Приложение I. Сведения из теории матриц

Прямоугольная таблица чисел, составленная из m строк и столбцов, называется прямоугольной матрицей размером [143]. Она обозначается следующим образом:

Если , то матрица называется квадратной, а число — ее порядком. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. При двухпндексном обозначении элементов первый индекс указывает номер строки, а второй индекс — номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Две матрицы А и В называются равными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый порядок и все соответствующие элементы их равны между собой, т. е. .

Матрица размером называется вектором-строкой

Прямоугольная матрица размером называется вектором-столбцом

Матрицы и векторы, имеющие только один элемент, называются скалярами. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через .

Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю

называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, называется единичной матрицей и обозначается . Следом квадратной матрицы называется сумма элементов, стоящих на главной диагонали.

Суммой двух прямоугольных матриц и одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данных матриц:

если

Операция сложения матриц обладает нереместительными и сочетательными свойствами

Произведением прямоугольной матрицы на число называется матрица , элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы умножением на число , т. е.

если

Из определения (6) следует, что

Разность двух прямоугольных матриц одннимлшги размера определяется равенством

Произведением двух прямоугольных матриц

называется матрица

у которой элемент , стоящий на пересечении строки и -го столбца, равен скалярному произведению вектора, составленного из элементов строки матрицы , на вектор, составленный из элементов -го столбца матрицы :

Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

Операция умножения двух прямоугольных матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором. В частности, умножение матриц всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка. Однако даже в этом частном случае умножение матриц не обладает переместнтельным свойством, т. е. вообще говоря . Если , то матрицы А и В называются перестановочными или коммутирующими между собой.

Аналогично определяются произведения матрицы на вектор-строку и вектор-столбец, произведение векторов на матрицу и произведение вектора на вектор. Например, произведение вектора-столбца на вектор-строку имеет вид

Детерминантом (определителем) квадратной матрицы А порядка называется число

где — детерминант квадратной матрицы порядка полученной из вычеркиванием первой строки и -го столбца. Матрица порядка 1 состоит из одного числа, и ее детерминант по определению считают равным этому числу.

Квадратная матрица называется особенной (вырожденной, сингулярной), если . В противном случае квадратная матрица называется неособенной.

Для любых квадратных матриц А и В одного порядка имеет место равенство

По определению, алгебраическое дополнение (адъюнкта) элемента матрицы имеет вид

где — детерминант матрицы, полученной из вычеркиванием строки и -го столбца.

Для каждой неособенной матрицы А существует обратная матрица , элементы которой определяются соотношением

Для произведения двух неособенных матриц имеет место равенство

Кроме этого, для каждой неособенной матрицы

Здесь I — единичная матрица.

Для каждой квадратной матрицы порядка транспонированной матрицей называется матрица, элементы которой определяются соотношением

(1-14)

Строки матрицы являются столбцами матрицы и наоборот. Для операции транспонирования выполняются следующие равенства:

Если , то матрица называется симметрической. Если называется .

Линейное преобразование -мерного вектора-столбца может быть записано в виде

где — квадратная матрица порядка .

В теории матриц большую роль играют векторы , для которых

Такие векторы называются собственными векторами, а соответствующие им числа — характеристическими или собственными числами матрицы . Для нахождения собственных чисел из (17) следует уравнение

Уравнение (18) называется характеристическим или вековым уравнением матрицы .

Предполагая, что известны все корни характеристического уравнения (18) , из (17) можно определить собственные векторы , которые удовлетворяют равенству

Если все собственные числа матрицы различны, то собственные векторы линейно независимы и ортогональны. В ряде случаев линейно независимых собственных векторов могут быть найдены и при наличии кратных собственных чисел .

Для матрицы , столбцами которой являются линейно независимые собственные векторы матрицы А, можно написать

где — диагональная матрица вида

Таким образом, получим

Описанный процесс называтся приведением матрицы к диагональной форме. Можно показать, что матрица приводится к диагональной форме тогда и только тогда, когда ее собственные векторы линейно независимы.

Заменой переменных преобразование (16) приводится к виду

Если матрица приводится к диагональной форме, то для всякой аналитической функции можно определить матричную функцию следующим образом (56):

если только скалярная функция определена в точках . В общем случае определяется более сложно.

Можно доказать [143], что если функция разлагается в степенной ряд в круге ,

то это разложение сохраняет силу, если скалярный аргумент заменить любой матрицей , собственные числа которой лежат внутри круга сходимости.

