)

(18.23)

В этом можно убедитья непосредственной подстановкой (22) в (19) и (23) в (21).

Из (22) и (23) видно, что задание стохастических дифференциальных уравнений (1) эквивалентно заданию матриц А и В.

Рассмотрим частный случай, когда матрица А при помощи невырожденного линейного преобразования приводится к диагональному виду. Это означает, что выполняется равенство

(18.24)

Здесь — матрица преобразования; — матрица, обратная ; — диагональная матрица, причем — собственные числа матрицы , определяемые из уравнений

Известно [56], что

Поэтому из (22) следует

(18.26)

Для определения матрицы дисперсий К из (23) получим соотношение

(18.27)

где

(18.28)

Таким образом, определение плотности вероятности при заданных матрицах и сводится к следующим этапам. Определив из уравнений (25) собственные числа , т. е. диагональную матрицу , из соотношения (24) находим матрицу С. Вычислив затем матрицу (28), по формулам (26) и (27) находим все параметры интересующего нас нестационарного нормального распределения.

Применение описанной методики для вычисления статистических характеристик двумерного нормального марковского процесса подробно рассматривается в [77].