Введение

По общем классификации марковские процессы являются частным видом случайных процессов. Однако они занимают особо важнее положение среди других видов случайных процессов. Это объясняется в основном двумя обстоятельствами: во-первых, для марковских процессов хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать многие содержательные физические задачи, и во-вторых, при помощи марковских процессов можно описывать точно или приближенно поведение ряда реальных физических систем и устройств.

Приведем примеры тех задач общего характера, которые в принципе можно решить на базе теории марковских процессов

1. Известно, что при преобразовании случайных процессов линейными и нелинейными (дискретными или непрерывными) динамическими системами, как правило, нет точных методов определения полных статистических характеристик выходных процессов (например, плотности вероятностен). Здесь исключение составляют только линейные преобразовании нормальных процессов, при которых сохраняется свойство нормальности и в полной мере применимы методы корреляционной теории. В других случаях приходится применять весьма трудоемкий, приближенный метол вычисления моментов с последующим восстановленном по ним плотности вероятностей. Однако если процесс, воздействующий на систему (линейную или нелинейную), является маркозским, то имеются общие методы вычисления статистических характеристик выходных процессов.

2. Предположим, что движение точки, отображающей поведение системы в фазовом пространстве, происходит при наличии определенных ограничений (например, внутри заданных границ — фиксированных или подвижных), причем при достижении границ нарушается нормальная работа системы. Задачи такого рода обычно возникают в следящих системах автоматического управления с конечной зоной устойчивой работы. В данном случае представляет практический интерес характер движения изображающей точки внутри этих границ (например, статистические характеристики времени, когда точка впервые достигнет границ, и др. Физически содержательные задачи такого характера аналитически могут быть решены только для марковских процессов.

3. В настоящее время одним из главных направлений развития радиотехники и автоматики является синтез оптимальных систем при наличии случайных воздействий (с известными или неизвестными характеристиками).

Наиболее полные и продуктивные результаты в этом направлении удается получить для марковских процессов.

При решении конкретных прикладных задач обычно не преследуется цель разработки новых математических методов или приемов. Как правило, дело сводится к тому, чтобы умело воспользоваться известным арсеналом математических средств применительно к рассматриваемой задаче. Ввиду того, что многие аналитические методы решения разработаны только для марковских процессов, естественно стремление «подогнать» многие задачи под аппарат теории марковских процессов.

Здесь можно указать два реальных факта, во многих случаях оправдывающих применение аппарата теории марковских процессов.

1. В практических ситуациях часто приходится рассматривать воздействие широкополосных нормальных помех или флуктуационных шумов на сравнительно инерционные системы конечного порядка. Действие такой помехи на систему в известных рамках аналогично воздействию некоторого эквивалентного белого шума, и в таких случаях оказывается допустимым рассматривать процессы в системе как марковские.

2. Нормальные - случайные процессы с энергетическим спектром в виде дробно-рациональной функции частоты всегда с заданной степенью точности можно аппроксимировать марковскими процессами.

На основании изложенного читатель может составить представление о роли и месте марковских процессов среди других случайных процессов и об области применения математического аппарата теории марковских процессов для решения конкретных научно-прикладных задач.

В последнее десятилетие аппарат теории марковских процессов все более широко используется специалистами разных научно-прикладных направлений (радиотехника, автоматика, теория надежности и массового обслуживания, физика, биология, медицина и др.

Чтобы у читателя не создалось неправильное впечатление о простоте и универсальности решении всех задач из области марковских процессов, полезно отметить, что к настоящему времени аналитическими и численными мете дани получено много важных оригинальных результатов в основном лишь для одномеоных и двумерных нелинейных систем. Применительно к динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями третьего и более высоких порядков, часто возни кают трудности в получении точных и компактных аналитических и численных результатов.

Наиболее существенные результаты по теории марковских процессов принадлежат отечественным ученым-математикам, в частности А. Л. Маркову и А. Н. Колмогорову.

Из обстоятельных научно-прикладных исследований в этой области следует особо выделить известную монографию Р. Л. Стратоновича [2].

По математической теории марковских процессов существует ряд хороших книг, написанных математиками для математиков К сожалению, чти работы остаются недоступными для широкого круга инженеров-исследователей, не имеющих специальной математической подготовки и заинтересованных в решении конкретных прикладных задач, а не в красоте и математической строгости вывода формул или в дальнейшем развитии самой теории. В то же время вопросы прикладной теории марковских процессов излагаются, как правило, в виде отдельных справочных сведений в различных изданиях и в весьма ограниченном объеме. По-видимому, этим объясняется тот факт, что методы теории марковских процессов до сего времени не стали рабочим аппаратом инженеров. Это обстоятельство было руководящим при написании данном книги.

В настоящей книге систематически и полно наложены основы теории марковских процессов, на инженерном уровне строгости получены основные соотношения, сформулированы условия их применимости, четко описана методика применения для решения задач и подробно рассмотрено большее число конкретных радиотехнических примеров, представляющих самостоятельный интерес.