Отсюда следуют, в частности, следующие разложения:

Для функций от матриц сохраняются некоторые свойства соответствующих скалярных функций, например, имеют место равенства

В то же время только в случае, когда , т. е. когда матрицы и перестановочны.

Вектор, составляющие которого являются функциями некоторого аргумента , называется векторной функцией, или, коротко, функцией от . На векторные функции распространяются многие понятия скалярных функций. Например, векторная функция непрерывна, если все ее составляющие в рассматриваемом интервале являются непрерывными функциями аргумента . Аналогичная терминология используется при описании матричных функций скалярного аргумента.

Операция дифференцирования вектора или матрицы А по скалярному аргументу определяется выражением [41]

Для производных от матричной функции скалярного аргумента, в частности, имеют место равенства

Аналогичным образом определяется операция интегрирования матричной функции скалярного аргумента

Производная скалярной функции по вектору-столбцу есть вектор-строка

Производная векторной функции по вектору-столбцу называется матрицей Якоби и имеет вид

Производная скалярной функции по матрице определяется формулой

Аналогично определяются частные производные скалярных и векторных функций по векторам. Например, для скалярной функции от векторов имеем

Для векторной функции при тех же и получим

Определения векторного дифференцирования позволяют записать разложения в ряд Тейлора в окрестности точки скалярной и векторной функции вектора

Можно показать, что для производных от детерминанта матрицы имеют место равенства

Здесь матрицы и не зависят от .

Использование матричных обозначений позволяет записать в компактной форме решение системы линейных дифференциальных уравнений [56]

Здесь — искомая векторная функция скалярного аргумента, — постоянная матрица, — известная векторная функция . Решение (36) имеет вид

где — матричная экспоненциальная функция (24).

Можно показать, что для любых и . Решение линейного дифференциального уравнения

при постоянных и дается равенством

В тех случаях, когда матрицы и приводятся к диагональной форме, выражения (37) и (39) при помощи (23) записываются в виде обычных матриц.

При численном решении ряда задач статистической радиотехники на ЦВМ требуется моделировать случайные процессы, заданные линейными стохастическими дифференциальными уравнениями [55]

где и — заданные функции времени , — вектор-столбец нормального белого шума с известными статистическими характеристиками

Численное решение (40) методом Эйлера [42] требует очень мелкого шага по времени и для больших интервалов времени не обеспечивает необходимой точности вычислении. Применять более точные разностные методы, например метод Рунге—Кутта или метод Адамса, в данном случае нужно осторожно, так как правая часть уравнения (40) недифференцируема (см. § 19).

Алгоритм численного решения (40), имеющий заданную точность при произвольном шаге по времени, можно получить на основании общего решения, которое имеет вид

Здесь — фундаментальная матрица решений уравнения (40), для которой выполняются равенства

Фундаментальная матрица решений обладает следующими свойствами:

Рассмотрим векторный случайный процесс . Из (40) и (42) следует, что удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

с начальным условием

Так как случайный процесс получается в результате линейного преобразования нормального процесса является нормальным случайным процессом, у которого среднее значение и дисперсия задаются соотношениями

Кроме этого, можно показать [55], что симметрическая матрица удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальным условием

Всякая симметрическая матрица может быть представлена в виде произведения

где — нижняя треугольная матрица, т. е. матрица, у которой равны нулю все элементы, расположенные над главной диагональю. Для вычисления элементов по заданным можно воспользоваться известным рекуррентным соотношением [143]:

Определив матрицу , значение векторного случайного процесса в момент времени можно получить по формуле

где — вектор, составленный из независимых случайных величин, распределенных по нормальному закону . Для генерирования таких случайных величин на ЦВМ имеется стандартная программа.

Таким образом, из (42) и (50) для последовательного вычисления значений в моменты времени по известным значениям в моменты времени получим рекуррентное соотношение

Алгоритм (51) является абсолютно точным в том смысле, что по известным и он позволяет для любых получить случайный процесс с теми же статистическими характеристиками, что и решение (40), без погрешностей аппроксимации. Для численного вычисления и можно воспользоваться любым известным методом решения дифференциальных уравнений (43) и (46), так как они не содержат в правой части вектора белого шума.

Особенно просто решение (43) и (46) получается в случае постоянных матриц и . Если к тому же матрица приводится к диагональной форме, то для , и , можно получить аналитические выражения.