Приложение III. Дельта-функция

Формально дельта-функцией называется такая функция, которая равна бесконечности, когда ее аргумент равен нулю, и равна нулю при остальных значениях аргумента (рис. III-1), причем интеграл от дельта-функции, распространенный на сколь угодно малый отрезок, заключающий особую точку , равен единице:

Часто желательно определять дельта-функцию так, чтобы она была четной функцией своего аргумента

В этом случае

Дельта-функцию можно понимать как предел бесконечной последовательности обычных функций. Пусть функция , непрерывная в точке , и дано семейство обычных функций таких, что

Тогда функция может быть записана в виде предела

понимаемого в том смысле, что величина , определенная соотношением (4), может быть получена путем формальной записи

Рис. III-1. Дельта-функция.

Рассмотрим функцию в виде прямоугольного импульса

Для такой функции при всех справедливо равенство

Если теперь положить , то ширина импульса будет стремиться к нулю, высота к бесконечности, а площадь под кривой будет постоянной и равной единице. Поэтому можно принять

Хотя функция в виде прямоугольного импульса является простым прототипом дельта-функции, однако она разрывна. Во многих задачах бывает удобно использовать исходное семейство функций, обладающих производными. Укажем несколько таких семейств:

где — любая полная ортонормнрованная система функций. Справедливо также следующее формальное соотношение

Использование дельта-функции позволяет во многих случаях значительно упростить и в известном смысле автоматизировать вычисления. Это объясняется тем, что дельта-функция обладает рядом замечательных свойств. Важнейшее из них выражается формулой (6), и его часто называют фильтрующим свойством дельта-функции.

Не прибегая к строгому предельному переходу (4), формально формулу (6) можно получить так. Поскольку всюду равна нулю, кроме точки , а в бесконечно малой окрестности точки непрерывная функция приблизительно постоянна и равна , то, вынося ее за знак интеграла и используя формулу (I), получим (6).

Если рассматривать как входной сигнал, воздействующий на линейный фильтр с импульсной характеристикой , то на выходе такого фильтра согласно формуле (6) будет выделено (отфильтровано) лишь одно значение входного сигнала, соответствующее нулевому значению аргумента дельта-функции. Отсюда следует, что дельта-функция имеет размерность, обратную величине .

Отметим, что при или интеграл (6) оказывается неопределенным. Иногда (если, конечно, это не приводит к физическим недоразумениям) принимают

Если точка является точкой разрыва первого рода функции , то

где и — значения функции справа и слева от точки разрыва.

Если функция непрерывна в точке , то

так как

В частности,

Применяя замену переменной интегрирования и воспользовавшись формулой (6), получаем соотношение

(III-13)

Поэтому можем написать

Применяя формулу (6) раздельно к функциям и , нетрудно убедиться в справедливости равенства

(III-15)

Рассмотрим более общий случай. Пусть функция является монотонно возрастающей в интервале и пересекающей ось в точке этого интервала (рис. III—2, а): . Для монотонно возрастающей функции уравнение имеет однозначную обратную функцию причем . Производя формальную замену переменных, на основании (6) получим

Если является монотонно убывающей функцией, то знак получаемой зависимости будет обратным из-за перестановки пределов интегрирования.

Таким образом, для обоих случаев вышеприведенный интеграл будет равен . Поэтому в формуле (6) можно полагать

Если функция не пересекает ось в интервале , то интеграл равен нулю.

Рис. III-2. Общий случай.

Предположим, что равенство выполняется для конечного или бесконечного счетного числа точек на всей оси (рис. III-2, б), т. е. , и что в этих точках функция имеет непрерывную производную . Нетрудно убедиться, что

Иначе говоря, равна последовательности дельта-импульсов (рис. III-2, в) при с площадью .

Для доказательства формулы (17) разделим ось на интервалы таким образом, чтобы функция изменялась монотонно в этих интервалах, т. е. при . Если интеграл с бесконечными пределами от выражения представить в виде суммы интегралов в примыкающих интервалах то из выражении типа (16) придем к формуле (17).

Возвратимся теперь к первому равенству (7):

В результате использования этого соотношения получаем

Следствием из выражения (18) является важное тождество

(III—19)

Действительно,

Понимая в тождестве (19) под время , а под переменной интегрирования круговую частоту , получаем представление дельта-функции интегралом Фурье

Из обратного преобразования Фурье с использованием формулы (6) находим спектральную функцию для :

При отсюда следует, что спектр функции равномерный на всех частотах интенсивностью, равной единице:

Если спектральной функцией для дельта-функции, расположенной в нуле, является постоянная величина, то спектральной функцией для полусуммы двух дельта-функций и , симметрично расположенных относительно начала координат, является косинусоида. Действительно,

Из обратного преобразования Фурье получаем

Тождество (19) позволяет установить связь между дельта-функциями для обычной частоты и круговой частоты . Так, понимая во второй части равенства (19) под обычную частоту , а затем, делая замену переменной , получаем

Следовательно,

Приведем еще одно полезное равенство, следующее из (15) и (19),

(III-26)

Разлагая в ряд Фурье периодическую последовательность дельта-функций , получим формулу

где при . Справедливы также следующие соотношения:

(III—28)

Путем формального применения интегрирования по частям можно убедиться, что свертка производной -го порядка дельта-функции с любой функцией, имеющей непрерывную производную -го порядка в точке , равна

Если производная имеет в точке разрыв первого рода, то

Применяя формулу (31) к двукратному интегралу вида

получаем, что при выполнении равенства

порядок интегрирования с дельта-функцией не имеет значения, т. е.

Аналогично дельта-функции одного аргумента можно ввести двумерную дельта-функцию , определив ее как единичную массу, сосредоточенную в точке . Для двумерной дельта-функции справедливы соотношения